幻方
法 三
3 4 5 6 7 8 9 10 11
6 3 4 9 7 5 10 11 8
6 11 4 5 7 9 10 3 8
2、四阶幻方 杨辉在《续古摘奇算经》上卷 （1275）记载“易幻术”曰：“十六子 依次递作四行排列。先以外四角对换： 一换十六，四换十三；后以内四角对换： 六换十一，七换十。横直斜角，皆三十 四数。”
三 、 美 丽 的 幻 方
这幅九阶完美幻圆由1至81自然数列填 成，具有如下组合性质： （1）九条圆半径上各九数之和等于369； （2）九个圆周上各九数之和等于369； （3）九条左旋螺线上各九数之和等于369 ； 它是一个全等组合,即“半径=圆环=螺 线”，因此是一个最优化组合幻圆，堪为 一件稀世珍宝。
1 4 2
7
8
5
6 9
3
4 9 2 3 5 7 8 1 6
试试看，你准行！ 请把3至11这九个连续整数填 入三阶幻方，使每行、每列、每 条对角线上各数的和相等。 3
6 9 10 11 7 8 4 5
法 一
6 11 4 5 7 9 10 3 8
4 9 2 3 5 7 8 1 6
法 二
6 11 4 5 7 9 10 3 8
耆那幻方是在印度哈周拉合市的 耆那教寺庙门前一块石牌上刻的，是 12－13世纪的产物。它的任何2×2的 方块内的4个数字和也是34。这个幻 方是一个泛对角幻方（完美幻方）。
7 2 16 9
12 13 3 6
1 8 10 15
14 11 5 4
五、思考题：
在4×4格中，每行、每列、对 角线各四个数的和都相等，其中 a+b=2000，c+d=2001，这十六个数 的和是____。
4 9 2 3 5 7 8 1 6
幻方九宫算的开拓者首当宋朝大数学
家杨辉，他对幻方进行了较系统的研究，
是世界上第一位把幻方当作数学问题来研
究的数学家。他根据洛书原理总结出来的
构造3阶幻方的口决是：“九子斜排，上下
对易，左右相更，四维挺进。”
所谓“上下对易， 所谓“九子斜排” 者，指以 1 至 9 自然数 左 右 相 更 ， 四 维 挺 列先排出一个斜置的 进 ” ， 指 以 3 阶 自 然 方阵为样本，交换有 3阶自然方阵。 关数字的操作方法。
所谓“十六子依次递作四行排列。” 即以1至16自然数列排出一个4阶自然方 阵，作为“易幻术”构图9 10 11 12 13 14 15 16
所谓“先以外四角对换：一换十六， 四换十三；后以内四角对换：六换十 一，七换十。”这是“易幻术”在样 本上作图的方法。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1
阅读材料：
幻 方
一、幻方的起源：
幻方是一个高深莫测的数学迷宫
和高智力游戏 , 起源于《易》，古称
九宫（龟文）或纵横图，后来飘洋过
海，东传日本，西播欧美，有了很大
的发展，又以新的方式传回中国，叫
做幻方。中国的《洛书》中记载了世
界上最古老的幻方。
二、简单幻方的制作 1、三阶幻方
南北朝甄鸾注：“九宫者，即二 四为肩，六八为足，左三右七，戴九 履一，五居中央。”
18 3 7 11 15 6
4 13 8 12 9 16
5 12 9 13 8 17
15 6 10 14 18 3
3、五阶幻方 5 第一步：画一 4 10 个9×9的方格。 3 9 15 如右斜着填数 2 8 14 20 字。注意中间 1 7 13 19 25 6 12 18 24 的5×5格子才 11 17 23 是要作的幻方 16 22 的位置，已经 21 涂成了黄色。
第二步： 黄色范围 以外的数 字，平移 到黄色格 子中没有 数字的位 置。
5
3 2 20 1 7 6 24 11
4 16 8 25 12 4 16
9 21 13 5 17 21
10 22 14 1 18 10 22
15 2 20 19 25 6 24 23
4、幻方的数量研究简介 ⑴ 3阶幻方只有一个。由对称与旋 转，有8种形式。 ⑵ 4阶幻方共有880个，经对称可得 7040个不同的形式。 ⑶ 4阶泛对角幻方，共有384个。 ⑷ 5阶幻方共275 305 224个。 ⑸至于6阶和更高阶数的幻方数量， 现在仍是研究的课题，并已经有一些了 不起的结果。
四、有趣的幻方 1、丢勒名画 : 忧郁者
历史上另一个著名的幻方是德国画 家、雕刻家兼数学家Albrecht Duerer在他 著名的雕刻作品《忧郁者》中创造的。这 幅作品反映了智者的忧郁。画中除了一些 几何形体外，还有一个四阶幻方，幻方最 后一行中间两个数是15，14，恰好隐含了 作画的年代。
所谓“横直斜角，皆三十四数。” 即4行、4列及2条对角线之和等于 “34”。 杨辉“易幻术”是移动数字最少 的一种4阶幻方构图法，简单而又直观。 “九子”者，为奇数阶幻方构 图法；“十六子”者，为偶数阶幻 方构图法。
比比看，谁更快！ 下图中已填 入了3至18这16个 数中的一些数， 请将剩下的数填 入空格中，使每 行、每列、每条 对角线上各 数 的和相等。
a
b
c
d
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；
松咯/ 浩荡の力量肆虐/毁天灭地/把壹切都给摧毁绞碎/轰隆隆巨响/天地壹片片塌陷/这确定壹股惊人の画面/如此肆虐の力量/让人感觉这壹片宛如灭世之处/ 很多修行者都受到波及/距离爆炸中心最近の修行者/无壹生还/都被这股暴动出来の劲气磨灭/ 而壹切离の远の修行者/ 也抪少被重创/这确定壹场灾难/无数人为此而付出咯代价/ 即使确定黑霉宗王/到被这股爆炸之力冲击到后/重创砸到咯大地/身上很多骨头都断裂/身上伤痕累累/满确定血液/ 整佫人遭受咯重创/也幸好确定它反应灵敏/到马开引爆天地器の时候就开始退后/并且暴动出自身力量 防御/要抪然马开这壹次引爆/就能要咯它の命/ 这灾难般の场面到肆虐咯壹阵之后/这才缓缓の消失/直剩下壹股股呼啸の风声/很多人目光落到咯黑霉宗王身上/着它这番惨状/壹佫佫神情复杂/ "马开就这样走咯?夺;壹;本;读;袅说yb＋du走咯黑霉宗王の宝物/ 很多人觉得难以置 信/堂堂壹佫宗王级人物都没有留下马开/反倒确定被它算计/重创到这番模样/马开真の无法灭杀抪成? 当然/抪少人更确定震撼马开の实力/马开接下过宗王级の壹击/也正确定因为接下这壹击/让它借机逃离/要抪然/黑霉宗王也抪可能遭受它算计/重创到这种地步/甚至连那件神 奇の宝物都被马开拿走咯/ 那件宝贝何等珍贵谁都知道/能产生道符/以马开の惊世天赋/得到这样の宝物/实力定然能突飞猛进/怕确定很快就能冲击宗王级咯/ 很多人都叹息咯壹声/也有着几分同情の着黑霉宗王/被壹佫法则级欺负到这种地步/身为宗王级真の确定颜面无存咯/ 黑霉宗王身上还到滴血/但它见到很多人投过来の同情神态/心中の怒火腾腾の烧上来/壹股无法宣泄の情绪让它の面容狰狞/ 它确定什么人?堂堂宗王级人物/到这佫时候还确定能横走壹方の存到/特别确定到这里/自己就确定主宰/可现到/居然被人用怜悯の神态着/ 而这壹切/都 确定因为马开/而且/这佫人居然把它の那件至宝夺走咯/那对于它太重要咯/确定它到繁世立足自保の根本/要确定那东西都缺失咯/自己到群雄并立の年代/有什么资格和别人交锋? 想到这/黑霉宗王の狰狞更浓/它抪顾身上重创/站起咯起来/取出壹些珍贵の丹药/吞服下去稳定自 己の伤势/随即取出咯壹把东西/ 着它取出の东西/很多人眼睛都直咯/因为这抪确定别の/就确定道符/它这取出の壹把/有抪下于十道之多/这让很多人呼吸都急促咯起来/壹佫佫目光炽热の着黑霉宗王/ "马开被我壹掌震伤/此刻要确定有人去杀咯它/道符壹百道以内/我都答应它/ 还有其它の宝物/我都可以送它/要求任提/只要我能做到の/"黑霉宗王给予咯到场の人承诺/ 这壹句话让下方很多人心跳咯起来/壹百道道符/这可以让它们修行到难以想象の地步/特别确定对于那些天赋逆天の人来说/甚至可以修行到宗王级/ 这确定壹场大机遇/荒地二皇两人の 眼睛都瞬间直咯/而且能得到宗王级壹佫要求/到此刻何等珍贵/ 很多人虽然被诱惑到咯/但没有人轻易动身前去追杀马开/马开多强它们都见识过咯/连宗王级の攻击都能挡住/它们这点微末の实力根本抪足对抗/ 东西虽然诱惑/但也得有命去拿/马开确定什么样の人/刚刚对它出手 の/几乎没有壹佫活下来の/都化作咯血雨/这样凶残の人物杀抪咯它/那就等着被它杀吧/ 黑霉宗王居然见这么多强者都心慑于马开の威势/虽然心中怒意直冲/但也知道马开之前带给它们の震撼太大/ 它没有继续说什么/只确定到其中找出几佫追随者/让其带着自己去疗伤/ 被黑 霉宗王选出来の追随者都抪弱/实力都达到五尘境/这些人本来就确定为咯追随黑霉宗王前来の/特别确定到得知黑霉宗王到失去那件宝物之后还有如此多道符/更确定铁心追随它/ 黑霉宗王离开/这壹片地方瞬间炸开咯锅/ "马开太强咯/此刻最多也就三尘境而已/能挡住宗王壹击/ 匪夷所思啊/确定啊/要确定它达到五尘境六尘境能挡住宗王壹击我们能接受/毕竟少年至尊级の人物/抪能以常理待/可到三尘境就能有这样の战斗力/真の难以想象啊/这确定妖孽啊/没有想到它到宗王级出手中/还能夺走它の宝贝全身而退/传出去谁能信啊/这佫人/难怪众多古族 无法奈何它咯/石林族皇子被杀之后/壹直没有动作/抪就确定顾忌它の实力吗/ "啧啧/抪派遣宗王级存到/谁能杀の咯它啊////" 很多人惊呼/都为马开の实力而惊讶/谭尘着马开远去の方向/也有些失神/这样の结果出乎它の预料/这壹战马开胜の漂亮/ "你此刻到底变の多强咯?难 道以此刻の实力/真の无惧宗王级以下任何壹人咯吗/ 谭尘借着道符也提升咯壹佫层次/但发现自己和马开の距离并没有因为自己の提升而拉近/反而越来越远咯/ 荒地二皇也神情阴冷/原本以为这壹次马开到劫难逃/可它依旧没有如愿/以马开の性子/它们如此做/将来到它们两人 の话/定然会出手斩杀/ 以马开の战斗力/杀它们并抪确定多困难の事/两人心中惊恐咯起来/觉
《幻方》教学课件
反射对称法
将奇数阶幻方反射后得到 偶数阶幻方。
递推构造法
通过已知的低阶幻方推导 出高阶幻方，常用的递推 关系有菲波那契数列等。
运用编程语言实现幻方构造
Python实现
使用Python的列表操作 和循环语句实现幻方的构 造。
Java实现
使用Java的数组和循环语 句实现幻方的构造。
C实现
使用C的数组和循环语句 实现幻方的构造。
幻方学习的重要性
幻方是一种具有独特魅力的数学游戏，通过学习可以帮助学生 提高数学兴趣和思维能力。
学习内容回顾
在幻方的学习过程中，学生需要掌握基本的数学原理和方法，如 对称性、组合数学等。
学习收获
通过幻方学习，学生可以提高观察力、逻辑思维和空间想象力等 多方面的能力。
对于幻方研究的展望与建议
深入探究
伪代码描述
给出算法的伪代码描述，以清晰简洁地表达算法 的实现细节。
算法复杂度分析
对算法的时间复杂度和空间复杂度进行分析，说 明算法的效率及可行性。
优化与改进
算法优化
针对现有算法的不足之处，提出相应的优化策略和改进方案，提 高算法的效率和性能。
优化实例
通过具体实例，演示优化后的算法相比原算法的优势和特点。
《幻方》教学课件
2023-11-02
目录
• 幻方简介 • 幻方的基本构造方法 • 幻方的数学原理 • 幻方的计算机实现 • 幻方在实践中的应用 • 总结与展望
01 幻方简介
幻方的定义
幻方是一种将n×n个数字排列成一个正方形，使每行、每列 和对角线上的数字之和均相等，具有神秘色彩的组合图形。
幻方最初由古希腊数学家费尔南德斯发现，被认为是数学与 艺术的完美结合。
幻方的解法与技巧
幻方的解法与技巧幻方是一种有趣又神秘的数学谜题，它能够以独特的方式排列数字，使得每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
本文将介绍一些常见的幻方解法和技巧，帮助读者更好地理解和解决幻方问题。
一、幻方的基本概念幻方是由一组数字排列而成的正方形矩阵，其中每个数字只出现一次。
幻方的阶数指的是矩阵的边长，例如3阶幻方表示由3x3的数字矩阵组成。
幻方中的每一行、每一列和对角线上的数字之和称为幻方的常数，通常用S表示。
二、奇数阶幻方的解法奇数阶幻方的解法相对较简单，常用的方法有“Siamese method”和“LUX method”。
1. “Siamese method”（暹罗法）这种方法是由17世纪的暹罗王室数学家发明的，它的基本思想是从幻方的中间行、第一列开始，按照特定规则依次填充数字。
具体步骤如下：（1）将数字1填入幻方的中间行、第一列的位置；（2）依次填充数字2、3、4...直到填满整个幻方矩阵；（3）当填充到边界时，将下一个数字填入上一次填充的位置的右上方。
2. “LUX method”（LUX法）这种方法是由中国数学家陆玉鹤发明的，它的基本思想是将幻方矩阵分割成四个大小相等的子矩阵，然后按照特定规则填充数字。
具体步骤如下：（1）将数字1填入幻方的第一行、中间列的位置；（2）依次填充数字2、3、4...直到填满整个幻方矩阵；（3）当填充到边界时，将下一个数字填入上一次填充的位置的右上方。
三、偶数阶幻方的解法偶数阶幻方的解法相对复杂，常用的方法有“偶数阶幻方解法1”和“偶数阶幻方解法2”。
1. 偶数阶幻方解法1这种方法的基本思想是将幻方矩阵分割成四个大小相等的子矩阵，然后按照特定规则填充数字。
具体步骤如下：（1）将数字1填入幻方的第一行、第一列的位置；（2）依次填充数字2、3、4...直到填满四个子矩阵；（3）当填充到边界时，将下一个数字填入上一次填充的位置的右上方。
2. 偶数阶幻方解法2这种方法的基本思想是将幻方矩阵分割成四个大小相等的子矩阵，然后按照特定规则填充数字。
初一幻方的规律和方法
初一幻方的规律和方法
以下是一种适用于奇数阶幻方的规律和方法：
1. 把“1”放在中间一列最上边的方格中。
2. 从这个“1”开始，按对角线方向顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶则折向底，如果到达右侧则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方。
例如，如果构建一个5阶幻方，那么根据以上方法可以得到：
以上步骤只是一个简单的记忆口诀，并不代表全部的方法。
如果你有任何关于如何构造幻方的具体问题，请告诉我，我会尽力帮助你。
幻方罗伯法原理
幻方罗伯法原理幻方是一种数学游戏，它由数字组成的正方形矩阵，在每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
而幻方罗伯法是一种构造幻方的方法，它由法国数学家罗伯于1901年提出。
在幻方罗伯法中，通过一定的规则和技巧，可以构造出各种不同阶数的幻方。
下面我们就来详细介绍一下幻方罗伯法的原理。
首先，我们需要了解幻方的基本规则。
一个n阶幻方是由1到n^2的连续自然数排列在n×n的方阵中，使得每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
在构造幻方时，我们需要确定一个基准点，然后按照一定的规则填充其他数字，最终形成一个满足幻方规则的矩阵。
接下来，我们来介绍幻方罗伯法的具体原理。
在幻方罗伯法中，首先确定一个基准点，通常选择在幻方的中间行的最后一列。
然后按照以下规则进行填数：1. 从基准点开始，将数字1填入基准点所在的位置。
2. 向右上方移动一格，填入下一个数字。
3. 如果移动到了边界，则按照如下规则进行处理：如果移动到了右上角，则将下一个数字填入当前位置的下方。
如果移动到了最上方，则将下一个数字填入当前位置的右边。
如果移动到了最右方，则将下一个数字填入当前位置的下方。
如果移动到了空白格，则直接填入下一个数字。
4. 重复步骤2和步骤3，直到填满整个幻方。
通过这种方法，我们可以构造出各种不同阶数的幻方。
同时，幻方罗伯法还具有一定的对称性，可以通过一定的变换得到其他形式的幻方。
这种方法的优点在于简单易行，适用于各种不同阶数的幻方构造。
在实际应用中，幻方罗伯法不仅可以用于数学游戏和娱乐，还可以应用于密码学和信息安全领域。
幻方具有一定的加密解密功能，通过幻方罗伯法构造的幻方可以用于信息的加密和解密，增强信息的安全性。
总之，幻方罗伯法是一种构造幻方的简单而有效的方法，通过确定基准点，并按照一定的规则填数，可以构造出各种不同阶数的幻方。
同时，幻方还具有一定的应用价值，可以应用于密码学和信息安全领域。
希望通过本文的介绍，读者能够对幻方罗伯法有更深入的了解，并在实际应用中发挥其作用。
幻方题目解题思路
幻方题目解题思路幻方这玩意儿挺有趣的呢！咱来唠唠解题思路哈。
一、啥是幻方首先得知道幻方是个正方形的格子阵，就像九宫格那种（当然也有其他规格的，像四阶幻方啥的）。
每一行、每一列还有对角线上的数字加起来都得等于同一个数，这个数就叫幻和。
二、三阶幻方（九宫格）的基本思路1. 确定幻和- 对于三阶幻方（3×3的格子），因为1 + 2+3+4+5+6+7+8+9 = 45，这9个数要平均分配到三行（或者三列），所以幻和就是45÷3 = 15。
2. 找中心数- 在三阶幻方里，中心数特别重要。
因为它会在四条线上（一行、一列和两条对角线）参与求和。
- 假设中心数是x，那么它在四条线上相加的总和就是4x。
其他八个数两两组合成四组，每组和都等于幻和 - x。
- 经过计算就会发现中心数是5（你可以自己试着推导一下哦，挺好玩的）。
3. 填角上的数- 角上的数也很关键。
一般先从和5能凑成15的数开始考虑，像1、9，2、8，3、7，4、6这几组。
- 先试着把1放在左上角（只是个例子，放哪儿都行开始），那它对角就得是9，这样才能保证对角线的和是15。
然后再根据每行每列的和是15慢慢填其他的数。
1. 连续自然数幻方- 对于四阶幻方，1到16这16个数的和是136。
因为要四行（或四列），所以幻和是136÷4 = 34。
- 有一种方法叫“对称交换法”。
先把1到16按顺序填到四阶方阵里，就像从左上角开始横着填。
- 然后把对角线上的数保留，其他的数关于中心对称交换位置。
这样就得到了四阶幻方。
- 更高阶的幻方也有一些类似的方法，不过会更复杂一些。
2. 不是连续自然数的幻方- 如果不是1、2、3……这样连续的数，那首先得算出这些数的总和，然后确定幻和（总和除以阶数）。
- 然后可以先找一个和这些数相近的连续自然数幻方，再通过调整数字的大小来得到想要的幻方。
总之呢，幻方就像一个数字谜题，要根据幻和、数字的规律还有一些特殊位置（像中心数、角上数）的特点来慢慢拼凑出答案，多试几次就会找到感觉啦！。
幻方原理及方法
幻方原理及方法
1. 你知道幻方原理多奇妙吗？就像变魔术一样！就拿三阶幻方来说，每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
比如说常见的九宫格，1、2、3、4、5、6、7、8、9 填入九宫格中，经过巧妙排列，就能实现神奇的相等和哦，是不是很有趣？
2. 要想了解幻方方法，那可得好好琢磨一番呢！好比搭积木，要一块一块恰到好处地放。
比如试着将奇数阶幻方用“罗伯法”来填，一步步地，按照规则，嘿，一个完美的幻方就出现啦！难道你不想试试吗？
3. 幻方原理其实并不难理解呀！就如同解开一个复杂的谜题。
想想看，把一些数字摆来摆去，就能找到那神奇的规律。
比如四阶幻方，通过特定的算法和步骤，哇，最终的成果会让你惊叹不已呢，难道不是吗？
4. 幻方方法可是有很多窍门的哟！好像寻找宝藏的钥匙。
比如说五阶幻方，运用特定的策略，一点点地推进，嘿嘿，就能得到让人惊喜的结果啦！这多让人兴奋呀！
5. 幻方原理真的超级神奇的呢！可以类比成音乐的旋律，有节奏有规律。
比如六阶幻方，尝试着去感受那数字的排列，就如同聆听美妙的音乐，太赞了吧！
6. 想要掌握幻方方法，就得像探险家一样勇敢尝试哦！好比在未知的领域探索。
像七阶幻方，大胆地去实践，不断调整，哇塞，那成功后的满足感简直爆棚啦！总之，幻方就是这么神奇又有趣！。
幻方的口诀顺口溜
幻方的口诀顺口溜
1. 幻方真奇妙，口诀要记牢，一居上行正中央，这个例子很明了，就像找到了宝藏的钥匙哟！比如3×3 的幻方，数字1 不就放在最上面一行的正中央嘛！
2. 依次斜填切莫忘，哎呀呀，可别小看它呀！就像走迷宫有了方向一样。
你看那个 4 不就斜着填下去嘛！
3. 上出框时往下填，这多有意思呀，就好比球弹到了地上又弹起来。
像 7 超出框了，不就往下填嘛！
4. 右出框时往左填，嘿，是不是很好玩呀，如同汽车拐弯换了个道儿。
数字 9 不就这样填嘛！
5. 排重便在下格填，哇塞，这感觉就像纠错一样呢！要是碰到重复的数字，不就往下一格填嘛，就像避开障碍。
6. 右上排重一个样，可不是嘛，就像遇到同样的困难有同样的解决办法。
比如右上有数字了，也得这样处理呀！
7. 幻方口诀真好用，绝对让你大不同，你想想，用了口诀解幻方多轻松呀！
8. 记住口诀不慌张，仿佛有了定海神针呀！不管遇到啥样的幻方都不怕啦！
9. 轻松玩转幻方界，哎呀呀，那感觉就像武林高手称霸江湖一样呢！
10. 幻方口诀顺口溜，大家一定要记熟，真的超级有用处哟！就像拥有了神奇的魔法棒！
我的观点结论：幻方的口诀顺口溜真的太重要啦，能让我们快速掌握幻方的技巧，大家一定要好好记住呀！。
幻 方
幻方一、基本概念：1.幻方：如果一个n×n的方阵中，每一横行、每一竖行以及两条对角线上的数的和相等，那么这个方阵称为n阶方阵，或n阶幻方。
2.幻和：在n阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和就称为幻和。
3.中心数：对于n阶幻方，当n分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数幻方有一个中心格，在中心格中的数叫做中心数。
中心数＝幻和÷n。
二、3阶幻方的认识：三、3阶幻方的性质：性质一：幻和值＝3×中心数；即幻和值＝3e性质二：2×角格数＝非相邻的2个边格数之和。
即：2a＝f+h或a=（f+h）÷2；2i=b+d或i=（b+d）÷2；2g＝b+f或g=（b+f）÷2：2c=d+h或c=（d+h）÷2。
性质三：以中心格对称的2个数相加的和相等，这2个数的和等于中心数的2倍。
即：e=（b+h）÷2=（d+f）÷2=（a+i）÷2=（g+c）÷2。
性质四：幻方中的每个数乘以b，再加上c，幻方仍成立。
例如：是3阶幻方，则也是3阶幻方。
推论一：以中心格对称的2个数同为奇数或者同为偶数；推论二：4个边格中的数同为奇数或者同为偶数。
四、3阶幻方的填法：1.3阶幻方的填法很多，最常用的是罗伯特法。
2.罗伯特法：（前提条件：将一列数按照从小到大的顺序排列）（1）把1（或最小数）防在第一行正中间；（2）每一个数放在前一个数的右上一格内；（3）如果这个数所要放的格已经超出了顶行，就把它放在底行，仍是右一列；（4）如果这个数所要放的格已经超出了最右行，那么就将它放在最左列的上一行；（5）超出顶行且最右列，前一数的下一行同一列；（6）若果这个数要放的格已有数，处理同（5）（下一行同一列）。
五、随堂练习：1.3×3的正方形中，在每个方格里分别填入2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自然数，要求每行每列以及对角线上的三个数字之和相等，求幻和是多少？2.如图所示，9个小正方形内各填入一个有理数，使每行每列以及每条对角线上的三个数字之和相等，现在29和75两个数已经给出，那么x=( )3.图中有9个方格，要求每个方格中填入不相同的数，使得每行、每列以及对角线上的三个数字之和相等。
幻方
幻方在一个由假设干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”、我国古代称为“河图”“洛书”，又叫“纵横图”、n阶幻方是由前n2个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、各列及两条对角线所含的n个数的和相等、例子：〔三阶幻方，幻和为15〕k次幂时，仍满足幻方条件者，称此幻方为k次幻方、相传距今四千多年前，伏羲氏统治天下，有一匹龙马从黄河里跃出，背驮一幅图画献给他，这幅图画就叫做《河图》、在夏禹治洪功成时，有一只神龟从洛水中浮出，背负一张书画献给他，这张书画就叫做《洛书》、此《洛书》确实是世界上最早出现的三阶幻方，《河图》那么是另一形式的三阶幻方，据传《河图》是青色的，《洛书》是红色的、《河图》和《洛书》的出现，证明了我们的祖先有丰富的想象力和极高的智慧、至少在二千多年前，我们的先民就差不多掌握了数的奇偶性质、平衡原理和排列组合的方法，反映了我国古代数学家娴熟的遣数造型能力、三阶幻方的神奇性质1、十全十美，对称呼应在三阶幻方中，我们容易观看到：1与9，2与8，3与7，4与6基本上互补数组，其和等于10、我国古代数学家称三阶幻方为“合十学说”，缘故就在于此、10是一个特别特别的数，人不仅有10个手指，10个脚趾，而且计数制也采纳十进制、10是一个完美的象征，我们常用“十全十美”来表达事物的完美，为此美学家称10是一个最美的数字、三阶幻方中刚好包括了所有的一位自然数，5居中心，而其他8个数字以5为对称中心两两呼应，形成“米”字形独特的对称美、2、平方数中见均衡由于三阶幻方中的三行三列及两条对角线上的3数之和都相等，这种布局完整齐巧，故被称为均衡美的典范、三阶幻方的另一种性质更让人为它的均衡性而称奇，它的各线上各数的平方和也特别有规律，我们来看以下几个等式42＋92＋22=82＋12＋62＝10142＋32＋82=22＋72＋62＝89确实是说，三阶幻方的第一行与第三行诸数的平方和相等，第一列和第三列诸数的平方和也相等、另外，过中心线上各数的平方和也有规律：〔22＋52＋82〕＋〔42＋52＋62〕＋10＝〔72＋52＋32〕＋〔92＋52＋12〕－10＝180 这确实是说三阶幻方的两中线各数的平方和减去10，与对角线各数的平方和加10，二者竟相等、3、三阶幻方内藏一个“太阳系”三阶幻方居中一个数是5，其一次方，二次方……n次方的个位数均是5，好像一个太阳在不停地自转、四角的四个数从2起，按逆时针方向分别为2，4，8，6、注意到21＝2；22＝4；23＝8；24＝16，个位为6；25＝32，个位为2；26＝64，个位为4；27＝128，个位为8；28＝256，个位为6；故好像一个行星在绕太阳旋转、同样另四个数3，9，7，1也好像一个行星在绕太阳旋转、只是它的旋转方向是顺时针的、。
数学 幻方知识点
数学幻方知识点一、知识概述《幻方知识点》①基本定义：幻方就是一个正方形的数阵。
在这个数阵里，横着每行数字加起来的和、竖着每列数字加起来的和以及两条对角线上数字加起来的和，都相等。
比如一个3×3的幻方，就像一个九宫格，给每个格子里填上不同的数，满足刚刚说的这些和相等的条件。
②重要程度：幻方在数学里算是比较有趣又有挑战性的一部分。
它能锻炼咱们对数字的感觉和计算能力，还能加深对数字规律的理解。
而且它和一些更高级的数学知识也有点联系，算入门数学里比较独特的一块。
③前置知识：首先要对基本的加法运算特别熟练，得能快速准确地算出一些数字的和。
另外，对数字顺序得很熟悉，比如说1到9这些自然数的顺序。
还有就是对数阵这个概念得有点概念，知道行列是怎么回事。
④应用价值：幻方可不光是在纸上玩玩数字游戏。
在编程里，特别是设计算法的时候能涉及到幻方的原理，像是怎么让程序快速找到满足幻方规则的数字组合。
而且从研究数字规律的角度看，幻方里藏着不少数学奥秘，可能对密码学之类的可以提供一些思路。
二、知识体系①知识图谱：幻方在数学里属于数字规律探索这个分支里的。
算是一种特殊的数字组合现象，不是像四则运算那样基础，但在探索数字多种组合奥秘这一块是很有代表性的。
②关联知识：和加法运算有着直接联系，因为都是靠加法来确定幻方的和是否相等的。
和数列也有点关系，幻方里每行每列的数字可以看成是一个特殊的数列。
③重难点分析：难点就是找到那一套满足幻方条件的数字组合，特别是幻方规格大一些的时候，像5×5，7×7的幻方就更难了。
重点是要清楚幻方的定义和确定幻方和的计算方法。
④考点分析：在考试里，如果是数学竞赛可能会碰到幻方的题目。
一般会考查你能不能找到幻方的缺失数字，或者判断一组数字能否组成幻方，考查方式就是给你个残缺的幻方或者一组数字，让你按幻方的规则去处理。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：幻方核心就是它的数字组合满足特定的和相等的条件。