探寻神奇的幻方

综合与实践探寻神奇的幻方太原第二实验中学白志红学生起点分析“探寻神奇的幻方” 是学生初中阶段接触的第一个“综合与实践”，学生此前已完成“有理数及其运算”与“整式及其加减”的学习，部分学生对用1～9填成三阶幻方，在方法上有初步的感性认识.学生的认知条件决定了它主要立足于丰富学生的数学活动经验，帮助学生在问题串引导下综合运用知识解决问题，对解决问题的方法和经验进行反思，从中感受对学生而言，一种全新的以自主探究为特色的学习方式.教学任务分析本“综合与实践”以探寻三阶幻方的本质特征为载体，帮助学生感受图形的对称；提高字母表示数的技能和探索规律的能力；体验数形结合的思想.教学时要提供学生充足的探索数量关系并符号化的时间，培养学生言之有据的习惯，发展学生正确使用数学语言进行表达和交流的能力，同时要鼓励学生在探索的过程中多角度尝试，不要以教师的讲解代替学生的思考、讨论；可以组建四人活动小组，每组有一份评分标准（见教师用书），促成学生以良好的情感态度主动参与合作交流；引导学生在独立思考的基础上与同伴进行合作交流；教学目标1、借助字母表示数、探索规律揭示几种简单的三阶幻方的本质特征；体验有理数混合运算、字母表示数、探索规律与几种简单的三阶幻方本质特征的内在联系；能够快速对含有具体数字的不完整幻方进行补充，掌握幻方的形成和相等关系的一般性描述.2、在幻方规律的发现、幻方之间关系的探索过程中，形成初步的研究体验，获得一些发现问题、研究问题的经验，提高能力；3、借助洛书、杨辉幻方等史料，帮助学生感受祖国文化的博大精深，增强民族自豪感，激发他们将民族瑰宝进一步发扬光大的信心和决心，从幻方对称的图形、美妙的结论中，初步感受数学的美.教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备——查阅资料；第二环节：结识幻方；第三环节：研究三阶幻方；第四环节：制作三阶幻方；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.第一环节 课前准备活动内容：查阅资料（提前一周布置） 查阅相关资料，了解幻方的有关知识.活动目的：课前安排学生通过上网等方式查阅资料，了解幻方的有关知识，使学生对幻方有更深入、更全面的了解.也可以布置课前思考题，如：“请将1～9这九个数分别填在三行三列的数表中，使每行每列及对角线上的和都相等.”第二环节：结识幻方活动内容：据说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服.后人称之为"洛书"，即现在的三阶幻方.洛书 三阶幻方三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质：每一横行、每一竖列和对角线上的三个数的和都相等.不信，我们来验证一下.一般地，一个n 行n 列的正方形方格中，每一横行、每一竖列和对角线上的数字和都相等，这样的数字方阵称为n 阶幻方.1、算出右图中各横排、竖列及对角线上数字的和，看看它是不是一个幻方.活动目的：通过简介有关幻方古今内外的奇闻趣事，增强学生的民族自豪感、激发对幻方的研究兴趣；问题1以思考题的形式，在学生有一定的课前感悟基础上简介幻方引入课题. 活动注意事项：幻方的相关知识可以在学生已搜集资料的基础上，共同交流.解决问题1时，教师可以提示学生：如正方形最核心位置的数是几，数据是否成对出现？以便为后面的探究做一定的经验积累.第三环节：研究三阶幻方活动内容：在三阶幻方中，（1）你能发现哪些相等的关系？横行、竖行、斜对角的三个数之和分别是多少？（2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些连线段会构成一个怎样的图形？描述你得到的图形有什么特点？（3）你能否改变上述幻方中数字的位置，使它们仍然满足你发现的那些相等关系吗? （4）在你构造的幻方中，最核心位置是什么？有没有“成对”的数？这是一般规律吗？你能证明它吗？（5）你还有什么新的发现和疑问？活动目的：借助对神农幻方的深入观察分析，体会其中蕴含的图形上的变换帮助学生初步认识最古老的洛书三阶幻方，引发思索和质疑，为后继的进一步探究埋下伏笔.对于问题（4）教师可提示：每行、列、对角线上的数字和是多少？如果设中间的数是x，你能得到哪些关于x的式子？活动实际效果：学生很容易发现洛书三阶幻方奇数与偶数的设置，以及和相等的每一组连线段构成的图形均衡对称，和谐美丽；每行每列以及斜对角的三个数之和是15；对于问题（4），有的学生可能借助9个数的奇偶性解释自己的想法：因为奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数，如果5不在中间位置将无法满足题意；而且进一步当把5填入中间格时，如果四个角上填奇数，则其他四格填偶数，我们可以看到第一行、第三行、第一列、第三列他们的和都得偶数，而据题目所求，三个数之和为15，15 是奇数，所以与题意不符（如图1）.如果四个角上一对奇数一对偶数，则剩下的四个格中也应该一对奇数一对偶数，此时我们可以看到第一行、第三行和都为偶数，同样与题意不符（如图2）.然而如果四个角上都填偶数，剩下的四个格填奇数则符合题意（如图3）.图1 图2 图3对于5为何必须放在中间？也有的同学借助小学学过的简易方程给出精妙的解释：如图4，由于每列的和，以及每条对角线的和都是15，所以两条对角线的和与第二列的和相加得45，其中x 出现3次，第一、三行的数均各出现一次，故：3x ＋2×15=3×15，从而x=5 第四环节：制作三阶幻方 活动内容：上面是用1-9这9个数字组成的三阶幻方，用其他9个数字能组成3阶幻方吗？1、 将2,3,4,5,6,7,8,9,10填入到3×3的方格中，使得每行、每列、斜对角的三个数之和相等?学生思考：这9个数与原来9个数有什么关系？2、将-2，-1，0，1，2，3，4，5，6填入到3×3的方格中，使得每行、每列、斜对角的三个数之和相等.学生思考：这9个数可以由原来9个数怎么变过来？ 小组合作共同完成以下问题：3、有人发现将原来三阶幻方中每个数加1就得到1中的幻方，将每个数减少3就得到2中的幻方.一般地，原来幻方中的每个数分别增加任意一个相同的数，还构成一个幻方吗？说说你的道理.如果每个数同时扩大相同的倍数呢？如果先扩大相同的倍数，再同时增加另一个数呢？ 在下面自己制作几个幻方.活动目的：设置多角度的实践机会，对神农幻方进行拓展变式，帮助学生在实践中形成对三阶幻方的感性认识，对逐步显现的规律不断加深感悟，从而关注怎样去表达方法的本质. 活动注意事项：一定要留给学生充足的自主探究与合作交流的时间，对问题1，需要的话可多设置几个变式练习，帮助学生在实践中对头脑中的猜想获得更直观的感受，对逐步显现的规律不断加深感悟，从而关注怎样去表达方法的本质. 第五环节：反思小结 活动内容：（1）你是怎样解决上述问题的？（2）你认为怎样的九个数可以满足三阶幻方的要求？应怎样把这九个数填入三阶幻方？说说你的道理.（3）你还有什么新的猜想？研究中，你有哪些结论，有哪些感受，与同伴交流.活动目的：对这些开放性的问题，不同能力层次的学生可能有不同层次水平的答案.此环节帮助学生借助字母表示数、探索规律把对三阶幻方的感性认识过渡到理性经验的层面，能感知并解释几种简单三阶幻方的数学模型，能对相应的探究方法反思提炼.活动注意事项：对问题1，学生的经验可能有：只要连续的9个数填入到3×3的方格中即可满足横行、竖列、斜对角的和相等；“等差”的九个数可以填入到3×3的方格中，使得横行、竖列、斜对角的和相等；9个数的最中间数应填在中心格；9个数被分成三组，如果每组数之间间隔都相同，而且组间也都间隔一样大则填入到3×3的方格中，也能使得横行、竖列、斜对角的和相等…对于每一条经验都不能止于感受，而要启发学生“说说你的道理”，关注言之有据习惯的养成.问题2要求学生归纳、类比、由特殊到一般，把感悟到的数量关系符号化，借助字母表示数、探索规律揭示几种被学生发现的简单的三阶幻方的本质特征，此处要重视引导学生经历根据特例大胆猜想，然后再综合运用有理数混合运算、字母表示数、探索规律、返回去验证猜想的数学思维过程.数学活动的目的是促进学生的思维发现，为理性的东西提供直观素材，在“综合与实践”中往往提出一个问题比解决问题更重要，源自学生中间的问题更能拨动他们彼此的思维之弦，问题3旨在培养学生的问题意识.第六环节：课后作业：1.阅读教材《读一读》部分2.自行选取一组数构造一个三阶幻方,使得每一行、每一列和对角线上的三数之和都等于60.*3.用25个数构造一个五阶幻方.*4.本课时给出的数，从小到大排列，好像都是等距的.不“等距”的9个数能否构成三阶幻方呢？活动目的：通过正文的学习帮助学生感知探究方法，这里的读一读是为学生开辟进一步探究此问题的方向和路径.教学反思：帮助学生借助字母表示数、探索规律把对三阶幻方的感性认识过渡到理性经验的层面，能感知并解释几种简单三阶幻方的数学模型，能对相应的探究方法反思提炼；提供学生充足的探索数量关系并符号化的时间，鼓励学生在探索的过程中多角度尝试，不要以教师的讲解代替学生的思考、讨论；借助对神农幻方的深入观察分析，体会其中蕴含的图形上的变换，帮助学生初步认识三阶幻方，引发思索和质疑；对神农幻方进行拓展变式，帮助学生在实践中形成对三阶幻方的感性认识，对逐步显现的规律不断加深感悟，从而关注怎样去表达方法的本质，但有的学生发现不了变式练习中的九个数与神农幻方中的九个数之间的关联；有的学生探索止于对数量关系的感知，做不到把所进行的探索符号化。

面对学生的这些困难，教师既不能简单告诉，又不能放手不管，一定要依据学生的学习水平加以引导，如可以将问题提的紧凑点，步子放慢些，让学生能够在探索的过程中，感受发现的快乐，学习解决问题的方法。

教学设计说明：本“综合与实践”为两个课时，但这里只写了第一课时，考虑到学生的实际学习水平，对于一般学生可能很难在一课时完成学习任务，第二课时的教学任务是进一步解决和完善第一课时中的一些问题，教师可以结合学生的实际问题，在课上共同交流第一课时中提出的问题和作业中的问题。