第8、9、10课--神奇的幻方
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探寻神奇的幻方教学设计
探寻神奇的幻方教学设计幻方是一种神奇的数学图形，在教学中，利用幻方进行教学设计可以激发学生的兴趣，培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。
本文将探讨如何设计一堂生动有趣的幻方教学课程。
一、引入幻方的魅力在进行幻方教学设计之前，首先需引入幻方的魅力，让学生对幻方产生浓厚的兴趣。
可以通过一段引人入胜的幻方故事或者展示一些有趣的幻方图片来引起学生的好奇心。
同时，还可以与学生分享一些幻方的应用场景，例如在编程、密码学等领域中的应用，以此激发学生的求知欲。
二、了解幻方的基本概念在设计课程的第二部分，可以引导学生了解幻方的基本概念。
首先，介绍幻方是什么，它由多少个数字组成，以及这些数字如何排列。
可以通过示意图、示例幻方等方式直观地展示幻方的构成方式。
在此基础上，可以向学生解释幻方的基本规则，包括每行、每列和对角线上数字之和相等等。
三、探索幻方的特征与性质在掌握幻方的基本概念后，可以引导学生探索幻方的特征与性质。
通过给学生一些幻方的例子，让他们观察并总结幻方的规律。
例如，学生可以观察幻方中心位置的数字特点，或者发现对称位置上的数字之和等。
通过这样的探索，可以培养学生的观察力、归纳能力和分析思维。
四、解决幻方问题的策略与方法在学习了幻方的基本概念和特征后，可以引导学生学习解决幻方问题的策略与方法。
例如，通过给学生一些幻方问题，让他们尝试不同的解决思路和方法。
同时，还可以鼓励学生进行小组合作，共同探讨并解决幻方问题。
在这个过程中，学生将进一步培养解决问题的能力、团队合作能力以及灵活运用所学知识的能力。
五、创造属于自己的幻方作为幻方教学的高潮，可以引导学生创造属于自己的幻方。
通过学习了解幻方的构成规则、特征与性质，学生可以动手设计并完成自己的幻方。
这个过程需要学生充分发挥他们的创造力和想象力，并运用所学知识进行幻方的构建。
学生可以在小组内展示和分享自己的幻方作品，这将增强他们的自信心和表达能力。
六、巩固与拓展幻方的应用在课程的最后阶段，可以进行对幻方知识的巩固与拓展。
北师大版初中数学七年级上册综合与实践-探索神奇的幻方(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《探索神奇的幻方》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否玩过数独或类似的数字游戏？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索幻方的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
2.教学难点
-逻辑推理能力：对于如何从具体的数字排列中推导出幻方的性质，部分学生可能存在困难，需要通过具体实例引导学生进行逻辑推理。
-抽象思维的培养：从具体的幻方实例中提炼出数学规律，形成数学模型，这对学生的抽象思维有一定要求，是教学难点。
-运算能力的提升：解决幻方相关问题，如构造幻方、验证性质等，需要较强的运算能力。如何提高学生的运算速度和准确性是教学难点。
-构造3×3幻方的方法：介绍构造3×3幻方的步骤，如基础填充法、对称填充法等，并让学生熟练掌握。
-探索幻方的性质：通过实际操作，引导学生发现幻方的对称性、平衡性等性质，并理解这些性质在数学中的应用。
-实际问题解决：将幻方应用于解决实际问题，如数独、拉丁方等，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
举例：以3×3幻方为例，讲解基础填充法的步骤，强调每一步操作的数学原理，确保学生能熟练运用此方法构造幻方。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了幻方的基本概念、构造方法以及在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对幻方的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《探索神奇的幻方》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否玩过数独或类似的数字游戏？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索幻方的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
2.教学难点
-逻辑推理能力：对于如何从具体的数字排列中推导出幻方的性质，部分学生可能存在困难，需要通过具体实例引导学生进行逻辑推理。
-抽象思维的培养：从具体的幻方实例中提炼出数学规律，形成数学模型，这对学生的抽象思维有一定要求，是教学难点。
-运算能力的提升：解决幻方相关问题，如构造幻方、验证性质等，需要较强的运算能力。如何提高学生的运算速度和准确性是教学难点。
-构造3×3幻方的方法：介绍构造3×3幻方的步骤，如基础填充法、对称填充法等，并让学生熟练掌握。
-探索幻方的性质：通过实际操作，引导学生发现幻方的对称性、平衡性等性质，并理解这些性质在数学中的应用。
-实际问题解决：将幻方应用于解决实际问题，如数独、拉丁方等，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
举例：以3×3幻方为例，讲解基础填充法的步骤，强调每一步操作的数学原理，确保学生能熟练运用此方法构造幻方。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了幻方的基本概念、构造方法以及在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对幻方的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版七年级上册数学综合与实践探寻神奇的幻方课件
幻方网站与博客 1.中国幻方 （幻方学会主席的博客） 2.幻立方博客 3.幻环研究博客 4.广州市幻方数棋科技网站---玩数棋 5.陈钦梧幻方世界
变化的是形式 不变的是规律 以不变应万变 就是数学奥秘
洛书故事
公元前三千多年，有条洛河经常发大水，皇帝夏
禹带领百姓去治理洛河，这时，从水中浮起一只大乌 如果你已经被“幻方知识”吸引，你可以
468 927
492 357
816
幻方中每一个数字都加同一个数，所得方格仍是幻方.
挑战自我 270
中级
第 2关
135 6 -1 4
492 357
816
幻方中每一个数字都减同一个数，所得方格仍是幻方.
挑战自我
中级
8 18 4
第 3关
6 10 14 16 2 12
492 357
816
幻方中每一个数字都乘同一个不为零的数，
挑战自我
高级
请你设计一个幻和为60的三阶幻方。
第 2关
挑战自我
高级
请你设计一个幻和为60的三阶幻方。
4+15 9+15 2+15
3+15 20 7+15
8+15 1+15 6+15
4×4 3×4
9×4
20
2×4 7×4
第 2关
8×4 1×4 6×4
总结收获：
一、幻方的智力开发功能。
围棋盘是一个19阶方阵，象棋盘是一个八 阶方阵(其将帅宫是一个三阶方阵)， 它们的 走法原理均同幻方的布局原理相关。
a+e+i+b+e+h+c+e+g=3m 幻方已应用于“建路”，“爵当曲线”，“七座桥”等的位置解析学及组合解析学中。
变化的是形式 不变的是规律 以不变应万变 就是数学奥秘
洛书故事
公元前三千多年，有条洛河经常发大水，皇帝夏
禹带领百姓去治理洛河，这时，从水中浮起一只大乌 如果你已经被“幻方知识”吸引，你可以
468 927
492 357
816
幻方中每一个数字都加同一个数，所得方格仍是幻方.
挑战自我 270
中级
第 2关
135 6 -1 4
492 357
816
幻方中每一个数字都减同一个数，所得方格仍是幻方.
挑战自我
中级
8 18 4
第 3关
6 10 14 16 2 12
492 357
816
幻方中每一个数字都乘同一个不为零的数，
挑战自我
高级
请你设计一个幻和为60的三阶幻方。
第 2关
挑战自我
高级
请你设计一个幻和为60的三阶幻方。
4+15 9+15 2+15
3+15 20 7+15
8+15 1+15 6+15
4×4 3×4
9×4
20
2×4 7×4
第 2关
8×4 1×4 6×4
总结收获：
一、幻方的智力开发功能。
围棋盘是一个19阶方阵，象棋盘是一个八 阶方阵(其将帅宫是一个三阶方阵)， 它们的 走法原理均同幻方的布局原理相关。
a+e+i+b+e+h+c+e+g=3m 幻方已应用于“建路”，“爵当曲线”，“七座桥”等的位置解析学及组合解析学中。
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不仅具有一般幻方的 性质，而且它们的连乘 积也等于另一个定值。
北 师 大 版 初 中数学 七年级 上册 综 合 与实 践 - 探 索 神 奇的幻 方 课 件
双重幻方
北 师 大 版 初 中数学 七年级 上册 综 合 与实 践 - 探 索 神 奇的幻 方 课 件
六角幻方
任一条直线上的数字之和都等于同一个数。
当德时国的画占家星阿家尔认布为莱四希阶特魔.杜方勒阵可的以著驱作除《忧梅郁伦， 可利所亚以》他(就Me将le这nc个ol魔ia方)（阵意放为入“作忧品郁之”中）。，
北 师 大 版 初 中数学 七年级 上册 综 合 与实 践 - 探 索 神 奇的幻 方 课 件
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①以1-16依次作四行排列; ②打两条对角线，被对角线穿过的数字不动; ③其他数字，按对角线的交点为对称中心， 对称对调.
北 师 大 版 初 中数学 七年级 上册 综 合 与实 践 - 探 索 神 奇的幻 方 课 件
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古往今来， 很多人在研究幻方，
北 师 大 版 初 中数学 七年级 上册综 合与实 践探索 神奇的 幻方PP T优秀课 件
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南宋数学家杨辉，在他著的《续古摘 奇算法》里介绍了这种方法：
① ④② ⑦⑤ ③ ⑧⑥
⑨
①将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排; ②把上、下两数对调，左、右两数也对调; ③把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了。
神奇的幻方
3.将-2，-1，0，1，2，3，4，5，6填入到3×3 的方格中，使得每行、每列、对角线的三个数之和 相等.
四、感悟幻方
对照学习目标，谈谈你有哪些收获，与大家分享
探 寻 神 奇 的 幻 方
一、幻方基本知识
1、从河洛文化说起
相传，在上古伏羲时代，洛 阳东北孟津县境内的黄河里跃出 一匹龙马，背上驮了一幅图，上 面有黑白点55个，用直线连成10 数献给伏羲。后人称之为河图， 伏羲依此而演绎成八卦，后为 《周易》来源。
又传，大禹治水时，有灵龟自洛水出，背上排列成 “带九履一，左三右七，四二为肩，八六为足，五居中央” 的图形，献给大禹，后人称之为洛书。大禹依此治水成功， 遂划天下为九州。又依此定“九章大法”治理社会，流传 下来收入《尚书》中，名为《洪范》。在中国历史中，
大禹的功劳极其巨大，因为他治 水以后，中国九州才开始以农业 立国。而他成功治水的智慧就来 自“洛书”的启示。
（1）两图的结构对称。
（2）数的概念直接而又形象地包含在图书之中， 其中由黑点构成的数为偶数，白点构成的数为奇数。
2、幻方
在一个方阵中，如果每行、每列以及对角线上自 然数之和分别都等于某一个定值，则称此方阵为幻方。 这个特定值称为幻和，每格内的自然数称为元素。幻 方每边格数n称为幻方的阶。
二、探究幻方
1.你能否改变如图所示三阶幻方中数字的位置，使 它仍满足每行、每列、每条对角线的三数之和相等？
4
9பைடு நூலகம்
2
3
5
7
8
1
6
三、制作幻方
1.下面是两个三阶幻方，分别已填好三个 数，请根据幻方的特点补充完整.
6 8 11
-2 5 0
2.请将2,3,4,5,6,7,8,9,10填入到3×3的方格 中,使得每行、每列、对角线的三个数之和相等.
四、感悟幻方
对照学习目标，谈谈你有哪些收获，与大家分享
探 寻 神 奇 的 幻 方
一、幻方基本知识
1、从河洛文化说起
相传，在上古伏羲时代，洛 阳东北孟津县境内的黄河里跃出 一匹龙马，背上驮了一幅图，上 面有黑白点55个，用直线连成10 数献给伏羲。后人称之为河图， 伏羲依此而演绎成八卦，后为 《周易》来源。
又传，大禹治水时，有灵龟自洛水出，背上排列成 “带九履一，左三右七，四二为肩，八六为足，五居中央” 的图形，献给大禹，后人称之为洛书。大禹依此治水成功， 遂划天下为九州。又依此定“九章大法”治理社会，流传 下来收入《尚书》中，名为《洪范》。在中国历史中，
大禹的功劳极其巨大，因为他治 水以后，中国九州才开始以农业 立国。而他成功治水的智慧就来 自“洛书”的启示。
（1）两图的结构对称。
（2）数的概念直接而又形象地包含在图书之中， 其中由黑点构成的数为偶数，白点构成的数为奇数。
2、幻方
在一个方阵中，如果每行、每列以及对角线上自 然数之和分别都等于某一个定值，则称此方阵为幻方。 这个特定值称为幻和，每格内的自然数称为元素。幻 方每边格数n称为幻方的阶。
二、探究幻方
1.你能否改变如图所示三阶幻方中数字的位置，使 它仍满足每行、每列、每条对角线的三数之和相等？
4
9பைடு நூலகம்
2
3
5
7
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1
6
三、制作幻方
1.下面是两个三阶幻方，分别已填好三个 数，请根据幻方的特点补充完整.
6 8 11
-2 5 0
2.请将2,3,4,5,6,7,8,9,10填入到3×3的方格 中,使得每行、每列、对角线的三个数之和相等.
神奇的幻方ppt
• 议一议：
• • • • • (-3) ×4=-12 (-3) ×3=___ (-3) ×2=___ (-3) ×1=___ (-3) ×0=___ (-3) ×(-1)=___ (-3) ×(-2)=___ (-3) ×(-3)=___ (-3) ×(-4)=___
• 思考一下：当一个因数减小1时，积是怎
• 学习目标： • 理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘 法法则，并能准确地进行有理数的乘法运 算;会求一个有理数的倒数;能够确定多个有 理数相乘积的符号。
学习目标：
1、综合运用有理数的混合运算、字母 表示、一元一方程的解法，探索三阶幻 方的经验。 2、经历观察、思考、猜想、尝试、归纳、 类比等活动初步总结出广义的三阶幻方 的经验三阶幻方的概念 3、按要求会完成三阶幻方 4、对比三阶幻方，展望四阶、五阶幻方Leabharlann 1 =+(3× ) 3
=1
1 3
(2).(-5) ×(-7) =+(5 ×7) =35 （同号得正，绝对值相乘） 8 3 (3).（- 3）×（- ） 8
8 =+( × 3
=1
3 ) 8
• 注：乘积为1的两个数互为到数，例如： 3 8 1 -3与- ，- 与 8
3
3
例2.计算： （1）（-4）×5 ×（-0.25）； 解：（-4）×5 ×（-0.25） =[-（4 ×5）]×(0.25) =(-20) ×(0.25) =+(20 ×0.25) =5;
• 温故知新 :1.小学学过的乘法是怎样定义的？ 洛书 • 答：乘法是求几个相同加数的和的运算。 • 例如：5+5+5+5=5×4=20 四海三山八仙洞 • 2.如果向东走5m用+5m来表示，那么向西 九龙王子一枝莲 走3m该如何表示？＿＿＿。 二七六郎赏月半 • 3.写出下列各数的绝对值: -3, -(-3), 5,1.5。
探寻神奇的幻方ppt
展望
01
幻方在数学领域的应用
幻方作为一种具有特殊性质的矩阵，在数学领域有着广泛的应用。例
如，幻方可以用于解决一些线性代数、组合数学和图论等问题。
02 03
幻方在其他领域的应用
除了在数学领域的应用外，幻方还被广泛应用于其他领域，如计算机 科学、信息科学、物理学等。这些领域的研究者可以利用幻方的性质 来解决一些与实际生活相关的问题。
负数阶幻方的构造方法
负数阶幻方是一种由(-n)×(-n)个元素组成的正方 形矩阵，其中n为正整数。
中心法：将幻方划分为四个相等的子区域，每个 子区域包含(-n-1)/2×(-n-1)/2个元素。将每个子 区域的中心元素放置在幻方对应位置上，然后按 照规律填充其他元素。
奇数阶幻方构造方法可以扩展到负数阶幻方，只 需将阶数取相反数即可。
幻方可以用于解决组合问题，例如通过构造幻方，可以找到某 些组合问题的最优解。
幻方可以用于研究组合性质，例如通过观察幻方中的数字规律 ，可以揭示出一些组合性质和组合恒等式。
在几何学中的应用
01
几何学是研究形状、大小、位置和变化的数学分支。幻方作为一种几何结构， 在几何学中有着广泛的应用。
02
幻方可以用于研究几何形状的对称性和周期性，例如通过构造具有特定对称性 的幻方，可以找到某些几何形状的最优填充方式。
幻方可以用于研究代数结构和性质，例如通过 观察幻方中的数字规律，可以揭示出一些代数 结构和性质。
05
幻方在其他领域的应用
在计算机科学中的应用
程序设计和编码
幻方可以被用来检测程序的正确性和效率，因为它们具有完美的数学性质。例如 ，程序员可以使用幻方来检测算法的正确性，或者在编写代码时使用幻方来优化 代码结构。
北师大版数学七年级上册《探寻神奇的幻方》教案2
北师大版数学七年级上册《探寻神奇的幻方》教案2一. 教材分析《探寻神奇的幻方》是人教版初中数学七年级上册的一章，主要介绍了幻方的概念、性质及其构造方法。
本节课的内容是在学生已经掌握了整数、有理数乘法运算的基础上进行的，是进一步培养学生的抽象思维能力和创新能力的重要环节。
通过学习本节课，学生能够了解幻方的基本概念，掌握幻方的构造方法，培养学生的探索精神和合作意识。
二. 学情分析学生在进入七年级之前，已经学习了一定的数学知识，对于数的运算、数的性质等有一定的了解。
但是，对于幻方的概念和性质，学生可能是第一次接触，因此需要教师通过生动有趣的方式，引导学生理解和掌握。
同时，学生可能对于探索和研究新的数学问题的方法还不够熟悉，需要教师的引导和鼓励。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生了解幻方的概念，掌握幻方的构造方法，能够自己构造出一些简单的幻方。
2.过程与方法：通过学生的自主探究、合作交流，培养学生探索问题和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：幻方的概念、性质和构造方法。
2.难点：幻方的性质的证明和构造方法的灵活运用。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，来理解和掌握幻方的概念、性质和构造方法。
同时，结合数形结合的思想，让学生通过直观的图形来更好地理解幻方的性质。
六. 教学准备1.教具准备：幻灯片、黑板、粉笔。
2.学具准备：学生每人准备一张白纸，用于构造幻方。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过向学生展示一个有趣的幻方图形，引发学生的兴趣，进而引导学生思考幻方的概念和性质。
2.呈现（10分钟）教师通过幻灯片，向学生介绍幻方的概念、性质和构造方法。
同时，结合具体的例子，让学生更好地理解和掌握。
3.操练（10分钟）学生根据教师提供的幻方构造方法，自己动手构造一些简单的幻方。
教师在这个过程中，给予学生必要的指导和支持。
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四阶幻方构成方法
一字排开 对角不动 上下交换 左右更替
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3 2
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六阶幻方构成
把1－36中，中间的16个数 (11-26)填到四阶幻方中
26 12 13 23 15 21 20 18 19 17 16 22 14 24 25 11
奇数
偶数
奇数
奇数 偶数 偶数
奇数 5 奇数
偶数 偶数 奇数
偶数 奇数 偶数
奇数 5 奇数
偶数 奇数 偶数
偶数 奇数
5 偶数
偶数 奇数
①鸟语花香 四季九花二重开，三杨五柳七处栽。 八哥一唱六鸟应，九宫奇境仙人来。 ②英雄奇才 八方三才游四海，一将五战胜九怪。 六女七拜杨二郎，九宫奇才谁不爱。 ③哥妹团圆 二探七哥六妹愁，九望五峰一路陡。 四河三桥八停留，半月十五才到头。
分类 构成 神奇
分 类
按照纵横各有数字的个数，可以分为： 三阶幻方、 四阶幻方、 五阶幻方、 六阶幻方… … 按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为： 奇阶幻方 偶阶幻方
三阶幻方
幻和是：3×（32＋1）÷2＝15
洛
书
四阶幻方
幻和是：4×（42＋1）÷2＝34
五阶幻方
幻和是：5×（52＋1）÷2＝65
后人称这幅图被称为“洛书”， 实际上是现在的一个三阶幻方
洛书 三阶幻方
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关于幻方
幻方，又称纵横图、奇方或方阵、魔阵等。
是把1至n2的自然数排列成正方形，使它的
纵横均有n个数，而把每行、每列、有时 还包括两条对角线的数加起来，它们的和 都是相等的，这个和叫做幻和。 幻方的幻和等于 n (n2 +1) ÷2 。 这种排列方式的纵横图称为n 阶纵横图， 或n阶幻方。
其余的数写成对 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 36、35、34、33、32、31、30、29、28、27
1 9 34 33 32 2 31 6 27 10 30 7 29 8 35 28 3 4 5 36
六阶幻方
1 9 34 33 32 2 6 26 12 13 23 31 10 15 21 20 18 27 30 19 17 16 22 7 29 14 24 25 11 8 35 28 3 4 5 36
偶阶幻方 都可以照这样的方法去填
如；八阶幻方
十阶幻方 十二阶幻方
Strachey法（单偶）：
将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。将其等分为四分， 成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。
AC DB
A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方； B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方； C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方； D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；
语文课上我 们学过很多 古诗， 大家能不能 背一首？
请欣赏：
四海三山八仙洞， 九龙王子一枝莲。 二七六郎赏月半， 周围十五月团圆。
要想解释这首诗的 意思，先让我们先 看看这首诗的来历 吧。
请阅读：传奇故事
相传三千多年前大禹治水的时候， 在黄河支流洛水中有一只神龟。 龟背上刻有神奇的图案。（出示 投影片：龟背图）这个龟背图很 特别，用黑白圈来表示数，并用 直线连接这9个数。古人认为是 一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹 王彻底制服.你能说出它们分别代 表哪些数吗？
距 离 幻 方 中 心 41 的 任 何 中 心 对 称 位 置 上 两 数 和 都 为 82
九阶幻方Βιβλιοθήκη 将 幻 方 按 图 中 粗 线 分 成 九 块 ， 即 为 九 个 三 阶 幻 方
若把上述九个三阶幻方的每个幻方的“幻和”值写在九宫格中，又构成一个新的三阶幻方
谢谢观看
三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质
洛书
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7
6
：在三阶幻方中， （1）你能发现哪些相等的关系？横行、竖行、斜对角 的三个数之和分别是多少？ （2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些连线段 会构成一个怎样的图形？描述你得到的图形有什么特 点？ （3）你能否改变上述幻方中数字的位置，使它们仍然 满足你发现的那些相等关系吗? （4）在你构造的幻方中，最核心位置是什么？有没有 “成对”的数？这是一般规律吗？你能证明它吗？ （5）你还有什么新的发现和疑问？
四阶幻方
幻和
是34
16+13+1+4
5+2+12+15 3+8+9+14
16+2+11+5 9+7+4+14 3+13+8+10 6+12+1+15
左右对开并交换， 也是一个四阶幻方
上下对开并交换 仍是一个四阶幻方
纵向切开，交换后再接起来
横切一刀，交换后再接起来
六阶幻方
幻和是：6×（62＋1）÷2＝111
构 成
三阶幻方构成方法之一
九子斜排 上下对易 左右更替 四维挺出
三阶幻方构成方法之二
画格辅助 九子斜排 送子回家 清除辅助
1
4 7
8 9
2
5
6
3
9
3
1
7
这种方法适用于所有的 奇阶幻方
1
6
11 24 7
2 20 3 4 5 10
16 4
21 22
在A中间一行取m个小格，其他行左侧边缘取 m-1列，将其与D相应方格内交换；B与C接 近右侧m-1列相互交换。
8 1 6 3 5 7 4 9 2 35 28 33 30 32 34 31 36 29
26 19 24 35 1 6 26 19 24 21 23 25 3 32 7 21 23 25 22 27 20 31 9 2 22 27 20 17 10 15 8 28 33 17 10 15 12 14 16 30 5 34 12 14 16 13 18 11 4 36 29 13 18 11