初中数学探寻神奇的幻方优秀课件
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《综合与实践：探寻神奇的幻方》课件
成对出现的数为：4与6，9与1，2与8，3与7。
为什么5必须放在中间? 为什么会有“成对”出现的数呢? 先独立思考，再组内交流，说说你的理由。
如图，将九个数字分别用 a,b,c,d,e,f,g,h,i来表示， ∵1-9这九个数的和为45 ∴每行、每列、每条对角线上的三个 数之和都是15，
即：a+e+i=15, c+e+g=15, b+e+h=15,
日一二三四 五 六 12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
第2题
五、课后作业，拓展延伸 3.（选做题）自行选取一组数构造一个三阶幻方，
使得每行、每列和每条对角线上的三个数之和都 等于60.
每行、每列、每条对角线上的三个数之和都 是中心数的3倍。
（6）你还有什么新的发现？
二、合作探索，研究幻方 想一想，学以致用
在图中所示的两个广义的三阶幻方中分别给出了 3个数，你能将其余六个数填上吗？
3 4 -1 3个数的和=6
-6 -5 -10
-2 2 6 501
中心数=6÷3 3个数的和=6
492 357 816
abc de f gh i
三式相加得(a+b+c+i+g+h)+3e=45, 又∵ a+b+c=15, i+g+h=15,
∴ e=5
492
二、合作探索，研究幻方
357
816 （5）在如图所示的三阶幻方中，中心方格中的数5
与每行、每列和每条对角线上的三个数之和之间分
北师大版七年级上册数学 综合与实践 探寻神奇的幻方 课件(共15张PPT)
现的那些相等关系？
492 357 816
三阶幻方
探究二
自主学习、合作探究
4.在你构造的幻方中，最核心 位置是什么？在这个位置上出现的 数是几？它与相邻的其它两数的和 有什么关系？有没有“成对”的数？
5.你还有什么新的发现？
492 357 816
三阶幻方
探究三
七年级数学
幻和为15时为什么中间 的数一定是 5 呢?
19 11 15 8
15
8 1 6 15 3 5 7 15 4 9 2 15
15 15 15 15
探究二
自主学习、合作探究
在图中的三阶幻方中,
1.每行、每列、每条对角线
上的三个数之和分别是多少？
2.如果把和相等的每一组数
分别连线，这些线段会构成一个
怎样的图形？
3.你能否改变上述幻方中数
字的位置，使它们仍然满足你发
“洛书”传说
传说夏禹治水时，在黄河支流的洛水中浮出一 只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，古人认 为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制伏。 他们发现，这个图案每一列、每一行及对角线加 起来的数字和都是一样的。后人称这个图案为 “洛书”。即现在的三阶幻方。
我国的幻方后来传到了国外，幻方多彩的变 幻特征吸引了许多国外的数学家们。从16、17世 纪到现在，全世界尤其是西方构造幻方非常盛行。
672 618 1 5 9③7 5 3④ 834 294
816 834 3 5 7⑤ 1 5 9⑥ 492 672
438 492 9 5 1⑦ 3 5 7⑧ 276 816
活动三
用三阶幻方游戏实验幻和为偶数的构 造方法是否和幻和为奇数的方法一样？
如：用2、3、4、5、6、7、8、9、10 构造幻方。
北师大版七年级上册数学综合与实践探寻神奇的幻方课件
幻方网站与博客 1.中国幻方 （幻方学会主席的博客） 2.幻立方博客 3.幻环研究博客 4.广州市幻方数棋科技网站---玩数棋 5.陈钦梧幻方世界
变化的是形式 不变的是规律 以不变应万变 就是数学奥秘
洛书故事
公元前三千多年，有条洛河经常发大水，皇帝夏
禹带领百姓去治理洛河，这时，从水中浮起一只大乌 如果你已经被“幻方知识”吸引，你可以
468 927
492 357
816
幻方中每一个数字都加同一个数，所得方格仍是幻方.
挑战自我 270
中级
第 2关
135 6 -1 4
492 357
816
幻方中每一个数字都减同一个数，所得方格仍是幻方.
挑战自我
中级
8 18 4
第 3关
6 10 14 16 2 12
492 357
816
幻方中每一个数字都乘同一个不为零的数，
挑战自我
高级
请你设计一个幻和为60的三阶幻方。
第 2关
挑战自我
高级
请你设计一个幻和为60的三阶幻方。
4+15 9+15 2+15
3+15 20 7+15
8+15 1+15 6+15
4×4 3×4
9×4
20
2×4 7×4
第 2关
8×4 1×4 6×4
总结收获：
一、幻方的智力开发功能。
围棋盘是一个19阶方阵，象棋盘是一个八 阶方阵(其将帅宫是一个三阶方阵)， 它们的 走法原理均同幻方的布局原理相关。
a+e+i+b+e+h+c+e+g=3m 幻方已应用于“建路”，“爵当曲线”，“七座桥”等的位置解析学及组合解析学中。
变化的是形式 不变的是规律 以不变应万变 就是数学奥秘
洛书故事
公元前三千多年，有条洛河经常发大水，皇帝夏
禹带领百姓去治理洛河，这时，从水中浮起一只大乌 如果你已经被“幻方知识”吸引，你可以
468 927
492 357
816
幻方中每一个数字都加同一个数，所得方格仍是幻方.
挑战自我 270
中级
第 2关
135 6 -1 4
492 357
816
幻方中每一个数字都减同一个数，所得方格仍是幻方.
挑战自我
中级
8 18 4
第 3关
6 10 14 16 2 12
492 357
816
幻方中每一个数字都乘同一个不为零的数，
挑战自我
高级
请你设计一个幻和为60的三阶幻方。
第 2关
挑战自我
高级
请你设计一个幻和为60的三阶幻方。
4+15 9+15 2+15
3+15 20 7+15
8+15 1+15 6+15
4×4 3×4
9×4
20
2×4 7×4
第 2关
8×4 1×4 6×4
总结收获：
一、幻方的智力开发功能。
围棋盘是一个19阶方阵，象棋盘是一个八 阶方阵(其将帅宫是一个三阶方阵)， 它们的 走法原理均同幻方的布局原理相关。
a+e+i+b+e+h+c+e+g=3m 幻方已应用于“建路”，“爵当曲线”，“七座桥”等的位置解析学及组合解析学中。
北师大版初中数学七年级上册综合与实践探索神奇的幻方PPT优秀课件
不仅具有一般幻方的 性质，而且它们的连乘 积也等于另一个定值。
北 师 大 版 初 中数学 七年级 上册 综 合 与实 践 - 探 索 神 奇的幻 方 课 件
双重幻方
北 师 大 版 初 中数学 七年级 上册 综 合 与实 践 - 探 索 神 奇的幻 方 课 件
六角幻方
任一条直线上的数字之和都等于同一个数。
当德时国的画占家星阿家尔认布为莱四希阶特魔.杜方勒阵可的以著驱作除《忧梅郁伦， 可利所亚以》他(就Me将le这nc个ol魔ia方)（阵意放为入“作忧品郁之”中）。，
北 师 大 版 初 中数学 七年级 上册 综 合 与实 践 - 探 索 神 奇的幻 方 课 件
北 师 大 版 初 中数学 七年级 上册 综 合 与实 践 - 探 索 神 奇的幻 方 课 件
①以1-16依次作四行排列; ②打两条对角线，被对角线穿过的数字不动; ③其他数字，按对角线的交点为对称中心， 对称对调.
北 师 大 版 初 中数学 七年级 上册 综 合 与实 践 - 探 索 神 奇的幻 方 课 件
北 师 大 版 初 中数学 七年级 上册 综 合 与实 践 - 探 索 神 奇的幻 方 课 件
北 师 大 版 初 中数学 七年级 上册 综 合 与实 践 - 探 索 神 奇的幻 方 课 件
古往今来， 很多人在研究幻方，
北 师 大 版 初 中数学 七年级 上册综 合与实 践探索 神奇的 幻方PP T优秀课 件
北 师 大 版 初 中数学 七年级 上册综 合与实 践探索 神奇的 幻方PP T优秀课 件
南宋数学家杨辉，在他著的《续古摘 奇算法》里介绍了这种方法：
① ④② ⑦⑤ ③ ⑧⑥
⑨
①将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排; ②把上、下两数对调，左、右两数也对调; ③把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了。
探寻神奇的幻方ppt
展望
01
幻方在数学领域的应用
幻方作为一种具有特殊性质的矩阵，在数学领域有着广泛的应用。例
如，幻方可以用于解决一些线性代数、组合数学和图论等问题。
02 03
幻方在其他领域的应用
除了在数学领域的应用外，幻方还被广泛应用于其他领域，如计算机 科学、信息科学、物理学等。这些领域的研究者可以利用幻方的性质 来解决一些与实际生活相关的问题。
负数阶幻方的构造方法
负数阶幻方是一种由(-n)×(-n)个元素组成的正方 形矩阵，其中n为正整数。
中心法：将幻方划分为四个相等的子区域，每个 子区域包含(-n-1)/2×(-n-1)/2个元素。将每个子 区域的中心元素放置在幻方对应位置上，然后按 照规律填充其他元素。
奇数阶幻方构造方法可以扩展到负数阶幻方，只 需将阶数取相反数即可。
幻方可以用于解决组合问题，例如通过构造幻方，可以找到某 些组合问题的最优解。
幻方可以用于研究组合性质，例如通过观察幻方中的数字规律 ，可以揭示出一些组合性质和组合恒等式。
在几何学中的应用
01
几何学是研究形状、大小、位置和变化的数学分支。幻方作为一种几何结构， 在几何学中有着广泛的应用。
02
幻方可以用于研究几何形状的对称性和周期性，例如通过构造具有特定对称性 的幻方，可以找到某些几何形状的最优填充方式。
幻方可以用于研究代数结构和性质，例如通过 观察幻方中的数字规律，可以揭示出一些代数 结构和性质。
05
幻方在其他领域的应用
在计算机科学中的应用
程序设计和编码
幻方可以被用来检测程序的正确性和效率，因为它们具有完美的数学性质。例如 ，程序员可以使用幻方来检测算法的正确性，或者在编写代码时使用幻方来优化 代码结构。
(完整版)《探寻神奇的幻方》优质课件
28 4 3 31 35 10 36 18 21 24 11 1 7 23 12 17 22 30 8 13 26 19 16 29 5 20 15 14 25 32 27 33 34 6 2 9
• 百子回归碑是一幅十阶幻方，中央四数连读即 “ 1999 · 12 · 20 ”，标示澳门回归日。百子回 归碑是一部百年澳门简史，可查阅四百年来澳门 沧桑巨变的重大历史事件以及有关史地、人文资 料等。
-1 4 -3
8 18 4
10 25 4
-2 0 2
6 10 14
7 13 19
3 -4 1
16 2 12
22 1 16
想一想：各组的9个数与原来9个数有什么关系？ 这9个数可以由原来9个数怎么变过来？
活动三：开动脑筋
（1）请各组再列举出九个数，将它们填到3×3 的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的 三个数之和相等.
• 如中间两列上部（系十九世纪）：“ 1887 ”年 《中葡条约》正式签署，从此成为葡人上百年 （距今 100 余 13 年）“永久管理澳门”的法律 依据。又如中间两列下部（系二十世纪）： “ 49 ”年中华人民公和国成立，从此中国人民 站起来了；“ 97 ”年香港回归祖国。
• 第一列和第六列中六个数的平方和也相等： 282+362+72+82+52+272=2947 102+12+302+292+322+92=2947
而一般的幻方根本不具有这个特性.
• 第二，这个幻方去掉最 外面一层，中间剩下的 部分仍然是一个四阶幻 方。这个四阶幻方由 11 到 26 这 16 个数组成， 其每行，每列及两条对 角线上的 4 个数之和都 是 74 。更为奇特的是， 这个4阶幻方还是一个完 美幻方。即各条泛对角 线上的4个数之和也都是 74 。
课件北师大版七上 综合与实践 -探索神奇的幻方课件
按照国际象棋中马步走法，可以一直走到64。
别离情
四哥探望十四姐，七转石岭九道砭。
十五月亮一一夜首圆，诗十，二月一逢六个天幻面。方
十诉别情八回怨， 十三云月三重天。
五作别诗十一首，两地相望十六年。
这就是完美幻方。
幻方的奥秘博大精深 那么，
研究幻方能带给人类什么价值呢？
当德时国的画占家星阿家尔认布为莱四希阶特魔.杜方勒阵可的以著驱作除《忧梅郁伦， 可利所亚以》他(就Me将le这nc个ol魔ia方)（阵意放为入“作忧品郁之”中）。，
岫玉雕刻 “奥运幻方”
在北京奥运会开
幕的日子，一件精美
图格的方岩中共玉问图同中刻1雕世”时间6有个在“。，的一方中2这四0个格国01阶86，3玉奥个幻位每都运方方数个岫幻 格字又，可横组行成、1竖6个行矩、形斜、 8行个的梯数形字、之8个和平均行为四 边20形08，。每个几何图形
四个角的数字之和也
一居上行正中央， 依次斜填切莫忘， 上出格时往下填， 右出格时左边放， 排重便在下格填， 角上出格一个样。
七那阶，、如九果这阶给种、你方你十数法做一字叫阶出1…做来—…对了1已称吗6经，交？难你换不能法到写。了出你一了 个四阶幻方？
东阳农民三年倒腾出“完美幻方”
1
2
3
4
将刚刚的三阶幻方绕中心旋转一定角度，
它适合编制所有的奇数阶幻方。
5 6 7 8 1、“露台方法”构造奇数阶幻方。
中间的四阶幻方图共16个方格，每个格中刻有一个3位数字，横行、竖行、斜行的数字之和均为2008。 当时的占星家认为四阶魔方阵可以驱除忧郁，所以他就将这个魔方阵放入作品之中。
中国幻方 （幻方学会主席的博客）
9 又洛水河中浮出一只神龟,
这些图案每一列,每一行及对角线, 电脑上的“挖地雷”游戏，同九宫图密切相关。 又洛水河中浮出一只神龟,
别离情
四哥探望十四姐，七转石岭九道砭。
十五月亮一一夜首圆，诗十，二月一逢六个天幻面。方
十诉别情八回怨， 十三云月三重天。
五作别诗十一首，两地相望十六年。
这就是完美幻方。
幻方的奥秘博大精深 那么，
研究幻方能带给人类什么价值呢？
当德时国的画占家星阿家尔认布为莱四希阶特魔.杜方勒阵可的以著驱作除《忧梅郁伦， 可利所亚以》他(就Me将le这nc个ol魔ia方)（阵意放为入“作忧品郁之”中）。，
岫玉雕刻 “奥运幻方”
在北京奥运会开
幕的日子，一件精美
图格的方岩中共玉问图同中刻1雕世”时间6有个在“。，的一方中2这四0个格国01阶86，3玉奥个幻位每都运方方数个岫幻 格字又，可横组行成、1竖6个行矩、形斜、 8行个的梯数形字、之8个和平均行为四 边20形08，。每个几何图形
四个角的数字之和也
一居上行正中央， 依次斜填切莫忘， 上出格时往下填， 右出格时左边放， 排重便在下格填， 角上出格一个样。
七那阶，、如九果这阶给种、你方你十数法做一字叫阶出1…做来—…对了1已称吗6经，交？难你换不能法到写。了出你一了 个四阶幻方？
东阳农民三年倒腾出“完美幻方”
1
2
3
4
将刚刚的三阶幻方绕中心旋转一定角度，
它适合编制所有的奇数阶幻方。
5 6 7 8 1、“露台方法”构造奇数阶幻方。
中间的四阶幻方图共16个方格，每个格中刻有一个3位数字，横行、竖行、斜行的数字之和均为2008。 当时的占星家认为四阶魔方阵可以驱除忧郁，所以他就将这个魔方阵放入作品之中。
中国幻方 （幻方学会主席的博客）
9 又洛水河中浮出一只神龟,
这些图案每一列,每一行及对角线, 电脑上的“挖地雷”游戏，同九宫图密切相关。 又洛水河中浮出一只神龟,
探寻神奇的幻方优质课获奖课件
（1）通过实践与探究，同学们认为 三阶幻方有什么奥妙？
（2）对于幻方你还有什么猜想？
正因为幻方中蕴含着奇妙的数学美，因此吸引了很 多人的兴趣。古人对幻方的研究取得了丰硕成果，也 发现了一些巧妙的构造三阶幻方的方法，1977年,纵横 图（4阶幻方）还作为人类的特殊语言被美国旅行者1 号、2号飞船携入太空,向广阔的宇宙中可能存在的外 星人传达人类的文明信息与美好祝愿.
猜数游戏：
387 10 6 2 549
猜数游戏：
？8 3 4
159 672
猜数游戏：
834
？1 5 9
672
北师大版七年级上册综合与实践
探寻神奇的幻方（一）
387 10 6 2 549
834
？1 5 9
672
活动一、 相传大禹治水时发生了一件神奇的 事情……
洛书
问题1：观察表格，你能发现什么？
17 24 1 8 15 =否65也 23 5 7 14 16 =有65这 4 6 13 20 22 =样65的 10 12 19 21 3 =规65律？
4 14 15 1 =34 11 18 25 2 9 =65 …
34 34 34 34 34 34 65 65 65 65 65 65 65
幻方：像这样每行、每列、每条对 角线上的数的和都相等的方格表就 叫做 “幻方”
判断下列方格表是幻方吗？
186 537 942
5 11 2 369 10 1 7
（）
（）
活动二、 在下列由1、2、3、4、5、6、7、8、 9这9个数构造的三阶幻方中你能推算 出表格中老师遮盖住的数是几吗？
492 357 816
在下列由1、2、3、4、5、6、7、8、 9这9个数构造的三阶幻方中你能推算 出表格中老师遮盖住的数是几吗？
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成都市天府新区
二、合作探究
2、规律1： 幻和=中间数×3
三
阶
492
幻
方
35 7
816
二、合作探究
2、规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三
492
阶
幻 方
35 7
816
二、合作探究
2、规律3：角上的数字=对角相邻的
两数字和的一半
三
阶
幻
492
方
3 57
8 16
练习1：
探寻神奇的幻方
一、目标导学
成都市天府新区
二、合作探究 15 4 9 2 15 3 5 7 15 8 1 6 15 15 15 15 15 上图三阶幻方中每行、每列、对角线的和叫幻和。例如，上图幻
方的幻和为15.
由于构造方法的不同，幻方还可分为：奇数（2K+1）阶幻方、4K 阶幻方、（4K+2）阶幻方。三阶幻方就属于奇数阶幻方。
（3）用25个数构造一个五阶幻方.
成都市天府新区
戴九履一 左七右三 二四为肩 六八为足 五放中间
三、导学释疑
1、对于1、2、3、4、5、6、 7、8、9这九个数如何填在下图中
294
75 3
6 18
戴九履一 左七右三 二四为肩 六八为足 五放中间次斜向右上方
上出框时往下写
3
5
7
右出框时左边放
排重返回下格填
4
9
2
右上排重一个样
补 全 这 个 幻 方
12 11 18
练习2：
补 全 这 个 幻 方
3 17 5
练习3：
补 全 这 个 幻 方
3 12 13
三、导学释疑
1、对于1、2、3、4、5、6、 7、8、9这九个数如何填在下图中
练习：用这个方法把-2，-1,0,1,2,3,4,5,6填入图中，使它满足 幻方
294 7 53 61 8
四、拓展提升
用9个连续自然数组成三阶幻方， 使每一行、每一列、每条对角线的和 都是60
23 16 21
18 20 22
19 24 17
五、课后延伸
（1）请各组再列举出九个数，将它们填到3×3的方格中，使得每 行、每列、每条对角线上的三个数之和相等.
（2）自行选取一组数构造一个三阶幻方,使得每一行、每一列和对 角线上的三数之和都等于36.
二、合作探究
2、规律1： 幻和=中间数×3
三
阶
492
幻
方
35 7
816
二、合作探究
2、规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三
492
阶
幻 方
35 7
816
二、合作探究
2、规律3：角上的数字=对角相邻的
两数字和的一半
三
阶
幻
492
方
3 57
8 16
练习1：
探寻神奇的幻方
一、目标导学
成都市天府新区
二、合作探究 15 4 9 2 15 3 5 7 15 8 1 6 15 15 15 15 15 上图三阶幻方中每行、每列、对角线的和叫幻和。例如，上图幻
方的幻和为15.
由于构造方法的不同，幻方还可分为：奇数（2K+1）阶幻方、4K 阶幻方、（4K+2）阶幻方。三阶幻方就属于奇数阶幻方。
（3）用25个数构造一个五阶幻方.
成都市天府新区
戴九履一 左七右三 二四为肩 六八为足 五放中间
三、导学释疑
1、对于1、2、3、4、5、6、 7、8、9这九个数如何填在下图中
294
75 3
6 18
戴九履一 左七右三 二四为肩 六八为足 五放中间次斜向右上方
上出框时往下写
3
5
7
右出框时左边放
排重返回下格填
4
9
2
右上排重一个样
补 全 这 个 幻 方
12 11 18
练习2：
补 全 这 个 幻 方
3 17 5
练习3：
补 全 这 个 幻 方
3 12 13
三、导学释疑
1、对于1、2、3、4、5、6、 7、8、9这九个数如何填在下图中
练习：用这个方法把-2，-1,0,1,2,3,4,5,6填入图中，使它满足 幻方
294 7 53 61 8
四、拓展提升
用9个连续自然数组成三阶幻方， 使每一行、每一列、每条对角线的和 都是60
23 16 21
18 20 22
19 24 17
五、课后延伸
（1）请各组再列举出九个数，将它们填到3×3的方格中，使得每 行、每列、每条对角线上的三个数之和相等.
（2）自行选取一组数构造一个三阶幻方,使得每一行、每一列和对 角线上的三数之和都等于36.