递推最小二乘法
递推最小二乘法原理
递推最小二乘法原理递推最小二乘法（Recursive Least Squares, 简称RLS）是一种经典的参数估计方法，广泛应用于信号处理、通信系统、自适应滤波等领域。
它通过不断迭代更新参数，逐步逼近最优解，具有快速收敛、适应性强的特点。
本文将从最小二乘法出发，介绍递推最小二乘法的原理及其应用。
最小二乘法（Least Squares）是一种常见的参数估计方法，用于寻找一组参数，使得模型预测值与观测值之间的误差平方和最小。
对于线性模型，最小二乘法可以通过求解正规方程或者利用矩阵运算的方式得到最优参数。
然而，在实际应用中，数据通常是逐步到来的，因此需要一种能够动态更新参数的方法，于是递推最小二乘法应运而生。
递推最小二乘法的基本原理是利用递推的方式不断更新参数，以逼近最优解。
在每一时刻，根据当前的观测数据和先前的参数估计，通过递推公式计算出新的参数估计值，从而实现参数的动态更新。
这样的方法不仅能够适应数据的动态变化，还能够实现快速的收敛，适用于实时系统和非平稳环境下的参数估计。
递推最小二乘法的核心思想是利用指数加权的方式对历史数据进行处理，赋予近期数据更大的权重，从而更好地适应数据的变化。
通过引入遗忘因子（Forgetting Factor），可以控制历史数据对参数估计的影响程度，使得算法更具灵活性和适应性。
同时，递推最小二乘法还可以结合正交分解等技术，进一步提高计算效率和数值稳定性。
在实际应用中，递推最小二乘法被广泛应用于自适应滤波、信道均衡、系统辨识等领域。
例如，在自适应滤波中，递推最小二乘法可以根据接收信号的实际情况，动态调整滤波器的参数，实现信号的实时去噪和增强。
在通信系统中，递推最小二乘法可以用于自适应调制解调器的设计，提高系统的抗干扰能力和适应性。
此外，递推最小二乘法还被广泛应用于雷达跟踪、无线定位等领域，发挥着重要作用。
总之，递推最小二乘法作为一种经典的参数估计方法，具有快速收敛、适应性强的特点，在信号处理、通信系统、自适应滤波等领域有着重要的应用。
递推最小二乘法_协方差矩阵_概述说明以及解释
递推最小二乘法协方差矩阵概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在统计学和计量经济学中，递推最小二乘法（Recursive Least Squares，简称RLS）是一种常用的参数估计方法。
它通过不断更新样本数据进行参数的估计，并且可以适用于非静态数据场景。
协方差矩阵是统计分析中重要的概念，它描述了变量之间的线性关系强度和方向，并且在许多领域具有广泛应用。
1.2 文章结构本文首先介绍递推最小二乘法的定义和原理，在此基础上详细解释算法的步骤以及其应用领域。
接着，我们将引入协方差矩阵的概念并介绍其计算方法，同时探讨了它在实际问题中所起到的作用和应用场景。
最后，我们将对递推最小二乘法与协方差矩阵之间的关系进行解释，并通过实例分析来说明它们如何相互影响。
1.3 目的本文旨在全面介绍递推最小二乘法和协方差矩阵，并深入探讨它们之间的联系。
通过对这两个概念及其应用的理解，我们可以更好地理解参数估计方法和变量间关系的描述与分析。
此外，我们还将展望相关领域未来可能的研究方向，以促进学术和实践的进一步发展。
2. 递推最小二乘法2.1 定义和原理:递推最小二乘法是一种用于估计线性模型参数的方法。
它可以通过历史数据的不断更新来逐步拟合模型，以使得估计值与观测值之间的误差达到最小化。
该方法可以被形式化地描述为以下步骤：1. 初始化模型参数的初始值。
2. 从历史数据中选择一个样本，并使用当前参数估计出该样本对应的输出值。
3. 计算该样本的预测误差。
4. 根据预测误差对参数进行调整，使得预测误差尽量减小。
5. 重复步骤2至4，直到所有样本都被处理过一遍，或者满足终止条件。
递推最小二乘法是基于最小二乘原理，即将真实观测值与模型预测值之间的差异平方求和并最小化这个目标函数。
通过迭代地更新参数，递推最小二乘法可以逐渐优化模型，并获得更准确的参数估计。
2.2 算法步骤:具体而言，在每次迭代中，递推最小二乘法按照以下步骤进行操作：1. 根据历史数据选择一个样本，并根据当前的参数估计出预测值。
递推最小二乘法推导
递推最小二乘法推导递推最小二乘法是一种经典的数学方法，用于解决数据拟合问题。
它通过最小化误差平方和的方法，寻找最佳的拟合曲线或平面，从而对数据进行预测和分析。
本文将详细介绍递推最小二乘法的原理和推导过程。
一、引言在现实生活和科学研究中，我们经常需要通过已知的数据来拟合一个函数，以便对未知的数据进行预测或分析。
而最小二乘法就是一种常用的数据拟合方法，它的基本思想是通过最小化误差的平方和，找到最佳的拟合函数。
二、最小二乘法的基本原理最小二乘法的基本原理是通过最小化残差平方和来确定拟合函数的参数。
残差指的是每个数据点的观测值与拟合函数预测值之间的差异。
最小二乘法的目标是找到使得残差平方和最小的参数值，从而得到最佳的拟合曲线或平面。
三、递推最小二乘法的推导过程递推最小二乘法是最小二乘法的一种改进方法，它能够更加高效地进行参数估计。
下面将结合一个简单的一元线性回归问题，来详细介绍递推最小二乘法的推导过程。
假设我们有一组样本数据(x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xₙ, yₙ)，需要找到一条直线y = ax + b 来拟合这些数据。
我们可以定义残差eᵢ= yᵢ- (axᵢ + b)，其中 eᵢ表示第 i 个数据点的残差。
我们的目标是通过最小化残差平方和来确定直线的参数a 和b。
即最小化损失函数 S = Σ(eᵢ²)。
我们需要计算一些中间变量，包括样本数据的均值xₙ和yₙ，以及样本数据的协方差 sₓy 和方差 sₓ²。
其中，xₙ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n，yₙ = (y₁ + y₂ + … + yₙ) / n，sₓy = (Σ(xᵢ - xₙ)(yᵢ - yₙ)) / (n - 1)，sₓ² = (Σ(xᵢ - xₙ)²) / (n - 1)。
接下来，我们可以通过递推公式来更新参数 a 和 b 的估计值。
首先，我们初始化a₀和 b₀的估计值为0。
递推最小二乘估计
当C=I 时， [A+BD]-1 = A-1 -A-1B[I +DA-1B]-1DA-1
理论。 • 高斯仅用1小时就算出了谷神星的
轨道形状，并进行了预测
•1794年，高斯提出了最小二乘的思想。
1：引言
最小二乘法(Least Square)Gauss 1795年提出 在预测卫星和彗星运动的轨道时，需要处理由望远镜获得的观测数 据，以估计天体运动的六个参数。
Gauss在《天体运动理论》一书中写道：“未知量的最大概值是这 样的数值，它使各实测值与计算值之差的平方乘以度量其精度的数 值后，所得的和值达到最小。” ——著名的最小二乘思想 在系统辨识中，LS已成功应用于系统参数估计。 在自校正控制中，LS是应用最广泛的算法之一。
2：原理
2：原理
2：原理
2：原理
2：原理
3：特点
3：特点
（1）：无需存储全部数据，取得一组观测数据便 可估计一次参数，而且都能在一个采样周期中完 成，所需计算量小，占用的存储空间小。
（2）：具有一定的实时处理能力
谢谢
递推最小二乘估计（RLS）
董博南
一：最小二乘法回顾
二：递推最小二乘估计
一：最小二乘法回顾
1：引言 2：原理
3：特点
1：引言
• 1801年初，天文学家皮亚齐发现了谷神星。
•1801年末，天文爱好者奥博斯，在高斯预 言的时间里，再次发现谷神星。 •1802年又成功地预测了智神星的轨道。
递推最小二乘法原理
递推最小二乘法原理递推最小二乘法（Recursive Least Squares, 简称RLS）是一种经典的自适应滤波算法，它在信号处理、通信系统、控制系统等领域得到了广泛的应用。
本文将介绍递推最小二乘法的原理及其在实际应用中的一些特点。
首先，让我们来了解一下最小二乘法。
最小二乘法是一种数学优化方法，用于寻找一组参数，使得给定的模型与观测数据之间的误差平方和最小。
在线性回归问题中，最小二乘法可以用来拟合一个线性模型，以最小化观测数据与模型预测值之间的差异。
最小二乘法的基本思想是通过最小化误差的平方和来寻找最优的参数。
递推最小二乘法是最小二乘法的一种变种，它的特点在于可以实时地更新参数估计，适用于需要动态调整的系统。
在实际应用中，由于系统参数可能随时间变化，传统的最小二乘法在每次参数更新时都需要重新计算整个数据集，计算复杂度较高，不适合实时性要求高的场景。
而递推最小二乘法则可以通过递推的方式，实时地更新参数估计，适用于动态环境下的参数估计问题。
递推最小二乘法的原理可以用数学公式来描述。
假设我们有一个线性模型，\[y_k = \theta^T x_k + e_k\]其中\(y_k\)是观测数据，\(x_k\)是输入向量，\(\theta\)是待估计的参数，\(e_k\)是噪声。
我们的目标是通过观测数据\(y_k\)和输入向量\(x_k\)来估计参数\(\theta\)。
递推最小二乘法的核心思想是通过递推的方式，实时地更新参数\(\theta\)的估计值。
具体来说，我们可以通过以下递推公式来更新参数\(\theta\)的估计值，\[\theta_k =\theta_{k-1} + \frac{P_{k-1}x_k}{1 + x_k^T P_{k-1} x_k}(y_k x_k^T \theta_{k-1})\]其中\(\theta_k\)是第\(k\)次的参数估计值，\(\theta_{k-1}\)是第\(k-1\)次的参数估计值，\(P_{k-1}\)是第\(k-1\)次的参数估计误差的协方差矩阵。
几种最小二乘法递推算法的小结
一、 递推最小二乘法递推最小二乘法的一般步骤：1. 根据输入输出序列列出最小二乘法估计的观测矩阵ϕ：] )(u ... )1( )( ... )1([)(T b q n k k u n k y k y k ------=ϕ没有给出输出序列的还要先算出输出序列。
本例中， 2)]-u(k 1),-u(k 2),-1),-y(k -[-y(k )(T =k ϕ。
2. 给辨识参数θ和协方差阵P 赋初值。
一般取0θ=0或者极小的数，取σσ,20I P =特别大，本例中取σ=100。
3. 按照下式计算增益矩阵G ：)()1()(1)()1()(k k P k k k P k G T ϕϕϕ-+-= 4. 按照下式计算要辨识的参数θ：)]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆ--+-=k k k y k G k k T θϕθθ5. 按照下式计算新的协方差阵P ：)1()()()1()(---=k P k k G k P k P T ϕ6. 计算辨识参数的相对变化量，看是否满足停机准那么。
如满足，那么不再递推；如不满足，那么从第三步开场进展下一次地推，直至满足要求为止。
停机准那么：εϑϑϑ<--)(ˆ)1(ˆ)(ˆmax k k k i i i i 本例中由于递推次数只有三十次，故不需要停机准那么。
7. 别离参数：将a 1….a na b 1….b nb 从辨识参数θ中别离出来。
8. 画出被辨识参数θ的各次递推估计值图形。
为了说明噪声对递推最小二乘法结果的影响，程序5-7-2在计算模拟观测值时不加噪声， 辨识结果为，，，b ，与真实值2，5，，b5相差无几。
程序5-7-2-1在计算模拟观测值时参加了白噪声序列，由于噪声的影响，此时的结果为变值，但变化范围较小，现任取一组结果作为辨识结果。
辨识结果为a1 =， a2 =，756，b378。
程序5-7-2-2在计算模拟观测值时参加了有色噪声，有色噪声为E(k)+1.642E(k-1)+0.715E(k-2)，E(k)是白噪声序列，由于有色噪声的影响，此时的辨识结果变动范围远比白噪声时大，任取一组结果作为辨识结果。
递推最小二乘法
取二 Ｅ （ ） 为 的 合目 函 相 的 的 合目 函 ： ＝， ｊ 作 新 拟 标 数， 应 新 拟 标 数为 Ｄｗ
ｊＯ （ ） Ｊ 艺ｚ艺：（ 】 习回 ） Ｑ 加 司一 一 ｅ ｝ ｊ ＝ 。＋ Ｇ 阶川 ＝ Ｄ叭
权最小二乘拟合。 （３ ） （３ ０ 把式（ ．和（ ．） ３ ９ ３ １ 代入式（３ ３ ． ． （ ．） ３ １ 则有： ．
度函数。 下面仅举出第一种计算相关函数法的计算过程。 用这个方法进行相关分析辨识
系统模型的计算分为三个步骤：
１ 根 输 和 出 随 数 计 相 函 Ｒ ）互 关 数 ＝ ） ） 据 入 输 的 机 据 算自 关 数 ， 和 相 函 Ｒ令； ， 卜 ｒ
２ 求 ，） Ｒ（的 立 变 Ｓｊ 凡行） ） ＊： ｓ）傅 叶 换 ｘ 、 （和 ３ ， ｒ （） 。； ） ０ 和
把 宪Ｇ 做型，把一实值模值差 “ Ｏ 模值并每点测与型之 ｊ 州 （ ）
： Ｅ ． ＝ Ｊ ｊ（） ＝（ ， － ＋ ， ｊ ）Ｐ （ Ｑ． －
（ ．．１ ３３１ ）
称为拟合误 差，再取全部采样频率。上的 拟合误差ｓ 平方和厂作为 ， 的 拟合目 标函数。
，ｒｎ 、。、下不二不｝ ＇－厂 Ｊ ‘ Ｂｏｌ ｝． ｖ＼ 、 Ｇ ， ｌ ． Ｗ厂 ＿ ＿ ： Ｖｗ ｝ ｋ 一ＹＥ ｔ－Ｌ］１ Ｇ ） ＇ 二 ＇ Ｕ ｉ － －， ＇ ｉ
二 （ ＋ （ ｖ ｝ ｊｒ ） ｕ ｍｍ ）
（ ．．０ ３３ １ ）
现要定数， 以ｄ２ 由ｊ（所示频特 在 参ｂｉ， ｉ．， ’ ｊ 表的率性 确 ｐ． 及， 使 （ ． ｂｍ ． 得 劣 ） ． ． ｂ ｄｎ ． ０ ｄ
函 与 验 得 频 特 加 ＋ ） 接 如 把Ｐ 和Ｑ ， 做 测 而 数 实 求 的 率 性ｐ ） ．最 近。 果 阮） （） 实 值， Ｍ ．叫
递推最小二乘法
线性方程组的最优求解方法一．递推最小二乘法设线性方程组b Ax = (1)则有k b k =x :A ),(, (n k Λ,2,1=) (2)其中，[]kn k k a a a k ,,,:),(21Λ=A ，[]Tn x x x ,,,21Λ=x 。
设x :A ),()(k k f = (3)下面采用基于递推最小二乘法(RLS)的神经网络算法来训练权值向量x ，以获得线性方程组（1）的解x 。
由式（3）可知，若以)(k f 为神经网络输出，以k b 为神经网络训练样本，以x 为神经网络权值向量，[]kn k k a a a k ,,,:),(21Λ=A 为神经网络输入向量，则解线性方程组的神经网络模型如同1所示。
图1 神经网络模型采用RLS 算法训练神经网络权值向量x ，其算法如下： （1）神经网络输出：x :A ),()(k k f = (4)（2）误差函数：)()(k f b k e k -= (5)（3）性能指标：∑==n k k e J 12)(21 (6)（4）使min =J 的权值向量x ，即为所求的神经网络权值向量x ，这是一个多变量线性优化问题，为此，由0=∂∂xJ可得最小二乘递推法（RLS ）：]),([1k k k k k k b x :A Q x x -+=+ (7)),(),(1),(:A P :A :A P Q k k k T k T k k+= (8)k k k k P :A Q I P )],([1-=+ (9)()n k ,,2,1Λ=随机产生初始权值向量)1,(0n rand =x ，设nn ⨯∈=R I P α0（α是足够大的正数（一般取10610~10=α），nn ⨯∈R I 是单位矩阵），通过对样本数据训练，即可获得神经网络权值向量x ，此即为线性方程组（1）的解。
二．具有遗忘因子的递推最小二乘估计公式为：]),([1k k k k k k b x :A Q x x -+=+ (10)),(),(),(:A P :A :A P Q k k k Tk T k k+=λ (11) k k k k P :A Q I P )],([11-=+λ(12)式中，1:)],(:),([)(-=k A k A k TW P ，W 为加权对角阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--10021λλλOn n W（nn ⨯∈=R I P α0，10610~10=α）。
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T 2 T 3 N 1 T N 1
4.7最小二乘估计的性质
4.7.1 最小二乘估计的特点 1） 唯一性 2）适用范围广 3）应用简单，鲁棒性好
1
1 1 T T PN 1 PN PN ψ N 1 ψ N 1PN ψ N 1 ψ N 1PN
其中，λ称为“遗忘因子”。选择不同的λ就得到不 同的遗忘效果。 λ越小，遗忘的速度越快。 λ =1：无遗忘； λ =0：全遗忘 一般来说， λ必须选择接近于1的正数，对于线性系 统，应选择0.95≤λ≤1。
2n+1维 参数向量
则可写为
y
3
e y y y
最小二乘估计要求残差的平方和为最小，即按照指 标函数 为最小来确定估值 。求J对 的偏导数并令其等于0
J e e ( y ) ( y )
T T
可得 的最小二乘估计
( ) y
YN YN 1 y ( n N 1)
10
YN YN 1 y ( n N 1)
此时，由n+N+1个观测数据获得 的最小二乘估计为
1 T N 1 (T ) N 1YN 1 N 1 N 1
N T N 1
T N 1 N
2 1 令 PN (T ， ) N N
则得渐消记忆的递推最小二乘算法
渐消记忆递推最小二乘算法
θ N 1 θ N K N 1 yn N 1 ψ T N 1θ N
K N 1 PN ψ N 1 ψ
T N 1 N
P ψ N 1
1
1 1 T PN 1 PN PN ψ N 1 ψ N 1PN ψ N 1 ψ T P N 1 N
2 T T Φ Φ N N N 1 N 1 1 1
1
2
1
Φ
T N
ΦN
1 1
1
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最小二乘估计法的缺陷
y
( ) y
T 1 T
最小二乘估计的无偏性、一致性等概率性质，都是 在ξ(k)为零均值、不相关随机序列的前提下得到的。 但实际系统中ξ(k)往往是相关的，有些系统即使外 加干扰为不相关的随机序列，但在参数估计过程中，也 变成相关的随机序列了。
1
T T N 1 Φ N Φ N
1 T ) NYN ，则上式变为 又因为 N (T N N
N 1 N Φ Φ N N 1
T N 1 2
Φ
T N
Φ N N 1
1 2 T N 1
T N 1 1
Φ
T N
Φ N N 1
1
T N 1 2
Φ
T N
Φ N N 1
1
T N 1 N
1
y (n N 1)
N Φ Φ N N 1
T N 1
Φ
T N
Φ N N 1
1
1
y(n N 1)
最小二乘估计法的缺陷
系统 B(z-1)/A(z-1)
+
x(k ) a1 x(k 1) b0 u (k )
an x(k n)
bn u (k n), k 1, 2,3
y(k ) x(k ) (k )
y (k ) a1 y (k 1) b0 u (k )
1
2
T N
ΦN
1
1
2
T N
Φ N N 1
1 2
T N 1
Φ
T N
Φ N N 1
1
1
T N 1
Φ
T N
ΦN
1
将上面的结果带入（*）式，并展开得
2 T T 2 T N 1 Φ Φ Φ N YN N 1 y (n N 1) N N N 1 N 1 1
T N 1 N
P ψ N 1 ψ T N 1PN
1
6
该递推公式有明显的物理意义：
θ N 1 θ N K N 1 yn N 1 ψ T N 1θ N
K N 1 PN ψ N 1 1 ψ T N 1PN ψ N 1
1
θN 1 θN θN
2
1
Φ
T N
ΦN
1
1 1 1 T T T T N 1 1 N 1 2 Φ N Φ N N 1 N 1 2 Φ N Φ N 1
Φ ΦN 2
T N
Φ Φ N N 1 2
T N 1 2
T 1 T
J为极小值的充分条件是
2 J T 2 0 2
4
即矩阵 T 为正定矩阵。
递推最小二乘 参数辨识算法 u(k) y(k)
动态系统模型
反馈控制律
图4.1 动态系统递推最小二乘在线辨识过程原理图
2018/9/28 5
递推最小二乘法
1 ) 令 PN (T ，则递推最小二乘算法 N N
PN 1 PN PN ψ N 1 1 ψ PN PN 1 PN ψ N 1 1 ψ
T N 1 N
P ψ N 1 ψ T N 1PN
1 1
T N 1 N
P ψ N 1 ψ T N 1PN
ψ N 1ψ T N 1 PN PN 1 PN PN 0 T 1 ψ N 1PN ψ N 1
2 T N
T
T N N T T N 1 N 1
1 T N 1
1
YN y (n N 1)
Φ Φ N N 1
2 T Φ N YN N 1 y (n N 1)
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1
最小二乘法辨识
回顾
考虑系统模型：
y(k ) a1 y(k 1) a2 y(k 2)
an y(k n)
b0u(k ) b1u(k 1)
bnu(k n) (k )
2
最小二乘法：
a1 N维噪声向量 ( n 1) y (n 1) N维输出向量 y (n 2) (n 2) an , , y b0 (n N ) N×(2n+1)维 y (n N ) 测量矩阵 b n y (1) u (n 1) u (1) y ( n) y (n 1) y (2) u ( n 2) u (2) y ( N ) u (n N ) u( N ) y (n N 1)
（*）
( A BBT )1 A1 A1B( I BT A1B)1 BT A1
2 T T Φ Φ N N N 1 N 1 1 1
1
2
Φ Φ
T N
ΦN
1
1
2
Φ Φ
T N
ΦN
1
1 1 1 1 T T T T N 1 1 N Φ Φ Φ Φ 1 N N N 1 N 1 N N 2 2
为了克服数据饱和现象，可以用降低旧数据影响 的办法来修改算法。
9
4.6 渐消记忆递推算法 渐消记忆法是对每个数据按指数加权，老的数据 作用逐渐减弱。 由n+N个观测数据获得 的最小二乘估计为
1 T N (T ) NYN N N
u (n N 1) 如果再获得一对新的观测值 y(n N 1) ， 则有 N N N 1 T N 1 T N 1 N 1 0 1
2018/9/28
17
4.7.2 最小二乘估计的概率性质 如果ξ(k)是不相关随机序列，且均值为0。 1） 无偏性
辅助变量法、广义最小二乘法、增广矩阵法
2）一致性
ˆ 以概率1趋近于。 当N 时，θ
3） 有效性
在众多无偏估计中，方差最小。
4） 渐进正态性
如果ξ是均值为0且服从正态分布的白噪声向量，则最小 二乘参数估计值服从正态分布。
θ N 1 θ N K N 1 yn N 1 ψ T N 1θ N
K N 1 PN ψ N 1 1 ψ
T N 1 N
P ψ N 1
1
PN 1 PN PN ψ N 1 1 ψ ( I K N 1ψ T N 1 )PN
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an y (k n) an (k n)
bn u (k n) (k ) a1 (k 1)
最小二乘估计法的缺陷
(k ) (k ) a1 (k 1)
an (k n)
E (k ) (k j) 0
可见ξ(k)是相关序列，进而得到的最小二乘参数估 计不是无偏、一致估计。 因而，LS估计方法的应用受到一定限制，下面介绍 在LS基础上加以改进的方法。
限定记忆法
思路：限定每次估计都用最新的n+N个数据，增加 一个新数据就去掉一个老数据。 y (n 2) y (n 1) y (n 3) y (n 2) YN 1 YN y ( n N 1) y ( n N )