万能解题模型1 相似三角形的常见基本模型
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万能解题模型1 相似三角形的常见基本模型模型1 X字型及其变形
1．（2019·巴中）如图，▱ABCD，F为BC的中点，延长AD至E，使DE∶AD＝1∶3，连接EF交DC于点G，则S
△DEG∶S△CFG＝（D）
A．2∶3 B．3∶2 C．9∶4 D．4∶9
2．（2018·巴中）如图所示，⊙O的两弦AB，CD相交于点P，连接AC，BD，得S△ACP∶S△DBP＝16∶9，则AC∶BD
＝4∶3．
3．如图，已知∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．
解：∵∠ADE＝∠ACB，
∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，即∠BDF＝∠ECF.
又∵∠BFD＝∠EFC，
∴△BDF∽△ECF.
∴BD
EC
＝
DF
CF
，即
8
4
＝
DF
2
.
∴DF＝4.
模型2 A字型及其变形
4．（2019·哈尔滨）如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（D）
A.AM
BM
＝
NE
DE
B.
AM
AB
＝
AN
AD
C.
BC
ME
＝
BE
BD
D.
BD
BE
＝
BC
EM
5．（2019·贵港）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B.若AD＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为（C）
A．2 3 B．3 2 C．2 6 D．5
6．如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接BC.求证：
（1）∠BAC＝∠CBP；
（2）PB2＝PC·PA.
证明：（1）∵AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，
∴∠ACB＝∠ABP＝90°.
∴∠BAC＋∠ABC＝∠ABC＋∠CBP＝90°.
∴∠BAC＝∠CBP.
（2）∵∠PCB＝∠ABP＝90°，∠P＝∠P，
∴△ABP ∽△BCP. ∴PB AP ＝PC PB
. ∴PB 2
＝PC ·PA.
模型3 双垂直型
相关结论：△ACD ∽△ABC ∽△CBD ，CD 2
＝BD ·AD ，BC 2
＝BD ·AB ，AC 2
＝AD ·AB.
7．（2019·宜宾）如图，已知在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AC ＝4，BC ＝3，则AD ＝16
5
．
8．（2018·娄底改编）如图，已知半圆O 与四边形ABCD 的边AD ，AB ，BC 都相切，切点分别为D ，E ，C ，半径OC ＝1，求AE ·BE 的值．
解：连接OE.
∵半圆O 与四边形ABCD 的边AD ，AB ，BC 都相切，切点分别为D ，E ，C ， ∴OE ⊥AB ，AD ⊥CD ，BC ⊥CD ，∠OAD ＝∠OAE ，∠OBC ＝∠OBE. ∴AD ∥BC.
∴∠DAB ＋∠ABC ＝180°. ∴∠OAB ＋∠OBA ＝90°. ∴∠AOB ＝90°.
∵∠OAE ＋∠AOE ＝90°，∠AOE ＋∠BOE ＝90°， ∴∠OAE ＝∠BOE.
又∵∠AEO ＝∠OEB ＝90°，∴△AEO ∽△OEB.
∴AE OE ＝OE BE
，即AE ·BE ＝OE 2＝OC 2
＝1.
模型4 一线三等角型
（1）如图1，△CAP ∽△PBD （此图又叫作“三垂图”）； （2）如图2、图3，有以下结论： ①△CAP ∽△PBD ；
②连接CD ，当点P 为AB 的中点时，△CAP ∽△PBD ∽△CPD.
9．（2019·凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB ＝12，AE ＝14AB ，点P 在BC 上运动（不与B ，C 重合），过点P
作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为4．
10．如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD ＝3，∠ADE ＝60°，求AE 的长．
解：∵△ABC 是边长为9的等边三角形， ∴∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝AC ＝9. ∴∠BAD ＋∠ADB ＝120°. ∵∠ADE ＝60°， ∴∠CDE ＋∠ADB ＝120°. ∴∠BAD ＝∠CDE.
又∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE.
∴AB
DC
＝
BD
CE
，即
9
9－3
＝
3
CE
.
∴CE＝2.
∴AE＝9－2＝7.
【变式】点D、E分别变到CB、AC的延长线上
如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在CB，AC的延长线上，∠ADE＝60°.求证：△ABD∽△DCE.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∴∠ABD＝∠DCE＝120°.
∵∠ABC＝∠DAB＋∠BDA，∠ADE＝∠EDC＋∠BDA，∠ABC＝∠ADE＝60°，
∴∠DAB＝∠EDC.
∴△ABD∽△DCE.