2018学年浙教版九年级上期中考试数学试卷(含答案)
第 22 题
图象和 坐标为
图象上，
23．（10 分）如图，已知 AB 是⊙O 的弦，OB=2，∠B=30°，C 是弦 与点 A、B 重合），连结 CO 并延长 CO 交⊙O 于点 D，
连结 AD. （1）求弦长 AB 的长度；（结果保留根号）； （2）当∠D=20°时，求∠BOD 的度数.
第 23 题
AB 上一点（不
24．（10 分）已知用圆心角为 120°，面积为 3 的扇形卷成一个无底
（1）求这个圆锥形筒的高； （2）一只蚂蚁要从圆锥底面圆周上一点 B 出发，沿圆锥侧面爬到
轴截面上另一母线 AC 的中点 D，问蚂蚁沿怎样的路线爬行， 最短路程是多少？
第 24 题
圆锥形筒.
过母线 AB 的 使路程最短？
14．如图,点 A 是反比例函数图象上的一点,过点 A 分别向 x 轴、y 轴作垂线, 若矩形 ABOC 的面积为 3,则这个
反比例函数的关系式是
.
.
15．已知△ADE∽△ABC，AD=2，BD=4，DE=1.5，则 BC 的长为
.
16．如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，以 AB 为直径的半圆与对角线 AC 交于点 E，则图中阴影部分的面
A. 20 cm 3
B.10 cm
C. 20 cm
D. 5 cm
7．已知圆锥的侧面展开图的圆心角为 120°，则这个圆锥的侧面积是底面积的（ ▲ ）
A．3 倍
B．2 倍
C． 1 3
D． 1 2
8．已知
P1(x1，y1)，P2 (x2，y2 )，P3 (x3，y3 )
是反比例函数
y
k2 x
A．x<2
B．x< -1
C．0<x<2
D．x> -1
11.如图，抛物线 y x2 1与双曲线 y k 的交点 A 的横坐标是 1，则关于 x 的不等式 x
k x2 1 0 的解集是（ ▲ ） x
A．x>1
B．x<1
C．0<x<1
D．－1<x<0
12．如图，AB 是⊙O 的一条弦，点 C 是⊙O 上一动点，且∠ACB=30°，点 E、F 分别是 AC、BC 的中点，直线
① a 0 ，② b 0 ，③ c 0 ，④ 4a 2b c 0 ，⑤ b 2a 0
其中正确的个数有（ ▲ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
10.已知二次函数 y mx2 2mx n(m, n为常数，且m 0) ，下列自变量取值范围中 y 随 x 增大而增大的是（ ▲ ）.
(k
0)
的图象上的三点，且
x1
x2
0
x3
，
则 y1，y2，y3 的大小关系是 （ ▲ ）
A． y3 y2 y1 B． y2 y1 y3 C． y1 y2 y3 D． y2 y3 y1
9. 二次函数 y ax 2 bx c 的图象如图所示，有下列结论：
A. 有最大值 1 B. 有最小值 1 C. 有最大值-3 D. 有最小值-3
3．直角坐标平面上将二次函数 y=x2﹣2 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，则其顶点为（ ▲ ）
A．（0，0）
B．（1，﹣1）
C．（0，﹣1）
D．（﹣1，﹣1）
4．如图，点 A、B、C 在同一直线上，点 D 在直线 AB 之外，过这四个点
EF 与⊙O 交于 G、H 两点，若⊙O 的半径为 7，则 GE+FH 的最大值为（ ▲ ）
A．10.5
B． 7 3 3.5
C．11.5 D． 7 2 3.5
第 11 题
第 12 题
y AC
BOx 第 14 题
第 15 题
二、填空题（每题 4 分，共 24 分）
13.已知两条线段长分别为 3 和 12，则它们的比例中项是
积为
（结果保留 ）
17、如图，一段抛物线：y＝－x(x－3)（0≤x≤3），记为 C1，它与 x 轴交于点 O，A1；将 C1 绕点 A1 旋转 180°得 C2，交 x 轴于点 A2；将 C2 绕点 A2 旋转 180°得 C3，交 x 轴于点 A3；……如此进行 下去，直至得 C13．若 P（37，m）在第 13 段抛物线 C13 上，则 m =_________．
25． （12 分）某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 180 元时，房间会全部住满。当每个 房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费 用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340 元。设每个房间的房价每天增加 x 元(x 为 10 的正整数倍)。
宁波外国语学校 2017-2018 学年第一学期期中考试
九年级数学试卷
一、选择题（每小题 4 分，共 48 分）
1． 若反比例函数经过点（1,2），则下列点也在此函数图象上的是（ ▲ ）
A．（1，-2）
B．（-1，﹣2）
C．（0，﹣1）
D．（﹣1，﹣1）
2．已知二次函数 y (x 1)2 3 ，则此二次函数（ ▲ ）
18. 如图,⊙ P 过 O(0,0),A(0,-8),C(-6,0),半径 PB⊥PA,则点 B 的坐标为
.
三、解答题（共 78 分）
19．（8
分）（1）已知
x
2
，求
x
y
的值
y 3 xy
（2）已知点 P 为线段 AB 的黄金分割点（AP>BP）,且 AB=2，求 BP 的长
20．（6 分）如图是一个圆形轮子的一部分，请你用直尺和圆规把它补完整。
21.（8 分）已知二次函数的图象以 A(1,4) 为顶点，且过点 B(2,5) ．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求该二次函数图象与坐标轴的交点坐标；
22．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y=（x＞0）的 矩形 ABCD 在第一象限，AD 平行于 x 轴，且 AB=2，AD=4，点 A 的 （2，6）． （1）直接写出 B、C、D 三点的坐标； （2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的
中的任意三个
点，能画圆的个数为（ ▲ ）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
5．若⊙P 的半径为 13，圆心 P 的坐标为（5, 12 ), 则平面直角坐标系的原点 O 与⊙P 的位置关系是（ ▲ )
A．在⊙P 内
B．在⊙P 上
C．在⊙P 外
D．无法确定
6．挂钟分针的长 10cm，经过 20 分钟，它的针尖转过的路程是( ▲ )
2018年秋第一学期浙教版九年级数学上册《二次函数》单元检测题及解析
3.某同学在用描点法画二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象时，列出下面的表格： x y … … −5 − 7.5 −4 − 2.5 −3 0.5 −2 1.5 −1 0.5 … …
根据表格提供的信息，下列说法错误的是（ ） A.该抛物线的对称轴是直线 x =− 2 C.b2 − 4ac = 0 B.该抛物线与 y 轴的交点坐标为(0, − 2.5) D.若点 A(0, 5, y1 )是该抛物线上一点．则y1 <− 2.5
2
3 分 ，共 30 分 ）
−3k+2
+ kx + 1 是关于 x 的二次函数，那么 k 的值是（ ） C.3
1
B.0 或 3
D.0
1
2.如图⊙ O 的半径为 2，C1 是函数 y = 2 x2 的图象，C2 是函数 y =− 2 x2 的图象，则阴影部分的面积为（ ）
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
16.已知抛物线经过点 A( − 1, 5)， B(5, 5)， C(1, 9)， 则该抛物线上纵坐标为 9 的另一点的坐标是________． 17.已知二次函数 y =− x2 + bx + c 的图象经过点(2, 0)，且与 y 轴交于点 B，若 OB = 1，则该二次函数解 析式中，一次项系数 b 为________，常数 c 为________． 18.已知抛物线 y = ax2 + bx + c 经过点(1, 3)与( − 1, 5)，则 a + c 的值是________． 19.把二次函数 y = 2x2 − 4x 改写成 y = a(x + m)2 + k 的形式是________，其顶点坐标是________． 20.已知抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴的公共点是( − 4, 0)， (2, 0)， 则这条抛物线的对称轴是直线________． 三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ）
浙教版2018-2019学年度九年级中考数学模拟试卷C
浙教版2018-2019学年度九年级中考数学模拟试卷C一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．若一个数的倒数是﹣2，则这个数是（）A．B．﹣C．D．﹣2．2017年中秋小长假长沙县的旅游收入约为1900万，将1900万用科学记数法表示应为（）A．19×104B．1.9×104C．1.9×107D．0.19×1083．下列运算正确的是（）A．2x+3y=5xy B．5x2•x3=5x5C．4x8÷2x2=2x4D．（﹣x3）2=x54．在2016年龙岩市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（）A．平均数为160B．中位数为158C．众数为158D．方差为20.35．由一些相同的小立方块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小立方块有（）A．3块B．4块C．6块D．9块6．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC=6，则PA的长为（）A．4B．2C．3D．2.57．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，F为BC边上一点，且EF⊥AE，AF的延长线与DC的延长线交于点G，连接BE，与AF交于点H，则下列结论中不正确的是（）A．AF=CF+BC B．AE平分∠DAF C．tan∠CGF=D．BE⊥AG8．有下列六个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；④负数没有平方根；⑤无限小数都是无理数；⑥算术平方根等于它本身的数只有0．其中正确的命题有（）A．2个B．3个C．4个D．5个9．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是（）A．小丽从家到达公园共用时间20分钟B．公园离小丽家的距离为2000米C．小丽在便利店时间为15分钟D．便利店离小丽家的距离为1000米10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．函数y=的自变量x的取值范围为．12．分解因式：a3﹣a=．13．袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有个．14．若x2﹣2x=1，则2x2﹣4x+3=．15．如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则∠AOC=度．16．如图，在平面直角坐标系中，△AA1C1是边长为1的等边三角形，点C1在y轴的正半轴上，以AA2=2为边长画等边△AA2C2；以AA3=4为边长画等边△AA3C3，…，按此规律继续画等边三角形，则点A n的坐标为．三．解答题（共4小题，满分23分）17．（5分）计算：2﹣1﹣3tan30°+（﹣1）0++cos60°．18．（6分）先化简，再求值÷（﹣a﹣2），其中a=﹣．19．（6分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．20．（6分）如图，直线y=mx+n交坐标轴分别于A，B（0，1）两点，交双曲线y=于点C（2，2），点D在直线AB上，AC=2CD．过点D作DE⊥x轴于点E，交双曲线y=于点F，连接CF．（1）求反比例函数y=和直线y=mx+n的表达式；（2）求△CDF的面积．四．解答题（共4小题，满分30分）21．（6分）主题班会上，王老师出示了如图所示的一幅漫画，经过同学们的一番热议，达成以下四个观点：A．放下自我，彼此尊重；B．放下利益，彼此平衡；C．放下性格，彼此成就；D．合理竞争，合作双赢．要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟．根据同学们的选择情况，小明绘制了下面两幅不完整的图表，请根据图表中提供的信息，解答下列问题：（1）参加本次讨论的学生共有人；表中a=，b=；（2）在扇形统计图中，求D所在扇形的圆心角的度数；（3）现准备从A，B，C，D四个观点中任选两个作为演讲主题，请用列表或画树状图的方法求选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率．22．（8分）在成都“白环改建工程中，某F罕轿建设将由甲，乙两个工程队共同施工完成，据调查得知：甲，乙两队单独完成这项上程所需天数之比为4：5，若先由甲，乙两队合作40天，剩下的工程再乙队做10天完成，（1）求甲．乙两队单独完成这取工程各需多少天？（2）若此项工程由甲队做m天，乙队n天完成，①请用含m的式子表示n；②已知甲队每天的施工费为15万元，乙队每天的施工费用为10万元，若工程预算的总费用不超过1150万元，甲队工作的天数与乙队工作的天数之和不超过90天．请问甲、乙两队各工作多少天，完成此项工程总费用最少？最少费用是多少？23．（8分）某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA=200m，一台拖拉机从O点出发，以每秒5m的速度沿北偏西53°的方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130m，则教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A 受噪声污染的时间有几秒．（参考数据：sin53°≈0.80，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）24．（8分）已知菱形ABCD中，∠A=72°，请你用两种把该菱形分成四个等腰三角形，并标出每个等腰三角形的顶角度数（要求在图中直接画出图形，不要求写作法和证明）．五．解答题（共1小题，满分9分，每小题9分）25．（9分）如图，⊙O的直径AB的长为10，直线EF经过点B且∠CBF=∠CDB．连接AD．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若点C是弧AB的中点，sin∠DAB=，求△CBD的面积．六．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）26．（10分）如图1，二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若以AD为直径的圆经过点C．①求抛物线的函数关系式；②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF=1：2，求点M、N的坐标；③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标．参考答案与试题解析1．解：若一个数的倒数是﹣2，即﹣，则这个数是﹣，故选：B．2．解：将1900万用科学记数法表示应为：1.9×107．故选：C．3．解：A、不是同类项，不能合并，选项错误；B、正确；C、4x8÷2x2=2x6，选项错误；D、（﹣x3）2=x6，选项错误．故选：B．4．解：A、平均数为（158+160+154+158+170）÷5=160，正确，故本选项不符合题意；B、按照从小到大的顺序排列为154，158，158，160，170，位于中间位置的数为158，故中位数为158，正确，故本选项不符合题意；C、数据158出现了2次，次数最多，故众数为158，正确，故本选项不符合题意；D、这组数据的方差是S2=[（154﹣160）2+2×（158﹣160）2+（160﹣160）2+（170﹣160）2]=28.8，错误，故本选项符合题意．故选：D．5．解：从俯视图可得最底层有3个小正方体，由主视图可得有2层上面一层是1个小正方体，下面有2个小正方体，从左视图上看，后面一层是2个小正方体，前面有1个小正方体，所以此几何体共有四个正方体．故选：B．6．解：连接DO，∵PD与⊙O相切于点D，∴∠PDO=90°，∵∠C=90°，∴DO∥BC，∴△PDO∽△PCB，∴===，设PA=x，则=，解得：x=4，故PA=4．故选：A．7．解：由E为CD的中点，设CE=DE=2，则AD=AB=BC=4，∵EF⊥AE，∴∠AED=90°﹣∠FEC=∠EFC，又∵∠D=∠ECF=90°，∴△ADE∽△ECF，∴=，即=，解得FC=1，A、在Rt△ABF中，BF=BC﹣FC=4﹣1=3，AB=4，由勾股定理，得AF=5，则CF+BC=1+4=5=AF，本选项正确；B、在Rt△ADE，Rt△CEF中，由勾股定理，得AE=2，EF=，则AE：EF=AD：DE=1：2，又∠D=∠AEF=90°，所以，△AEF∽△ADE，∠FAE=∠DAE，即AE平分∠DAF，本选项正确；C、∵AB∥DG，∴∠CGF=∠BAF，∴tan∠CGF=tan∠BAF==，本选项正确；D、∵AB≠AE，BF≠EF，∴BE与AG不垂直，本选项错误；故选：D．8．解：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；③从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，错误；④负数没有平方根，正确；⑤无限不循环小数是无理数，错误；⑥算术平方根等于它本身的数有0，1，错误；故选：A．9．解：A、小丽从家到达公园共用时间20分钟，正确；B、公园离小丽家的距离为2000米，正确；C、小丽在便利店时间为15﹣10=5分钟，错误；D、便利店离小丽家的距离为1000米，正确；故选：C．10．解：①当x=1时，结合图象y=a+b+c＜0，故此选项正确；②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显小于﹣1，∴y=a﹣b+c＞0，故本选项错误；③由抛物线的开口向上知a＞0，∵对称轴为0＜x=﹣＜1，∴2a＞﹣b，即2a+b＞0，故本选项错误；④对称轴为x=﹣＞0，∴a、b异号，即b＜0，图象与坐标相交于y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故本选项正确；∴正确结论的序号为①④．故选：C．11．解：根据题意得：3﹣x≥0，解得：x≤3．故答案为：x≤3．12．解：a3﹣a，=a（a2﹣1），=a（a+1）（a﹣1）．故答案为：a（a+1）（a﹣1）．13．解：∵袋中装有6个黑球和n个白球，∴袋中一共有球（6+n）个，∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，∴=，解得：n=2．故答案为：2．14．解：当x2﹣2x=1时，原式=2（x2﹣2x）+3=2×1+3=5，故答案为：5．15．解：∵弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，∴弧ABC：弧AmC=6：4，∴∠AOC的度数为（360°÷10）×4=144°．16．解：∵点A1的横坐标为0.5=1﹣0.5，点A2的横坐标为0.5+1=1.5=2﹣0.5，点A3的横坐标为0.5+1+2=3.5=4﹣0.5，点A4的横坐标为0.5+1+2+4=7.5=8﹣0.5，…∴点A n的横坐标为2n﹣1﹣0.5，纵坐标都为0，∴点A n的坐标为（2n﹣1﹣0.5，0）．故答案为：（2n﹣1﹣0.5，0）．17．解：原式=﹣3×+1+2+=2+．18．解：÷（﹣a﹣2）====，当a═﹣时，原式=﹣=．19．解：（1）如图1，连接BD，∵点E、H分别为边AB、AD的中点，∴EH∥BD、EH=BD，∵点F、G分别为BC、DC的中点，∴FG∥BD、FG=BD，∴EH=FG、EH∥FG，∴中点四边形EFGH是平行四边形；（2）四边形EFGH是菱形，如图2，连接AC、BD，∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，∵，∴△APC≌△BPD（SAS），∴AC=BD，∵点E、F、G分别为AB、BC、CD的中点，∴EF=AC、FG=BD，∴EF=FG，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形；（3）四边形EFGH是正方形，设AC、BD交点为O，AC与PD交于点M，AC与EH交于点N，∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD、AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．20．解：（1）∵直线y=mx+n经过B（0，1），C（2，2）两点，∴，解得，∴直线的表达式为y=；∵点C（2，2）在双曲线y=上，∴2=，解得k=4，∴反比例函数的解析式为y=；（2）作CH⊥x轴于H，∵C（2，2），∴CH=2，∵DE⊥x轴于点E，∴CH∥DE，∴==，由直线y=x+1可知A（﹣2，0），∴OA=2，AH=4，∵AC=2CD，∴=，∴==，∴DE=3，AE=6，∴D（4，3），把x=4代入y=得，y=1，∴F（4，1），∴DF=3﹣1=2，∴△CDF的面积=×2×（4﹣2）=2．21．解：（1）参加本次讨论的学生共有12÷0.24=50，则a=50×0.2=10，b=8÷50=0.16，故答案为：50、10、0.16；（2）D所在扇形的圆心角的度数为360°×0.4=144°；（3）根据题意画出树状图如下：由树形图可知：共有12中可能情况，选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率有6种，所以选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率为=．22．解：（1）设甲．乙两队单独完成这取工程各需4x，5x天，由题意得：（+）×40+=1，解得：x=20，经检验：x=20是原方程的根，∴4x=80，5x=100，答：甲．乙两队单独完成这取工程各需80，100天；（2）①由题意得：n=（1﹣）÷=100﹣，②令施工总费用为w万元，则w=15m+10×（100﹣）=m+1000．∵两队施工的天数之和不超过90天，工程预算的总费用不超过1150万元，∴m+1000≤1150，m+（100﹣）≤90，∴40≤m≤60，∴当m=40时，完成此项工程总费用最少，∴n=100﹣=50，w=1100元，答：甲、乙两队各工作40，50天，完成此项工程总费用最少，最少费用是1100元．23．解：如图，过点A作AB⊥OM于点B，∵∠MON=53°，∴∠AOM=90°﹣53°=37度．在Rt△ABO中，∠ABO=90°，∵sin∠AOB=，∴AB=AO•sin∠AOB=200×sin37°≈120（m）．∵120m＜130m．∴教室A在拖拉机的噪声污染范围内．根据题意，在OM上取C，D两点，连接AC，AD，使AC=AD=130m，∵AB⊥OM，∴B为CD的中点，即BC=DB，∴BC==50（m），∴CD=2BC=100（m）．即影响的时间为=20（s）．24．解：如图所示：25．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°即∠ADC+∠CDB=90°，∵∠ADC=∠ABC，∠CBF=∠CDB，∴∠ABC+∠CBF=90°即∠ABF=90°，∴AB⊥EF∴EF是⊙O的切线；（2）解：作BG⊥CD，垂足是G，在Rt△ABD中∵AB=10，sin∠DAB=又∵sin∠DAB=∴BD=6∵C是弧AB的中点，∴∠ADC=∠CDB=45°，∴BG=DG=BD×sin45°=6×=3，∵∠DAB=∠DCB∴tan∠DCB==，∴CG=∴CD=CG+DG=4+3=7，=CD•BG==21．∴S△CBD26．解：（1）∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，∴D（1，﹣4a）．（2）①∵以AD为直径的圆经过点C，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°；由y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣3）（x+1）知，A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣3a），则：AC2=（0﹣3）2+（﹣3a﹣0）2=9a2+9、CD2=（0﹣1）2+（﹣3a+4a）2=a2+1、AD2=（3﹣1）2+（0+4a）2=16a2+4由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，即：9a2+9+a2+1=16a2+4，化简，得：a2=1，由a＜0，得：a=﹣1即，抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3．②∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，∴PM∥x轴，且PM=OB=1；设M（x，﹣x2+2x+3），则OF=x，MF=﹣x2+2x+3，BF=OF+OB=x+1；∵MF：BF=1：2，即BF=2MF，∴2（﹣x2+2x+3）=x+1，化简，得：2x2﹣3x﹣5=0解得：x1=﹣1、x2=∴M（，）、N（，）．③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CH⊥QD于H，如右图；设Q（1，b），则QD=4﹣b，QB2=QG2=（1+1）2+（b﹣0）2=b2+4；∵C（0，3）、D（1，4），∴CH=DH=1，即△CHD是等腰直角三角形，∴△QGD也是等腰直角三角形，即：QD2=2QG2；代入数据，得：（4﹣b）2=2（b2+4），化简，得：b2+8b﹣8=0，解得：b=﹣4±2；即点Q的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．。
浙江省杭州市启正中学2018-2019学年度第一学期浙教版九年级数学上册_第二章_简单事件的概率_单
浙江省杭州市启正中学2018-2019学年度第一学期浙教版九年级数学上册_第二章_简单事件的概率_单元评估测试卷【有答案】浙江省杭州市启正中学2018-2019学年度第一学期浙教版九年级数学上册第二章简单事件的概率单元评估测试卷考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.某商店举办有奖销售活动，办法如下：凡购买货物满元得奖券张，多购多得，现有张奖券，设特等奖个，一等奖个，二等奖个，那么张奖券中特等奖（）A.不可能B.一定C.不太可能D.很有可能2.掷一枚质地均匀的硬币次，下列说法正确的是（）A.可能次正面朝上B.掷次必有次正面朝上C.必有次正面朝上D.不可能次正面朝上3.小明制作了十张卡片，上面分别标有这十个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被整除的概率是（）A. B. C. D.4.天气预报说某市明天下雨的概率为，这说明（）A.明天该市的雨量是今天雨量的B.明天该市下雨的可能性很大C.今天该市的雨量是明天雨量的D.明天该市下雨的可能性很小5.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入个黑球，黑球和白球除颜色外完全相同，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球次，其中次摸到黑球，估计盒中大约有白球（）A.个B.个C.个D.个6.从，，，这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被整除的概率是（）A. B. C. D.7.“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：，，等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是（）A. B. C. D.8.当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，求（估计）概率可以（）A.用列举法B.用列表法C.用树形图法D.通过统计频率估计9.下列说法正确的是（）A.在一次抽奖活动中，“中奖的概率是”表示抽奖次就一定会中奖B.某市“明天降雨的概率是7 ”表示明天有7 的时间会降雨C.随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面一定朝上D.在平面内，平行四边形的两条对角线一定相交10.下列游戏公平的是（）A.掷一个硬币两次，出现两次正面甲胜，出现两次反面乙胜1 / 5B.掷一个硬币两次，出现一次正面甲胜，出现两次反面乙胜C.掷一个硬币两次，至少出现一次正面甲胜，出现一次反面一次正面乙胜D.掷一个硬币两次，出现相同面甲胜，至少出现一次正面乙胜二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.一个袋子里装有标号分别是，，，，，，7的七个大小形状相同的小球，从中任意摸出一球，若摸到标偶数的球则小明赢，若摸到标奇数的球则小亮赢，你认为________赢的可能性大．12.某厂生产了件衬衫，根据以往经验其合格率为 . 左右，则这件衬衫中次品（不合格）的件数大约为________．13.抛掷一枚硬币，掷得“一个反面”的概率是________；这个概率表示的意思是________．14.一道选择题共有四个备选答案，其中只有一个是正确的，若有一位同学随意选了其中一个答案，那么他选中正确答案的概率是________．15.从、、、这四个数字中任取两个数字组成一个两位数，能被整除的概率是________16.一个盒子中有个红球，个白球，每次摸出红球的概率是________．17.某口袋中有个红球、个黄球和若干个白球，将它们充分摇匀后从中摸出一球，小明通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在 . 左右，则口袋中大约有________个白球．18.从、、三个数中任取一个数作为一次函数中的值，则所得一次函数中随增大而减小的概率是________．.“石头、剪刀、布”是一个广为流传的游戏，你认为这个游戏对甲乙双方是公平的吗________（填：公平或不公平）20.小明和小亮用如图所示两个转盘（每个转盘被分成四个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，如果两次数字之和为奇数，则小明胜，否则，小亮胜，这个游戏公平吗？答：________（填“公平”或“不公平”）．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.一只不透明的袋子中有个红球，个绿球和个白球，每个球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球．会有哪些可能的结果？你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？22.任意抛掷一枚均匀的骰子，朝上面的点数为的概率为，下列说法正确吗？为什么？任意抛掷一枚均匀的骰子次，朝上面的点数为的次数为次．任意抛掷一枚均匀的骰子次，朝上面的点数为的次数大约为次．浙江省杭州市启正中学2018-2019学年度第一学期浙教版九年级数学上册_第二章_简单事件的概率_单元评估测试卷【有答案】23.如图，有一个转盘，转盘被分成个相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），求下列事件的概率：指针指向绿色；指针指向红色或黄色；指针不指向红色．24.一个不诱明的集中装有红、黄、白三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数比白球个数的倍少个．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是．求袋中红球的个数；求从袋中摸出一个球是白球的概率．25.一个不透明的袋中装有个只有颜色不同的球，其中个黄球，个黑球，7个红球．求从袋中摸出一个球是黄球的概率；现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个球是黑球的概率是，求从袋中取出黑球的个数．26.一个不透明的口袋中装有个完全相同的小球，分别标有数字，，，，另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的个扇形区域，分别标有数字，，（如图所示）．从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于的概率为________；小龙和小东想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于，那么小龙去；否则小东去．你认为游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．3 / 5答案1.C2.A3.C4.B5.A6.A7.B8.D9.D10.A11.小亮12.13.多数次抛掷一枚硬币时，平均每次可能出现一次反面14.15.16.17.18.19.公平20.公平21.解：从袋子中任意摸出一个球，可能是红球，也可能是绿球或白球；∵白球最多，红球最少，∴摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小．22.解：错误；理由：虽然任意抛掷一枚均匀的骰子，朝上面的点数为的概率为，但是任意抛掷一枚均匀的骰子次，朝上面的点数为的次数不一定是次，因为实际的抛掷是频率不是概率； ∵任意抛掷一枚均匀的骰子，朝上面的点数为的概率为，∴任意抛掷一枚均匀的骰子次，朝上面的点数为的次数大约为次，此结论正确．23.解：转盘分成个相同的图形，即共有种等可能的结果，①∵绿色的有部分，∴指针指向绿色的概率为：；②∵红色或黄色的共有部分，浙江省杭州市启正中学2018-2019学年度第一学期浙教版九年级数学上册_第二章_简单事件的概率_单元评估测试卷【有答案】∴指针指向红色或黄色的概率为：；③∵不指向红色的，即绿色或黄色的共有部分，∴指针不指向红色的概率为：．24.解： ∵一个不诱明的集中装有红、黄、白三种颜色的球共个，从袋中摸出一个球是红球的概率是．∴袋中红球的个数为：（个）；设白球有个，则黄球有个，根据题意得：，解得：，∴从袋中摸出一个球是白球的概率为：．25.解： ∵一个不透明的袋中装有个只有颜色不同的球，其中个黄球，个黑球，7个红球，∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为：；设从袋中取出个黑球，根据题意得：，解得：，经检验，是原分式方程的解，所以从袋中取出黑球的个数为个．26.；游戏公平．列举所有等可能的结果个：∴所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于的概率为，∴游戏公平．5 / 5。
2017-2018学年浙教版数学九年级下册期中测试题及答案
2017-2018学年九年级数学下册期中测试卷、选择题（每小题3分，共30分）1.已知O O 的半径是5,直线I 是O O 的切线，则点 O 到直线l 的距离是（） A. 2.5 B.3 C.5 D.10 2. 如图是教学用的直角三角板，边 AG=30 cm , / G=90°, tan / BACB.20 cmD.5 cm的斜坡前进500米，则它上升的高度为（ ）的大小是（ ） A.40 ° B.60 ° C.70 ° D.80 ° 6. 计算6tan 45 -2cos 60的结果是（）A. 4 3B. 4C.5 3D.57. 如图，在 △ ABC 中，/ C =90 ,AB =5,BC =3,则 sin A 的值是（）小岛做的距离为（）A.20海里B.20- 2海里「，则边BC 的长为（）A.30 cm C.10-J% cm 3. 一辆汽车沿坡角为A.500s in ■孟B. 4.如图，在△ J.迓中,A.10 一5500 sin :C.500cos500D. cosot :裁=10,/ _ =60°/ =45°,则点到… 的距离是（ B.5+53C.155 .. 35.如图，PA 和PB 是O O 的切线, 已知/ P = 40°,则/ ACB8. 上午9时，一船从.:处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行, 9时30分到达_处,如图所示，薦两处分别测得小岛 城在北偏东45°和北偏东 15°方向，那么_处与第2题点A 和B 是切点，AC 是O O 的直径,C. 15 .3海里D.20 .3海里9.如图，AB 是O O 的直径，C,D 是O O 上一点，/ CDB 20。
，过点C 作O 0的切线交 AB 的延 长线于点E ,则/ E 等于（ ） A . 40°B.50°C. 60°D.70°10. 如图，―是］「的直径，—是］「的切线，...为切点，连结一交O _于点一,连结狱;，若 /妙雛==45° ,则下列结论正确的是（ ）A.钢；:陆B 魏 C.阳庆鯛、填空题一（每小题3分，共24分） 11.在离旗杆20 m 的地方用测角仪测得旗杆杆顶的仰角为 呂，如果测角仪高1.5 m那么旗杆的高为 _________ m.12.如图，PAPB 切O 0于点A , B ,点C 是O 0上一点，/ AC 号60°,则/ P= ________ °13. ____________________________________________________ 已知/ 乂为锐角，且sin ^=—，则tan 的值为 ________________________17 14. 如图，在离地面高度为 5 m 的亍处引拉线固定电线杆，拉线与地面成 就角，则拉线—的长为 ___________m （用（J 的三角函数值表示）.生Jp f第14题團15. 如图，AB 是O O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 切O O 于点D,连结AD 若/ A =25°,则/ C = _________ 度.16. 如图，直线l 与半径为4的O O 相切于点A P 是O O 上的一个动点（不与点 A 重合）， 过点P 作PB 丄I ，垂足为B,连结PA 设PA= x , PB= 丫，则（x — y ）的最大值是 _________17.如 图所第9题图第10题国点，若Z APB =60 ；O O 的半径为3,则阴影部分的面积为 ________ .18. 已知在△ ABC 中, AB= AC= 8,Z BAC= 30° .将△ ABC 绕点A 旋转，使点 B 落在原△ ABC的点C 处，此时点C 落在点D 处•延长线段 AD 交原△ ABC 的边BC 的延长线于点 E 那 么线段DE 的长等于 __________________ .三、解答题（共66分）19. （8 分）计算:6 tan 30°— cos 30 ° • tan 60 ° - 2 sin 45 ° +cos 60 ° .20. （8分）如图，李庄计划在山坡上的..处修建一个抽水泵站， 抽取山坡下水池中的水用于灌 溉，已知..到水池一处的距离別?是50米，山坡的坡角Z 誹愛=15°,由于受大气压的影响， 此种抽水泵的实际吸水扬程 醐:不能超过10米，否则无法抽取水池中的水，试问抽水泵 站能否建在.:处？B 重合），过点P 作AB 的垂线交BC 的延长线于点 Q（1）在线段PQ 上取一点D,使D （=DC 连结DC 试判断CD 与O O 的位置关系，并说明 理由；3(2)若 cos B = 3 , BP =6, AF =1,求 QC 的长.5 22. （8 分）在 Rt △感中，/ _=90O ,<.=50°,=3，求Z _ 和 a （边长精确到 0.1）.23. （8分）（2015 •南京中考）如图，轮船甲位于码头 O 的正西方向A 处，轮船乙位于码头O 的正北方向C 处，测得Z CAO 45。
浙教版九年级(上)期中考试数学试卷(Word版 含解析)
浙教版九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分1．已知3x＝7y（y≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．2．如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG＝50°，P点可能是圆心的是（）A．B．C．D．3．掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最大的是（）A．大于4的点数B．小于4的点数C．大于5的点数D．小于5的点数4．抛物线y＝2x2﹣1的图象经过点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y15．在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＝﹣1时，点B在圆A上B．当a＜1时，点B在圆A内C．当a＜﹣1时，点B在圆A外D．当﹣1＜a＜3时，点B在圆A内6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（）A．50°B．70°C．110°D．120°7．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC＝30°，则的长为（）A．5B．πC．D．π8．一条抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（2，m），m＜0，且与x轴有两个交点，其中一个交点是（5，0），则对a、b、c描述正确的是（）A．a＞0、b＜0、c＞0B．a＞0、b＜0、c＜0C．a＜0、b＞0、c＞0D．a＜0、b＞0、c＜09．如图，△ABC内接于半径为的半⊙O，AB为直径，点M是的中点，连接BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，且D为BM的中点，则BC的长为（）A．B．C．D．10．二次函数y＝x2+px+q，当0≤x≤1时，设此函数最大值为8，最小值为t，w＝s﹣t，（s 为常数）则w的值（）A．与p、q的值都有关B．与p无关，但与q有关C．与p、q的值都无关D．与p有关，但与q无关二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分.请把答案填在题中的横线上）11．当x＝0时，函数y＝2x2+4的值为．12．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC依次交l1、l2、l3于A、B、C三点，直线DF依次交l1、l2、l3于D、E、F三点，若，DE＝2，则EF＝．12题14题15题13．已知线段AB＝2，如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么AP的值为．14．如图，在5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与BD交于E，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）15．如图，将平行四边形ABCD绕点A顺时针旋转，其中B，C，D分别落在点E，F，G 处，且点B，E，D，F在一直线上，BC＝2，若点E是BD的中点，则AB的长度为．16．已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）．当a﹣b为整数时，ab＝．三、解答题：(本大题共7小题，共66分）17．已知x：y＝2：3，求：（1）的值；（2）若x+y＝15，求x，y的值．18．已知二次函数y＝x2+bx+c过（1，0），（0，﹣3）．（1）求该二次函数的解析式；（2）若﹣1≤x≤1，求y的取值范围．19．一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀．（1）从中任意摸出1个球；①判断摸到什么颜色的球可能性最大？②求摸到黄颜色的球的概率；（2）如果把白球拿出来，将剩下的5个球摇匀，从中任意摸出2个球，求摸到2个都是黄颜色球的概率．20．某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计．这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m，直角三角形较短直角边长n，且n＝m﹣2，大正方形的面积为S．（1）求S关于m的函数关系式；（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求m的值．21．如图，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，AH⊥BC于H．（1）若，求证：CH＝HO；（2）若BC＝10，AC＝6；①求AH的长；②若DB∥OA，求DB的长．22．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+c，y2＝﹣x2+bx﹣c（b，c是实数）．（1）若函数y1的图象经过点（r，g），求证函数y2的图象经过点（﹣r，﹣g）．（2）设函数y1和函数y2的最值分别为m和n；①若函数y1的图象先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到函数y3，若函数y3的最值为k，若k＝n，求b，c的值．②若m＝n且函数y1的图象经过点（p，q）和（p+6，q）两点，求q的值．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC．（1）求证：∠CGF＝∠AGD．（2）已知∠DGF＝120°，AB＝4．①求CD的长．②若，求△CDG与△ADG的面积之比．浙教版九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题1．B．2．C．3．D．4．C．5．B．6．D．7．D．8．解：由题意得：，解得，由c﹣4a＜0得，﹣5a﹣4a＜0，故a＞0，则b＜0，c＜0，故选：B．9．如图，△ABC内接于半径为的半⊙O，AB为直径，点M是的中点，连接BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，且D为BM的中点，则BC的长为（）∵AB是直径，∴∠AMB＝90°，∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵＝，∴∠CBM＝∠ABM，∵∠CAD＝∠BAD，∴∠DAB+∠DBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠DBA）＝135°，∵∠ADM＝180°﹣∠ADB＝45°，∴MA＝MD，∵DM＝DB，∴BM＝2AM，设AM＝x，则BM＝2x，∵AB＝2，∴x2+4x2＝20，∴x＝2（负根已经舍弃），∴AM＝2，BM＝4，∵•AM•BM＝•AB•MH，∴MH＝，∴OH＝，∵，∴OM⊥AC，∴AF＝FC，∵OA＝OB，∴BC＝2OF，∵∠OHM＝∠OF A＝90°，∠AOF＝∠MOH，OA＝OM，∴△OAF≌△OMH（AAS），∴OF＝OH＝，∴BC＝2OF＝．故选：C．10．二次函数y＝x2+px+q，当0≤x≤1时，设此函数最大值为8，最小值为t，w＝s﹣t，（s为常数）则w的值（）A．与p、q的值都有关B．与p无关，但与q有关C．与p、q的值都无关D．与p有关，但与q无关解：∵二次函数y＝x2+px+q＝（x+）2+，∴该抛物线的对称轴为x＝﹣，且a＝1＞0，当x＝﹣＜0，∴当x＝1时，二次函数有最大值为：1+p+q＝8，即p+q＝7，∴当x＝0时，二次函数有最小值为：q＝t，即t＝7﹣p，当x＝﹣＞1，∴当x＝0时，二次函数有最大值为：q＝8，∴当x＝1时，二次函数有最小值为：1+p+q＝t，即t＝9+p，当0≤﹣＜此时当x＝1时，函数有最大值1+p+q＝8，当x＝﹣时，函数有最小值q﹣＝t，即t＝7﹣p﹣，＜﹣≤1，当x＝0时，函数有最大值q＝8，当x＝﹣时，函数有最小值q﹣＝t，即t＝8﹣，x＝﹣＝，当x＝0或1时．函数有最大值q＝8，当x＝﹣时，函数有最小值q﹣＝t，即t＝8﹣∵w＝s﹣t，∴w的值与p有关，但与q无关，故选：D．二．填空题（共6小题）11．4．12．EF＝ 1.5．13．﹣1．14．π﹣．（结果保留π）解：连接AD，AE，∵AD＝AB＝＝，BD＝＝，∴AD2+AB2＝BD2，∴∠BAD＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∵∠ACB＝90°，∴AB是圆的直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AE，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴弧BE所对的圆心角为90°，∴图中阴影部分的面积＝﹣×＝﹣．15．AB的长度为．【分析】过点A作AH⊥BE于H，由平行四边形的性质和旋转的性质可证BD＝BC＝2，由等腰三角形的性质可得EH＝BH＝，由勾股定理可求AH的长，即可求解．解：如图，过点A作AH⊥BE于H，∴AH＝＝＝，∴AB＝＝＝，∴△ABE∽△BDC，∴，∴AB2＝1×2，∴AB＝16．已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）．当a ﹣b为整数时，ab＝．解：依题意知a＜0，，故b＜0，且b＝﹣a﹣1，a﹣b＝a﹣（﹣a﹣1）＝2a+1，于是﹣1＜a＜0，又∵a﹣b为整数，∴2a+1＝0，解得，a＝﹣，∴b＝﹣a﹣1＝﹣（﹣）﹣1＝﹣，∴ab＝（﹣）×（﹣）＝，故答案为：．三．解答题17．（1）＝＝﹣2；（2）∴x＝6，y＝9．18．（1）则二次函数解析式为y＝x2+2x ﹣3；（2）故当﹣1≤x≤1时，y的取值范围为﹣4≤y≤0．19．解：（1）①∴摸到红球的可能性最大；②摸到黄颜色的球的概率是＝；（2）∴摸到2个都是黄颜色球的概率为＝．20．解：（1）∴S关于m的函数关系式为S＝5m2﹣12m+8（m＞2）；（2）由（1）知，S＝5m2﹣12m+8＝5（m﹣1.2）2+0.8，∴当大正方形面积最大时，m＝3．21．【解答】（1）证明：∵，∴∠AOB＝2∠AOC，∴∠AOC＝×180°＝60°，∵AO＝CO，∴△AOC是等边三角形，∵AH⊥BC于H，∴CH＝HO；（2）解：①∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝90°，∴AB＝＝＝8，∵BC•AH＝AB•AC，∴AH＝＝＝4.8；②连接CD交OA于E，则∠BDC＝90°＝∠AHO，∵DB∥OA，∴∠CBD＝∠AOC，∴△AHO∽△CDB，∴，∴，∴CD ＝9.6，根据勾股定理得，DB＝＝＝2.8．22．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+c，y2＝﹣x2+bx﹣c（b，c是实数）．（1）若函数y1的图象经过点（r，g），求证函数y2的图象经过点（﹣r，﹣g）．（2）设函数y1和函数y2的最值分别为m和n；①若函数y1的图象先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到函数y3，若函数y3的最值为k，若k＝n，求b，c的值．②若m＝n且函数y1的图象经过点（p，q）和（p+6，q）两点，求q的值．解：（1）∵函数y1的图象经过点（r，g），∴g＝r2+br+c，∴﹣g＝﹣r2﹣br﹣c，把x＝﹣r代入y2＝﹣x2+bx﹣c得，y2＝﹣r2﹣br﹣c＝﹣g，∴函数y2的图象经过点（﹣r，﹣g）；（2）函数y1的图象先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到函数y3＝（x﹣2）2+b （x﹣2）+c﹣2，即y3＝x2+（b﹣2）x+2﹣2b+c，∵函数y3的最值为k，且k＝n，∴＝，整理得4﹣4b＝0，解得b＝1，∴y3＝x2﹣x+c，y2＝﹣x2+x﹣c，∴函数y2的图象与函数y3的图象关于x轴对称，∴k＝n＝0，∴＝0，∴4c＝b2＝1，∴c＝；（3）∵函数y1和函数y2的最值分别为m和n，∴m＝，n＝，∵m＝n，∴＝，∴8c＝2b2，即c＝，∴y1＝x2+bx+＝（x+）2，∵函数y1的图象经过点（p，q）和（p+6，q）两点，∴﹣＝＝p+3，∴y1＝（x﹣p﹣3）2，∴q＝（p﹣p﹣3）2＝9．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC．（1）求证：∠CGF＝∠AGD．（2）已知∠DGF＝120°，AB＝4．①求CD的长．②若，求△CDG与△ADG的面积之比．【解答】（1）证明：连接AC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴DE＝CE，∴AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵四边形ADCG是圆内接四边形，∴∠CGF＝∠ADC，∵∠AGD＝∠ACD，∴∠CGF＝∠AGD；（2）解：①连接BD，∵∠∠DGF＝120°，∴∠AGD＝180°﹣120°＝60°，∴∠ACD＝∠ABD＝∠AGD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∵AB是直径，∴∠ADB ＝90°，∴sin∠ABD＝＝，∵AB＝4，∴CD＝AD＝2；②∵∠DAG＝∠F AD，∠AGD＝∠ADC，∴△ADG∽△AFD，∴，∵，AD＝CD＝2，∴＝，∴DF＝3，AF•AG＝AD2＝12，∴CF＝DF﹣CD＝，∵∠GCF＝∠DAF，∠F＝∠F，∴△FCG∽△F AD，∴＝，∴FG•F A＝FC•FD＝＝9，∴＝，即＝，∴，∵＝，∴，∴＝．。
专题6-5反比例函数的k的几何意义大题专练(重难点培优30题,八下浙教)--2(0002)
【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题6.5反比例函数的k的几何意义大题专练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、解答题1．（2019秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，反比例函数的图象过点A（2，3）．（1）求反比例函数的解析式；（2）过A点作AC⊥x轴，垂足为C．若P是反比例函数图象上的一点，求当⊥P AC的面积等于6时，点P 的坐标．2．（2021春·浙江湖州·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，过点M(0,2)的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y=6x (x>0)和y=kx(x<0)的图象交于点P，点Q．（1）求点P的坐标；（2）若△POQ的面积为7，求k的值．3．（2020春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知图中的曲线是反比例函数y＝m−5x（m为常数）图象的一支．（1）根据图象位置，求m的取值范围；（2）若该函数的图象任取一点A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当⊥OAB的面积为4时，求m的值．(x>0)和一次函数y2=kx+b的图象都经过点4．（2022·浙江嘉兴·校考一模）如图，反比例函数y1=mxA(1,4)和点B(n,2)．（1）m=_________，n=_________；（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1<y2时x的取值范围；(x>0)的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积（3）若点P是反比例函数y1=mx为_________．5．（2020春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，已知点A（2，m）是反比例函数y＝k的图象上一点，过点Ax作x轴的垂线，垂足为B，连结OA，⊥ABO的面积为6．（1）求k和m的值；（2）直线y＝2x+a（a≤0）与直线AB交于点C与反比例函数图象交于点E，F；⊥若a＝0，已知E（p，q），则F的坐标为（用含p，q的坐标表示）；⊥若a＝﹣2．求AC的长．6．（2019春·浙江金华·八年级校考期末）如图，平行四边形ABOC的顶点A,C分别在y轴和x轴上，顶点B在反比例函数y=3x的图象上，求平行四边形ABOC的面积．7．（2018·浙江宁波·校联考一模）已知反比例函数y=kx的图象过点A（3，2）．（1）试求该反比例函数的表达式；（2）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB⊥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC⊥y轴，交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．8．（2018秋·浙江·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y=6x （x＞0）和y=kx（x＜0）的图象交于点P、点Q．（1）求点P的坐标；（2）若△POQ的面积为8，求k的值．9．（2019·浙江绍兴·统考一模）如图，反比例函数y=kx（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．（1）求反比例函数的解析式；（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：⊥四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；⊥矩形的面积等于k的值．10．（2015·浙江台州·九年级学业考试）如图，反比例函数y=k在第一象限的图象经过矩形OABC对角线的x交点E，与BC交于点D，若点B的坐标为（6，4）．（1）求E点的坐标及k的值；（2）求△OCD的面积．11．（2019秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，已知双曲线y=k（x＞0）经过长方形OABC的边xAB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，求k的值．12．（2020春·浙江杭州·八年级统考期末）已知点M，P是反比例函数y＝k（k＞0）图象上两点，过点M作xMNMN⊥x轴，过点P作PQ⊥x轴，垂足分别为点N，Q．若PQ＝12（1）若点P在第一象限内，点M坐标为(1，2)，求P的坐标；（2）若S△MNP＝2，求k的值；（3）设点M(1－2n，y1)、P(2n＋1，y2)，且y1＜y2，求n的范围．(k>0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y 13．（2022·浙江·九年级专题练习）背景：点A在反比例函数y=kx轴于点C，分别在射线AC,BO上取点D,E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC=4时，小李测得CD=3．探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．（1）求k的值．（2）设点A,D的横坐标分别为x,z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x>0时“Z函数”的图象．⊥求这个“Z函数”的表达式．⊥补画x<0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．⊥过点(3,2)作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．14．（2019·浙江杭州·九年级）已知函数y={−4x,x<0−x2+4x,x≥0，方程y−a=0有三个根，且x1<x2<x3；（1）在右图坐标系中画出函数y的图像，并写出a的取值范围；（2）求x1+x2+x3的取值范围．15．（2022秋·河南周口·九年级校考期末）如图，双曲线y=kx上的一点M(a,b)，其中b>a>0，过点M作MN⊥x轴于点N，连接OM．(1)已知△MON的面积是4，求k的值；(2)将△MON绕点M逆时针旋转90°得到△MQP，且点O的对应点Q恰好落在该双曲线上，求ab的值．16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，直线y=kx与反比例函数y=2x(k≠0,x>0)的图像交于点A(1,a)，点B是此反比例函数图形上任意一点（不与点A重合），BC⊥x轴于点C．(1)求k的值；(2)求△OBC的面积；17．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，点A在反比例函数y=kx(x>0)的图像上，AB⊥x轴，垂足为B，ABOB =12,AB=2．(1)求k的值：(2)点C在这个反比例函数图像上，且∠BAC=135°，求OC的长．18．（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD的面积为8，它的边CD位于x轴上．双曲线y=4x 经过点A，与矩形的边BC交于点E，点B在双曲线y=4+kx上，连接AE并延长交x轴于点F，点G与点О关于点C对称，连接BF，BG．(1)求k的值；(2)求△BEF的面积；(3)求证：四边形AFGB为平行四边形．19．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）如图，A为反比例函数y=kx(k<0)的图象上一点，AP⊥y轴，垂足为P．(1)联结AO，当S△APO=2时，求反比例函数的解析式；(2)联结AO，若A(−1,2)，y轴上是否存在点M，使得S△APM=S△APO，若存在，求出M的坐标：若不存在，说明理由，(3)点B在直线AP上，且PB=3PA，过点B作直线BC∥y轴，交反比例函数的图象于点C，若△PAC的面积为4，求k的值．20．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=⋯=A n−1A n=2，过点A1、A2、A3…、A n分别作x轴的垂线与反比例函数y=10x的图像相交于点P1、P2、P3…、P n得直角三角形OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、A3P4A4、…、A n−1P n A n，并设其面积分别为S1、S2、S3…、S n．(1)求P2、P3、Pn、的坐标(2)求S n的值；21．（2022秋·广东肇庆·九年级校考期末）如图，点C是反比例函数y=k图象的一点，点C的坐标为(4,−1)．x(1)求反比例函数解析式；(2)若一次函数y=ax+3与反比例函数y=k相交于A，C点，求点A的坐标；x(3)在x轴上是否存在一个点P，使得△PAC的面积为10，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．22．（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中学校考模拟预测）如图，点D双曲线上，AD垂直x轴，垂足为A，点C在AD上，CB平行于x轴交曲线于点B，直线AB与y轴交于点F，已知AC：AD=1：3，点C的坐标为(2,2)．(1)求该双曲线的解析式；(2)求△OFA的面积．23．（2022秋·上海·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点M为x正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y=8x (x>0)和y=kx(x>0)的图像交于P,Q两点，SΔPOQ=14(1)求k的值；(2)当∠QOM=45°时，求直线OQ的解析式；(3)在（2）的条件下，若x轴上有一点N，使得△NOQ为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的N点的坐标．24．（2022·山东菏泽·山东省郓城第一中学校考模拟预测）如图，动点P在函数y=3x（x＞0）的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线，交函数y=−1x的图象于点A、B，连接AB、OA、OB．设点P横坐标为a．(1)直接写出点P、A、B的坐标（用a的代数式表示）；(2)点P在运动的过程中，⊥AOB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；(3)在平面内有一点Q（13，1），且点Q始终在△P AB的内部（不包含边），求a的取值范围．25．（2022秋·九年级课时练习）如图，菱形ABCD的边长为5，AD⊥y轴，垂足为点E，点A在第二象限，点B在y轴的正半轴上，点C、D均在反比例函数y=kx (k≠0,x>0)的图像上，连接BD，点B(0,34)．(1)求反比例函数的表达式；(2)点D的横坐标为1，反比例函数的图像上是否存在一点P，使得△BPC的面积是菱形ABCD面积的1，若存4在，求出点P的坐标；若不存在，请说出理由．(x>0)图象上一点，26．（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考一模）如图，点B(4,a)是反比例函数y=12x(x>0)的图象经过OB的中点M，与AB，BC 过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y=kx分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，连接BF．(1)求k的值；(2)求△BDF的面积；(3)设直线DE的解析式为y=k1x+b，请结合图像直接写出不等式k1x+b<k的解集______．x27．（2022·山东聊城·统考二模）已知点A为函数y=4（x>0）图象上任意一点，连接OA并延长至点B，使xAB=OA，过点B作BC∥x轴交函数图象于点C，连接OC．(1)如图1，若点A的坐标为(4,n)，求n及点C的坐标；(2)如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，求四边形OCDA的面积．(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分28．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，反比例函数y=kx别与AB、BC相交于点D、E．(1)若点B(8,4)，求k的值；(x>0)的解析式．(2)若四边形ODBE的面积为6，求反比例函数y=kx29．（2022·全国·九年级专题练习）已知点A(a,ma+2)、B(b,mb+2)是反比例函数y=k图象上的两个点，x且a>0，b<0，m>0．(1)求证：a+b=−2；m(2)若OA2+OB2=2a2+2b2，求m的值；(3)若S△OAB=3S△OCD，求km的值．30．（2021秋·四川成都·九年级统考期末）如图，已知A(2,4)是正比例函数函数y=kx的图象与反比例函数y=m的图象的交点．x(1)求反比例函数和正比例函数的解析式；(2)B为双曲线上点A右侧一点，连接OB,AB．若△OAB的面积为15，求点B的坐标．。
浙教版九年级数学上册同步练习：4.2 由平行线截得的比例线段
4.2 由平行线截得的比例线段一．填空题1．（2019春•诸城市期末）如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c 于点D，E，F．若＝，则＝．2．（2019•吴兴区一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，，AD＝2，则BD长为．3．（2018秋•马鞍山期末）已知：AM：MD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC＝．4．（2018秋•杨浦区期中）如图，AD、BC相交于点O，点E、F分别在BC、AD上，AB∥CD∥EF，如果CE＝2，EB ＝5，AF＝3，那么AD＝．5．（2018•荔湾区校级二模）如图△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，若DE＝2AD，AE＝2，那么AC＝．二．选择题6．（2019•萧山区模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于D，E，F．已知，则（）A．B．C．D．7．（2018秋•大连期末）在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DE∥AC，EF∥AB，若BD＝2AD，则的值为（）A．B．C．D．8．（2018秋•平房区期末）已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝9．（2019春•兴宾区校级月考）如图，点F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论正确的有（）①＝；②＝；③＝；④＝．A．1个B．2个C．3个D．4个10．（2019•安徽模拟）如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，AD＝4DE，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC的值是（）A．3：2 B．4：3 C．2：1 D．2：311．（2019•青海）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则DF的长为（）A．3.6 B．4.8 C．5 D．5.212．（2019春•龙口市期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，CE的长为（）A．2 B．4 C．3 D．513．（2019春•门头沟区期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，若AD＝2，BD＝1，AE ＝3，则EC的长是（）A．B．1 C．D．614．（2019•香坊区二模）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交直线l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交直线l1、l2、l3于点D、E、F，直线AC、DF交于点P，则下列结论错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝15．（2018秋•徐州期末）如图，AB与CD交于点O，若要AC∥DB，只需添加条件（）A．＝B．＝C．＝D．＝三．解答题16．（2018秋•榆林期末）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，且DE∥BC，AB＝6，AE＝3，CE＝2，求BD 的长．17．（2018秋•房山区校级月考）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．（1）求证：AF：FD＝AD：DB；（2）若AB＝15，AD：BD＝2：1，求DF的长．18．（2017秋•兴庆区校级期中）如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，求线段BF的长．19．（2018秋•浦东新区期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，＝．（1）若BD＝20，求BG的长；（2）求的值．20．如图，AD是△ABC的中线，E是AC上任一点，BE交AD于点O，数学兴趣小组的同学在研究这个图形时，得到如下结论：（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，猜想，当时，（n是正整数），的一般结论，并说明理由．参考答案一．填空题1．（2019春•诸城市期末）如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c 于点D，E，F．若＝，则＝．【思路点拨】先由＝，根据比例的性质可得＝，再根据平行线分线段成比例定理求解即可．【答案】解：∵＝，∴＝，∵直线a∥b∥c，∴＝＝，故答案是：．【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．2．（2019•吴兴区一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，，AD＝2，则BD长为4．【思路点拨】结合平行线分线段成比例定理以及比例的基本性质证明即可．【答案】解：∵在△ABC中，DE∥BC，，AD＝2，∴，即，解得：BD＝4，故答案为：4【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．同时考查了比例的性质．3．（2018秋•马鞍山期末）已知：AM：MD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC＝8：5．【思路点拨】过点D作DF∥BE，再根据平行线分线段成比例，而为公共线段，作为中间联系，整理即可得出结论．【答案】解：过点D作DF∥BE交AC于F，∵DF∥BE，∴△AME∽△ADF，∴AM：MD＝AE：EF＝4：1＝8：2∵DF∥BE，∴△CDF∽△CBE，∴BD：DC＝EF：FC＝2：3∴AE：EC＝AE：（EF+FC）＝8：（2+3）∴AE：EC＝8：5．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用，作出辅助线，利用中间量EF即可得出结论．4．（2018秋•杨浦区期中）如图，AD、BC相交于点O，点E、F分别在BC、AD上，AB∥CD∥EF，如果CE＝2，EB ＝5，AF＝3，那么AD＝．【思路点拨】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；【答案】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，∵CE＝2，EB＝5，AF＝3，∴＝，∴DF＝，∴AD＝AF+DF＝3+＝．故答案为．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．（2018•荔湾区校级二模）如图△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，若DE＝2AD，AE＝2，那么AC＝6．【思路点拨】首先证明BD＝DE＝2AD，再由DE∥BC，可得＝，求出EC即可解决问题；【答案】解：∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠DEB＝∠DBE，∴DB＝DE，∵DE＝2AD，∴BD＝2AD，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴EC＝4，∴AC＝AE+EC＝2+4＝6，故答案为6．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二．选择题6．（2019•萧山区模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于D，E，F．已知，则（）A．B．C．D．【思路点拨】由直线l1∥l2∥l3，可得＝＝，由此即可解决问题．【答案】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴＝＝，∴＝，故选：C．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（2018秋•大连期末）在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DE∥AC，EF∥AB，若BD＝2AD，则的值为（）A．B．C．D．【思路点拨】直接利用平行线分线段成比例定理解答即可．【答案】解：∵DE∥AC，EF∥AB，BD＝2AD，∴，故选：A．【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，正确得出比例式是解题关键．8．（2018秋•平房区期末）已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【思路点拨】首先证明四边形DECH是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可．【答案】解：∵DE∥BC，DH∥AC，∴四边形DECH是平行四边形，∴DH＝CE，DE＝CH，∵DE∥BC，∴＝＝，故选项A正确，不符合题意，∵DH∥CG，∴＝＝，故C正确，不符合题意，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故D正确，不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．（2019春•兴宾区校级月考）如图，点F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论正确的有（）①＝；②＝；③＝；④＝．A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，然后根据平行线分线段成比例定理，对各个结论进行分析即可求得答案．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，∴＝，故①正确；∴＝，即＝，故②正确；∴＝，故③错误；∴＝，即＝，故④正确．故选：C．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．10．（2019•安徽模拟）如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，AD＝4DE，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC的值是（）A．3：2 B．4：3 C．2：1 D．2：3【思路点拨】过点D作DG∥AC，与BF交于点G．于是FC＝2DG，AF＝3DG，因此AF：FC＝3DG：2DG＝3：2．【答案】解：过点D作DG∥AC，与BF交于点G．∵AD＝4DE，∴AE＝3DE，∵AD是△ABC的中线∴，∴，即AF＝3DG∴，即FC＝2DG，∴AF：FC＝3DG：2DG＝3：2．故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，正确作出辅助线充分利用平行线分线段成比例的性质是解题的关键．11．（2019•青海）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则DF的长为（）A．3.6 B．4.8 C．5 D．5.2【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．【答案】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝，∴EF＝3.6，∴DF＝EF+DE＝3.6+1.2＝4.8，故选：B．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（2019春•龙口市期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，CE的长为（）A．2 B．4 C．3 D．5【思路点拨】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【答案】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∴BE＝＝＝10，∴CE＝BE﹣BC＝10﹣6＝4，故选：B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，正确列出比例式是解题的关键．13．（2019春•门头沟区期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，若AD＝2，BD＝1，AE ＝3，则EC的长是（）A．B．1 C．D．6【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．【答案】解：∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴EC＝，故选：A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（2019•香坊区二模）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交直线l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交直线l1、l2、l3于点D、E、F，直线AC、DF交于点P，则下列结论错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．【答案】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，A正确，不符合题意；＝，B正确，不符合题意；＝，C错误，符合题意；＝＝，∴＝，D正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．15．（2018秋•徐州期末）如图，AB与CD交于点O，若要AC∥DB，只需添加条件（）A．＝B．＝C．＝D．＝【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理即可求解．【答案】解：如图，∵＝，∴AC∥DB．故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边是解题的关键．三．解答题16．（2018秋•榆林期末）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，且DE∥BC，AB＝6，AE＝3，CE＝2，求BD 的长．【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理得到∴＝，则利用比例性质可计算出AD，然后计算AB﹣AD 即可．【答案】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，∴AD＝，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣＝．答：BD的长为．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．17．（2018秋•房山区校级月考）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．（1）求证：AF：FD＝AD：DB；（2）若AB＝15，AD：BD＝2：1，求DF的长．【思路点拨】（1）利用平行线分线段成比例定理，由EF∥CD得到，由DE∥BC得到，然后利用等量代换可得到结论；（2）根据比例的性质由AD：BD＝2：1可计算出AD＝10，则利用AF：FD＝AD：DB得到AF＝2DF，然后利用2DF+DF ＝10可计算出DF．【答案】（1）证明：∵EF∥CD，∴，∵DE∥BC，∴∴＝．（2）∵AD：BD＝2：1，∴BD＝AD，∴AD+AD＝15，∴AD＝10，∵AF：FD＝AD：DB，∴AF：FD＝2：1，∴AF＝2DF，∵AF+DF＝10，∴2DF+DF＝10，∴DF＝．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．18．（2017秋•兴庆区校级期中）如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，求线段BF的长．【思路点拨】根据平行四边形的判定和平行线分线段成比例解答即可．【答案】解：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∴FC＝DE＝5 cm．∵DF∥AC，∴即∴BF＝10（cm）．【点睛】此题考查平行线分线段成比例，关键是根据平行四边形的判定和平行线分线段成比例解答．19．（2018秋•浦东新区期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，＝．（1）若BD＝20，求BG的长；（2）求的值．【思路点拨】（1））由GF∥BC推出＝即可解决问题；（2）由AB∥CD，AB＝CD，推出＝，＝，可得＝解决问题；【答案】解：（1）∵GF∥BC，∴＝，∵BD＝20，＝∴BG＝8．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝．【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．如图，AD是△ABC的中线，E是AC上任一点，BE交AD于点O，数学兴趣小组的同学在研究这个图形时，得到如下结论：（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，猜想，当时，（n是正整数），的一般结论，并说明理由．【思路点拨】应用比例关系，需创造平行线，因此需要添加辅助线解决问题．辅助线添加方法：过D点作DF∥BE交AC于点F．【答案】解：当时，（n是正整数），＝．过D点作DF∥BE交AC于点F，∵，＝，∵AD是△ABC的中线，∴D是BC的中点，∵BE∥DF，∴EF＝CF，∴＝．利用中位线定理即可得证．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练运用其性质求解一些简单的计算、证明问题．。
浙教版2018-2019学年九年级数学竞赛试卷(一)及答案
浙教版2018-2019学年九年级数学竞赛试卷(一)一．选择题（共5小题，满分30分，每小题6分）1．已知x为实数，且﹣（x2+3x）=2，则x2+3x的值为（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣3 D．﹣1或32．已知下列命题：①对顶角相等；②若a＞b＞0，则＜；③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；④抛物线y=x2﹣2x与坐标轴有3个不同交点；⑤边长相等的多边形内角都相等．从中任选一个命题是真命题的概率为（）A．B．C．D．3．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜74．如图，AB是圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，∠DPB=60°，D是的中点，则的值是（）A．B．2 C．D．5．If a is odd number，the there must exist an integer n such that a2﹣1=（）A．3n B．5n C．8n D．16n二．填空题（共5小题，满分30分，每小题6分）6．对于实数m、n，定义一种运算“*”为：m*n=mn+n．如果关于x的方程x*（a*x）=有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a的值是．7．一个班共有44人，全部报名参加了学校组织的兴趣活动小组，参加数学兴趣活动小组的有38人，参加物理兴趣活动小组的有35人，则既参加数学兴趣活动小组又参加物理活动兴趣小组的有人．8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M，N分别为AB，CD的中点，连接MN分别交BD，AC于点P，Q，且∠FPQ=∠FQP，若BD=9，则AC=．9．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG在直线AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE=9，则△ABC的面积为．10．方程组的所有正整数解是．三．解答题（共4小题，满分60分，每小题15分）11．（15分）如图，△ABC中，BC=6，AC=4，∠C=45°，P为BC边上的动点，过P作PD∥AB 交AC于点D，连接AP，△ABP，△APD，△CDP的面积分别记为S1，S2，S3，设BP=x．（1）试用x的代数式分别表示S1，S2，S3；（2）当P点在什么位置时，△APD的面积最大，并求最大值．12．（15分）已知a，b，c是三个两两不同的奇质数，方程有两个相等的实数根．（1）求a的最小值；（2）当a达到最小时，解这个方程．13．（15分）（1）若a、b、c为一个三角形的三边，且满足（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0．探索这个三角形的形状，并说明理由；（2）若x、y、z为一个三角形的三个内角的度数，且满足36x2+9y2+4z2﹣18xy﹣6yz﹣12zx=0．探索这个三角形的形状，并说明理由．14．（15分）41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由．参考答案1．解：设x2+3x=y，则原方程变为：﹣y=2，方程两边都乘y得：3﹣y2=2y，整理得：y2+2y﹣3=0，（y﹣1）（y+3）=0，∴y=1或y=﹣3，当x2+3x=1时，△＞0，x存在．当x2+3x=﹣3时，△＜0，x不存在．∴x2+3x=1，故选：A．2．解：①对顶角相等，故此选项正确；②若a＞b＞0，则＜，故此选项正确；③对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故此选项错误；④抛物线y=x2﹣2x与坐标轴有2个不同交点，故此选项错误；⑤边长相等的多边形内角不一定都相等，故此选项错误；从中任选一个命题是真命题的概率为：．故选：B．3．解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O=30°，AD=2，∴OA=4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC=3，∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB=OA+AB=4+2+3=9，∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选：A．4．解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．而∠DPB=60°，∴∠APC=60°．∴∠CAD=30°．又∵D是的中点，∴∠CAD=∠BAD=30°．∴∠ABC=180°﹣30°﹣30°﹣90°=30°．∴=．故选：A．5．解：∵a是奇数，∴设a=2n﹣1（n≥2），∴a2﹣1=（2n﹣1）2﹣1=[（2n﹣1）+1]×[（2n﹣1）﹣1]=2n（2n﹣2）=4n（n﹣1）如果n是偶数，则必然有﹣x使n=2x，原式=8x（n﹣1）；如果n是奇数，则（n﹣1）为偶数，必然有﹣y使（n﹣1）=2y，原式=8yn．综上，任意奇数的平方减去1后都是8的倍数．故选：C．6．解：由x*（a*x）=﹣，得（a+1）x2+（a+1）x+=0，依题意有a+1≠0，△=（a+1）2﹣（a+1）=0，解得，a=0，或a=﹣1（舍去）．故答案为：0．7．解：∵没有参加数学小组的人：44﹣38=6人，没有参加物理小组的人：44﹣35=9人，∴两者都参加的有：44﹣（6+9）=29人．8．解：取线段BC的中点E，连接EM、EN，如图所示．∵M、N，E分别为AB，CD，BC的中点，∴ME∥AC，ME=AC，NE∥BD，NE=BD=，∴∠EMN=∠FQP，∠ENM=∠FPQ．又∵∠FPQ=∠FQP，∴∠EMN=∠ENM．∴ME=NE=．∴AC=2ME=9．故答案为：9．9．解：设⊙I切AC与M，切BC于N，半径为r，则AD=AM，CM=CN=r，BD=BN，r=（AC+BC﹣AB），∵AB为半圆的直径，∴∠ACB=90°，∴AB2=AC2+BC2，∴AD•DB=AM•BN=（AC﹣r）（BC﹣r）=[AC﹣（AC+BC﹣AB）][BC﹣（AC+BC﹣AB）] =（AC﹣BC+AB）（AB+BC﹣AC）=（AB2﹣AC2﹣BC2+2AC•BC）=AC•BC，由射影定理得AD•DB=DE2=81，∴S△ABC=AC•BC=81，故答案为：81．10．解：∵⇒∵（y﹣z）2≥0⇒2yz≤y2+z2⇒2yz+y2+z2=2（y2+z2）⇒（y+z）2≤2（y2+z2）∴（y+z）2=（6x﹣20）2≤2（y2+z2）=2（1979﹣x2）于是（6x﹣20）2≤2（1979﹣x2）≤2×1978＜632注解到不等式（y+z）2≤2（y2+z2）有（y+z）2=（6x﹣20）2≤2（y2+z2）=2（1979﹣x2），于是（6x﹣20）2≤2（1979﹣x2）≤2×1978＜632，即﹣63＜6x﹣20＜63又∵y+z=6x﹣20是正整数∴0＜6x﹣20＜63，即，从而4≤x≤13．再由y+z为偶数，从而y2+z2为偶数，x2为奇数，进而x为奇数．∴x=5，7，9，11，13①当x=5时，，显然y、z正整数解不存在．②当x=7时，，显然y、z正整数解不存在．③当x=9时，，显然y、z正整数解不存在．④当x=11时，解得或；⑤当x=13时，解得或．故答案为11．解：（1）过A作AE⊥BC，则AE为BC边上的高，由Rt△AEC中，AC=4，∠C=45°，得到此三角形为等腰直角三角形，∴sin45°=，即AE=ACsin45°=4×=4，则△ABC中BC边上的高为4，设△CDP中PC边上的高为h，则；这样S1=2x，S3=，S2=12﹣2x﹣=；（2）S2===，所以当x=3时，y有最大值3；此时BP=3，即P是BC的中点．12．解：（1）∵方程有两个相等的实数根，∴△=5（a+1）2﹣900（b+c）=0，∴（a+1）2=22×32×5（b+c），∴5（b+c）应为完全平方数，最小值为52×22，∴a+1的最小值为60，∴a的最小值为59；（2）∵a=59时，b+c=20，则原方程为：20x2+60x+225=0，解得：x=﹣．13．解：（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，又∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（c﹣a）2≥0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，∴a=b=c∴这是一个等边三角形；（2）∵36x2+9y2+4z2﹣18xy﹣6yz﹣12zx=0①，①×2得：72x2+18y2+8z2﹣36xy﹣12yz﹣24zx=0，∴（36x2﹣36xy+9y2）+（36x2﹣24xz+4z2）+（9y2﹣12yz+4z2）=0，∴（6x﹣2z）2+（6x﹣3y）2+（3y﹣2z）2=0∴3x=z，2x=y，∵x+y+z=180°，∴x+3x+2x=180°，∴x=30°，y=60°，z=90°，∴该三角形是直角三角形．14．解：（1）能办到．注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，41，在每两数间留有空档，然后将所有的偶数依次反序插在各空档中，得1，40，3，38，5，36，7，34，8，35，6，37，4，39，2，41，这样任何相邻两数之和都是41或43，满足题目要求．（2）不能办到．若把1，2，3，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶，但现有20个偶数，21个奇数，总共有41个号码，由此引出矛盾，故不能办到．（注站成一排和站成一圈虽只一字之差，但却有着质的不同，因为一圈形成了首尾相接的情形．）。
浙教版九年级上期中试卷含答案解析初三数学
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A．B．C．D．2．下列方程中，是一元二次方程的是( )A．x2+﹣3=0B．4x2+3x﹣2=（2x﹣1）2C．（m+1）x2+3x+1=0D．2x2=03．若抛物线y=ax2与y=﹣（x﹣2）2﹣5的形状相同，开向相反，则a的值为( ) A．B．3C．﹣D．﹣34．二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是( )A．（1，﹣2）B．（1，﹣4）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣6）5．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，2），AC=4，则这种变换可以是( )A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移2B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移2C．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移6D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移66．我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是( )A．转化思想B．函数思想C．数形结合思想D．公理化思想7．如图，A、B、C、D在△O上，BC是△O的直径．若△D=36°，则△BCA的度数是( )A．72°B．54°C．45°D．36°8．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( )A．（3+x）（4﹣0.5x）=15B．（x+3）（4+0.5x）=15C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=159．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个10．边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，使点B落在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上．则抛物线y=ax2的函数解析式为( )A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣2x2D．y=﹣二、填空题（每题5分，共30分）11．点（2，3）关于原点对称的点的坐标是__________．12．已知二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m的两个实数根是__________．13．一个y关于x的二次函数同时满足两个条件：①顶点在x轴上；②当x＜2时，y随x的增大而减少，这个函数解析式为__________ （写出一个即可）．14．△ABC为△O的内接三角形，若△AOC=160°，则△ABC的度数是__________．15．如图，D是等腰直角三角形ABC内一点，BC为斜边，如果将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACE的位置，则△ADE的度数为__________．16．二次函数y=x2的图象如图所示，点A1，A2，A3，…，A在y轴正半轴上，B1，B2，B3，…，B在二次函数第一象限的图象上，若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△ABA都为等边三角形，求：△OB1A1的边长__________，△A1B2A2的边长__________，探究△ABA 的边长__________．三、解答题（第17～20题各8分，第21题10分，第22、23题各12分，第24题14分）17．解方程（1）x2﹣2x﹣1=0（2）（x﹣3）2﹣2x（3﹣x）=0．18．已知二次函数y=x2+2x+2k﹣4的图象与x轴有两个交点，求：（1）k的取值范围；（2）当k取最大整数值时，求抛物线与x轴的交点坐标．19．如图，已知，在平面直角坐标系中，A（﹣3，﹣4），B（0，﹣2）．（1）△OAB绕O点旋转180°得到△OA1B1，请画出△OA1B1，并写出A1，B1的坐标；（2）判断以A，B，A1，B1为顶点的四边形的形状，并说明理由．20．如图，AB是△O的直径，E是圆上一点，OE△BC交BC于点D，OD=3，DE=2，求BC与AD的长．21．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．22．如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，△BAC=△EAD=90°，点B在线段AE 上，点C在线段AD上．（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：__________；（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；②当AC=ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．23．阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}==；min{﹣1，2，3}=﹣1；min{﹣1，2a}=解决下列问题：（1）填空：min{，，（）0}=__________；如果min{2，2x+2，4﹣2x}=2，则x的取值范围为__________≤x≤__________．（2）①如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，求x；②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}=min{a，b，c}，那么__________（填a，b，c的大小关系）”③运用②的结论，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}=min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，则x+y=__________．（3）在同一直角坐标系中作出函数y=x+1，y=（x﹣1）2，y=2﹣x的图象（不需列表描点）．通过观察图象，填空：min{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最大值为__________．24．（14分）如图，抛物线C1：y=x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标；（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式；（3）若抛物线C2的对称轴存在点P，使△PAC为等边三角形，求m的值．-学年浙江省台州市三门县第一教研片九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】常规题型．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．下列方程中，是一元二次方程的是( )A．x2+﹣3=0B．4x2+3x﹣2=（2x﹣1）2C．（m+1）x2+3x+1=0D．2x2=0【考点】一元二次方程的定义．【专题】计算题．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、是分式方程，不是整式方程；故本选项错误；B、由原方程，得7x﹣3=0，未知数的最高次数是1，故本选项错误；C、当二次项系数m+1=0时，它不是一元二次方程；故本选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．3．若抛物线y=ax2与y=﹣（x﹣2）2﹣5的形状相同，开向相反，则a的值为( ) A．B．3C．﹣D．﹣3【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的二次项的系数互为相反数，两函数图象的形状相同，开口方向相反，可得答案．【解答】解：由y=ax2与y=﹣（x﹣2）2﹣5的形状相同，开向相反，得a=．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的二次项的系数互为相反数，两函数图象的形状相同，开口方向相反；二次函数的二次项的系数相等，两函数图象的形状相同，开口方向相同，位置不同．4．二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是( )A．（1，﹣2）B．（1，﹣4）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣6）【考点】二次函数的性质．【分析】利用公式法或配方法都可求出顶点坐标．【解答】解：（1）解法1：利用公式法y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，），代入数值求得顶点坐标为（1，﹣2）（2）解法2：利用配方法y=﹣x2+2x﹣3=﹣（x2﹣2x）﹣3=﹣（x2﹣2x+1﹣1）﹣3=﹣（x2﹣2x+1）+1﹣3=﹣（x﹣1）2﹣2，故顶点的坐标是（1，﹣2）．故选A．【点评】考查求抛物线的顶点坐标的方法．5．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，2），AC=4，则这种变换可以是( )A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移2B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移2C．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移6D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移6【考点】坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移．【专题】几何变换．【分析】观察各选项，先旋转再平移，则要顺时针旋转90°，由于AC=4，OC=2，则旋转后的三角形要向下平移6个单位得到Rt△ODE．【解答】解：把Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向下平移6个单位可得到Rt△ODE．故选C．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°；记住关于原点对称的点的坐标特征．也考查了平移变换．6．我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是( )A．转化思想B．函数思想C．数形结合思想D．公理化思想【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】上述解题过程利用了转化的数学思想．【解答】解：我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x （x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是转化思想，故选A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．7．如图，A、B、C、D在△O上，BC是△O的直径．若△D=36°，则△BCA的度数是( )A．72°B．54°C．45°D．36°【考点】圆周角定理．【分析】根据圆周角定理求出△B的度数，根据直径所对的圆周角是直角，求出△BAC的度数，得到答案．【解答】解：△B=△D=36°，△BC是△O的直径，△△BAC=90°，△△BCA=90°﹣△B=54°，故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角相等和径所对的圆周角是直角是解题的关键．8．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( )A．（3+x）（4﹣0.5x）=15B．（x+3）（4+0.5x）=15C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=15【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】销售问题．【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）=15即可．【解答】解：设每盆应该多植x株，由题意得（3+x）（4﹣0.5x）=15，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．9．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．【分析】①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式ax2+bx+c的最大值；②根据x=2时，y＜0确定4a+2b+c的符号；③根据抛物线的对称性确定一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和；④根据函数图象确定使y≤3成立的x的取值范围．【解答】解：△抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），△二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；△x=2时，y＜0，△4a+2b+c＜0，②正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的图象、二次函数的最值、二次函数与不等式，掌握二次函数的性质、正确获取图象信息是解题的关键．10．边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，使点B落在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上．则抛物线y=ax2的函数解析式为( )A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣2x2D．y=﹣【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】过点B向x轴引垂线，连接OB，可得OB的长度，进而得到点B的坐标，代入二次函数解析式即可求解．【解答】解：如图，作BE△x轴于点E，连接OB，△正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，△△AOE=75°，△△AOB=45°，△△BOE=30°，△OA=1，△OB=，△△OEB=90°，△BE=OB=，△OE=，△点B坐标为（，﹣），代入y=ax2（a＜0）得a=﹣，△y=﹣．故选B．【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式，关键是利用正方形的性质及相应的三角函数得到点B的坐标．二、填空题（每题5分，共30分）11．点（2，3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，﹣3）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，结合题意易得答案．【解答】解：根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，故点（2，3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，﹣3），故答案为：（﹣2，﹣3）．【点评】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．12．已知二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m的两个实数根是x1=1，x2=3．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】计算题．【分析】先确定抛物线的解析式为直线x=2，则利用抛物线的对称性可确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题可判断一元二次方程x2﹣4x+m=0的两个实数根．【解答】解：抛物线y=x2﹣4x+m（m为常数）的对称轴为直线x=﹣=2，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），所以关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的两个实数根是x1=1，x2=3．故答案为x1=1，x2=3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点问题转化为解关于x的一元二次方程问题．13．一个y关于x的二次函数同时满足两个条件：①顶点在x轴上；②当x＜2时，y随x的增大而减少，这个函数解析式为y=（x﹣2）2（写出一个即可）．【考点】二次函数的性质．【专题】开放型．【分析】由二次函数图象顶点在x轴上，可设二次函数为y=a（x﹣h）2，再由当x＜2时，y随x的增大而减少，可知抛物线开口向上，对称轴x=2（大于2的数值即可），由此得出答案即可．【解答】解：△y关于x的二次函数同时满足两个条件：①顶点在x轴上；②当x＜2时，y随x的增大而减少，△这个函数解析式为y=（x﹣2）2．（答案不唯一）．故答案为：y=（x﹣2）2．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次函数的增减性是以二次函数的对称轴为界的．14．△ABC为△O的内接三角形，若△AOC=160°，则△ABC的度数是80°或100°．【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案△ABC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得△AB′C的度数．【解答】解：如图，△△AOC=160°，△△ABC=△AOC=×160°=80°，△△ABC+△AB′C=180°，△△AB′C=180°﹣△ABC=180°﹣80°=100°．△△ABC的度数是：80°或100°．故答案为80°或100°．【点评】本题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解．15．如图，D是等腰直角三角形ABC内一点，BC为斜边，如果将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACE的位置，则△ADE的度数为45°．【考点】旋转的性质．【分析】如图，由题意可以判断△ADE为等腰直角三角形，即可解决问题．【解答】解：如图，由旋转变换的性质知：△EAD=△CAB，AE=AD；△△ABC为直角三角形，△△CAB=90°，△ADE为等腰直角三角形，△△ADE=45°，故答案为45°．【点评】该题考查了旋转变换的性质及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质．16．二次函数y=x2的图象如图所示，点A1，A2，A3，…，A2014在y轴正半轴上，B1，B2，B3，…，B2014在二次函数第一象限的图象上，若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2013B2014A2014都为等边三角形，求：△OB1A1的边长1，△A1B2A2的边长2，探究△A2013B2014A2014的边长2014．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．【专题】规律型．【分析】设△OB1A1的边长为a，根据等边三角形的性质表示出B1的坐标，然后代入二次函数解析式求解即可，△A1B2A2的边长为b，表示出B2的坐标，然后代入函数解析式得到关于b的方程求解即可，同理求出等边三角形△A2B3A3的边长，从而得到规律．【解答】解：设△OB1A1的边长为a，则点B1（a，a），△B1在二次函数y=x2的图象上，△×（a）2=a，解得a1=1，a2=0（舍去），设△A1B2A2的边长为b，则点B2（b，b+1），△B2在二次函数y=x2的图象上，△×（b）2=b+1，整理得，b2﹣b﹣2=0，解得b1=2，b2=﹣1（舍去），同理，等边三角形△A2B3A3的边长为3，…，△A2013B2014A2014的边长为2014．故答案为：1，2，2014．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，熟记性质并表示出点B系列的坐标是解题的关键．三、解答题（第17～20题各8分，第21题10分，第22、23题各12分，第24题14分）17．解方程（1）x2﹣2x﹣1=0（2）（x﹣3）2﹣2x（3﹣x）=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）利用配方法求得方程的解即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1=0x2﹣2x=1x2﹣2x+1=2（x﹣1）2=2x﹣1=±解得：x1=1+，x2=1﹣；（2）（x﹣3）2﹣2x（3﹣x）=0（x﹣3）（x﹣3+2x）=0x﹣3=0，3x﹣3=0，解得：x1=3，x2=1．【点评】本题考查了利用配方法和因式分解法解一元二次方程，解此题的关键是能根据方程的特点选择适当的方法解一元二次方程．18．已知二次函数y=x2+2x+2k﹣4的图象与x轴有两个交点，求：（1）k的取值范围；（2）当k取最大整数值时，求抛物线与x轴的交点坐标．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】计算题．【分析】（1）根据△＞0抛物线与x轴有2个交点得到22﹣4（2k﹣4）=﹣8k+20＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围；（2）在k的范围内的最大整数为2，则抛物线解析式为y=x2+2x，然后解方程x2+2x=0即可得到抛物线与x轴的交点坐标．【解答】解：（1）因为抛物线与x轴有两个交点，所以△=22﹣4（2k﹣4）=﹣8k+20＞0，解得k＜2.5；（2）k＜2.5的最大整数为2，当k=2时，抛物线解析式为y=x2+2x，当y=0时，x2+2x=0，解得x1=0，x2=﹣2．所以抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）（﹣2，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点问题转化为解关于x的一元二次方程问题；△=b2﹣4ac决定抛物线与x 轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．19．如图，已知，在平面直角坐标系中，A（﹣3，﹣4），B（0，﹣2）．（1）△OAB绕O点旋转180°得到△OA1B1，请画出△OA1B1，并写出A1，B1的坐标；（2）判断以A，B，A1，B1为顶点的四边形的形状，并说明理由．【考点】作图-旋转变换；平行四边形的判定．【专题】几何变换．【分析】（1）由于△OAB绕O点旋转180°得到△OA1B1，利用关于原点中心对称的点的坐标特征得到A1，B1的坐标，然后描点，再连结OB1、OA1和A1B1即可；（2）根据中心对称的性质得OA=OA1，OB=OB1，则利用对角线互相平分得四边形为平行四边形可判断四边形ABA1B1为平行四边形．【解答】解：（1）如图，A1（3，4），B1（0，2）；（2）以A，B，A1，B1为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：△△OAB绕O点旋转180°得到△OA1B1，△点A与点A1关于原点对称，点B与点B1关于原点对称，△OA=OA1，OB=OB1，△四边形ABA1B1为平行四边形．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平行四边形的判定．20．如图，AB是△O的直径，E是圆上一点，OE△BC交BC于点D，OD=3，DE=2，求BC与AD的长．【考点】圆周角定理；勾股定理．【分析】连接AC，根据题意求出△O的半径为5，根据勾股定理和垂径定理求出BC的长，根据三角形中位线定理求出AC=6，根据勾股定理求出AD的长．【解答】解：连接AC，△OD=3，DE=2，△OE=5，即△O的半径为5，在Rt△ODB中，BD==4，△OE△BC，△BC=2BD=8；△OE△BC，△BD=DC，又BO=OA，△OD是△ABC的中位线，△AC=2OD=6，△AB为△O的直径，△△C=90°，△AD==2．【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理和勾股定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直角、垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧是解题的关键．21．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】（1）根据题意得出长×宽=192，进而得出答案；（2）由题意可得出：S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值．【解答】解：（1）△AB=x，则BC=（28﹣x），△x（28﹣x）=192，解得：x1=12，x2=16，答：x的值为12或16；（2）△AB=xm，△BC=28﹣x，△S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196，△在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，△28﹣15=13，△6≤x≤13，△当x=13时，S取到最大值为：S=﹣（13﹣14）2+196=195，答：花园面积S的最大值为195平方米．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．22．如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，△BAC=△EAD=90°，点B在线段AE 上，点C在线段AD上．（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：BE=CD；（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；②当AC=ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，再根据等量关系可得线段BE与线段CD的关系；（2）①根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，根据旋转的性质可得△BAE=△CAD，根据SAS可证△BAE△△CAD，根据全等三角形的性质即可求解；②根据平行四边形的性质可得△ABC=△ADC=45°，再根据等腰直角三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）△△ABC和△AED都是等腰直角三角形，△BAC=△EAD=90°，△AB=AC，AE=AD，△AE﹣AB=AD﹣AC，△BE=CD；（2）①△△ABC和△AED都是等腰直角三角形，△BAC=△EAD=90°，△AB=AC，AE=AD，由旋转的性质可得△BAE=△CAD，在△BAE与△CAD中，，△△BAE△△CAD（SAS）△BE=CD；②△以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，△△ABC=△ADC=45°，△AC=ED，△AC=CD，△△CAD=45°或360°﹣90°﹣45°=225°，或360°﹣45°=315°△角α的度数是45°或225°或315°．故答案为：BE=CD．【点评】考查了几何变换综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的性质，等量代换，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，综合性较强，难度中等．23．阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}==；min{﹣1，2，3}=﹣1；min{﹣1，2a}=解决下列问题：（1）填空：min{，，（）0}=1；如果min{2，2x+2，4﹣2x}=2，则x的取值范围为0≤x≤1．（2）①如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，求x；②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}=min{a，b，c}，那么a=b=c（填a，b，c的大小关系）”③运用②的结论，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}=min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，则x+y=﹣4．（3）在同一直角坐标系中作出函数y=x+1，y=（x﹣1）2，y=2﹣x的图象（不需列表描点）．通过观察图象，填空：min{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最大值为1．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）因为用min（a，b，c）表示这三个数中最小的数，所以min{，，（）0}就是括号内的三个数中最小的一个数，由＞＞（）0，所以得出min{，，（）0}=（）0=1；由min{2，2x+2，4﹣2x}=2，得出2x+2≥2，且4﹣2x≥2，两个式子同时成立，据此即可求得x的范围；（2）①M{2，x+1，2x}==x+1，若M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，则x+1是2、x+1、2x中最小的一个，即：x+1≤2且x+1≤2x，据此即可求得x的值；②根据①可以得到结论：当三个数的平均数等于三个数中的最小的数，则这几个数相等，据此即可写出；③根据结论，三个数相等，即可求得x，y的值，从而求得x+y的值；（3）根据二次函数图象与一次函数图象的作法作出图象，然后根据min的定义解答即可．【解答】解：（1）min{，，（）0}=（）0=1，如果min{2，2x+2，4﹣2x}=2，则x的取值范围为0≤x≤1；（2）①△M{2，x+1，2x}==x+1，△2x﹣（x+1）=x﹣1．当x≥1时，则min{2，x+1，2x}=2，则x+1=2，x=1．当x＜1时，则min{2，x+1，2x}=2x，则x+1=2x，x=1（舍去）．综上所述：x=1．②a=b=c．理由如下：△M{a，b，c}=，如果min{a，b，c}=c，则a≥c，b≥c．则有=c，即a+b﹣2c=0，△（a﹣c）+（b﹣c）=0．又△a﹣c≥0，b﹣c≥0，△a﹣c=0且b﹣c=0．△a=b=c．其他情况同理可证，故a=b=c．③由②的结论，若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}=min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，则2x+y+2=x+2y=2x﹣y，解得x=﹣3，y=﹣1，所以x+y=﹣3﹣1=﹣4；（3）作出图象，由图可知min{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最大值为1．故答案为1，0，1；a=b=c；﹣4；1．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数、二次函数的图象与性质，比较大小以及利用已知提供信息得出函数值的方法，此题综合性较强，读懂题目信息并理解新定义“M”与“min”的意义是解题的关键．24．（14分）如图，抛物线C1：y=x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标；（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式；（3）若抛物线C2的对称轴存在点P，使△PAC为等边三角形，求m的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把（0，0）及（2，0）代入y=x2+bx+c，求出抛物线C1的解析式，即可求出抛物线C1的顶点坐标，（2）先求出C2的解析式，确定A，B，C的坐标，过点C作CH△对称轴DE，垂足为H，利用△PAC为等腰直角三角形，求出角的关系可证得△CHD△△DEA，再由OC=EH列出方程求解得出m的值，即可得出C2的解析式．（3）连接BC，BP，由抛物线对称性可知AP=BP，由△PAC为等边三角形，可得AP=BP=CP，△APC=60°，由C，A，B三点在以点P为圆心，PA为半径的圆上，可得BC=2OC，利用勾股定理求出OB OC，列出方程求出m的值即可．【解答】解：（1）△抛物线C1经过原点，与X轴的另一个交点为（2，0），△，解得，△抛物线C1的解析式为y=x2﹣2x，△抛物线C1的顶点坐标（1，﹣1），（2）如图1，△抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，△C2的解析式为y=（x﹣m﹣1）2﹣1，△A（m，0），B（m+2，0），C（0，m2+2m），过点C作CH△对称轴DE，垂足为H，△△ACD为等腰直角三角形，△AD=CD，△ADC=90°，△△CDH+△ADE=90°△△HCD=△ADE，△△DEA=90°，△△CHD△△DEA，△AE=HD=1，CH=DE=m+1，△EH=HD+DE=1+m+1=m+2，由OC=EH得m2+2m=m+2，解得m1=1，m2=﹣2（舍去），△抛物线C2的解析式为：y=（x﹣2）2﹣1．（3）如图2，连接BC，BP，由抛物线对称性可知AP=BP，△△PAC为等边三角形，△AP=BP=CP，△APC=60°，△C，A，B三点在以点P为圆心，PA为半径的圆上，△△CBO=△CPA=30°，△BC=2OC，△由勾股定理得OB==OC，△（m2+2m）=m+2，解得m1=，m2=﹣2（舍去），△m=．【点评】本题主要考查了二次函数综合题，解题的关键是正确作出辅助线，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．。
浙教版九年级数学上册：4.5 相似三角形的性质及应用 同步练习(含答案)
4.5 相似三角形的性质及其应用一．填空题1．（2019•奉贤区一模）联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是．2．（2019•南关区一模）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为米．3．（2019•曲阜市二模）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，BD 足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为．4．（2019春•广陵区校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，已知AB＝25cm，BC＝15cm，则BD＝．5．（2019春•滨湖区期末）如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，AE和BD交于点F，已知△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，则四边形CDFE的面积等于．二．选择题（共10小题）6．（2019春•海州区校级月考）若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．47．（2018秋•嘉兴期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A．60mm B．mm C．20mm D．mm8．（2019•新乐市二模）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（）A．1.2 里B．1.5 里C．1.05 里D．1.02 里9．（2018春•南票区期末）如图，在平行四边形ABCD中，O1、O2、O3分别是对角线BD上的三点，且BO1＝O1O2＝O2O3＝O3D，连接AO1并延长交BC于点E，连接EO3并延长交AD于点F，则AF：DF等于（）A．19：2 B．9：1 C．8：1 D．7：110．（2018秋•秀洲区期末）如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（）①＝；②＝；③△EDG∽△CBG；④＝．A．1个B．2个C．3个D．4个11．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：12．（2018秋•道里区期末）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（）A．B．C．D．13．（2018秋•南岗区校级月考）两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40，则这两个三角形的周长分别为（）A．75，115 B．60，100 C．85，125 D．45，8514．（2019•毕节市）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm215．（2018秋•襄州区期末）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝18米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．12米D．24米三．解答题16．（2019•余杭区二模）如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG∥BC，交AD于点G．（1）求证：△FGE∽△FDB；（2）求的值．17．（2018秋•梁溪区校级期中）（1）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点P是边AB上一点，若△PAD∽△CBP，请利用没有刻度的直尺和圆规，画出满足条件的所有点P；（2）在（1）的条件下，若AB＝8，AD＝3，BC＝4，则AP的长是．18．（2018秋•德清县期末）如图，点C，D在线段AB上，CD2＝AC•DB，且△PCD是等边三角形．（1）证明：△ACP∽△PDB；（2）求∠APB的度数．19．（2018秋•昌图县期末）如图，路灯（点P）距地面6m，身高1.5m的学生小明从路灯的底部点O处，沿射线OH走到距路灯底部9m的点B处，此时小明的身影为BN，接着小明走到点N处，此时的身影为AM．求学生小明的身影长度变长了多少米．（小明如图中BD、AC所示）20．（2018秋•番禺区期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm．（1）写出x与y的关系式；（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．参考答案一．填空题1．（2019•奉贤区一模）联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是1：2．【思路点拨】根据D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，求证△DEF∽△ABC，然后利用相似三角形周长比等于相似比，可得出答案．【答案】解：如图，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴DE+DF+EF＝AC+BC+AB，∵△DEF∽△ABC，∴所得到的△DEF与△ABC的周长之比是：1：2．故答案为：1：2．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用了相似三角形周长比等于相似比．2．（2019•南关区一模）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为15米．【思路点拨】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．【答案】解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴＝，即＝，∴AB＝15（米）．故答案为：15．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．3．（2019•曲阜市二模）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，BD 足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.4m．【思路点拨】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，据此得＝，将已知数据代入即可得．【答案】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO＝∠CDO＝90°，又∵∠AOB＝∠COD，∴△ABO∽△CDO，则＝，∵AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，∴＝，解得：CD＝0.4，∴栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.4m．故答案为：0.4．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．4．（2019春•广陵区校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，已知AB＝25cm，BC＝15cm，则BD＝9cm．【思路点拨】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【答案】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△ACB∽△CDB，∴，∴，解得：BD＝9cm，故答案为：9cm．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．5．（2019春•滨湖区期末）如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，AE和BD交于点F，已知△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，则四边形CDFE的面积等于11．【思路点拨】利用三角形面积公式得到AF：FE＝3：2，再根据平行四边形的性质得到AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，则可判断△AFD∽△EFB，利用相似的性质可计算出S△AFD＝9，所以S△ABD＝S△CBD＝15，然后用△BCD的面积减去△BEF的面积得到四边形CDFE的面积．【答案】解：∵△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，即S△ABF：S△BEF＝6：4＝3：2，∴AF：FE＝3：2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，∴△AFD∽△EFB，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AFD＝×4＝9，∴S△ABD＝S△CBD＝6+9＝15，∴四边形CDFE的面积＝15﹣4＝11．故答案为11．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．二．选择题6．（2019春•海州区校级月考）若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．【答案】解：由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．7．（2018秋•嘉兴期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A．60mm B．mm C．20mm D．mm【思路点拨】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【答案】解：如图，设AD交PN于点K．∵PM：PQ＝3：2，∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．∵四边形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PN，∴＝，∴＝，解得k＝20mm，∴PM＝3k＝60mm，故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．8．（2019•新乐市二模）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（）A．1.2 里B．1.5 里C．1.05 里D．1.02 里【思路点拨】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．【答案】解：如图所示：∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，∴FA∥EG，EA∥FH，∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，∴△GEA∽△AFH，∴＝．∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，∴＝，解得：FH＝1.05里．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形．9．（2018春•南票区期末）如图，在平行四边形ABCD中，O1、O2、O3分别是对角线BD上的三点，且BO1＝O1O2＝O2O3＝O3D，连接AO1并延长交BC于点E，连接EO3并延长交AD于点F，则AF：DF等于（）A．19：2 B．9：1 C．8：1 D．7：1【思路点拨】根据题意，易得△BO3E∽△DO3F和△BO1E∽△DO1A，利用相似的性质得出DF：BE的值，再求出BE：AD的值，进而求出AF：DF．【答案】解：根题意，在平行四边形ABCD中，易得△BO3E∽△DO3F∴BE：FD＝3：1∵△BO1E∽△DO1A∴BE：AD＝1：3∴AD：DF＝9：1∴AF：DF＝（AD﹣FD）：DF＝（9﹣1）：1＝8：1故选：C．【点睛】考查了平行四边形的性质，对边相等．利用相似三角形三边成比例列式，求解即可．10．（2018秋•秀洲区期末）如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（）①＝；②＝；③△EDG∽△CBG；④＝．A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据三角形的重心的概念和性质得到AE，CD是△ABC的中线，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，根据相似三角形的性质定理判断即可．【答案】解：∵点G是△ABC的重心，∴AE，CD是△ABC的中线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DGE∽△BGC，∴＝，①正确；＝，②正确；△EDG∽△CBG，③正确；＝（）2＝，④正确，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．11．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：【思路点拨】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【答案】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．12．（2018秋•道里区期末）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（）A．B．C．D．【思路点拨】根据相似三角形的性质解答即可．【答案】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，∴，∴，故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．13．（2018秋•南岗区校级月考）两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40，则这两个三角形的周长分别为（）A．75，115 B．60，100 C．85，125 D．45，85【思路点拨】根据两个相似三角形的对应边的长，可求出它们的相似比，也就求出了它们的周长比，再根据它们的周长差为40，即可求出两三角形的周长．【答案】解：∵两相似三角形的一组对应边为15和23，∴两相似三角形的周长比为15：23，设较小的三角形的周长为15a，则较大三角形的周长为23a，依题意，有：23a﹣15a＝40，a＝5，∴15a＝75，23a＝115，因此这两个三角形的周长分别为75，115．故选：A．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：相似三角形周长的比等于相似比．14．（2019•毕节市）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm2【思路点拨】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【答案】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余部分的面积＝×12×6﹣4×4＝100（cm2），故选：A．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15．（2018秋•襄州区期末）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝18米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．12米D．24米【思路点拨】因为小明和古城墙均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．【答案】解：由题意知：∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP＝90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴＝，∴CD＝＝12（米）．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问．三．解答题16．（2019•余杭区二模）如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG∥BC，交AD于点G．（1）求证：△FGE∽△FDB；（2）求的值．【思路点拨】（1）由GE∥BC，可得出∠GEF＝∠DBF，再结合对顶角相等即可得出△FGE∽△FDB；（2）根据三角形中位线定理以及中线的定义得出GE＝BD、AG＝DG，再利用相似三角形的性质得出DF＝DG，进而即可得出＝．【答案】（1）证明：∵GE∥BC，∴∠GEF＝∠DBF．又∵∠GFE＝∠DFB，∴△FGE∽△FDB；（2）∵AD、BE是中线，EG∥BC，∴GE为△ADC的中位线，BD＝DC，∴GE＝DC＝BD，AG＝DG．∵△FGE∽△FDB，∴＝＝，∴DF＝DG，∴＝＝．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中线的定义以及中位线定理，解题的关键是：（1）由GE（2）根据相似三角形的性质结合中位线定理得出DF＝DG、∥BC利用相似三角形的判定定理证出△EGF∽△BDF；AG＝DG．17．（2018秋•梁溪区校级期中）（1）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点P是边AB上一点，若△PAD∽△CBP，请利用没有刻度的直尺和圆规，画出满足条件的所有点P；（2）在（1）的条件下，若AB＝8，AD＝3，BC＝4，则AP的长是2或6．【思路点拨】（1）先作CD中垂线得出CD的中点，再以中点为圆心，CD为半径作圆，与AB的交点即为所求；（2）证△APD∽△BPC得＝，即＝，解之可得．【答案】解：（1）如图所示，点P1和点P2即为所求．（2）∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠PAD＝∠PBC＝90°．∴∠ADP+∠APD＝90°，由（1）知，∠CPD＝90°，∴∠APD+∠BPC＝90°，∴∠ADP＝∠BPC，∴△APD∽△BPC，∴＝，即＝，解得：AP＝2或AP＝6．故答案为：2或6．【点睛】本题主要考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识点．18．（2018秋•德清县期末）如图，点C，D在线段AB上，CD2＝AC•DB，且△PCD是等边三角形．（1）证明：△ACP∽△PDB；（2）求∠APB的度数．【思路点拨】（1）根据PC＝PD＝CD，以及CD2＝AC•DB，可得，又∠ACP＝∠PDB，则△ACP∽△PDB；（2）根据（1）的结论求出∠APC+∠BPD度数，最后加上∠CPD度数即可．【答案】（本小题8分）解：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵CD2＝AC•DB，由PC＝PD＝CD可得：PC•PD＝AC•DB，即，∴△ACP∽△PDB；（2）∵△ACP∽△PDB，∴∠APC＝∠PBD．∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠DBP＝60°，∴∠APC+∠BPD＝60°．∴∠APB＝∠CPD+∠APC+∠BPD＝120°．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．19．（2018秋•昌图县期末）如图，路灯（点P）距地面6m，身高1.5m的学生小明从路灯的底部点O处，沿射线OH走到距路灯底部9m的点B处，此时小明的身影为BN，接着小明走到点N处，此时的身影为AM．求学生小明的身影长度变长了多少米．（小明如图中BD、AC所示）【思路点拨】根据相似三角形的性质解答即可．【答案】解：由题意知，∠PON＝∠DBN＝90°，△PON∽△DBN∴又∵OB＝9∴BN＝3，OA＝12由题意知，∠POM＝∠CAM＝90°，△POM∽△CAM∴又∵OA＝12∴AM＝4，OM＝16∴身影长BN＝3，AM＝4，AM﹣BN＝4﹣3＝1∴小明的身影长度变长了1米．【点睛】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的性质解答．20．（2018秋•番禺区期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm．（1）写出x与y的关系式；（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．【思路点拨】（1）证明△AEF∽△ABC，利用相似比得到＝，从而得到y与x的关系式；（2）计算矩形的面积S＝xy＝﹣x2+120x，则S＝﹣（x﹣40）2+2400，根据二次函数的性质得到当x＝40时，S有最大值2400，由于y＝60，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．【答案】解：（1）易得四边形EGDK为矩形，则KD＝EG＝x，∴AK＝AD﹣DK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，即＝，∴y＝﹣x+120（0＜x＜80）；（2）这个同学的说法错误．理由如下：S＝xy＝﹣x2+120x＝﹣（x﹣40）2+2400，当x＝40时，S有最大值2400，此时y＝﹣×40+120＝60，即矩形EGHF的长为60mm，宽为40mm时，矩形EGHF的面积最大，最大值为2400mm2，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长．也考查了二次函数的性质和矩形的性质．。