材料力学5(扭转1)
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材料力学 05扭转
由
τρ
=
T ⋅ρ Ip
知：当
ρ =R= D 2
,
τ ρ → τ max
∴
τ max
T⋅D =2
Ip
=
T
Ip
D 2
=T Wp
(令 W p = I p
D) 2
τ max
=
T Wp
Wp — 扭转截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。
对于实心圆截面： 对于空心圆截面：
Wp = I p R = πD3 16 WP = I p R = πD3 (1− α 4 ) 16 29
τ´
a
γb
τ dz
τ
τ´
c
d
dx
x
dy
在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出 现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则 共同指向或共同背离该交线。
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这
种应力状态称为纯剪切应力状态。
35
M
´
36
§5–1 圆轴扭转时的应力和变形计算
1 圆轴扭转的变形特征 2 圆轴扭转时的应力 3 薄壁圆筒的切应力 4 剪应力互等定理 5 圆轴扭转时斜截面上的应力 6 扭转时的变形
A
11.14
T(kN`m)
–
m1
m3 m4
n
C
B
D
6.37 ⊕
x
4.78
12
第5章 扭转杆件的强度与刚度计算
§2–2 扭转杆的内力、扭矩图 §5–1 圆轴扭转时的应力和变形计算 §5–2 圆轴扭转时的强度和刚度计算 §5–3 扭转的超静定问题 §5–4 非圆截面杆的自由扭转简介
材料力学 第五章扭转变形.强度、刚度条件(6,7,8)汇总
Me Tb Ta
( 4)
例题 6-6
5. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为 Ta Ga M e 0 ra ρa I pa Ga I pa Gb I pb 空心钢杆横截面上任意 点的切应力为
b
Tb Gb M e I pb Ga I pa Gb I pb
2
1 dV (dxdydz ) 2 dV dW v dV dxdydz 1 v 2
一、密圈螺旋弹簧
——螺旋角
F
O
d
d ——簧丝横截面的直径 D ——弹簧圈的平均直径
O D
密圈螺旋弹簧 ——螺旋角<5°时的圆柱形弹簧
§4.5
密圈螺旋弹簧的计算
O F
例题 6-6
Me Tb Ta
解： 1. 实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta 和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。
例题 6-6
Me Tb Ta
2. 位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对 于A截面的扭转角相等。在图b中都用表示（设 A端固定）。 Ba Bb ( 2)
a
b
ra
ra
a rb
切应力沿半径的变化 情况如图c所示。
ra
rb
(c)
§5-8非圆截面等直杆扭转的概念
圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平 面假设 的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不 再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲 面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应 力、变形公式对非圆截面杆均不适用。
(2)
( 4)
例题 6-6
5. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为 Ta Ga M e 0 ra ρa I pa Ga I pa Gb I pb 空心钢杆横截面上任意 点的切应力为
b
Tb Gb M e I pb Ga I pa Gb I pb
2
1 dV (dxdydz ) 2 dV dW v dV dxdydz 1 v 2
一、密圈螺旋弹簧
——螺旋角
F
O
d
d ——簧丝横截面的直径 D ——弹簧圈的平均直径
O D
密圈螺旋弹簧 ——螺旋角<5°时的圆柱形弹簧
§4.5
密圈螺旋弹簧的计算
O F
例题 6-6
Me Tb Ta
解： 1. 实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta 和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。
例题 6-6
Me Tb Ta
2. 位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对 于A截面的扭转角相等。在图b中都用表示（设 A端固定）。 Ba Bb ( 2)
a
b
ra
ra
a rb
切应力沿半径的变化 情况如图c所示。
ra
rb
(c)
§5-8非圆截面等直杆扭转的概念
圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平 面假设 的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不 再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲 面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应 力、变形公式对非圆截面杆均不适用。
(2)
材料力学-扭转1ppt课件
横截面上 —
max
T IP
max
IP
T
max
T WP
Ip—截面的极惯性矩，单位：m4 , mm 4
WP
Ip
max
WP —抗扭截面模量，单位：m3, mm3.
整个圆轴上——等直杆：
max
Tm a x WP
三、公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
30
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
d
dx
d / dx－扭转角变化率
二）物理关系：
弹性范围内 max P
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
28
三）静力关系：
T A dA
T A dA
G d 2dA dx A
I p
2dA
A
Ip
横截面对形心的极惯性矩
T
GI p
d
dxp
29
二、圆轴中τmax的确定
结论：
横截面上 0, 0 0 0
根据对称性可知剪应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为剪应力沿壁厚均匀分布,
且方向垂直于其半径方向。
t
D
20
3、剪应力的计算公式：
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的剪应力计算式
21
二、关于剪应力的若干重要性质
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。 主动轮2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的 功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
材料力学(第五版)扭转刚度
d
于弹簧的中径D的情况，
max
8FD
d 3
在考虑簧丝的曲率和 1 分布不均匀时：
max
k
8FD
d 3
k—修正系数（曲度系数）
k 4c 1 0.615 4c 4 c
弹簧的强度条件：
c D d
max
（三）、弹簧的变形计算
弹簧的压缩（拉伸）变形
外力功：
2
由功能原理： V W
1 2
F
4F 2D3n Gd 4
弹簧的变形 8F D3 n Gd4
Fλ
弹簧的变形
8FD3n Gd 4
令：
C Gd 4 8D3n
C 弹簧刚度
F
C
Fλ
BC段：
TBC 1.2 kN m
A
mA
T (kN m)
Байду номын сангаас
B
C
mB
mC
Wt
BC
d13 16
503 109 16
24.54106 m3
1.2 3.0
(max )BC
TBC
Wt
BC
1200 24.54 106
48.8MPa
轴的强度符合要求
A
Tl
GIP
Me
l
Me
φ 相距 l 的两个截面之间的相对扭转角
φ
弧度
GIP
圆轴的抗扭刚度
对于阶梯轴，以及等直圆轴但扭矩为阶梯形变化的情况，
分段计算，求代数和
Tl GIP
二、圆轴扭转刚度的计算
材料力学-扭转
扭转角（ 扭转角（ϕ）：任意两截面绕轴线相对转动的角度。又称为角 位移。通常用ϕ表示。ϕB − A表示B截面相对A截面转过的角度。 剪应变（ 剪应变（γ）： 剪应变又叫角应变或切应变，它是两个相互垂直方 向上的微小线段在变形后夹角的改变量（以弧度表示， 角度减小时为正） O ϕ B m
A m
γ
第二节 杆受扭时的内力计算
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面： 实心圆截面：
2
I p = ∫ ρ d A = ∫ ρ (2 πρ d ρ )
2
ρ
d O
dρ
A
d 2 0
= 2 π(
ρ
4
d /2
4
)
0
πd = 32
4
d A = 2 πρ d ρ
πd 3 Wp = = d / 2 16 Ip
空心圆截面： 空心圆截面：
T T = ρ max = IP IP T = WP
ρ max
Ip—截面的极惯性矩， 截面的极惯性矩，单位： 单位：m 4 , mm 4 Ip 3 3 WP —抗扭截面模量， WP = 抗扭截面模量，单位：m , mm .
ρ max
整个圆轴上——等直杆： 等直杆： τ max
Tmax = WP
三、公式的使用条件： 公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。 弹性范围内工作。
Tmax Wp
πD 3 实心, 16 T max W = 2）设计截面尺寸: 设计截面尺寸:WP ≥ 3 P [τ ] πD (1 − α 4 ) 空心. 16 ≤ ⇒ m 3）确定外荷载: 确定外荷载: Tmax WP ⋅ [τ ]
≤
材料力学-扭转1
（2） 强度校核
max
T Wt
1930 29 106
66.7106 Pa
66.7MPa [ ] 70MPa 满足强度要求
例 如把上例中的传动轴改为实心 轴，要求它与原来的空心轴强度相 同，试确定其直径。并比较实心轴 和空心轴的重量。
解：当实心轴和空心轴的最大应力同 为[]时，两轴的许可扭矩分别为
解：1）作扭矩图
Tmax 4.5KN m
2）设计轴的直径
由强度条件：
max
Tm a x WP
≤
由刚度条件：
max
Tmax GI p
180
[ ]
取 d ＝ 102 mm
d 3 16Tmax 66mm
[ ]
d 4
32Tmax 180
G 2[ ]
102mm
3）计算全轴的相对扭转角D-A
(2)求所需键数n。
P
§5-6 扭转静不定问题
扭转静不定问题
已知:AB 阶梯轴两端固定,C 处作用 A 外力偶矩Me, AC抗扭刚度为G1Ip1, CB抗扭刚度为G2Ip2 。求:轴的扭矩。
Me
CB Me
解:1）静力学关系
mx 0, Me M A M B 0
2）变形几何关系
BA CA BC 0
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
三）静力关系：
T A dA
T A dA
G d 2dA dx A
I p
2dA
A
Ip
横截面对形心的极惯性矩
T
GI p
d
dx
G
d
dx
T Ip
二、圆轴中τmax的确定
横截面上 —
max
T Wt
1930 29 106
66.7106 Pa
66.7MPa [ ] 70MPa 满足强度要求
例 如把上例中的传动轴改为实心 轴，要求它与原来的空心轴强度相 同，试确定其直径。并比较实心轴 和空心轴的重量。
解：当实心轴和空心轴的最大应力同 为[]时，两轴的许可扭矩分别为
解：1）作扭矩图
Tmax 4.5KN m
2）设计轴的直径
由强度条件：
max
Tm a x WP
≤
由刚度条件：
max
Tmax GI p
180
[ ]
取 d ＝ 102 mm
d 3 16Tmax 66mm
[ ]
d 4
32Tmax 180
G 2[ ]
102mm
3）计算全轴的相对扭转角D-A
(2)求所需键数n。
P
§5-6 扭转静不定问题
扭转静不定问题
已知:AB 阶梯轴两端固定,C 处作用 A 外力偶矩Me, AC抗扭刚度为G1Ip1, CB抗扭刚度为G2Ip2 。求:轴的扭矩。
Me
CB Me
解:1）静力学关系
mx 0, Me M A M B 0
2）变形几何关系
BA CA BC 0
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
三）静力关系：
T A dA
T A dA
G d 2dA dx A
I p
2dA
A
Ip
横截面对形心的极惯性矩
T
GI p
d
dx
G
d
dx
T Ip
二、圆轴中τmax的确定
横截面上 —
材料力学-第四章 扭转_1
d4
32
(5-8)
Wt
Ip
max
Ip d /2
d3
16
(5-9)
d
o
I p
D/2
2 2
d/2
d
(D4
32
d4)
Ip
32
D4 (1 4 )
（5-10）
Wt
Ip
max
D3 (1 4 )
16
(5-11)
[例5-2]内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面 轴，受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A点的剪应 力及横截面上的最大和最小剪应力。
第五章 扭转
§5-1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
§5-1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
§5-1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
螺旋桨轴
受力特征： 杆受转向相反的力偶矩作用，力偶 作用面垂直于轴线。 变形特征： 横截面绕轴线相对转动。
扭转：横截面绕轴线（纵向线）作相对旋转为主要特征的变形形式。
dx
二. 扭转应力
d A
rdA T r 2 r T
dA
r
A
T
2 r 2
(5-2)
T 2 A0
根据精确的理论分析,当 ≤r/10时,上式的误差不
超过4.52%,是足够精确的。
三. 扭转角
l r
l / r ... Tl 2G r3
四、剪切胡克定律
在纯剪状态下，
单元体相对两侧面将
外力偶 Me 每分钟做的功为：
W = 2nMe
( 2)
(1)=(2) 得
P kW × 1000× 60=2 n M e N.m
Me
材料力学扭转
第3章 扭转
3.1 扭转的概念和实例 3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 3.3 纯剪切 3.4 圆轴扭转时的应力 3.5 圆轴扭转时的变形
第3章 扭转
【基本内容】
一、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 二、纯剪切的概念，薄壁圆筒扭转时的切应力 三、切应力互等定理 四、圆轴扭转的强度条件 五、圆轴扭转的刚度条件
1 r （r：为平均半径）
10
一、薄壁圆筒切应力
圆筒沿轴线方向尺寸没变——
Me
横截面上没有正应力
圆筒沿径向方向尺寸没变——
横截面径向切应力为零
圆筒横截面沿轴线有相对转动——
横截面切应力方向与半径垂直
由Mx 0
有Me 2rr
Me 2r 2
pq
pq
l
A' A B
B'
Me
A AB'
o
r
B'
二、切应力互等定理
截面上扭矩为T时．最大剪应力为 。若截面
上A点距外周边的距离为0.1D．则A点的剪应力 是( )
3.5 圆轴扭转时的变形
扭转变形的标志是两个横截面间绕轴线的
相对转角
dxd
G
T
Ip
Tl GI p
GI p 称为圆轴的抗扭刚度
刚度要求：单位扭转角不能超过允许值[ ' ] 单位 (/m)
'max T 180 [']
1
2
3
mB
(a)
T1
mB
(b)
(c)
mC
T2
T3
mD
T135N0m 350 1 350 2
1146 3
446
T270N0m
3.1 扭转的概念和实例 3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 3.3 纯剪切 3.4 圆轴扭转时的应力 3.5 圆轴扭转时的变形
第3章 扭转
【基本内容】
一、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 二、纯剪切的概念，薄壁圆筒扭转时的切应力 三、切应力互等定理 四、圆轴扭转的强度条件 五、圆轴扭转的刚度条件
1 r （r：为平均半径）
10
一、薄壁圆筒切应力
圆筒沿轴线方向尺寸没变——
Me
横截面上没有正应力
圆筒沿径向方向尺寸没变——
横截面径向切应力为零
圆筒横截面沿轴线有相对转动——
横截面切应力方向与半径垂直
由Mx 0
有Me 2rr
Me 2r 2
pq
pq
l
A' A B
B'
Me
A AB'
o
r
B'
二、切应力互等定理
截面上扭矩为T时．最大剪应力为 。若截面
上A点距外周边的距离为0.1D．则A点的剪应力 是( )
3.5 圆轴扭转时的变形
扭转变形的标志是两个横截面间绕轴线的
相对转角
dxd
G
T
Ip
Tl GI p
GI p 称为圆轴的抗扭刚度
刚度要求：单位扭转角不能超过允许值[ ' ] 单位 (/m)
'max T 180 [']
1
2
3
mB
(a)
T1
mB
(b)
(c)
mC
T2
T3
mD
T135N0m 350 1 350 2
1146 3
446
T270N0m
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T3 M D 4.58
从图可见，最大扭矩发生在AC段，其值为8.02kN· m。
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
要注意的是，在求各截面的扭矩时，通常采用“设正法”， 即假设扭矩为正。若所得结果为负值的话，则说明该截面 扭矩的实际方向与假设方向相反。
扭矩图的画法步骤： ⒈ 画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线； ⒉ 将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点； ⒊ 用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受 力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画。 ⒋ 按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两 侧，并在图上表出数值和正负号。
dx
τ
x
数量相等而转向相反，从而可得 z
3.切应力互等定理 (Shearing stress theorem) 单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等, 都指相（或背离）该两平面的交线. 4.纯剪切单元体 (Element in pure shear) 单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体.
A dA r0 T r0 AdA r0 2 r0 t T T T 2 2 r0 t 2 A0 t
A0为平均半径所作圆的面积。 T
§3.3.2 切应力互等定理
1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力,
其方向于 y 轴平行.
§3.3.3 剪切胡克定律
四、剪切虎克定律：
单元体ab 的倾角 称为切应变， 切应变是单元体直角的改变量。实 验表明，在弹性范围内，切应力与 切应变成正比，即
a
´
dx
´
b
dy
c z
d t
G
这就是剪切虎克定律，比例常数G 称为剪切弹性模量。
§3.3.3 剪切胡克定律
三、剪切胡克定律 (Hooke’s law for shear)
§3.1 扭转的概念和实例
汽车方向盘
§3.1 扭转的概念和实例
汽车传动轴
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
扭转受力特点 及变形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
然后，由轴的计算简图，计算各段轴内的扭矩。先考虑AC段，从任一截面2-2处 截开，取截面左侧进行分析，如图3.6(c)所示，假设T2为正。 由平衡方程
M
x
0
M B M A T2 0
粗矩图 (kN·m)
m T2 M A M B 11.46 3.44 8.02kN· 同理，在BA段内，有 T1 M B 3.44 在CD段内，有
解：首先计算外力偶矩 600 M A 9 549 11.46 103 N· m=11.46kN· m 500
M B M C 9 549 180 3.44 103 N· m=3.44kN· m 500
240 M D 9 549 4.58 103 N· m=4.58kN· m 500
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
1.外力偶矩 直接计算
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
按输入功率和转速计算
如图所示的齿轮轴简图， 主动轮的输入功率经轴的 传递，由从动轮输出给其 他部件，已知轴转速－n 转/分钟，输出功率－P 千瓦。求：力偶矩Me Me2 Me1
n
Me3
电机每秒输入功： W P 1000(N m) 外力偶作功完成： W M e 2
右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
当杆件上作用有多个外力偶矩时，为了表现沿轴线各横 截面上扭矩的变化情况，从而确定最大扭矩及其所在位 置，可仿照轴力图的绘制方法来绘制扭矩图(torque 【例】 一传动轴如图 3.7(a)所示，轴 diagram) 。
的转速n=500r/min，主动轮的输入功率 为PA= 600kW，三个从动轮的输出功率分 别为PB=PC=180kW，PD=240kW。试计算轴 内的最大扭矩，并作扭矩图。
P
n 60
P
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
2.扭矩和扭矩图
杆件上的外力偶矩确定后，可用截面法计算任意横截面上的内力。 对图3.5(a)所示圆轴，欲求m-m截面的内力，可假设沿m-m截面将圆 轴一分为二，并取其左半段分析，如图3.5(b)所示
由平衡方程 得
M
x
0
T Me 0
T Me
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
第三章 扭转
一、 扭转的概念和实例 二、外力偶矩的计算
三、扭矩和扭矩图
四、纯剪切
§3.1 扭转的概念和实例
在工程中，受扭杆件是很常见的，例如机械中的传动轴、汽 车的转向轴等，但单纯发生扭转的杆件不多。如果杆件的变形以 扭转为主，其他次要变形可忽略不计的，可以按照扭转变形对其 进行强度和刚度计算；如果杆件除了扭转外还有其他主要变形的 (如钻杆还受压)，则要通过组合变形计算。这类问题将在第9章讨 论。 扭转(torsion)：是杆件的基本变形之一。在一对大小相等、方向相 反、作用面垂直于杆件轴线的外力偶作用下，直杆的任意两横截面 将绕轴线相对转动，杆件的轴线仍将保持直线，而其表面的纵向线 将成螺旋线。这种变形形式就称为扭转。
②各纵向线均倾斜了 同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪 斜成的平行四边形。
Me
Me
§3.3.1 薄壁筒扭转
x
3. 推论
Me
dx
Me
1) 横截面上无正应力，只有切应力； 0, 2) 切应力方向垂直半径或与圆周相切.
0
因为圆周上剪应变相同，所以剪应力沿圆周均匀分布。
M
e
n
M
e
圆周各点处切应力的方向于
圆周相切，且数值相等，近 似的认为沿壁厚方向各点处
M
e
n n
τ
dA
切应力的数值无变化.
M
e
n n
T
n
§3.3.1 薄壁筒扭转
二、薄壁筒切应力 薄壁筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力， 只有切应力。因筒壁很薄，切应力沿壁厚分布可视作均匀的， 切应力沿圆周切线，方向与扭矩转向一致。
面）。
强度计算（危险截
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
§3.3.1 薄壁筒扭转
薄壁圆筒：壁厚 t 1 r0 （r0：为平均半径） 10
实验： 1.实验前：
①绘纵向线，圆周线；
②施加一对外力偶 。
§3.3.1 薄壁筒扭转
2.实验后： ①圆筒表面的各圆周 线的形状、大小和间 距均未改变，只是绕 轴线作了相对转动。
T是横截面上的内力偶矩，称为扭矩(torsional moment，
torque)。如果取圆轴的右半段分析，则在同一横截面上 可求得扭矩的数值大小相等而方向相反。为使从两段杆 所求得的同一横截面上的扭矩在正负号上一致，材料力 学中通常规定：按右手螺旋法则确定扭矩矢量，如果扭 矩矢量的指向与截面的外法向方向一致，则扭矩为正， 反之为负。
由图所示的几何关系得到
Me
Me
r l
l
式中, r 为薄壁圆筒的外半经. 薄壁圆筒的扭转试验发现,当外力偶 Me 在某一范围内时, 与 Me （在数值上等于 T ）成正比.
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
T
从 T 与 之间的线性关系,可推出 与 间
的线性关系.
G
该式称为材料的剪切胡克定律 (Hooke’s law for shear) G –剪切弹性模量 O
E 三个弹性常数的关系 G 2(1 )O§3 Nhomakorabea3 扭转
§3.3 扭转
由平衡方程 dy
y
Fy 0
两侧面的内力元素 dy dz
τ
dx
τ
x
大小相等,方向相反,将组成 一个力偶.
其矩为( dy dz) dx
z
§3.3.2 切应力互等定理
2. 要满足平衡方程
M z 0 Fx 0
τ
dy
y
在单元体的上、下两平面上必有 大小相等，指向相反的一对内力元素 它们组成力偶，其矩为 ( dxdy )dz 此力偶矩与前一力偶矩 ( dy dz) dx
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 用平行于杆轴线的坐标 x 表 T m1 示横截面的位置；用垂直于 _ m2 杆轴线的坐标 T 表示横截面 x 上的扭矩，正的扭矩画在 x 轴上方，负的扭矩画在 x 轴 下方. ①扭矩变化规律； 目 的
+
②|T|max值及其截面位置
从图可见，最大扭矩发生在AC段，其值为8.02kN· m。
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
要注意的是，在求各截面的扭矩时，通常采用“设正法”， 即假设扭矩为正。若所得结果为负值的话，则说明该截面 扭矩的实际方向与假设方向相反。
扭矩图的画法步骤： ⒈ 画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线； ⒉ 将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点； ⒊ 用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受 力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画。 ⒋ 按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两 侧，并在图上表出数值和正负号。
dx
τ
x
数量相等而转向相反，从而可得 z
3.切应力互等定理 (Shearing stress theorem) 单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等, 都指相（或背离）该两平面的交线. 4.纯剪切单元体 (Element in pure shear) 单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体.
A dA r0 T r0 AdA r0 2 r0 t T T T 2 2 r0 t 2 A0 t
A0为平均半径所作圆的面积。 T
§3.3.2 切应力互等定理
1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力,
其方向于 y 轴平行.
§3.3.3 剪切胡克定律
四、剪切虎克定律：
单元体ab 的倾角 称为切应变， 切应变是单元体直角的改变量。实 验表明，在弹性范围内，切应力与 切应变成正比，即
a
´
dx
´
b
dy
c z
d t
G
这就是剪切虎克定律，比例常数G 称为剪切弹性模量。
§3.3.3 剪切胡克定律
三、剪切胡克定律 (Hooke’s law for shear)
§3.1 扭转的概念和实例
汽车方向盘
§3.1 扭转的概念和实例
汽车传动轴
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
扭转受力特点 及变形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
然后，由轴的计算简图，计算各段轴内的扭矩。先考虑AC段，从任一截面2-2处 截开，取截面左侧进行分析，如图3.6(c)所示，假设T2为正。 由平衡方程
M
x
0
M B M A T2 0
粗矩图 (kN·m)
m T2 M A M B 11.46 3.44 8.02kN· 同理，在BA段内，有 T1 M B 3.44 在CD段内，有
解：首先计算外力偶矩 600 M A 9 549 11.46 103 N· m=11.46kN· m 500
M B M C 9 549 180 3.44 103 N· m=3.44kN· m 500
240 M D 9 549 4.58 103 N· m=4.58kN· m 500
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
1.外力偶矩 直接计算
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
按输入功率和转速计算
如图所示的齿轮轴简图， 主动轮的输入功率经轴的 传递，由从动轮输出给其 他部件，已知轴转速－n 转/分钟，输出功率－P 千瓦。求：力偶矩Me Me2 Me1
n
Me3
电机每秒输入功： W P 1000(N m) 外力偶作功完成： W M e 2
右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
当杆件上作用有多个外力偶矩时，为了表现沿轴线各横 截面上扭矩的变化情况，从而确定最大扭矩及其所在位 置，可仿照轴力图的绘制方法来绘制扭矩图(torque 【例】 一传动轴如图 3.7(a)所示，轴 diagram) 。
的转速n=500r/min，主动轮的输入功率 为PA= 600kW，三个从动轮的输出功率分 别为PB=PC=180kW，PD=240kW。试计算轴 内的最大扭矩，并作扭矩图。
P
n 60
P
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
2.扭矩和扭矩图
杆件上的外力偶矩确定后，可用截面法计算任意横截面上的内力。 对图3.5(a)所示圆轴，欲求m-m截面的内力，可假设沿m-m截面将圆 轴一分为二，并取其左半段分析，如图3.5(b)所示
由平衡方程 得
M
x
0
T Me 0
T Me
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
第三章 扭转
一、 扭转的概念和实例 二、外力偶矩的计算
三、扭矩和扭矩图
四、纯剪切
§3.1 扭转的概念和实例
在工程中，受扭杆件是很常见的，例如机械中的传动轴、汽 车的转向轴等，但单纯发生扭转的杆件不多。如果杆件的变形以 扭转为主，其他次要变形可忽略不计的，可以按照扭转变形对其 进行强度和刚度计算；如果杆件除了扭转外还有其他主要变形的 (如钻杆还受压)，则要通过组合变形计算。这类问题将在第9章讨 论。 扭转(torsion)：是杆件的基本变形之一。在一对大小相等、方向相 反、作用面垂直于杆件轴线的外力偶作用下，直杆的任意两横截面 将绕轴线相对转动，杆件的轴线仍将保持直线，而其表面的纵向线 将成螺旋线。这种变形形式就称为扭转。
②各纵向线均倾斜了 同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪 斜成的平行四边形。
Me
Me
§3.3.1 薄壁筒扭转
x
3. 推论
Me
dx
Me
1) 横截面上无正应力，只有切应力； 0, 2) 切应力方向垂直半径或与圆周相切.
0
因为圆周上剪应变相同，所以剪应力沿圆周均匀分布。
M
e
n
M
e
圆周各点处切应力的方向于
圆周相切，且数值相等，近 似的认为沿壁厚方向各点处
M
e
n n
τ
dA
切应力的数值无变化.
M
e
n n
T
n
§3.3.1 薄壁筒扭转
二、薄壁筒切应力 薄壁筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力， 只有切应力。因筒壁很薄，切应力沿壁厚分布可视作均匀的， 切应力沿圆周切线，方向与扭矩转向一致。
面）。
强度计算（危险截
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
§3.3.1 薄壁筒扭转
薄壁圆筒：壁厚 t 1 r0 （r0：为平均半径） 10
实验： 1.实验前：
①绘纵向线，圆周线；
②施加一对外力偶 。
§3.3.1 薄壁筒扭转
2.实验后： ①圆筒表面的各圆周 线的形状、大小和间 距均未改变，只是绕 轴线作了相对转动。
T是横截面上的内力偶矩，称为扭矩(torsional moment，
torque)。如果取圆轴的右半段分析，则在同一横截面上 可求得扭矩的数值大小相等而方向相反。为使从两段杆 所求得的同一横截面上的扭矩在正负号上一致，材料力 学中通常规定：按右手螺旋法则确定扭矩矢量，如果扭 矩矢量的指向与截面的外法向方向一致，则扭矩为正， 反之为负。
由图所示的几何关系得到
Me
Me
r l
l
式中, r 为薄壁圆筒的外半经. 薄壁圆筒的扭转试验发现,当外力偶 Me 在某一范围内时, 与 Me （在数值上等于 T ）成正比.
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
T
从 T 与 之间的线性关系,可推出 与 间
的线性关系.
G
该式称为材料的剪切胡克定律 (Hooke’s law for shear) G –剪切弹性模量 O
E 三个弹性常数的关系 G 2(1 )O§3 Nhomakorabea3 扭转
§3.3 扭转
由平衡方程 dy
y
Fy 0
两侧面的内力元素 dy dz
τ
dx
τ
x
大小相等,方向相反,将组成 一个力偶.
其矩为( dy dz) dx
z
§3.3.2 切应力互等定理
2. 要满足平衡方程
M z 0 Fx 0
τ
dy
y
在单元体的上、下两平面上必有 大小相等，指向相反的一对内力元素 它们组成力偶，其矩为 ( dxdy )dz 此力偶矩与前一力偶矩 ( dy dz) dx
§3.2 杆件扭转时的内力扭矩
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 用平行于杆轴线的坐标 x 表 T m1 示横截面的位置；用垂直于 _ m2 杆轴线的坐标 T 表示横截面 x 上的扭矩，正的扭矩画在 x 轴上方，负的扭矩画在 x 轴 下方. ①扭矩变化规律； 目 的
+
②|T|max值及其截面位置