数学建模题 年降雨量计算
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组号183
B题、中国水坝对区域降水的影响1.摘要:
本文通过建立数学模型研究了中国水坝对区域降水影响问题。对于气象空间站分布不均匀,使得中国大陆平均降雨量不能直接计算,并且很难得到某地区非常准确的降雨量数字,我们采用根据距离加权来计算某一点的降雨量,根据距离它最近的m个点来计算该点的降雨量。在建立模型求解中,我们着重解决了以下问题:1、用matlab编程处理所给xls信息;2、借助c++实现我们做的模型,并进行稳定性测试。3、将算法移植到matlab上,解出精确度为1度的地图上的点的降雨量信息。4、借助matlab将中国地图大致范围求出。5、分析某地区的降雨量变化
声明:由于原始数据坐标问题,导致画出图像与真实情形相差太大,故借助matlab将错误数据更正。
2.问题重述
根据附件中的材料,研究中国水坝对区域降水的影响。
建立相应的数学模型,并解决的如下问题:
1.估计1951年——2008年中国大陆的年平均降水量;
2.估计1951年——2008年某一地区的年降水量,即给出某一地区
的经度和纬度,用所建模型计算出该地区的年降水量。按照你的
方法,估计水坝地区的降水量(1951年——2008年)。
3.研究中国水坝对区域降水的影响。(注:影响可能是多方面的。
可能会增加某地区的降水,也可能会减少另一地区的降水,还
可能会对某一地区的降水无影响。请大家从多个层面考虑这个问
题。)
3.基本假设
a)假设经过修改的数据真实可靠。
b)假设大坝是平均分布在全国各地的。
c)假设大坝没有因年代久远或水量过大而影响蓄水量,并且一直完好如初。
4.符号说明:
m为距离任意点(x,y)最近的点的个数
未知点(x,y)的降雨量
为已知点的年平均降雨量
为第i个已知点第j年的降雨量
为m个最近点中第i个点与任意点(x,y)的距离
为第i个计算出来的点的降雨量,
n为计算过的点的个数。
5.术语说明:
已知点预测:在验证求未知的是否准确的时候,假设一个离已知点很近的点为未知点,求出它的降雨量,与刚取的已知点比较,看差距大小。
下文提到的c++程序只有一个,就是附录3中给的
6.模型的建立与求解
6.1模型的建立:
由题目中附件3可以看出,气象站在全国并不是平均分布的,所以不能用加起来求平均值的方法,我们利用距离位权法建立了数学模型,以求出任意一点的平均降雨量。
设任意一点(x,y)降雨量为R(x,y)则:
其中:
为距离任意点(x,y)最近的点的个数
为已知点的年平均降雨量
r j为第i个已知点第j年的降雨量
w i为m个最近点中第i个点与任意点(x,y)的距离
m点的取值和R(x,y)的精确度有关,若m很大,则会包括所有城市,虽然进行已知点验证时很精确,但不符合实际情况,若m很小,则精确度会下降,关于m的取值,将会在下边的可靠性分析中讨论。
6.2模型可靠性分析:
根据利用c++编出来的程序,可以验证,当m>60时,进行已知点验证,与原降雨量差距很小,但是不符合实际,因为某地区降雨量不会和很远距离的降雨量有太大相关性。根据c++程序验证,取m=15。
本模型对于气象站分布较密集的地方精确度较高,但对于西部地区气象站分布不均且数量有限情况下,可靠性会下降。从c++程序来
看(去掉70行处注释符),当m=15时进行已知点预测的差别大的主
要在编号140以后的地区。
6.3问题求解:
6.3.1问题一的解:
借助matlab将数据网格化大致算出中国降雨量可能会覆盖到的地方如附件2。如图1
纬度
图1
经度
得到了中国大致的限制方程:
-0.72*x0+94.72-y0<0
其中x0,y0为当时要构造的点的坐标。
年平均降雨量R总为:
其中:
为第i个计算出来的点的降雨量,n为计算过的点的个数。
由此,年平均降雨量R总求出
图2为求出的全国降雨量的分布(精确到1度)程序在附录3中
图2全国降雨量分布
6.3.2问题二的解:
同模型建立过程。
6.3.3问题三的解:
我们选取全国1个地区作为我们的分析对象:东北区(1-34)。采用所建立的模型,借助一元线性回归来分析降雨量变化。
图2东北地区平均降雨量分布
图3东北地区降雨量逐年分布水平
利用matlab算出每年东北地区平均降雨量的一次拟合曲线,再不考虑人为因素时得到初步结论:水坝的修建会减少降雨量。
然后利用matlab程序计算东北地区年降水量和大坝修建的相关系数(附录4)
求得相关系数为-0.114,可以看出东北地区的降雨量和水坝的修建基本无关。由下图
上图可以看出,大坝在1960年附近和2000年附近时候有大幅上升,但东北地区的降水量波动不是很大。故得到最终结论:东北地区降雨量
和全国大坝修建情况无关。
7.参考资料
8.附件
Matlab调试环境:2010a
C++调试环境:vs2008
附录1:以下程序用来初始化:
clear;
%%%%%%%初始化%%%%%%%%%
xls = xlsread('2009A2.xls');
dam = xlsread('2009A1.xls');
for i = 2: 161
x(i-1) = xls(i,3);
y(i-1) = xls(i,4);
end