第五章 留数(答案)
复变函数练习题 第五章 留数系 专业 班 姓名 学号§1 孤立奇点孤立奇点类型得判别法 1、洛朗展开法f(z)在点a 处得洛朗展式中, 若无负幂项,则点a 为可去奇点;若负幂项最高次数为m,则点a 为m 阶极点; 若负幂项为无穷多个,则点a 为本性奇点。
2、极限法存在且有限,则点a 为可去奇点;等于无穷,则 a 为极点(无法判断阶数); 不存在且不等于无穷,则a 为本性奇点。
3、判断极点得方法3、1,g(z)在点a 解析且g(a)不等于零; 3、21()()lim ()lim()()()m m z a z a f z g z g z z a f z z a →→==--，存在且有限; 3、3 h(z)在点a 解析且h(a)不等于零一、选择题1.函数在内奇点得个数为 [ D ] (A) (B) (C) (D)cot cos 3(23)sin 0,()23(23)sin 2z z z z z k k z z z ππππ=-=⇒=∈--Z ，2.设与分别以为可去奇点与级极点,则为得 [ C ](A)可去奇点 (B)本性奇点 (C)级极点 (D)小于级得极点 (对f(z)与g(z)分别进行洛朗展开并求与)3.为函数得级极点,那么 [ C ] (A) (B) (C) (D)224224553201112!3.3=(1)sin sin sin sin 2!lim (1)1sin 2!z z z z z e z e z z z z z z z z z z z z z z →⎛⎫++ ⎪--⋅=⋅=⋅++ ⎪⎪ ⎪++= ⎪⎝⎭L L L 利用方法， 4.就是函数得 [ B ] (A)可去奇点 (B)一级极点 (C)二级极点 (D)本性奇点322232321=32=0z z z z z z ζζζζ⎛⎫++++=++ ⎪⎝⎭以为一阶极点5.就是函数得 [ D ] (A)可去奇点 (B)一级极点 (C)一级零点 (D)本性奇点 (将函数在z=1洛朗展开,含无穷多个负幂项) 二、填空题1.设为函数得级零点,那么 9 。
()()35339156333391sin ()()3!5!3!5!3!5!z z z z z z z z zz -=--++=-+=-+L L L2.设为函数得级极点,那么 2 。
三、解答题1.下列函数在有限点处有些什么奇点？如果就是极点,指出它得级: (1)32211=1, 1.1(1)(1)11.z z z z z z z z z ==---+-+==-解：显然，的奇点有其中是其二阶极点；是其一阶极点 (2)(3)33523332sin 10.1sin 11113!5!3!5!0.sin 1010.z z zz z z z z z z z z z z z z -=-+-+--==-+-+-=-=-=LL 解法一：可能的奇点为故有为其三阶极点解法二：由在点解析且等于，从而为原函数的三阶极点(4)(为正整数)2.判断点就是下列函数得什么奇点？ (1)(2)00.1.z z z ζ⎛<<∞=⎫ ⎪⎪= ⎪⎝⎭注在本题中，由于级数的收敛域是，从而可以直接让函数在点展开但在上一道题中，必须先做变量替换，才可进行展开3.就是函数得几级极点？()3579357959()sin sh 2=sin 2223!5!7!9!3!5!7!9!225!9!z ze ef z z z z z zz z z z z z z z z z z z z --=+-+-⎛⎫⎛⎫=-+-+-++++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++L LL 解法一：(4)(4)(5)()sin sh 2=sin 22(0)0;'()cos 2'(0)1120;2''()sin ''(0)0;2'''()cos ,'''(0)110;2()sin (0)0;2()cos 2z zz zz zz zz z z z e e f z z z z z zf e e f z z f e e f z z f e e f z z f e e f z z f e e f z z -------=+-+-=+=+-=+-=-=-+=+=-+=-+=-=+=+=+解法二：考虑函数，，，()(5)2(0) 2.0sin sh 2sin sh 2f z z z z z z z ==+-+-，从而为的五阶零点，为的十阶零点，因为是原函数的十阶极点.复变函数练习题 第五章 留数系 专业 班 姓名 学号§2 留数一、选择题:1.设在内解析,为正整数,那么 [ ] (A) (B) (C ) (D)2.在下列函数中,得就是 [ ] (A) (B) (C) (D )()000111'11.lim 1lim 1lim 101111'z z z z z z z z z z z e z z e e e e →→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-=--=-=-= ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭3. [ ](A) (B ) (C) (D)12223223111()(1)2!()3!()111[12()()](1)2()6()11566z i z e z i i z i z i z i i z i z i z i z i z i i z i-⎛⎫=-+++++ ⎪---⎪ ⎪=-+-+-++++ ⎪---⎪ ⎪=-+⎪-⎝⎭L L 项系数为：-1+i+ 二、填空题:1.设,则 0 。
2.设为得级零点,那么 m 。
3.设,则 -1/24 。
三、解答题:1.求下列各函数在各个有限奇点处得留数: (1)423342326343423323443682334()().14()3(1)()()()43(1)()()12()12()12()12(1)()()()1224()()f z z i f z z dd z z i z z i z i dz dz z i d z z dz z i z i z z i z z i z z i z z i z i z i z z z i z i =±+⎡⎤+-+++=⎢⎥+⎣⎦⎡⎤+=-⎢⎥++⎣⎦+-++-++=-++=-+++具有两个奇点，它们分别是的三阶极点45''4234334512(1)()111122412(1)3lim 2()28163283Res[(),]8z i z z i z i i i i z i ii i if z i →++⎛⎫⎡⎤++=⋅-+=- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦=-！ (2)2.求得值,如果(1) (2)4224421111()111(1)(14)(1)(4)110Res [(),]Res [(),0]0z f z z z z z z z zz f z f z z⋅=⋅=+-+-=∞=-⋅=在点处解析，故 (3) (4) 法一:法二:2332()332Res [(),3]lim 1;32Res [(),3]lim 1,3Res [(),]Res [(),3]Res [(),3] 2.z i z i zf z z z i z zf z i z i zf z i z if z f z i f z i →→==±+==+-==-∞=---=-在平面上只有两个奇点，它们是一阶极点，从而法三:22222202121112()01(31)3112Res [(),0]=lim 23111Res [(),]Res [(),0] 2.z z f z z z z z z zf z zz f z f z z→⋅⋅=⋅==++⋅=+∞=-⋅=-以为一节极点，从而由3.计算下列各积分(利用留数,圆周均取正向) (1) (2)3133||21cos 1cos 12Res[,0]22.2z z z dz i ic i i z z ππππ-=--===⋅=⎰Ñ 复变函数练习题 第五章 留数系 专业 班 姓名 学号§3 留数在定积分计算上得应用一、选择题1.设为正整数,则 [ ] (A )0 (B) (C) (D)||21(1)0011112Res[(),]1111111111=0111n n z n n n n nk n k k k n z dz i f z z z z c z z z z z z π=∞∞-+==⎛⎫ ⎪=<=-∞ ⎪-- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⋅=== ⎪-- ⎪⎝⎭⎰∑∑Ñ的所有奇点满足，从而在无穷远点可展成： 对应的2.积分 [ ] (A)0 (B ) (C) (D)二、填空题1.积分 -2i 。
3||200111()01sin 12(Res[(),0]Res[(),1]Res[(),1])sin 11Res[(),0]lim lim sin sin 111Res[(),1]lim lim sin sin (1)Res[(z z z z z z k k z z dz i f z f z f z z z z f z z z z z f z z z f z πππππππππππ=→→→→=∈=±=++-==⋅=--===---⎰ÑZ 的所有奇点有：，落在积分曲线内的点有：，从而111),1]lim sin (1)z z z ππ→-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪+ ⎪-==- ⎪-+⎝⎭2.设,则在复平面上所有有限奇点处留数之与为 0 。
1324816222828121111111()(1)(1)11(1)(1)(1)(1)11Res[(),]Res[(),0]0z f z z z z z z zz z z z z z f z f c z z-⎛⎫ ⎪⋅=⋅=⋅=+++-+- ⎪-+ ⎪-+⎪ ⎪=-∞=-⋅=-= ⎪⎝⎭∑L L三、解答题1.求函数在得留数。
21111()11Res[(),1]lim 12Res[(),1]lim 12Res[(),]{Res[(),1]Res[(),1]}2zz z z z e f z z z z e ef z z e ef z z e e f z f z f z →-→--==±-==+-==---∞=-+-=-在平面上具有两个奇点，它们都是一阶极点.；；从而， 2.计算积分(为一正整数),2222221121.12Res[(),].11111(1)1111110.21011nn nn n C nn n n nn n n nnnnC z z z C zz dz i f z z z z z z z z z z z z z n c n c i n z dz n z ππ--=+=-∞+=∞+=⋅=+++++==≠==⎧=⎨≠+⎩⎰⎰L ÑÑ在平面上的奇点为方程的根，则全落于积分曲线内部从而在处可展为：当时，；当时，，从而， 3.计算下列积分:(1)2101111253sin 3()(3)5332z z dz dzd i z z iz z z i iπθθ-===⋅=-++++⋅⎰⎰⎰ 被积函数在|z|=1内只有一个奇点,且为一阶极点、 从而(2)222222222221100114212cos 22211sin 1cos 22254cos 2(54cos )2(54)2(54)222118()(2)2i i z z z e e z z z z z z dz dz d d z z z z iz iz z z dziz z z θθππθθθθθθθ------===++==++---==⋅=⋅+++++⋅+⋅-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰被积函数在|z|=1内具有两个奇点z=0,z=-1/2,它们分别就是二阶极点与一阶极点。
复变函数第五章1留数
证明： 若z0是f (z)的m阶零点 即 f (z) (z z0 )m(z)
((z)在 z0 处解析, 泰勒级数：(z) a0 a1(z z0 ) )
f (z)在z0处的泰勒级数为
f (z) a0 (z z0 )m a1 (z z0 )m1 a2 (z z0 )m2
f (z0 ) f (z0 ) f (m1)(z0 ) 0, f (m)(z0 ) a0 0.
则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点.
例如：f (z) sin 1 以z 1为它的本性奇点
因为sin
1
1 z
在z 1的去心邻域0 z 1 上的罗朗展式为
1
1
z
sin
(1)n ( 1 )2n1
1 z n0 (2n 1)! 1 z
1 ( 1 ) 1 ( 1 )3 (1)n ( 1 )2n1
z 1是f (z)的本性奇点.
或 z沿实轴从点1的右侧趋向于1
z沿实轴从点1 的左侧趋向于1
1
lim e z1极限不存在，且不为 z 1
z 1是f (z)的本性奇点课. 件
1
lim e z1
z1
1
lim e z1 0,
z1
9
综上所述:
定理5.1 若函数f (z)在0 z z0 R内解析，则
z 1是(z2 1)( z 2)3的一级零点
z 2是(z2 1（) z 2）3的三级零点，
z 1是f (z)的二级极点，(见例7,m 1 3 n)
z 2是可去奇点， (见例7,m 3 n)
z 0,2,3， 4， 是f (z)的三级极点.
(见例7, m 0 3 n)
k
课件
3
5.1.1 孤立奇点的定义及分类
复变函数第五章留数
§1 孤立奇点 §2 留数
1
§5.1 孤立奇点
一、孤立奇点定义
如果函数f z在z0不解析, 但在z0的某个去心邻域
0 z z0 内处处解析, 则称z0为f z的孤 立 奇 点.
例如
1 sin
1
, z0
=
0为奇点,
但不是孤立奇点.
z
z 1 n 1,2,为奇点, n , z 0,
]
sinz
cosz
zzk
sinz sinz
z
zk
1
tgzdz
C
2i 8 1 16i
31
例4 计算 z4 sin 1 dz, C为 z 1 2.
C
z
解 奇点：z 0, 奇点类型不清楚，
•
z4
sin 1 z
z4
1 z
1 3! z3
1 5! z5
1 7! z7
z3
z 3!
1 5! z
1 7! z3
Re
s
f
z,0
c1
1 120
C
z4
sin
1 z
dz
2i
Re
s
f
z,0
60
i
32
例5 计算
C
z z4 1
dz,C为 z
2，正向.
解 显然 z 1,i 都是 f z 的一级极点，
f z ( z z0 )m z ，
其中 z在z0解析，且 z0 0，m为正整数，
则
z
为
0
f
z
的m
级
零
点.
例如 对于 f z z(z 1)3，z0 0, z0 1分别是其一级
留数第5章
n =0
为f(z)在点z0的主要部分.
分类
设z0为f(z)的孤立奇点. (1)如果f(z)在点z0的主要部分为零,则称z0为 可去奇点. f(z)的可去奇点 可去奇点 (2)如果f(z)在点z0的主要部分为有限多项,
a−(m−1) a−m a−1 + +⋅⋅⋅ + (a−m ≠ 0), 设为 m m−1 (z − z0 ) (z − z0 ) z − z0
等于f(z)在点∞的罗朗展式中1/z这一项的系数反号. 因此，即使∞为函数 的可去奇点,未必有 z = 为函数f(z)的可去奇点 因此，即使 为函数 的可去奇点 未必有 Re∞s f ( z ) = 0
例 设f(z)=z5/(1+z6), 求 Re s f ( z )
z =∞
解:
z 1 f (z) = = 6 z 1+ z
sin z z
性质
定理5.1.3 f(z)的孤立奇点 0为极点的充要 的孤立奇点z 定理 的孤立奇点 条件是 zlim f ( z ) = ∞ →z
0
sin z 例如，0是 z 2
的单极点。
定理5.1.4 f(z)的孤立奇点z0为本性奇点⇔
b(有限数 ) lim f ( z ) ≠ ，即 lim f ( z )广义不存在. z → z0 z → z0 ∞
ϕ (ζ )
的可去奇点(解析点),
m级极点或本性奇点,则我们相应地称z=∞为 f(z)的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点. 设在去心邻域K-{0}:0<|ζ|<1/r内将 ϕ (ζ ) 展成罗
令ζ=1/z, 则有
ϕ (ζ ) =
其中 an = c− n (n = 0,±1,⋅ ⋅ ⋅). f(z)在无穷远点去心邻域N-{∞}:∞ 0≤r<|z|<+∞内的罗朗展式.对应 ∑ a − n z 的解析部分,我们称 ∑ a − n z
复变函数与积分变换第五章留数测验题与答案
第五章 留 数一、选择题： 1．函数32cot -πz z在2=-i z 内的奇点个数为 ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42．设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的( )（A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点3．设0=z 为函数zz e xsin 142-的m 级极点，那么=m ( )（A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）2 4．1=z 是函数11sin)1(--z z 的( ) (A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 一级零点 （D ）本性奇点5．∞=z 是函数2323z z z ++的( )(A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 二级极点 （D ）本性奇点 6．设∑∞==)(n n n z a z f 在R z <内解析，k 为正整数，那么=]0,)([Re k zz f s ( ) （A ）k a （B ）k a k ! （C ）1-k a （D ）1)!1(--k a k7．设a z =为解析函数)(z f 的m 级零点，那么='],)()([Re a z f z f s ( ) (A)m （B ）m - （C ） 1-m （D ）)1(--m 8．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ ）（A ） 21)(z e z f z -= （B ）z z z z f 1sin )(-=（C ）z z z z f cos sin )(+=(D) ze zf z111)(--= 9．下列命题中，正确的是( ) （A ） 设)()()(0z z z z f mϕ--=，)(z ϕ在0z 点解析，m 为自然数，则0z 为)(z f 的m 级极点．（B ） 如果无穷远点∞是函数)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re =∞z f s （C ） 若0=z 为偶函数)(z f 的一个孤立奇点，则0]0),([Re =z f s （D ） 若0)(=⎰c dz z f ，则)(z f 在c 内无奇点10． =∞],2cos[Re 3ziz s ( ) （A ）32-（B ）32 （C ）i 32（D ）i 32-11．=-],[Re 12i e z s iz ( )（A ）i +-61 （B ）i +-65 （C ）i +61 （D ）i +65 12．下列命题中，不正确的是( )（A ）若)(0∞≠z 是)(z f 的可去奇点或解析点，则0]),([Re 0=z z f s （B ）若)(z P 与)(z Q 在0z 解析，0z 为)(z Q 的一级零点，则)()(],)()([Re 000z Q z P z z Q z P s '= （C ）若0z 为)(z f 的m 级极点，m n ≥为自然数，则)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dzd n z z f s n n nx x +→-=（D ）如果无穷远点∞为)(z f 的一级极点，则0=z 为)1(zf 的一级极点，并且)1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞13．设1>n 为正整数，则=-⎰=211z ndz z ( ) (A)0 （B ）i π2 （C ）niπ2 （D ）i n π2 14．积分=-⎰=231091z dz z z ( ) （A ）0 （B ）i π2 （C ）10 （D ）5i π 15．积分=⎰=121sin z dz z z ( ) （A ）0 （B ）61- （C ）3i π- （D ）i π-二、填空题1．设0=z 为函数33sin z z -的m 级零点，那么=m ．2．函数zz f 1cos1)(=在其孤立奇点),2,1,0(21ΛΛ±±=+=k k z k ππ处的留数=]),([Re k z z f s ．3．设函数}1exp{)(22z z z f +=，则=]0),([Re z f s 4．设a z =为函数)(z f 的m 级极点，那么='],)()([Re a z f z f s ． 5．双曲正切函数z tanh 在其孤立奇点处的留数为 ． 6．设212)(z zz f +=，则=∞]),([Re z f s ． 7．设5cos 1)(zzz f -=，则=]0),([Re z f s ． 8．积分=⎰=113z zdz e z．9．积分=⎰=1sin 1z dz z ． 10．积分=+⎰∞+∞-dx x xe ix21 ． 三、计算积分⎰=--412)1(sin z z dz z e zz ．四、利用留数计算积分)0(sin 022>+⎰a a d πθθ五、利用留数计算积分⎰∞+∞-+++-dx x x x x 9102242六、利用留数计算下列积分： １．⎰∞++0212cos sin dx x xx x ２．⎰∞+∞-+-dx x x 1)1cos(2七、设a 为)(z f 的孤立奇点，m 为正整数，试证a 为)(z f 的m 级极点的充要条件是b z f a z m az =-→)()(lim ，其中0≠b 为有限数．八、设a 为)(z f 的孤立奇点，试证：若)(z f 是奇函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=；若)(z f 是偶函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=． 九、设)(z f 以a 为简单极点，且在a 处的留数为A ，证明Az f z f az 1)(1)(lim2=+'→. 十、若函数)(z Φ在1≤z 上解析，当z 为实数时，)(z Φ取实数而且0)0(=Φ，),(y x f 表示)(iy x +Φ的虚部，试证明)()sin ,(cos cos 21sin 202t d f tt t Φ=+-⎰πθθθθθπ)11(<<-t答案第五章 留 数一、1．（D ） 2．（B ） 3．（C ） 4．（D ） ５．（B ）６．（C ） ７．（A ） ８．（D ） ９．（C ） 10．（A ） 11．（B ） 12．（D ） 13．（A ） 14．（B ） 15．（C ）二、1．9 2．2)2()1(π+π-k k 3．0 4．m - 5．16．2- 7．241-8．12i π 9．i π2 10．e i π 三、i π-316. 四、12+πa a .五、π125.六、１．)(443e e e -π ２．e1cos π。
第五章_留数
§5.2
1的计算规则
定义5.4 设z0是f (z)的孤立奇点, C是在z0的充分 小邻域内包含z0在其内部的分段光滑正向简单闭曲 线, 积分
1 f ( z )dz 2 i C
称为f (z)在z0点的留数(Residue), 记做 Res f ( z ), z0 . 函数 f (z)在孤立奇点z0点的留数即是其在以 z0 为中心的圆环域内Laurent级数-1次幂项的系数.
第五章
留数
§5.1
孤立奇点
孤立奇点
如果函数 f (z)在z0点不解析, 则称z0 是f (z)的 一个奇点. 如果z0 是f (z)的一个奇点, 且存在d >0, 使得f (z)在 0 z z0 d 内解析，则称z0 是f (z)的 孤立奇点.
并不是所有的奇点都是孤立奇点
sin z 的孤立奇点. 但z=0 例如z=0是函数 e 和 z z 1 ( k 1, 2,) 不是函数 的孤立奇点, 因为 1 k sin z 都是奇点.
是 D上的解析函数,( z )dz f 那么
f ( z )dz
nC
2 i Res f ( z ), zk .
C k 1
C2
n
f ( z )dz ,
2
留数的计算
Res[f ( z ), z0 ] 0.
(1) 如果 z 0 为 f (z ) 的可去奇点, 则
(2) 如果 z 0 为 f (z ) 的本性奇点, 则需将 f (z ) 展开 成Laurent级数, 求 c1 .
2 1
其中 c m 0 ( m 1). 于是
f ( z ) ( z z0 ) m c m c m1 ( z z0 ) c m 2 ( z z0 )2 ,
第五章-留数51
i 8
12
第五章 留数
（2）
z
1
z
4
z
1
dz
z4 1 0 有4个单根
z 4 1
ei 2 k
1/ 4
i k
e 2
, k 0,1,2,3
Re sf (1) 1/ 4, Re sf (1) 1/ 4, Re sf (i) 1/ 4, Re sf (i) 1/ 4
z
1
z4
z
1
dz
2
i{Re
sf
(1)
Re
sf
(1)
Re
sf
(i)
Re
sf
(i)}
0
13
3! 5!
可见 0/0型的函数对应的可能是可去奇点。
（2）如果z0是函数的极点，则
lim f (z)
zz0
显然
f (z) an (z z0 )n , 0 z z0 R
nm
m叫着z0点的阶，一阶的极点称为单极点。
3
第五章 留数
（3）如果z0是函数的本性奇点
则
f (z) an (z z0 )n ,0 z z0 R
在全平面上的各点的留数之和等于零
这里奇点包括无限远点和有限远的奇点。
7
第五章 留数
【2】留数的计算
一般原则来讲，把函数在环域上展开为洛朗级数，取它的 负一次幂的系数即可
但是，如果能不做展开，而直接计算留数更方便
（1）如z0是函数的单极点
f
(z)
a1 z z0
a0
a1 ( z
z0)
则
lim( z
n
此时函数在z0点的极限值随z趋近于z0的方式而定
第五章_留数(答案)
（A）可去奇点 （B）一级极点 （C）二级极点
1 z z (1 3 z sin z 2!
2
)
[B]
（D）本性奇点
3 2z z3 3 2 1 = 2 z 3 2 2 以 =0为一阶极点 2 z z z
2．设 z 0 为函数
z z
3 3
3 5
3!
5!
)
z 9 z15 3! 5!
2
z9 (
。
1 z6 3! 5!
)
sin z 的 n 级极点，那么 n z3
三、解答题 1．下列函数在有限点处有些什么奇点？如果是极点，指出它的级： （1）
1 z z z 1
ez = z2
2
1+z 2 +
z4 + 2 ！
=0为其本性奇点，从而z 为原函数的本性奇点.
注 在本题中，由于级数的收敛域是0 z ，从而可以直接让函数在z 0点展开. 但在上一道题中，必须先做变量替换 1 ，才可进行展开. z
e z e z 3． z 0 是函数 (sin z sh z 2 z ) 的几级极点？( sh z ) 2
3 2
1 1 解：显然，3 2 = 的奇点有z 1, z 1. z z z 1 ( z 1)2 ( z 1) 其中z 1是其二阶极点；z 1是其一阶极点.
1
（2） e z 1
解：e 可能的奇点为z 1. e z 1 1
1
1 z 1
1 1 z 1 2!( z 1) 2
第5章 留数
；
12
极点的判定定理 定理 5.1.4 极点的判定定理 （1） f ( z ) 在奇点 z0 的去心邻域内的洛朗级数的负 幂项部分为有限多项； （2）f ( z ) 在 z0 点的去心邻域 0 | z z0 | R 内能表 示为如下形式：
( z z0 ) 其 中 ， 函 数 ( z ) 在 | z z0 | 内 是 解 析 的 ， 且
一级极点。
函数的零点与极点的关系 6
不恒等于零的解析函数
f (z ) 若能表示为
f ( z) ( z z0 )m ( z)
其中 (z ) 在 z0 解析，且 ( z0 ) 0 ，m为一正整数， 则称 z0 为 f (z ) 的m级零点。 若 f (z ) 在 z0 解析，则 z0 为 f (z ) 的m级零点的充要 条件是
开式为
sin z 1 z z z z ( z ) 1 . z z 3! 5! 3! 5!
3
3 5 2 4
式中不含 z sin z ，若 在 z 0 点无定义或不等于1，则只要 z 重新定义 z 0 处的函数值，使其等于1，奇点 sin z 就可去，f ( z ) 就在 z 0 解析了。
n
z 0 不是 f (z ) 的孤立奇点。
2
孤立奇点分为可去奇点，极点和本性奇点。
5.1.1 可去奇点
定义5.1.2 如果 f (z ) 在 z z0 的洛朗级数中不含 的负幂项，则称孤立奇点 z0 是 f (z ) 的可去奇点。
sin z 例：f ( z ) 以 z 0 为孤立奇点，其洛朗展 z
z z0
1 （3）函数 h( z ) 也以 z0 为本性奇点； f ( z)
5第五章 留数
第五章 留数定理留数定理是柯西积分理论的继续，可以说，它进一步展现了复变函数积分的细节内情，使我们对复积分有了更深刻的认识。
§5.1 孤立奇点若)(z f 在点0z 的某一去心邻域R z z <-<00内解析，但在点0z 不解析，则称0z 为)(z f 的孤立奇点。
若0z 是)(z f 的一个奇点，且在点0z 的无论多么小的邻域内)(z f 总还有除点0z 外的其它奇点，则称点0z 为)(z f 的非孤立奇点。
例如，0=z 为z z f 1)(=的孤立奇点，为1)1(sin )(-=zz g 的非孤立奇点。
去心邻域可看作内圆周缩为一点的环域。
若0z 为)(z f 的一个孤立奇点，则总存在着正数R ，使得)(z f 在点0z 的去心邻域R z z <-<00内可展成洛朗级数。
这里的正数R ，显然最大可取为0z 与)(z f 的离0z 最近的一个奇点间的距离。
在孤立奇点去心邻域内的洛朗展开，有时也称为在孤立奇点的洛朗展开。
1.孤立奇点的分类设0z 为函数)(z f 的有限孤立奇点，)(z f 在去心邻域R z z <-<00内的洛朗展式为∑∞-∞=-=n nnz z a z f )()(0∑+∞=---=10)(n nn z z a ∑∞=-+00)(n n n z z z 。
前面已知，右边第二个级数称为)(z f 在点0z 的解析部分，其和函数)(z ϕ在包括0z 点的邻域K 内是解析的，故)(z f 在点0z 的奇异性质完全体现在)(z f 的洛朗展式的负幂项部分∑+∞=---10)(n nnz z a，所以从出现奇异性来说，我们称∑+∞=---10)(n n n z z a 为)(z f 在点0z 的主要部分。
根据主要部分仅可能出现三种情况，将)(z f 的有限孤立奇点作如下分类：定义5.1.1：设0z 为)(z f 的有限孤立奇点。
（1）若)(z f 在点0z 的主要部分为零，则称0z 为)(z f 的可去奇点。
第五章 留数
，即
R e s[ f ( z ), z 0 ] c 1
或 R e s [ f ( z ), z 0 ]
2 i
1
f ( z )d z
C
C是此圆环域内围绕 z 0 的任一条正向简单闭曲线.
2、留数的计算
(1) 如果 z 0 为 例如：
f (z)
的可去奇点, 则
R es[ f ( z ), z 0 ] 0 .
1、留数的定义
若z0 是 f (z)的孤立奇点，则 f (z) 在某圆环域
0 z z0
内可以展开为洛朗级数
f (z)
n
cn ( z z0 ) ,
n
上述展开式中负一次幂项的系数 c 1 称为
z0
f (z)
在
处的留数，记为
R e s f ( z ), z 0
1
f (z) ( z z0 )
n1
dz
( n 0 , 1, 2 , ),
C
c 1
2 i
1
f ( z )d z
C
C是此圆环域内围绕 z 0 的任一条正向简单闭曲线.
1、留数的定义
若z0 是 f (z)的孤立奇点，则 f (z) 在某圆环域
0 z z0
如果 z 0 为 f ( z ) 的 m 级极点, 则
1 lim d
m 1
R es[ f ( z ), z 0 ]
( m 1) ! z z 0 d z
[( z z 0 ) m 1
m
f ( z )].
说明
（1）当 m=1 时，上式即为
R e s [ f ( z ), z 0 ] lim ( z z 0 ) f ( z ).