湖南省岳阳市第一中学培优班高考物理第一轮复习 补充资料 第2单元 相互作用6 相互作用专题2自招

第二单元相互作用

§6 相互作用专题2——自招

一．知识点

1．重心

2．摩擦角、自锁区

3．力矩

4．平衡的种类与条件（共点力平衡、定轴平衡、刚体平衡）

5．虚功原理

二．典例解析

1．重心

【例1】（2009?同济）如图（a）所示，一根细长的硬棒上有3个小球，每个小球之间相距a，小球质量为m、2m和3m，棒的质量分布均匀，总长为4a，质量为4m，求整个体系的重心位置。

变式1：均匀圆板的半径为R，在板内挖去一个半径为r的小圆，两个圆心相距为a，求剩余部分的重心与原圆板圆心的距离

变式2：求三角板与三角框的重心

匀质三角板的重心在哪？匀质三角框的重心在哪？

O a

r

O1

R

2．摩擦力、摩擦角、自锁区

【例2】一个质量m=20kg的钢件，架在两根完全相同的、平行的长直圆柱上，如图所示，钢件的重心与两柱等距，两柱的轴线在同一水平面内，圆柱的半径r=0.025m，钢件与圆柱间的滑动摩擦系数μ=0.20，两圆柱各绕自己的轴线做转向相反的转动，角速度ω=40rad/s，若沿平行于柱轴方向施加力推着钢件做速度为v0=0.05m/s的匀速运动，推力是多大？设钢件左右受光滑槽限制（图中未画出），不发生横向运动．g取10m/s2．

【例3】（2013年华约）明理同学平时注意锻炼身体，力量较大，最多能提起m=50kg的物体。一重物

放置在倾角θ=15°的粗糙斜坡上，重物与斜坡间的摩擦因数为μ=

3

3

≈0.58。试求该同学向上

拉动的重物质量M的最大值?

【变式】如图所示，AOB是一把等臂夹子，轴O处的摩擦不计，若想在A、B处用力去夹一个圆形物体C，则能否夹住与那些因素有关？这些因素应该满足什么条件？（不考虑圆柱形物体受到的重力）

3．力矩 【例4】（2009清华大学）如图，一根光滑均匀细棒质量为m ，一端通过光滑铰链固定在地上，另一端搁在方形木块上，初始时细棒和地面夹角为?=30θ，现使方形木块很缓慢地向正左方运动，则细棒在竖直面内转动的过程中，受到木块的作用力：

A ．一直增大

B ．一直减小

C ．先增大后减小

D ．先减小后增大

【变式1】（复旦）一根轻杆下端与一个半径为R ，重力为G 的光滑球相连，杆上段可绕轴O 自由转动，杆长L ，杆与球始终在同一直线上，O 点还挂有一根系有重物的细绳，如图所示，重物的重力为G′，则平衡后杆与竖直方向的夹角α

【变式2】（2008?西安交大）重为80kg 的人沿如图所示的梯子从底部向上攀登，梯子质量为25kg ，顶角为30°。已知AC 和CE 都为5m 长且用铰链在C 点处相连。BD 为一段轻绳，两端固定在梯子高度

一半处。设梯子与地面的摩擦可以忽略，求在人向上攀登过程中轻绳中张力的变化规律（g 取10m/s 2

）。

4．平衡的种类与条件（共点力平衡、定轴平衡、刚体平衡） 略

5．虚功原理

【例5】一质量为M 、均匀分布的圆环，其半径为r ，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T ，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.

【变式1】如图所示，一个半径为R 的

4

1

光滑球面置于水平桌面上．球面上有一条光滑匀质软绳，一端固定于球面顶点A ，另一端恰好与桌面不接触，且单位长度软绳的质量为ρ．求软绳A 端所受的水平拉力及软绳所受球面的支持力．

【变式2】如图所示，将质量为M 的匀质链条套在一表面光滑、顶角为α的圆锥上，设圆锥底面水平，链条静止时也处于水平，求链条中的张力的大小。

典例解析答案

例1【答案】 2.2c x a =

【解析1】以棒的左端为原点，沿棒向右建立坐标轴，由公式：

112233123i i

c m x m x m x m x x m m m m

L L +++∑==+++∑，

解得：223342 2.2234c ma m a m a m a

a m m m m

x +?+?+?=++=

+，即重心在距棒的左端2.2a 处。

【解析2】由力矩平衡求解，设重心在距棒的左端x c 处，如图（b ）所示。在重心处加一竖起向上的力F 使棒平衡，由0,23410F F mg mg mg mg mg ∑==+++=得。 取左侧为转动轴，物体平衡，由0M ∑=，

223342c Fx mga mg a mg a mg a =+?+?+?，解得： 2.2c x a =。

变式1【答案】

变式2【答案】匀质三角板的重心在中线的交点上； 匀质三角框的重心在三边中点构成的新三角形的角平分线的交点上（内心）

例2【答案】2N （关键是相对运动的方向）

例3【答案】max 270.7M m kg =≈（利用摩擦角求F 的极小值对应的方向，进而得M 的范围）

变式：tan

2

θ

μ≥ （或sin 1cos θ

μθ

≥

+ ）（列临界方程或不等式，或利用摩擦角）

例4【答案】C （列力矩平衡方程）

【解析】方形木块很缓慢地向正左方运动的过程中，细棒处于转动平衡。设木块高为a ，细棒长为L ，重为G ，则有：cos 2sin L a G N θθ?=?

，解得：sin 24GL N a

θ

=

变式1【答案】''

arcsin ()()

G R

G G L R α=++（力矩平衡） 变式2【答案】T =（125+160x ）tan150

(N)（x 为人离A 点的距离，力矩平衡）

【解析】设梯、人的质量分别为M 、m ，人离A 点的距离为x ，A 、E 两点的支持力为N 1、N 2，则N 1＋N 2=

（M ＋m ）g

整个梯子处于转动平衡，以A 为转动轴有：0002cos75cos752cos75mgx Mg AC N AC +?=?

AC 处于转动平衡，以C 为转动轴有：

0000111

(5)sin150.5sin15cos15sin1522

mg x Mg AC T AC N AC -+?+?=?

解得：T =（125+160x ）tan150

(N)

例5【解析】因为向心力F=mr ω2

，当ω一定时，r 越大，向心力越大，所以要想求最大张力T 所对应的角速度ω，r 应取最大值，如图3—6所示。在圆环上取一小段△L ，对应的圆心角为△θ，其质量可表示为2m M θ

π

??=

，受圆环对它的张力为T ，则同上例分析可得 22sin 2T mr θω?=?因为△θ很小，所以sin 22

θθ

??≈

，即 2222T Mr θθ

ωπ

???= 解得最大角速度 2T Mr πω=

变式1【答案】2

14

N gR πρ=+

；T gR ρ=。（本题可用微元法，也可用虚功原理——更简捷）

【解析】（1）取软绳中一微段（所对圆心角为?θ）研究，受力情况如图所示．沿圆弧切线方向有

cos i i i T G T θ=?+下上，即cos i i i T T gR ρθ-=?下上，其中cos i i R h θ?=?，即该弧段在竖直方向上

的投影，将上式累加后易得最上端A 处所受的拉力T gR ρ=（最下端处所受的拉力为0）

另由2

2

2

N T G =+，得：2

14

N gR πρ=+

．

（2）设想在A 处将软绳缓慢拉过(0)x x →，由于球面对软绳各处的支持力都沿半径向外，故拉动过程中只有A 端拉力T 和软绳重力做功．同时软绳重力势能的变化情况等同于软绳最下端一段x 段移至柱面的最高处，而其余部分重力势能当成不变，故Tx mgR =?，其中m x ρ?=得：T gR ρ=．

变式2【答案】

cot 22

Mg α

π（本题可用微元法或虚功原理）

三．对应练习 1．（2005?上海交大）如图（a ）所示，一均匀细杆长1m ，重量为W ，在距其上端25cm 处用一钉子将其钉在铅直墙面上，使细杆可绕此钉子无摩擦地旋转。今施一水平力于其上端，使细杆偏离铅垂线θ角（θ<90°）而平衡，则钉子作用在细杆上的力的量值为 。

2、（北大保送生考试）如图所示，P 为一个水闸的剖面图，闸门质量为m ，宽度为b ，水闸两侧水面高分别为h 1、h 2，水与闸门间、闸门与轨道间的动摩擦因数分别为21μμ、，求拉起闸门至少需要多大的力？

3．（2004上海交大）半径为R 的匀质半球体置于水平面上，其重心在球心O 正下方C 点处。OC=3R /8。半球质量为m 。在半球的平面上放一质量为m /8的物体，它与半球平面间的动摩擦系数为0.2，如图（a ）所示，则物体刚要开始滑动时离球心的最大距离为____________。 。

4、（上海交大自主）如图所示，一试管倒插在一水银槽内，封闭一部分气体，使试管在水面保持静止，此时试管露出水面部分长度b=1cm，玻璃管质量m=40g，横截面积S=2cm2，大气压强p0=105Pa，玻璃管壁厚度不计，管内空气质量不计，g取10m/s2。

（1）求玻璃管内外水面的高度差。

（2）用手拿住玻璃管并缓慢把它压入水中，当管的A端在水面下

超过某一深度时，放手后玻璃管不浮起，求这个深度。

（3）上一问中放手后玻璃管的位置是否变化？如何变动？

5、（2010?北大）如图，质量为m的正方体放在水平面上，现在图示顶角A处加一个力F，要求物体能被推倒但不滑动，动摩擦因数μ至少多大？此种情况下F的大小又如何？

对应练习答案

1． 【解析】由三力共点知识可知N 的方向如图（b ）所示。 以钉为轴，有sin cos Wl Fl θθ=，其中l =0.25m 。 得水平力F =W tan θ。

因而，22/cos N W F W θ=+=

2、【解析】左侧和右侧水对闸门向右和向左的压力分别为：

1

2

1122,2

2

gh gh F bh F bh ρρ=

?=

?

由水平方向合力为零可知，轨道与闸门之间的弹力N 满足：12F F N =+，即

221212()/2N F F gb h h ρ=-=-。提起闸门时在一开始所需的拉力最大，其值为：

22

22

2121121212()()()2

2

gb

gb

F mg N F F mg h h h h μρμρμμ=+++=+

-+

+

3．【答案】0.6R

【解析】设临界情况下直径与水平面夹θ角，如图（b ）所示。对整体有：

(3/8)sin (/8)cos ,mg R mg x θθ?=

解得：3tan x R θ=。

而对物体有：(/8)sin (/8)cos ,mg mg θμθ= 解得：tan θμ=， 所以，30.6x R R μ==

4、【解析】（1）由,0.2ghS mg h m ρ==得。

（2）玻璃管不浮起时，即处于悬浮状态，故封闭气体长仍为0.2m 。

由：

00)()()p gh b h S p gy gy hS ρρρ++=++（ 得： y = 0.51m 。

（3）设想玻璃管下沉一点，水进入后会进一步下沉，直到沉入水底为止，故这个位置是不稳定平衡状态。

5、【解析】正方体翻转至AC 连线与水平方向成θ角时，设此时A 处拉力F 与竖直方向成α角，并设AC = L ，则由转动平衡条件可得：cos cos cos sin sin ,2

L

mg F L F L θαθαθ?

=?+? 正方体不动须满足：(cos )sin ,mg F F μαα-≥ 即：sin sin 1

,2cos cos 2sin sin cot 2tan cos cos cos mg F ααμαθαθαθααθ

≥

==?++--

显然，θ增大时，(cot 2tan )αθ+也增大，α减小时，（cot 2tan αθ+）也减小。 故极端情况取θ为最小值，α取最大值，即取45,90θα=→o

o

， 故得0.5μ≥，此种情况下，F m =mg /2。

θ

α