2007年高考数学试题全国1卷(文科)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）
文科数学全解全析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，
每小题5分，共60分）. 1．设
，
，则
A ．
B ．
C ．
D ．
2．
是第四象限角，，则
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知向量
，
，则与
A ．垂直
B ．不垂直也不平行
C ．平行且同向
D ．平行且反向 4．已知双曲线的离心率为2，焦点是
，
，则双曲线方程为
A ．
B ．
C ．
D ．
5．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有
A ．36种
B ．48种
C ．96种
D ．192种 6．下面给出的四个点中，位于
表示的平面区域内的点是
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如图，正棱柱中，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为 A ． B ．
C ．
D ． 8．设，函数在区间
上的最大值与最小值
之差为
，则
A ．
B ．2
C ．
D ．4
D
B
1
B 1
D 1
A
9．，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的
A．充要条件B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件
10．函数的一个单调增区间是
A．B．C．D．
11．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
A．B．C．D．
12．抛物线的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，，垂足为K，则△AKF的面积是
A．4 B．C．D．8
二、填空题
13．从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为__________。
14．函数的图象与函数的图象关于直线对称，则____________。
15．正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个
球面上，则该球的体积为_________。
16．等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为
______。
三、解答题
17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若，，求b。
18．某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买。根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元。
（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；
（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获的利润不超过650元的概率。19．四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知
，，，
。
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的
大小。
20．设函数在
及时取得极值。
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对任意的，都有成立，求c的取值范围。
21．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，
（Ⅰ）求、的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和。
22．已知椭圆的左右焦点分别为、，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，垂足为P
（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值。
2007年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题（必修＋选修1）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D
B
A
A
C
C D
D
B
D A
C 1．设
={x| x>－}，
={x| x<
}，则
，选D 。
2．是第四象限角，
，则，选B 。
3．已知向量
，
，
，则与垂直，选A 。 4．已知双曲线的离心率为2，焦点是
，
，则c =4，a =2，
，双曲线方
程为，选A 。
5．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有
种，选C 。
6．将四个点的坐标分别代入不等式组，满足条件的是，选C 。
7．如图，连接BC 1，A 1C 1，∠A 1BC 1是异面直线与所成
的角，设AB=a ，AA 1=2a ，∴ A 1B=C 1B=a ，A 1C 1=
a ，∠A 1BC 1
的余弦值为，选D 。
8．设，函数在区间上的最大值与最小值
之分别为
，它们的差为
，∴ ，
4，选D 。 9．
，
是定义在R 上的函数，，若“
，均为偶函数”，则“
为偶函数”，而反之若“
为偶函数”，则“
，
不一定均为
偶函数”，所以“，
均为偶函数”，是“为偶函数”是充分而不必要的条
件，选B 。
D
B
A
1
B 1
D 1
A
10．函数=，它的一个单调增区间是，选D。
11．曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是(，0)，(0，－)，围成的三角形面积为，选A。
A．B．C．D．
12．抛物线的焦点F(1，0)，准线为l：，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3，2)，，垂足为K(－1，2)，∴△AKF的面积是4，选C。
题号13 14 15 16
答案
13．从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为P==0.25。
14．．函数的图象与函数的图象关于直线对称，则
与函数互为反函数，。
15．正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的球心恰好是底面ABCD的中心，球的半径是1，体积为。
16．等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，，又，即，解得的公比。
三、解答题
17．解：
（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，
由为锐角三角形得．
（Ⅱ）根据余弦定理，得．
所以，．
18．解： （Ⅰ）记
表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：“位顾
客中无人采用一次性付款”．
，
．
（Ⅱ）记
表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过
元”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”． 表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”． 则
．
，．
．
19．解法一： （1）作，垂足为
，连结，由侧面底面，得底面
．
因为，所以，
又
，故
为等腰直角三角形，，
由三垂线定理，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
依题设， 故
，由
，
，
．
又，作，垂足为， 则
平面
，连结
．
为直线
与平面
所成的角．
D
B
C
A
S
E
所以，直线与平面所成的角为．
解法二： （Ⅰ）作
，垂足为，连结，由侧面底面，得平面
．
因为，所以．
又，为等腰直角三角形，．
如图，以
为坐标原点，
为轴正向，建立直角坐标系
，
因为，
，
又
，所以
，
，． ，
，
，
，所以．
（Ⅱ）
，
.
与的夹角记为，
与平面
所成的角记为
，因为
为平面
的法向
量，所以
与
互余．
，，
所以，直线与平面所成的角为．
20．解： （Ⅰ），
因为函数
在
及
取得极值，则有
，
．
D
B
C
A
S
即
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以，
解得或，
因此的取值范围为．
21．解：
（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且
解得，．
所以，
．
（Ⅱ）．
，①
，②
②－①得，
．
22．证明
（Ⅰ）椭圆的半焦距，
由知点在以线段为直径的圆上，
故，
所以，．
（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．
设，，则
，，
；
因为与相交于点，且的斜率为．
所以，．
四边形的面积
．
当时，上式取等号．
（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．综上，四边形的面积的最小值为．