中考复习第21讲 特殊三角形

4．(1)(2014·东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵 高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树 的树梢，问小鸟至少飞行__10__米． (2)(2013· 绥化 ) 已知：如图在△ ABC ， △ ADE 中 ， ∠ BAC ＝∠DAE ＝ 90°，AB＝ AC， AD＝ AE ， 点C， D， E三点在 同一条直线上 ，连接BD， BE. 以下四个结论：①BD＝CE ； ② BD⊥CE ；③∠ ACE ＋∠ DBC ＝ 45°；④ BE2 ＝ 2(AD2 ＋ AB2)，其中结论正确的有(C) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3． (1)(2014· 益阳) AB 与 AC 重合得△ACD，BC 的中点 E 的对应点为 F， 则∠EAF 的度数是__60°__. (2)(2012· 荆州)如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平 分线 BD 上一点， PE⊥AB 于点 E， 线段 BP 的垂直平分线交 BC 于 点 F，垂足为点 Q.若 BF＝2，则 PE 的长为(C) A．2 B．2 3 C. 3 D．3
【点评】 在证明线段相等时，利用全等三角形的对应角相 等向两腰转化构造等腰三角形是常用的解题方法之一．
2．(2012·肇庆)如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与 BD 交于点 O， AC＝BD.求证： (1)BC＝ AD ；(2)△OAB是 等腰三角形． 解： (1)∵AC⊥BC ， BD⊥AD ， ∴∠ D ＝∠ C ＝ 90° ， 在 Rt△ACB 和 Rt△BDA 中 ， AB ＝ BA ， AC ＝ BD ， ∴△ACB≌△BDA(HL)，∴BC＝AD (2) 由△ACB≌△BDA 得∠CAB ＝∠DBA ， ∴△ OAB是 等腰三角形
3．直角三角形 在△ABC 中，∠C＝90°. (1)性质：边与边的关系(勾股定理)：a2＋b2＝__c2__； (2)角与角的关系：∠A＋∠B＝__90°__； 1 3 (3)边与角的关系：若∠A＝30°，则 a＝2c，b＝ 2 c； 1 若 a＝2c，则∠A＝30°； 2 若∠A＝45°，则 a＝b＝ 2 c；
等腰三角形有关边角的讨论
【例1】 (1)(2014· 盐城 ) 若等腰三角形的顶角为 40°， 则它
的底角度数为(D)
A．40° B．50° C．60 D．70°
(2)(2014·潍坊) 等腰三角形一条边的边长为 3，它的另两条边 的边长是关于x的一元二次方程x2－12x＋k＝0的两个根，则k 的值是(B)
等腰三角形的性质
【例2】 (2014·杭州)在△ABC中，AB＝AC，点E，F分 别在 AB ， AC 上 ， AE ＝ AF ， BF 与 CE 相交于点 P. 求证： PB ＝PC，并直接写出图中其他相等的线段．
解 ： 在 △ABF 和 △ACE AB＝AC， 中 ， ∠BAF＝∠CAE， ∴ △ AF＝AE，
2 若 a＝ 2 c，则∠A＝45°； 1 斜边上的中线 m＝2c＝R(其中 R 为三角形外接圆的半径)． (4)判定： 有一个角是直角的三角形是直角三角形； 如果三 角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直 角三角形；如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那 么这个三角形是直角三角形．
1．(2014· 苏州)如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 上，AB＝AD ＝DC，∠B＝80°，则∠C 的度数为(B) A．30° B．40° C．45° D．60° 2．(2014· 黔南州)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BE 平分 ∠ABC，ED⊥AB 于 D.如果∠A＝30°，AE＝6 cm，那么 CE 等于 (C) A. 3 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
A．27
【点评】
B．36
C．27或36
D．18
在等腰三角形中，如果没有明确底边和腰 ，某一
边可以是底 ，也可以是腰．同样，某一角可以是底角也可以 是顶角，必须仔细分类讨论．
1 ． (1)(2014· 宜昌 ) 如图 ， 在△ ABC 中 ， AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的 长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则 ∠ABD＝(B) A．30° B．45° C．60° D．90° (2)(2013·黔西南州)如图，已知 △ABC是等边三角形，点B，C，D， E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝ DE，则∠E＝__15__度． (3)(2013·白银)等腰三角形的周长 为16，其一边长为6，则另两边为__6 ，4或5，5__.
直角三角形、勾股定理
【例 4】 (1)(2014· 无锡)如图，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，E 是 AC 的中点．若 AD＝6，DE＝5，则 CD 的长等于__8__. (2)(2013· 山西)如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB＝12，BC＝5，点 E 在 AB 上， 10 将△DAE 沿 DE 折叠，使点 A 落在对角线 BD 上的点 A′处，则 AE 的长为_ 3 . 【点评】 在线段的长无法直接求出时，可利用另一线段把这一线段表示出来， 然后利用勾股定理得到一个方程，最后得解，这是利用勾股定理解决线段长的常用 方法．
ABF≌△ACE(SAS)， ∴∠ABF＝∠ACE(全等三角形的对应角相 等)，∴BF＝CE(全等三角形的对应边相等)，∵AB＝AC，AE ∠BPE＝∠CPF， ＝AF，∴BE＝CF，在△BEP 和△CFP 中，∠PBE＝∠PCF， BE＝CF， ∴△BEP≌△CFP(AAS)，∴PB＝PC，∵BF＝CE，∴PE＝PF， ∴图中相等的线段为 PE＝PF，BE＝CF，BF＝CE
等边三角形
【例 3】 (2013· 聊城)如图，在等边△ABC 中，AB＝6，D 是 BC 的中点，将△ABD 绕点 A 旋转后得到△ACE，那么线段 DE 的 长度为__3 3__. 【点评】 在解题的过程中要充分利用等边三角形特有的性 质，每个角都相等，每条边都相等，这可以让我们轻松找到证明全 等所需的条件．
AC 相交于点 F ， AB ＝ 9 ， BD ＝ 3 ， 则 CF 等
于(B) A．1 B．2 C．3 D．4
5．(2012·本溪)如图，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB ＝8，AC＝6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC 于点E，连接AE，则△ACE的周长为(A) A．16 B．15 C．14 D．13
第21讲
特殊三角形
1．等腰三角形 (1)性质：__两腰__相等，__两底角__相等，底边上的高线、 中线、顶角的角平分线“三线合一”； (2)判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰 三角形． 2．等边三角形 (1)性质：__三边__相等，三内角都等于__60°__； (2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三 角形是等边三角形．
第1题图
第2题图
3 ． (2014· 丹东 ) 如图，在△ ABC 中， AB
＝ AC ， ∠ A ＝ 40° ， AB 的垂直平分线交
AB 于 点 D ， 交 AC 于 点 E ， 连 接 BE ， 则 ∠CBE的度数为(D)
A．70° B．80° C．40° D．30°
4 ． (2014· 本 溪 ) 如 图 ， 已 知 △ ABC 和 △ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与