高中数学 §11命题及四种命题
§1.1 命题及四种命题
1. 掌握命题、真命题及假命题的概念；
2. 四种命题的内在联系，能根据一个命题来构造它的逆命题、否命题和逆否命题.
.
复习2：什么是定理?什么是公理?
.
二、新课导学
※ 学习探究 1.在数学中,我们把用 、 、或 表达的，可以 的 叫做命题.其中 的语句叫做真命题，
的语句叫做假命题
练习：下列语句中：
（1）若直线//a b ，则直线a 和直线b 无公共点；
（2）247+=
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；
（4）若21x =，则1x =；
（5）两个全等三角形的面积相等；
（6）3能被2整除.
其中真命题有 ，假命题有 2.命题的数学形式：“若p ，则q ”，命题中的p 叫做命题的 ，q 叫做命题的 . ※ 典型例题
例1：下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题? （1）空集是任何集合的子集；
（2）若整数a 是素数，则a 是奇数；
（3）指数函数是增函数吗？
（4）若空间有两条直线不相交，则这两条直线平行； （52；
（6）15x >. 命题有 ，真命题有 假命题有 . 例2 指出下列命题中的条件p 和结论q ： （1）若整数a 能被2整除，则a 是偶数； （2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分. 解：（1）条件p ： 结论q ： （2）条件p ：
结论q ：
变式：将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假：
（1）垂直于同一条直线的两条直线平行； （2）负数的立方是负数；
（3）对顶角相等.
※ 动手试试
1.判断下列命题的真假： （1） 能被6整除的整数一定能被3整除； （2） 若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形；
（3） 二次函数的图象是一条抛物线；
（4） 两个内角等于45?的三角形是等腰直角三
角形.
2.把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断它们的真假. (1) 等腰三角形两腰的中线相等； (2) 偶函数的图象关于y 轴对称； (3) 垂直于同一个平面的两个平面平行.
小结：判断一个语句是不是命题注意两点：（1）是否是陈述句；（2）是否可以判断真假. 3.四种命题的概念
（1）对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别
是另一个命题的结论和条件，那么我们这样
的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做 原命题为：“若p ，则q ”，则逆命题为：“ ”. (2) 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 我们把这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的 .
若原命题为：“若p ，则q ”，则否命题为：“ ” （3）一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的
结论的否定和条件的否定, 我们把这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的 .若原命题为：“若p ，则q ”，则否命题为：“ ” 练习：下列四个命题：
（1）若()f x 是正弦函数，则()f x 是周期函数； （2）若()f x 是周期函数，则()f x 是正弦函数； （3）若()f x 不是正弦函数，则()f x 不是周期函数； （4）若()f x 不是周期函数，则()f x 不是正弦函数. （1）（2）互为 （1）（3）互为 （1）（4）互为 （2）（3）互为
例 3 命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若子
,a b c d ==，则a c b d +=+”.写出逆命题、否命题、逆否命题.
变式：设原命题为“已知a 、b 是实数，若a b +是
无理数，则a 、b 都是无理数”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题.
※ 动手试试
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假：
（1）若一个整数的末位数是0，则这个整数能被5
整除； （2）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的
两个角相等；
（3）奇函数的图像关于原点对称.
三、总结提升： ※ 学习小结
这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列语名中不是命题的是（
）. A.20x > B.正弦函数是周期函数 C.{1,2,3,4,5}x ∈
D.125>
2.设M 、N 是两个集合，则下列命题是真命题的是（ ）.
A.如果M N ?，那么M N M ?=
B.如果M N N ?=，那么M N ?
C.如果M N ?，那么M N M ?=
D.M N N ?=，那么N M ? 3.下面命题已写成“若p ，则q ”的形式的是（ ）. A.能被5整除的数的末位是5
B.到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
C.若一个等式的两边都乘以同一个数，则所得的结果仍是等式
D.圆心到圆的切线的距离等于半径 4.下列语句中：（1）2+2）1002是个大数（3）好人一生平安（4）968能被11整除，其中是命题的序号是 5.将“偶函数的图象关于y 轴对称”写成“若p ，则
q ”的形式，则p ： ，q ： 判断它们的真假
（1）若,a b 都是偶数，则a b +是偶数；
（2）若0m >，则方程20x x m +-=有实数根.
2.把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：
（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端
点的距离相等； （2）矩形的对角线相等.
§1.1 四种命题间的相互关系
1．掌握四种命题的内在联系；
2. 能分析逆命题、否命题和逆否命题的相互关系，并能利用等价关系转化.
复习2：判断命题“若0
a≥，则20
x x a
+-=有实
根”的逆命题的真假.
二、新课导学
※学习探究
1：分析下列四个命题之间的关系
（1）若()
f x是正弦函数，则()
f x是周期函数；
（2）若()
f x是周期函数，则()
f x是正弦函数；
（3）若()
f x不是正弦函数，则()
f x不是周期函数；
（4）若()
f x不是周期函数，则()
f x不是正弦函数.
（1）（2）互为（1）（3）互为
（1）（4）互为（2）（3）互为
通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如
下关系：
2、四种命题的真假性
例1 以“若2320
x x
-+=，则2
x=”为原命题，
写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断
这些命题的真假并总结其规律性.
（1）.
(2) .
练习：判断下列命题的真假.
(1)命题“在ABC
?中，若AB AC
>，则C B
∠>∠”
的逆命题；
（2）命题“若0
ab≠，则0
a≠且0
b≠”的否命题；
（3）命题“若0
a≠且0
b≠，则0
ab≠”的逆否命
题；
（4）命题“若0
a≠且0
b≠，则220
a b
+>”的逆
命题.
反思：（1）直接判断（2）互为逆否命题的两个命题
等价来判断.
※典型例题
例1 证明:若220
x y
+=，则0
x y
==.
变式：判断命题“若220
x y
+=，则0
x y
==”是真
命题还是假命题？
练习：证明：若222430
a b a b
-+--≠，则1
a b
-≠.
例 2 已知函数()
f x在(,)
-∞+∞上是增函数,
,a b R
∈,对于命题“若0
a b
+≥，则
()()()()f a f b f a f b +≥-+-.”
(1) 写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论. (2) 写出其逆否命题,并证明你的结论.
※ 动手试试
1.求证：若一个三角形的两条边不等，这两条边所
对的角也不相等.
2.命题“如果22x a b ≥+，那么2x ab ≥”的逆否命题是（ ）
A.如果22x a b <+，那么2x ab <
B.如果2x ab ≥，那么22x a b ≥+
C.如果2x ab <，那么22x a b <+
D.如果22x a b ≥+，那么2x ab <
三、总结提升： ※ 学习小结
这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 命题“若0
x >且0y >，则0xy >”的否命题是（ ）.
A.若0,0
x y ≤≤，则0xy ≤ B.若0,0x y >>，则0xy ≤
C.若,
x y 至少有一个不大于0，则0xy <
D.若,x y 至少有一个小于0，或等于0，则0xy ≤ 2. 命题“正数a 的平方根不等于0”是命题“若a 不是正数，则它的平方根等于0”的（ ）.
A.逆命题
B.否命题
C.逆否命题
D.等价命题 3. 正确的是（ ）.
A.是有理数
B.
C.
D.
4. 若1x >，则21x >的逆命题是 否命题是
5.命题“若a b >，则221a b ≥-”的否命题为
1. 已知,a b 是实数，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假.
2.证明：在四边形ABCD 中，若AB CD AC CD +<+，则AB AC <.
§1.2.1 充分条件与必要条件
1. 理解必要条件和充分条件的意义；
2. 能判断两个命题之间的关系. .
复习2：将命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”改写为“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题并
判断它们的真假.
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务：充分条件和必要条件的概念
问题：
1. 命题“若22x a b >+，则2x ab >” （1）判断该命题的真假； （2）改写成“若p ，则q ”的形式，则 P ： q ：
（3）如果该命题是真命题，则该命题可记为： 读着：
2. 1.命题“若0ab =,则0a =” （1）判断该命题的真假； （2）改写成“若p ，则q ”的形式，则 P ： q ： （3）如果该命题是真命题，则该命题可记为： 读着： 新知：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .我们就说,由p 推出q ,记作p q ? ,并且说p 是q 的 ,q 是p 的
试试：用符号“?”与“”填空： （1） 22
x y = x y =； （2） 内错角相等 两直线平行； （3） 整数a 能被6整除 a 的个位数字为偶数； （4） ac bc = a b =. ※ 典型例题 例1 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？
（1）若1x =，则2430x x -+=；
（2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数； （3）若x 为无理数，则2x 为无理数.
练习：下列“若P ，则q ”的形式的命题中，哪些
命题中的p 是q 的充分条件？ （1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； （2）若5x >，则10x >
例2 下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？ （1）若x y =，则22x y =； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等； （3）若a b >，则ac bc >
练习：下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？ （1）若5a +是无理数，则a 是无理数； （2）若()()0x a x b --=，则x a =.
小结：判断命题的真假是解题的关键.
※ 动手试试
练1. 判断下列命题的真假.
（1）2x =是2440x x -+=的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件； （3）sin sin αβ=是αβ=的充分条件； （4）0ab ≠是0a ≠的充分条件.
练2. 下列各题中，p 是q 的什么条件？ （1）p ：1x =，q
：1x -= （2）p ：|2|3x -≤，q ：15x -≤≤；
（3）p ：2x =，q
：3x -=
（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰
三角形.
三、总结提升 ※ 学习小结
这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？
※ 知识拓展
设,A B 为两个集合,集合A B ?，那么x A ∈是
x B ∈是x A ∈的
条件.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）
计分： 1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）.
A.平行四边形对角线相等
B.四边形两组对边相等
C.
四边形的对角线互相平分 D.四边形的对角线垂直
2.,x y R ∈，下列各式中哪个是“0xy ≠”的必要条件？（ ）.
A.0x y +=
B.220x y +>
C.0x y -=
D.330x y +≠
3.平面//α平面β的一个充分条件是（ ）. A.存在一条直线,//,//a a a αβ
B.存在一条直线,,//a a a αβ?
C.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα??
D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα?? 4.p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，p 是q 的 条件.
5. p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等，p 是q 的 条件. （1）“a b >”是“22a b >”的充分条件； （2）“||||a b >”是“22a b >”的必要条件.
2. 已知{|A x x =满足条件}p ，{|B x x =满足条件}q .
(1)如果A B ?,那么p 是q 的什么条件? (2)如果B A ?,那么p 是q 的什么条件?
§1.2.2 充要条件
1. 理解充要条件的概念；
2. 掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性. 1112 复习1：什么是充分条件和必要条件?
复习2：p ：一个四边形是矩形q ：四边形的对角线相等.p 是q 的什么条件?
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一：充要条件概念
问题：已知p ：整数a 是6的倍数，q ：整数a 是2
和3的倍数.那么p 是q 的什么条件?q 又是p 的什么条件?
新知：如果p q ?,那么p 与q 互为
试试：下列形如“若p ，则q ”的命题是真命题吗？
它的逆命题是真命题吗？p 是q 的什么条件？
（1）若平面α外一条直线a 与平面α内一条直线
平行，则直线a 与平面α平行；
（2）若直线a 与平面α内两条直线垂直，则直线a
与平面α垂直.
反思：充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题.
※ 典型例题
例1 下列各题中,哪些p 是q 的充要条件? (1) p : 0b = ,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函
数；
(2) p : 0,0,x y >> q :0xy > (3) p : a b > ， q :a c b c +>+
变式：下列形如“若p ，则q ”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？哪些p 是q 的充要条件? (1) p : 0b = ,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函
数；
(2) p : 0,0,x y >> q :0xy > (3) p : a b > ， q :a c b c +>+
小结：判断是否充要条件两种方法 （1）p q ?且q p ?；
（2）原命题、逆命题均为真命题； (3) 用逆否命题转化.
练习：在下列各题中, p 是q 的充要条件? (1) p :234x x =+ , q
:x (2) p : 30x -=, q :(3)(4)0x x --= (3) p : 240(0)b ac a -≥≠ ,
q :20(0)ax bx c a ++=≠
(4) p : 1x =是方程20ax bx c ++=的根 q :0a b c ++=
例2 已知：O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离
为d .求证:d r =是直线l 与O 相切的充要条件.
变式：已知：O 的半径为r ，圆心O 到直线的距
离为d ，证明:
(1)若d r =，则直线l 与O 相切. (2)若直线l 与O 相切,则d r =
小结：证明充要条件既要证明充分性又要证明必要性.
※ 动手试试
练1. 下列各题中p 是q 的什么条件？ （1）p ：1x =，q
：1x -= （2）p ：|2|3x -=，q ：15x -≤≤ ；
（3）p ：2x =，q
：3x -=；
（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰
三角形.
练2. 求圆222()()x a y b r -+-=经过原点的充要条
件.
三、总结提升 ※ 学习小结
这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？
※ 知识拓展
设A 、B 为两个集合，集合A B =是指x A x B ∈?∈，则“x A ∈”与“x B ∈”互为
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列命题为真命题的是（ ）. A.
a b >是22a b >的充分条件 B.||||a b >是22a b
>的充要条件
C.21x =是1x =的充分条件
D.αβ=是tan tan αβ= 的充要条件
2.“x M N ∈”是“x M N ∈”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 3.设p ：240(0)b ac a ->≠，q ：关于x 的方程
20(0)ax bx c a ++=≠有实根，则p 是q 的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 4.22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ）.
A.132x -<<
B.1
02
x -<<
C.1
32
x -<<
D.16x -<< 5. 用充分条件、必要条件、充要条件填空. (1).3x >是5x >的
(2).3x =是2230x x --=的
( 3).两个三角形全等是两个三角形相似的 20a b +=230ax y ++=和直线20x by ++=垂直的充要条件.
2.求证：ABC ?是等边三角形的充要条件是
222a b c ab ac bc ++=++，
这里,,a b c 是ABC ?的三边.
§1.3简单的逻辑联结词
2. 掌握,,p q p q p ∧∨?的真假性的判断；
3. 正确理解p ?的意义，区别p ?与p 的否命题；
4. 掌握,,p q p q p ∧∨?的真假性的判断，关键在于p 与q 的真假的判断.
1416 复习1：什么是充要条件?
复习2：已知{|A x x =满足条件}p ,{|B x x =满足条
件}q
(1)如果A B ?,那么p 是q 的什么条件；
(2) 如果B A
?,那么p是q的什么条件；
(3) 如果A B
=,那么p是q的什么条件.
二、新课导学
※学习探究
探究任务一：“且“的意义
问题：下列三个命题有什么关系?
(1)12能被3整除；
（2）12能被4整除；
（3）12能被3整除且能被4整除.
新知：1.一般地,用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作
“”，读作“”.
试试：判断下列命题的真假：
（1）12是48且是36的约数；
（2）矩形的对角线互相垂直且平分.
反思：p q
∧的真假性的判断，关键在于p与q的真
假的判断.
探究任务二：“或“的意义
问题：下列三个命题有什么关系?
(1) 27是7的倍数；
（2）27是9的倍数；
（3）27是7的倍数或是9的倍数.
新知：1.一般地,用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作
“”，读作“”.
（1）47是7的倍数或49是7的倍数；（2）等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直.
反思：p q
∨的真假性的判断，关键在于p与q的真
假的判断.
探究任务三：“非“的意义
问题：下列两个命题有什么关系?
(1) 35能被5整除；
（2）35不能被5整除；
新知：1.一般地,
对一个命题的全盘否定就得到一个新命题，记作“”，读作
“
”或“”.
试试：写出下列命题的否定并判断他们的真假：（1）2+2=5；
（2）3是方程290
x-=的根；
（31-
反思：p
?的真假性的判断，关键在于p的真假的
判断.
※典型例题
例1 将下列命题用“且”联结成新命题并判断他们的真假：
（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；
（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；
（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数
变式：用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断他们的真假：
（1）1既是奇数，又是素数；
（2）2和3都是素数.
小结：p q
∧的真假性的判断，关键在于p与q的真
假的判断.
例2 判断下列命题的真假
(1) 22
≤；
(2) 集合A是A B的子集或是A B的子集；
(3) 周长相等的两个三角形全等或面积相等的两
个三角形全等.
变式：如果p q ∧为真命题，那么p q ∨一定是真命
题吗？反之，p q ∨为真命题，那么p q ∧一定是真命题吗？
小结：p q ∨的真假性的判断，关键在于p 与q 的真
假的判断.
例3 写出下列命题的否定，并判断他们的真假： （1）p ：sin y x =是周期函数； （2）p ：32<
（3）空集是集合A 的子集.
小结：p ?的真假性的判断，关键在于p 的真假的判断.
三、总结提升
※ 学习小结https://www.360docs.net/doc/7612294204.html,
这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？
※ 知识拓展
阅读教材第18页,理解逻辑联结词“且”“或”
“并”“补”的关系.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. “p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的（ ）.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 2.命题P ：在ABC ?
中，C B ∠>∠是sin sin C B >的充要条件；命题q ：a b >是22ac bc >的充分不必要条件，则（ ）.
A.p 真q 假
B.p 假q 假
C.“p 或q ”为假
D.“p 且q ”为真 3.命题：（1）平行四边形对角线相等；（2）三角形两边的和大于或等于第三边；（3）三角形中最小角不大于60?；（4）对角线相等的菱形为正方形.其中真命题有（ ）.
A.1
B.2
C.3
D.4
4.命题p ：0不是自然数，命题q ：π是无理数，在命题“p 或q ”“p 且q ”“非p ”“非q ”中假命题是 ，真命题是 .
5. 已知p ：2||6x x -≥，q ：,,x Z p q q ∈∧?都是假
命题，则x 的值组成的集合为
1. 写出下列命题，并判断他们的真假：
（1）p q ∨，这里p ：4{2,3}∈，q ：2{2,3}∈； （2）p q ∧，这里p ：4{2,3}∈，q ：2{2,3}∈； (3) p q ∨，这里p ：2是偶数，q ：3不是素数； (4) p q ∧，这里p ：2是偶数，q ：3不是素数.
2.判断下列命题的真假：
（1）52>且73> （2）78≥ （3）34>或34<
§1.4 全称量词与存在量词
1. 掌握全称量词与存在量词的的意义；
2. 掌握含有量词的命题：全称命题和特称命题真假的判断. 2123
复习1：写出下列命题的否定,并判断他们的真假： （1（2）5不是15的约数
（3）8715+≠ （4）空集是任何集合的真子集
复习2：判断下列命题的真假，并说明理由： （1）p q ∨，这里p ：π是无理数，q ：π是实数； （2）p q ∧，这里p ：π是无理数，q ：π是实数； (3) p q ∨，这里p ：23>，q ：8715+≠；
(4) p q ∧，这里p ：23>，q ：8715+≠.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：全称量词的意义
问题：1.下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与
（4）之间有什么关系？ （1）3x >； （2）21x +是整数； （3）对所有的,3x R x ∈>； （4）对任意一个x Z ∈，21x +是整数.
2. 下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？
(1)213x +=；
(2)x 能被2和3整除；
（3）存在一个0x R ∈，使0213x +=；
（4）至少有一个0x Z ∈，0x 能被2和3整除.
新知：1.短语“ ”“ ”在
逻辑中通常叫做全称量词，并用符号
“ ”表示，含有
的命题，叫做全称命题.其基本形式为：,()x M p x ?∈，读作：
2. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做特称称命题. 其基本形式00,()x M p x ?∈，读作：
试试：判断下列命题是不是全称命题或者存在命题,如果是,用量词符号表示出来.
(1)中国所有的江河都流入大海；
（2）0不能作为除数；
（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；
（4）每一个非零向量都有方向.
反思：注意哪些词是量词是解决本题的关键,还应注
意全称命题和存在命题的结构形式. ※ 典型例题
例1 判断下列全称命题的真假： （1）所有的素数都是奇数； （2）2,11x R x ?∈+≥；
（3）对每一个无理数x ，2x 也是无理数.
变式：判断下列命题的真假： （1）2(5,8),()420x f x x x ?∈=--> （2）2(3,),()420x f x x x ?∈+∞=-->
小结：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定
集合M 中每一个元素x 验证()p x 成立；但要判定
全称命题是假命题，却只要能举出集合M 中的一个
0x x =，使得0()p x 不成立即可.
例2 判断下列特称命题的真假：
（1） 有一个实数0x ，使200230x x ++=；
（2） 存在两个相交平面垂直于同一条直线；
（3） 有些整数只有两个正因数.
变式：判断下列命题的真假：
(1)2,32a Z a a ?∈=- (2)23,32a a a ?≥=- 小结：要判定特称命题“00,()x M p x ?∈” 是真命题只要在集合M 中找一个元素0x ，使0()p x 成立即可；如果集合M 中，使()P x 成立的元素x 不存在，那么这个特称命题是假命题. ※ 动手试试 练1. 判断下列全称命题的真假：
（1）每个指数都是单调函数； （2）任何实数都有算术平方根；
（3）{|x x x ?∈是无理数}，2x 是无理数.
练2. 判定下列特称命题的真假： （1）00,0x R x ?∈≤； （2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； （3）0{|x x x ?∈是无理数}，20x 是无理数.
三、总结提升 ※ 学习小结
这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？
※ 知识拓展
数理逻辑又称符号逻辑,是用数学的方法研究推理过程的一门学问. 德国启蒙思想家 莱布尼茨
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列命题为特称命题的是（ ）. A.偶函数的图像关于y 轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线都是平行线 D.存在实数大于等于3
2.下列特称命题中真命题的个数是（ ）.
(1),0x R x ?∈≤；(2)至少有一个整数它既不是合数也不是素数；（
3）{|x x x ?∈是无理数}，2x 是无理数.
A.0个
B.1个
C.2个
D.4个 3.下列命题中假命题的个数（ ）. (1)2,11x R x ?∈+≥；（2）,213x R x ?∈+=； （3）,x Z ?∈x 能被2和3整除； （4）2,230x R x x ?∈++=
A.0个
B.1个
C.2个
D.4个 4.下列命题中 （1）有的质数是偶数；（2）与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；（3）有的三角形三个内角成等差数列；（4）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中全称命题是 特称命题是 .
5. 用符号“?”与“?”表示下列含有量词的命题.
(1)实数的平方大于等于0： （2）存在一对实数使2330x y ++<成立： 1. 判断下列全称命题的真假：
（1）末位是0的整数可以被子5整除；
（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点
距离相等；
（3）负数的平方是正数； （4）梯形的对角线相等.
2. 判断下列全称命题的真假： (1)有些实数是无限不循环小数； （2）有些三角形不是等腰三角形； （3）有的菱形是正方形.
§1.4.3含一个量词的命题的否定
1. 掌握对含有一个量词的命题进行否定的方法，要正确掌握量词否定的各种形式；
2. 明确全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题. 2425 复习1：判断下列命题是否为全称命题： （1）有一个实数α，tan α无意义； （2）任何一条直线都有斜率；
复习2：判断以下命题的真假：
（1）21
,04x R x x ?∈-+≥
（2）2
,3x Q x ?∈=
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一：含有一个量词的命题的否定 问题：1.写出下列命题的否定： （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）2,210x R x x ?∈-+≥.
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化? 2.写出下列命题的否定： （1）有些实数的绝对值是正数； （2）某些平行四边形是菱形； （3）200,10x R x ?∈+<.
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?
新知：1.一般地，对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论： 全称命题p ：,()x p p x ?∈， 它的否定p ?：00,()x M p x ?∈? 2. 一般地，对于一个含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论：
特称命题p ：00,()x M p x ?∈， 它的否定p ?：,()x M p x ?∈.
试试：1.写出下列命题的否定： （1）,n Z n Q ?∈∈； （2）任意素数都是奇数； （3）每个指数函数都是奇数.
2. 写出下列命题的否定：
(1) 有些三角形是直角三角形； （2）有些梯形是等腰梯形；
（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数.
反思：全称命题的否定变成特称命题.
※ 典型例题
例1 写出下列全称命题的否定：
（1）p ：所有能被3整除的数都是奇数； （2）p ：每一个平行四边形的四个顶点共圆；
（3）p ：对任意x Z ∈，2x 的个位数字不等于3.
变式：写出下列全称命题的否定，并判断真假.
(1) p ：21
,04
x R x x ?∈-+≥
(2) p ：所有的正方形都是矩形.
例2 写出下列特称命题的否定： (1) p ：2000,220x R x x ?∈++≤； (2) p ：有的三角形是等边三角形； (3) p ：有一个素数含有三个正因数.
变式：写出下列特称命题的否定，并判断真假. (1) p ：2,220x R x x ?∈++≤；
(2) p ：至少有一个实数x ，使310x +=.
小结：全称命题的否定变成特称命题.
※ 动手试试
练1. 写出下列命题的否定： (1) 32,x N x x ?∈>；
(2) 所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； (3) 2000,10x R x x ?∈-+≤；
(4) 存在一个四边形，它的对角线是否垂直.
练2. 判断下列命题的真假，写出下列命题的否定： （1）每条直线在y 轴上都有截矩； （2）每个二次函数都与x 轴相交；
（3）存在一个三角形，它的内角和小于180?； （4）存在一个四边形没有外接圆.
三、总结提升 ※ 学习小结
这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？
※ 知识拓展
英国数学家布尔(G.BOOL)建立了布尔代数,并创造了一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念.他不建立了一系列的运算法则,利用代数的
.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.
命题“原函数与反函数的图象关于y x =对称”的否定是（ ）.
A. 原函数与反函数的图象关于y x =-对称
B. 原函数不与反函数的图象关于y
x =对称 C.存在一个原函数与反函数的图象不关于y x = 对称
D. 存在原函数与反函数的图象关于y x =对称 2.对下列命题的否定说法错误的是（
）.
A. p ：能被3整除的数是奇数；p ?：存在一个
能被3整除的数不是奇数
B. p ：每个四边形的四个顶点共圆；p ?：存在
一个四边形的四个顶点不共圆
C. p ：有的三角形为正三角形；p ?：所有的三
角形不都是正三角形
D. p ：2,220x R x x ?∈++≤；
p ?：2,220x R x x ?∈++>
3.命题“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”的否定是（ ）.
A. 不存在32,10x R x x ∈-+≤
B. 存在32,10x R x x ∈-+≤
C. 存在32,10x R x x ∈-+>
D. 对任意的32,10x R x x ∈-+>
4. 平行四边形对边相等的否定是
5. 命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是
. 1. 写出下列命题的否定： （1）若24x >，则2x >；
（2）若0,m ≥则20x x m +-=有实数根； （3）可以被5整除的整数，末位是0； （4）被8整除的数能被4整除；
（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.
2. 把下列命题写成含有量词的命题： （1）余弦定理；（2）正弦定理.
第一章 常用逻辑用语（复习）
1. 命题及其关系 （1）了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题间的相互关系；
（2）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 2. 简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. 3. 全称量词与存在量词
(1) 理解全称量词与存在量词的意义；
.
复习2：
1.什么是命题?其常见的形式是什么?什么是真命题?什么是假命题?
2.有哪四种命题?他们之间的关系是怎样的?
3.什么是充分条件、必要条件和充要条件？
4你学过哪些逻辑联结词?四逻辑联结词联结而成的命题的真假性怎样?
5.否命题与命题的否定有什么不同?
6.什么是全称量词和存在量词?
7.怎样否定含有一个量词的命题?
二、新课导学
※典型例题
例1 命题“若21
x<，则11
x
-<<”的逆否命题是（）
A.若21
x≥，则1
x≥或1
x≤-
B.若11
x
-<<，则21
x<
C.若1
x>或1
x<-，则21
x>
D.若1
x≥或1
x≤-，则21
x≥
变式：命题“若1
x≥或1
x≤-，则21
x≥”的逆否命题是.
小结：弄清四种命题之间的关系是解决此类问题的关键.
例2 下列各小题中，p是q的充要条件的是（）.（1）p：2
m<-或6
m>；q：23
y x mx m
=+++有两个不同的零点
（2）p：
()
1
()
f x
f x
-
=；q：()
y f x
=是偶函数（3）p：cos cos
αβ
=；q：tan tan
αβ
=
（4）p：A B A
=；q：
U
B A
=
A.(1)(2)
B.(2)(3)
C.(3)(4)
D.(1)(4)
变式：设命题p：|43|1
x-≤，命题q：2(21)(1)0
x a x a a
-+++≤，若p
?是q
?的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
小结：处理充分、必要条件的问题首先要分清条件和结论，有时利用逆否命题与原命题等价的性对解题很有帮助.
例3 给出下列命题:
p：关于x的不等式22
(1)0
x a x a
--+>的解集是R，q：函数2
lg(2)x
y a a
=-是增函数.
(1) 若p q
∨为真命题，求a的取值范围.
(2) 若p q
∧为真命题，求a的取值范围.
※动手试试
练1. 如果命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，那么（）
A.命题“非p”与命题“非q”的真值不同
B.命题p 与命题“非q ”的真值相同
C.命题q 与命题“非p ”的真值相同
D.命题“非p 且非q ”是真命题
练2. 若命题p 的逆命题是q ，命题p 的否命题是r ，则q 是r 的 （ ）
A.逆命题
B.否命题
C.逆否命题
D.以上结论都不正确 三、总结提升 ※ 学习小结
这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？
※ 知识拓展
已知函数22()42(2)21f x x p x p p =----+在区间[1,1]-的所有的x ,都有()0f x ≤恒成立，求p
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.
下列语句不是命题的有（ ）.
①230x -=；②与一条直线相交的两直线平行吗？①315+=；①536x ->
A.①③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④ 2. 给出命题：p ：31>，q ：4{2,3}∈，则在下列三个复合命题：“p 且q” “p 或q” “非p”中，真命题的个数为（ ）.
A.0
B.3
C.2
D.1
3. 若a b c 、、是常数，则“2040a b ac >-<且”是“对任意x R ∈，有20ax bx c ++>”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
4. 已知a ，b 是两个命题，如果a 是b 的充分条件，那么a ?是b ?的 条件.
5. “tan tan αβ≠”的 条件是“αβ≠” 1. 写出命题“若2780x x +-=，则8x =-或1x =”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假。
2. 写出下列命题的否定：
（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）有些实数的绝对值是正数.