双线性变换法
数字信号处理第六章6 双线性变换法
1）线性相位模拟滤波器
非线性相位数字滤波器
2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不 然会产生畸变 分段常数型模拟滤波器 经变换后仍为分段常数 型数字滤波器，但临界 频率点产生畸变
1 1 / T
2 tg
2012-10-11
1
1 1 c
数字信号处理
s1T
j
1T 2
e e
2 s1T 2
e e
s1T 2
s1T 2
e
s1 T 2
e
1 e 1 e
s1T s1T
1 z 1 z
1 1
z e
s1T
s
1 z 1 z
1 1
z
1 s 1 s
数字信号处理
2012-10-11
为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一
预畸变
给定数字滤波器的截止频率 1 ，则
1 c tg
1
2
按 1设计模拟滤 波器，经双线性 变换后，即可得 到 1 为截止频率 的数字滤波器
2012-10-11
数字信号处理
6、模拟滤波器的数字化方法
H (z) H a (s) 1 z Ha c 1 1 z
频率有对应关系，引入系数 c
c tg 1T 2
1 z 1 z
1 1
s c
z
c s cs
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数字信号处理
2、变换常数c的选择
1）低频处有较确切的对应关系：
1T 1T 1 c tg c 2 2
s1T
双线性变换法
第一步，将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为模拟
滤波器的频率指标{wk} wk 2tan(Wk )
T2 第二步，由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s) 第三步，利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)。
H(z) H(s) s21z1 T 1z1
2、双线性变换法的设计方法
w 2 tan(W)
T2
设计模拟
双线性变换
Wp,Ws
wp,ws 滤波器 H(s)
H(z)
H(z) H(s) s21z1 T 1z1
例1: 利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满
足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与
脉冲响应不变法设计的DF比较。
解：设双线性变换中的参数为T
例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通
DF，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB
w p , w s Ap=0.3945dB As= 15.0000dB
例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通
DF，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB
[,]
[πT/,πT/]
w' p/T
w
p/T
Ww'T
W
模拟频率与数字 频率的关系为：
w 2 tan(W)
T2
W2arctan(wT)
2
1、双线性变换法的基本原理
s域到z域的映射关系
w
2
W
tan( )
T2
jw
j2 T
tanW( )
2
j2 T
sinW( )
2
双线性变换法的原理
双线性变换法的原理
双线性变换法是一种通过将问题转化成一对线性方程组求解的方法，常用于解决二元二次方程或二元二次函数的问题。
其原理可以归纳如下：
1. 假设我们要解决一个二元二次方程或二元二次函数的问题，形式为ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0（或f(x, y) = 0）。
2. 首先，对于该方程的每一项，我们引入一个新的变量u和v，并将该项表示为一个新的线性方程。
例如，对于ax²，我们将
其表示为au²。
3. 在引入新的变量后，我们得到了一组新的线性方程，形式为Aui + Bvi + Ci + Di + Ei + F = 0，其中i表示第i个线性方程。
4. 接下来，我们要构造一组满足上述线性方程的两个二次式，即f(u, v) = 0。
这里，我们选择f(u, v) = Au² + Buv + Cv² + Du
+ Ev + F。
5. 由于方程组中的每一个线性方程都对应一个二次式，我们可以得到关于u和v的二元二次方程。
我们需要求解这个二元二次方程，从而得到u和v的值。
6. 一旦找到了u和v的值，我们可以将其代入到原方程中，得到x和y的值，从而解决了原始的二元二次方程或二元二次函数问题。
双线性变换法的核心思想是通过引入新的变量，将一个二次式转化为一组线性方程，从而将原问题转化为一对线性方程组，利用线性方程组的解法来求解原问题。
这种方法的优势在于可以利用线性方程组求解的方法解决二次方程或二次函数的问题，而线性方程组求解的方法已经非常成熟和广泛应用。
用双线性变换法设计滤波器
用双线性变换法设计滤波器双线性变换法（bilinear transformation）是一种在频率域中设计数字滤波器的方法。
它将连续时间域的滤波器设计问题转换为离散时间域中的滤波器设计问题，通过对非线性的差分方程进行线性变换，从而得到数字滤波器的解。
这种方法的基本思想是利用双线性变换将连续时间域的滤波器转换为离散时间域的滤波器。
为了理解双线性变换法的原理和过程，我们需要从一些基本概念开始。
1. 连续时间域滤波器设计：连续时间域的滤波器常用传递函数或者差分方程进行描述。
传递函数形式是s域（Laplace变换域）的函数，差分方程形式是z域（Z变换域）的函数。
2.离散时间域滤波器设计：离散时间域的滤波器常用差分方程进行描述，形式是z域（Z变换域）的函数。
在滤波器设计中，我们希望将连续时间域的滤波器转换为离散时间域的滤波器，以在实际中应用。
双线性变换法就是一种实现这一转换的方法。
具体来说，双线性变换法通过将s域中的传递函数或者差分方程进行线性变换，得到z域中对应的离散时间域的传递函数或者差分方程。
这一变换可以通过以下步骤实现：1.预变换：将连续时间域的传递函数或者差分方程转换为z域的表达式。
在预变换中，我们通常将s域中的传递函数或者差分方程进行预处理，以适应z域中变换的需求。
2.双线性变换：将预处理后的s域表达式进行双线性变换，得到z域中的离散时间域传递函数或者差分方程。
在双线性变换中，我们通过将s域中的变量s替换为z域的变量z来实现。
这样一来，我们就得到了离散时间域的滤波器表达式。
3.后处理：对双线性变换得到的离散时间域表达式进行后处理，以满足具体的滤波器设计需求。
后处理可能包括对滤波器进行归一化、进行频率响应调整等操作。
通过以上步骤，我们可以将连续时间域的滤波器设计转换为离散时间域的滤波器设计，从而实现在实际中应用滤波器的目的。
需要注意的是，双线性变换法虽然是一种常用的滤波器设计方法，但也存在一些限制和问题。
双线性变换法
双线性变换法双线性变换法(bilinear transofrmation method)是一种通过变换以分析和解决非线性系统的复杂方法。
它最初由Collins，Mitroff和Zinnes提出，其主要特点是将非线性系统转化为线性系统来进行分析。
它把一个非线性系统映射到一个线性系统可以使一些复杂的非线性图像变成简单的线性图像，从而形成简单的表达式来解决复杂的问题。
一、双线性变换法定义双线性变换法是指通过线性常数和相关系数，将一维和多维数据变换为更简单的线性形式，以模拟复杂的非线性系统的运算的一种变换方法。
二、双线性变换法的应用（1）控制论领域。
双线性变换可以将复杂的非线性系统转变为简单的线性系统，使得这些复杂的系统容易控制。
（2）视觉领域。
双线性变换可以解决计算机视觉中的误差传播问题，将非线性的图像识别问题转变为简单的线性问题来处理；另外，在图像处理领域用双线性变换可以实现图像的变换，从而实现复杂的图像变换；（3）机器学习领域。
双线性变换可以将非线性的机器学习问题变换为线性的问题，让算法可以更加简单有效地解决复杂的机器学习问题。
三、双线性变换法的局限性（1）双线性变换法还有一些困难。
例如，当非线性系统出现很多两个变量或多个变量间有联系时，双线性变换也会受到很大影响。
（2）双线性变换法也会遇到数值不稳定的问题，在遇到非线性系统的情况下，很多变量的变化对结果的影响会变得很大，因此会产生数值不稳定的现象。
（3）双线性变换只是一种模拟，它并不能完全模拟出非线性系统的真实行为，因此很多时候双线性变换的结果可能不太准确。
双线性变换法是一种实用性很强的方法，它可以帮助我们更准确地分析和解决非线性系统问题，它也应用于控制论、视觉和机器学习等领域，但由于它有一些限制，如数值不稳定性和无法完全模拟非线性系统，因此我们需要更加谨慎地运用双线性变换法来真正发挥它的优势。
双线性变换法
上节介绍的冲激响应不变法是一种线性映射的 设计方法，其缺点是会产生频率响应的混叠失 真，这主要是因为从s平面到z平面的映射是多值 （多对一）的映射关系。双线性变换法就是从 克服混叠失真的角度出发，寻找从s平面到z平面 的单值映射关系。 其缩射是原的单s理1平值是面的先向，将z可s平平以面面很进进好行行的单压克值缩服映至频射s1率。平响由面应于，的这再混种将叠映压 失真，但值得注意的是，这种映射是非线性的
根据Ω和Ω1, ω的关系，由（5.21）式，及ω= Ω1T 的关系式可得到双线性变换法的模拟角频率Ω和 数字频率ω之间的变换关系为
c tan( )
2
(5.26)
它表示 是单值的一一对应的映射关系
关键频点的对应关系：
Ω
ω
∞
π
0
0
-∞
-π
12
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
上述对应关系优点：有效避免了频谱混叠
于数字滤波器的低频特性
7
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
2、选择c，使数字滤波器的某一特定频率
（如截止频率ωc=Ω1cT）与模拟滤波器的一 个特定频率Ωc=2fc严格对应，即
c
ctan( 1cT ) 2
ctan(c )
2
此时有
c
cctg
(c
2
)
这种选择的优点在于：在特定的模拟频率和特定 的数字频率处，有严格相等的频率响应，因而可 以较准确地控制截止频率的位置。
s
c
1 1
z z
1 1
c
1 1
e e
j j
j.c
tan(
)
2
双线性变换法公式
双线性变换法（Bilinear Interpolation）是在图像处理中常用的一种插值方法。
公式如下：
f(x,y) = (1-x)(1-y)f(0,0) + (1-x)yf(0,1) + x(1-y)f(1,0) + xyf(1,1)
其中x,y 为目标像素坐标在原图像坐标系中的坐标值，f(0,0),f(0,1),f(1,0),f(1,1) 分别表示目标像素周围4 个像素点的灰度值。
双线性变换法是一种通过线性变换来求解目标像素点灰度值的方法。
它通过对图像进行缩放或旋转时，对于输出图像中缺失的像素点进行插值，来解决图像变形导致的像素点缺失问题。
双线性变换法是一种非常高效的插值方法，其计算量与像素点数量无关。
另外，它还具有较高的精度和较低的计算复杂度。
它在图像处理、图像识别、图像分析、图像压缩等领域有着广泛的应用。
双线性变换法是一种双线性插值法，它基于线性插值法，通过对目标像素周围4个像素点的灰度值进行线性变换来求出目标像素点的灰度值。
其优点是插值效果好，像素质量高，图像变形较小。
双线性变换法在图像缩放、旋转、矫正等操作中都有着广泛的应用。
它在图像处理中常用来解决图像变形导致的像素点缺失问题。
此外还可以用于从低分辨率的图像中重建高
分辨率图像，并且在视频处理中也有着广泛的应用。
双线性变换.
讨论其映射关系
当 z e j （单位圆时）
s
j 2 T
1 e j 1 e j
2 T
e j j / 2
j2
e j / 2
e j / 2
e1 j / 2
2
e j / 2
e j / 2
j 2 tan j
T2
即 s平面的虚轴与z平面的单位圆相互映射，有
j e j
p 2 tan1 pT / 2
2 tan 10.2 64.284o
64.284 o
180 o
0.375
rad
此时对应的AF实际截止频率
f p
p
/ 2T
0.375 2
2000
375Hz
400Hz
双线性变换法设计数字滤波器的一般步骤：
(1)确定数字滤波器的性能要求及各数字临界频率k 。 (2)由双线性变换法的变换关系将 k 变换为模拟域临
100.1 p 1 100.1s 1 p / s
一般系数 1
H z 0.421 1 z
z 0.1584
(2)预畸后 令 T 2 代入，得 H s p 0.7265
s p s 0.7265
p tan p / 2 0.7265
Hz
H a ss
2 T
1 1
z 1 z 1
1 1
0.7265
z 1 z 1
0.7265
p pT p / fs
2 400 0.4 rad 72o
2000
则
p
2 T
tan
p
/2
4000tan 36o 2906rad / s
925
f p 2906 / 2 462 .5Hz
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s1 (0.3224 j0.772), s2 (0.3224 j 0.7772)
那么H(z)的极点为
12
z1 e , z2 e
s1T
s2T
经过整理，得到： 设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则
0.3276 z 1 H1 ( z ) 1 1.0328 z 1 0.247 z 2 0.0485 z 1 H 2 ( z) 1 1.9307 z 1 0.9375 z 2
h(n) ha (t ) |t nT ha (nT )
模拟滤波 器Ha(s)的 单位冲击 响应
采样时间
•h(n)在采样点上等于ha(t) •脉冲响应不变法是一种时域逼近方法
9
Goal: 已知Ha(s)，寻找H(z)，使得h(n) = ha(nT)
How to solve it?
H a ( s)
Aspects Shape of the impulse response Shape of step response
System function representation
Transformations Impulse invariance * Step invariance
Bilinear *
8
5.3 脉冲响应不变法
Preserve the shape of the impulse response
The digital filter impulse response looks “similar” to that of
an analog filter
数字滤波 器H(z)的 单位脉冲 响应
H a ( j)
2
1 1 ( )2 N c
Chebyshev：
H a ( j )
2
1
2 1 2C N (
) p
Elliptic：
H a ( j )
2
1
2 1 2U N (
) p
它们的特点是什么？如何确定它们的参数？
4
Using Matlab
Butterworth： buttap, buttord, butter
Chebyshev： cheb1ap, cheb1ord, cheby1, cheb2ap, cheb2ord, cheby2
Elliptic： ellipap, ellipord, ellip
5
How to transform LP to HP/BP/BS
Frequency band transformations: • LP to HP: • LP to BP: • LP to BS:
' ph
2 0 2 ' Bw
'
Bw 2 0 2
6
Using Matlab
• 仍然调用设计模拟低通滤波器的函数 • 注意通带和阻带的截止频率 • LP: Ωp < Ωs • HP: Ωs < Ωp • BP: Ωsl < Ωpl < Ωpu < Ωsu • BS: Ωpl < Ωsl < Ωsu < Ωpu • 注意加’high’、’stop’
Ai 求得 H ( z ) siT 1 1 e z i 1
N
Ha(s)极点与单阶极点，且分母多项式 的阶次高于分子多项式的阶次 注意: 对于同样Ha(s)，采样时间T不同，H(z)不同
11
例5.3.1 ：已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为
13
脉冲响应不变法的s—z映射关系：
Ai H a ( s) i 1 s si
N
的极点si
Ai siT H ( z) 的极点 e siT 1 1 e z i 1
7
Goal:
Analog to Digital/ S to Z
Design digital filter H(z) for a given analog filter Ha(s) General Principle:
Preserve certain “aspects” of analog and digital filters
0.5012 H a ( s) 2 s 0.6449 s 0.7079
用脉冲响应不变法将 Ha(s) 转换成数字滤波器的系 统函数H(z)。
解 首先将Ha(s)写成部分分式：
H a ( s)
极点为
j 0.3224 j 0.3224 s 0.3224 j 0.7772 s 0.3224 j 0.7772
H ( z ) h( n) z
n 0
n
Ai e si nT z n
n 0 i 1
N
Ai e
i 1 n 0
N
si nT
z
n
Ai siT 1 i 1 1 e z
N
10
结论: N Ai 已知 H a ( s) i 1 s si
Specifications Butterworth, Chebyshev, Ellipse, Bessel, etc. LP to HP, BP, BS 脉冲响应不变法 阶跃响应不变法 双线性变换法
Desired IIR
3
How to design analog lowpass filters
Butterworth：
i 1 N
Ai s si
1 st H a (s) 1 Ae i
i
1. 从Ha(s)到ha(t) 2. 从ha(t)到h(n) 3. 从h(n)到H(z)
ha (t ) LS t H a (s) LS LS
1 N
N
i 1
si nT h(n) ha (nT ) Ae i i 1
数字信号处理
by Zaiyue Yang CSE, ZJU, 2016
1
第5章 数字滤波器的设计
5.1 数字滤波器的基本概念
5.2 模拟滤波器的设计
5.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器
5.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 5.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计
2
上一堂课学了些什么？