红蓝墨水问题
利用三色圆珠笔将问题分类
利用三色圆珠笔将问题分类我在读硕士时，曾经听海外学者举行的英文演讲。
演讲完毕后，就是问答时间。
基本上，日本人都是在听完演讲之后才开始思考问题，所以不会马上举手发问。
虽然看起来是在很认真地思考，但从演讲完毕到提出问题之间会出现一段空档。
这对演讲者而言，会有一种空虚感，他可能认为“没人提出问题，就表示自己的话没人听得懂”。
但欧美人在演讲完毕后就会立刻提出疑问，这就是我要强调的重点。
由于我了解这一点，所以在听演讲的同时便将问题记下来。
我的习惯是用三色圆珠笔的绿色写出疑问，对方说的话用蓝色画起来，重点部分用红色标注。
也就是说，对方所说的客观事项用蓝色和红色，自己主观思考的问题则用绿色。
用绿色标注问题，用英文写出问题，再用括号括起来或是用圆圈标注出来。
准备询问的问题用三重圆圈标注，不太重要的问题则用两个圈或一个圈来划分等级。
演讲一结束，就可以马上从最重要的问题开始依次提问。
如果只问一个最重要的问题，就不会是不好的问题。
若不经仔细思考就发问，便很容易提出愚蠢的问题。
准备5个以上的问题，再从中挑出一个最好的，这样不论是谁都能提出精辟的问题。
先思考再发问原本是理所当然的事，但很多人并没有这样的习惯。
被询问时会先思考再作答，但是在提出问题时却不加思索地脱口发问。
就连电视主播也会问一些平庸的问题，令我相当惊讶：“问这种问题能得到好答案是不可能的。
”和欧美人相比，尊崇儒教的国家对“提问能力”的认知非常薄弱，“评论能力”也很弱，我想这是因为“提问能力”低下所致。
虽然我将问题区分等级，但又是以什么作为标准呢？首先，我会将“也许个人很想问，但是别人或许没兴趣”的问题摆放在等级最低的区域。
在演讲会上，很多人会提出水平较低的问题，并且其内容多半是由自己的经验和知识延伸出来的，这就是最典型的搞不清楚状况的题目。
如果只是两个人交谈还可以接受，但在演讲会上问愚蠢问题就会占用宝贵的时间。
这种情况下，为了广大的听众，必须注意自己的问题质量。
变色花实验报告
变色花实验报告
五人组组长：岳冬组员：杨茜、王欣怡、宁晓慧、薛又中
一、实验过程
1、实验材料：带花茎淡色花（1朵）、玻璃杯（2只）、稀释为20%的红、蓝墨水（若干）、解剖刀（1把）
2、实验过程：取2个干净的玻璃杯，各倒入等量的稀释红墨水和蓝墨水，用解剖刀将淡色花的花茎从中间剖开，但不断裂。
将剖开的两部分分别插入装有红、蓝墨水的玻璃杯中，放置半小时，观察花瓣和花叶的颜色变化并解剖花茎观察花茎的变化。
取2个干净的玻璃杯
分别倒入等量的稀释为20%的红、蓝墨水
取一支刚摘下的带茎的淡色花
用解剖刀将淡色花的花茎从中间剖开，但不断裂
将花茎剖开的部分小心掰开，分别插入装有红、蓝墨水的玻璃杯中
装置放置半小时后，淡色花变成了红、蓝双色花。
二、实验结论
取出实验花枝，可以看到淡色花的花瓣变成了红、蓝两色。
而两边的叶片的叶面也呈现相应的、不均匀的红、蓝两色。
用解剖刀把花茎纵向切开可以看到一些红色和蓝色的线，这就是茎中的维管，原来，植物的茎就是通过维管束来输送水分和养料，直达植物的叶片和花瓣。
由于叶片和花瓣的蒸腾作用，红、蓝色墨水就会自下而上逐渐延伸到叶脉、花萼和花
瓣中，花也就变成了红、蓝双色花。
红色蓝色测试题及答案
红色蓝色测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 红色和蓝色混合后的颜色是什么？A. 绿色B. 紫色C. 橙色D. 棕色答案：B2. 在RGB色彩模式中，蓝色和红色的组合可以产生什么颜色？A. 青色B. 黄色C. 紫色D. 白色答案：C3. 以下哪种颜色不是由红色和蓝色混合而成的？A. 紫色B. 绿色C. 橙色D. 粉红色答案：B4. 在CMYK色彩模式中，红色和蓝色的混合色是？A. 青色B. 黄色C. 黑色D. 白色答案：C5. 红色和蓝色混合后，哪种颜色的光波长最长？A. 红色B. 蓝色C. 绿色D. 黄色答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 红色和蓝色混合后的颜色是______。
答案：紫色2. 在RGB色彩模式中，红色和蓝色的组合可以产生______色。
答案：紫色3. 在CMYK色彩模式中，红色和蓝色的混合色是______色。
答案：黑色4. 红色和蓝色混合后，红色光的波长比蓝色光的波长______。
答案：长5. 在绘画中，红色和蓝色混合后得到的颜色通常用于表现______。
答案：阴影或暗部三、简答题（每题5分，共20分）1. 请简述红色和蓝色混合后的颜色特点。
答案：红色和蓝色混合后的颜色是紫色，它是一种复合色，具有红色的温暖和蓝色的冷静，给人一种神秘和深邃的感觉。
2. 在色彩理论中，红色和蓝色被称为什么颜色？答案：在色彩理论中，红色和蓝色被称为原色。
3. 请描述一下红色和蓝色在心理感受上的差异。
答案：红色通常与激情、活力、危险和爱情等情感相关联，而蓝色则与平静、稳定、智慧和信任等情感相关联。
4. 在设计中，红色和蓝色如何搭配使用？答案：在设计中，红色和蓝色可以作为对比色使用，以增强视觉冲击力和吸引注意力。
它们也可以用来创造平衡和和谐的效果，例如在标志或品牌设计中。
四、论述题（每题10分，共20分）1. 结合实际例子，论述红色和蓝色在不同文化中的象征意义。
答案：在中国文化中，红色通常象征着喜庆和好运，而蓝色则与天空和大海相关，象征着广阔和深远。
(中考类)初中数学竞赛讲座精讲与练习题之精讲篇(一)
基础知识1．面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用．设△ABC ，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，a h 为a 的高，R 、r 分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，)(21c b a p ++=．则△ABC 的面积有如下公式：（1）a ABC ah S 21=∆；（2）A bc S ABCsin 21=∆ （3）))()((c p b p a p p S ABC ---=∆（4）pr c b a r S ABC =++=∆)(21（5）Rabc S ABC 4=∆（6）C B A R S ABC sin sin sin 22=∆（7）)sin(2sin sin 2C B CB a S ABC +=∆ （8）)(21a cb r S a ABC -+=∆ （9）)2sin 2sin 2(sin 212C B A R S ABC++=∆ 2．面积定理（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和； （2）两个全等形的面积相等；（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（6）共边比例定理：若△PAB 和△QAB 的公共边AB 所在直线与直线PQ 交于M ，则QM PM S S Q AB PAB ::=∆∆；（7）共角比例定理：在△ABC 和△C B A '''中，若A A '∠=∠或︒='∠+∠180A A ，则C A B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆． 3．张角定理：如图，由P 点出发的三条射线PC PB PA ,,，设α=∠APC ，β=∠CPB ，︒<+=∠180βαAPB ，则C B A ,,三点共线的充要条件是：PCPA PB )sin(sin sin βαβα+=+．例题分析例1．梯形ABCD 的对角线BD AC ,相交于O ，且m S AOB =∆，n S COD =∆，求ABCD S 例2．在凸五边形ABCDE 中，设1=====∆∆∆∆∆EAB D EA CD E BCD ABC S S S S S ，求此五边形的面积．例3．G 是△ABC 内一点，连结CG BG AG ,,并延长与AB CA BC ,,分别交于F E D ,,，△AGF 、△BGF 、△BGD 的面积分别为40，30，35，求△ABC 的面积．例4．R Q P ,,分别是△ABC 的边BC AB ,和CA 上的点，且1====RC QR PQ BP ，求△ABC 的面积的最大值．例5．过△ABC 内一点引三边的平行线DE ∥BC ，FG ∥CA ，HI ∥AB ，点I H G F E D ,,,,,都在△ABC 的边上，1S 表示六边形DGHEFI 的面积，2S 表示 △ABC的面积．求证：2132S S ≥．例6．在直角△ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，过△ABD 的内心与△ACD 的内心的直线分别交边AB 和AC 于K 和L ，△ABC 和△AKL 的面积分别记为S 和T ．求证：T S 2≥．例7．锐角三角形ABC 中，角A 等分线与三角形的外接圆交于一点1A ，点1B 、1C 与此类似，直线1AA 与B 、C 两角的外角平分线将于一点0A ，点0B 、0C 与此类似．求证：（1）三角形000C B A 的面积是六边形111CB BA AC 的面积的二倍； （2）三角形000C B A 的面积至少是三角形ABC 的四倍．例8．在△ABC 中，R Q P ,,将其周长三等分，且Q P ,在边AB 上，求证：92>∆∆ABCPQR S S ． 例9．在锐角△ABC 的边BC 边上有两点E 、F ，满足CAF BAE ∠=∠，作AB FM ⊥，AC FM ⊥（N M ,是垂足），延长AE 交△ABC 的外接圆于点D ，证明四边形AMDN 与△ABC 的面积相等． 三．面积的等积变换等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题．例10．凸六边形ABCDEF 内接于⊙O ，且13+===DC BC AB ，1===FA EF DE ，求此六边形的面积．例11．已知ABC ∆的三边c b a >>，现在AC 上取AB B A ='，在BA 延长线上截取BC C B ='，在CB 上截取CA A C ='，求证：C B A ABC S S '''∆∆>．例12．C B A '''∆在ABC ∆内，且ABC ∆∽C B A '''∆，求征：ABC AB C CA B BC A S S S S ∆'∆'∆'∆=++ 例13．在ABC ∆的三边AB CA BC ,,上分别取点F E D ,,，使EA CE DC BD 3,3==，FB AF 3=，连CF BE AD ,,相交得三角形PQR ，已知三角形ABC 的面积为13，求三角形PQR 的面积．例14．E 为圆内接四边形ABCD 的AB 边的中点，AD EF ⊥于F ，BC EH ⊥于H ，CD EG ⊥于G ，求证：EF 平分FH ．例15．已知边长为,,,c b a 的ABC ∆，过其内心I 任作一直线分别交AC AB ,于N M ,点，求证：bca IN MI +≤． 例16．正△PQR ≅正△R Q P '''，1a AB =，1b BC =，2a CD =，2b DE =，3a EF =，3b FA =．求证：232221232221b b b a a a ++=++．例17．在正ABC ∆内任取一点O ，设O 点关于三边AB CA BC ,,的对称点分别为C B A ''',,，则C C B B A A ''',,相交于一点P ．例18．已知CE AC ,是正六边形ABCDEF 的两条对角线，点N M ,分别内分ACCE ，且使k CECNAC AM ==，如果N M B ,,三点共线，试求k 的值． 例19．设在凸四边形ABCD 中，直线CD 以AB 为直径的圆相切，求证：当且仅当BC ∥AD 时，直线AB 与以CD 为直径的圆相切．训练题1．设ABC ∆的面积为102cm ，F E D ,,分别是CA BC AB ,,边上的点，且,3,2cm DB cm AD ==若DBEF ABE S S =∆，求ABE ∆的面积．2．过ABC ∆内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将ABC ∆分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为321,,S S S ，求三角形ABC ∆的面积．3．在ABC ∆的三边CA BC AB ,,上分别取不与端点重合的三点L K M ,,，求证：AML ∆，CLK BKM ∆∆,中至少有一个的面积不大于ABC ∆的面积的41．4．锐角ABC ∆的顶角A 的平分线交BC 边于L ，又交三角形的外接圆于N ，过L 作AB 和AC 边的垂线LK 和LM ,垂足是M K ,，求证：四边形AKNM 的面积等于ABC ∆的 面积．5．在等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上取一点D ，使BC DC 31=，作ADBE ⊥交AC 于E ，求证：EC AE =．6．三条直线n m l ,,互相平行，n l ,在m 的两侧，且m l ,间的距离为2，n m ,间的距离为1，若正ABC ∆的三个顶点分别在n m l ,,上，求正ABC ∆的边长． 7．已知321P P P ∆及其内任一点P ，直线P P i 分别交对边于i Q （3,2,1=i ），证明：在332211,,PQ P P PQ P P PQ P P 这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2．8．点D 和E 分别在ABC ∆的边AB 和BC 上，点K 和M 将线段DE 分为三等分，直线BK 和BM 分别与边AC 相交于点T 和P ，证明：AC TP 31≤．9．已知P 是ABC ∆内一点，延长CP BP AP ,,分别交对边于C B A ''',,，其中x AP =，w C P B P A P z CP y BP ='='='==,,，且3,23==++w z y x ，求xyz 之值． 10．过点P 作四条射线与直线l l ',分别交于D C B A ,,,和D C B A '''',,,，求证：CB D A DC B A BC AD CD AB ''⋅''''⋅''=⋅⋅． 11．四边形ABCD 的两对对边的延长线分别交L K ,，过L K ,作直线与对角线BD AC ,的延长线分别F G ,，求证：KGLGKFLF=． 12．G 为ABC ∆的重心，过G 作直线交AC AB ,于F E ,，求证：GF EG 2≤．同余式与不定方程同余式和不定方程是数论中古老而富有魅力的内容.考虑数学竞赛的需要,下面介绍有关的基本内容.1. 同余式及其应用定义:设a、b、m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为或一切整数n可以按照某个自然数m作为除数的余数进行分类，即n=pm+r （r=0，1，…，m-1），恰好m个数类.于是同余的概念可理解为,若对n1、n2，有n1=q1m+r，n2=q2m+r，那么n1、n2对模m的同余，即它们用m除所得的余数相等.利用整数的剩余类表示,可以证明同余式的下述简单性质:(1) 若,则m|(b-a).反过来,若m|(b-a),则;(2) 如果a=km+b(k为整数),则;(3) 每个整数恰与0,1,…，m-1，这m个整数中的某一个对模m 同余；(4) 同余关系是一种等价关系：①反身性；②对称性，则，反之亦然.③传递性，，则；（5）如果，，则①；②特别地应用同余式的上述性质，可以解决许多有关整数的问题.例1（1898年匈牙利奥林匹克竞赛题）求使2n+1能被3整除的一切自然数n.解∵∴则2n+1∴当n为奇数时，2n+1能被3整除；当n为偶数时，2n+1不能被3整除.例2 求2999最后两位数码.解考虑用100除2999所得的余数.∵∴又∴∴∴2999的最后两位数字为88.例3 求证31980+41981能被5整除.证明∵∴∴∴2．不定方程不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.(1) 不定方程解的判定如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.例4 证明方程2x2-5y2=7无整数解.证明∵2x2=5y2+7，显然y为奇数.①若x为偶数，则∴∵方程两边对同一整数8的余数不等，∴x不能为偶数.②若x为奇数，则但5y2+7∴x不能为奇数.因则原方程无整数解.说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法.例5 (第14届美国数学邀请赛题)不存在整数x,y使方程①证明如果有整数x，y使方程①成立，则=知（2x+3y2）+5能被17整除.设2x+3y=17n+a，其中a是0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8中的某个数，但是这时（2x+3y）2+5=（17n）2+34na+（a2+5）=a2+5（mod17），而a2+5被17整除得的余数分别是5，6，9，14，4，13，7，3，1，即在任何情况下（2x+3y）2+5都不能被17整除，这与它能被17整除矛盾.故不存在整数x，y使①成立.例7 （第33届美国数学竞赛题）满足方程x2+y2=x3的正整数对（x，y）的个数是（）.（A）0 （B）1（C）2（D）无限个（E）上述结论都不对解由x2+y2=x3得y2=x2（x-1），所以只要x-1为自然数的平方，则方程必有正整数解.令x-1=k2(k为自然数),则为方程的一组通解.由于自然数有无限多个,故满足方程的正整数对(x,y)有无限多个,应选(D).说明:可用写出方程的一组通解的方法,判定方程有无数个解.(2) 不定方程的解法不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.例6 求方程的整数解.解(配方法)原方程配方得(x-2y)2+y2=132.在勾股数中,最大的一个为13的只有一组即5,12,13,因此有8对整数的平方和等于132即(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能是下面的八个方程组的解解得例7 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b和c及素数a满足方程a2+b2=c2.证明:这时有a＜b及b+1=c.证明（因式分解法）∵a2+b2=c2，∴a2=（c-b）（c+b），又∵a为素数，∴c-b=1，且c+b=a2.于是得c=b+1及a2=b+c=2b+1＜3b，即＜.而a≣3,∴≢1，∴＜1.∴a＜b.例9（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程的正整数（a，b，c）的组数是（）.（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4解（质因数分解法）由方程ac+bc=23得（a+b）c=23=1³23.∵a，b，c为正整数，∴c=1且a+b=23.将c和a=23-b代入方程ab+bc=44得(23-b)b+b=44,即(b-2)(b-22)=0,∴b1=2,b2=22.从而得a1=21,a2=1.故满足联立方程的正整数组(a,b,c)有两个,即(21,2,1)和(1,22,1),应选(C).例10求不定方程2(x+y)=xy+7的整数解.解由(y-2)x=2y-7,得分离整数部分得由x为整数知y-2是3的因数,∴y-2=±1，±3，∴x=3，5，±1.∴方程整数解为例11 求方程x+y=x2-xy+y2的整数解.解（不等式法）方程有整数解必须△=（y+1）2-4（y2-y）≣0，解得≢y≢.满足这个不等式的整数只有y=0，1，2.当y=0时，由原方程可得x=0或x=1；当y=1时，由原方程可得x=2或0；当y=2时，由原方程可得x=1或2.所以方程有整数解最后我们来看两个分式和根式不定方程的例子.例12 求满足方程且使y是最大的正整数解（x，y）.解将原方程变形得由此式可知，只有12-x是正的且最小时，y才能取大值.又12-x应是144的约数，所以，12-x=1，x=11，这时y=132.故满足题设的方程的正整数解为（x，y）=（11，132）.例13（第35届美国中学生数学竞赛题）满足0＜x＜y及的不同的整数对（x，y）的个数是（）.（A）0 （B）1 （C）3 （D）4 （E）7解法1 根据题意知，0＜x＜1984，由得当且仅当1984x是完全平方数时，y是整数.而1984=26²31，故当且仅当x具有31t2形式时，1984x是完全平方数.∵x＜1984，∵1≢t≢7.当t=1，2，3时，得整数对分别为（31，1519）、（124，1116）和（279，775）.当t＞3时y≢x不合题意，因此不同的整数对的个数是3，故应选（C）.解法2 ∵1984=∴由此可知：x必须具有31t2形式，y 必须具有31k2形式，并且t+k=8（t，k均为正整数）.因为0＜x＜y，所以t＜k.当t=1，k=7时得（31，1519）；t=2，k=6时得（124，1116）；当t=3，k=5时得（279，775）.因此不同整数对的个数为3.练习二十1. 选择题(1)方程x2-y2=105的正整数解有( ).（A）一组（B）二组（C）三组（D）四组(2)在0,1,2,…，50这51个整数中，能同时被2，3，4整除的有（）.（A） 3个（B）4个（C）5个（D）6个2．填空题（1）的个位数分别为_________及_________.(2)满足不等式104≢A≢105的整数A的个数是x³104+1，则x的值________.(3) 已知整数y被7除余数为5,那么y3被7除时余数为________.(4) (全俄第14届中学生数学竞赛试题)求出任何一组满足方程x2-51y2=1的自然数解x和y_________.3.(第26届国际数学竞赛预选题)求三个正整数x、y、z满足.4．（1985年上海数学竞赛题）在数列4，8，17，77，97，106，125，238中相邻若干个数之和是3的倍数，而不是9的倍数的数组共有多少组？5．求的整数解.6．求证可被37整除.7．（全俄1986年数学竞赛题）求满足条件的整数x，y的所有可能的值.8．（1985年上海初中数学竞赛题）已知直角三角形的两直角边长分别为l厘米、m厘米，斜边长为n厘米，且l，m，n均为正整数，l为质数.证明：2（l+m+n）是完全平方数.9.(1988年全国初中数学竞赛题)如果p、q、、都是整数，并且p＞1，q＞1，试求p+q的值.练习二十1.D.C.2.(1)9及1. (2)9. (3)4.(4)原方程可变形为x2=(7y+1)2+2y(y-7),令y=7可得x=50.3.不妨设x≢y≢z,则,故x≢3.又有故x≣2.若x=2,则,故y≢6.又有,故y≣4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3≢y≢4,y=3或4,z 都不能是整数.4.可仿例2解.5.先求出,然后将方程变形为y=5+x-2要使y为整数,5x-1应是完全平方数,…,解得6.8888≡8(mod37),∴88882222≡82(mod37).7777≡7(mod37),77773333≡73(mod37),88882222+77773333≡(82+73)(mod37),而82+73=407,37|407,∴37|N.7.简解:原方程变形为3x2-(3y+7)x+3y2-7y=0由关于x的二次方程有解的条件△≣0及y为整数可得0≢y≢5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4).8.∵l2+m2=n2,∴l2=(n+m)(n-m).∵l为质数,且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l2,n-m=1.于是l2=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l2-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l2+2l+1=(l+1)2.即2(l+m+1)是完全平方数.9.易知p≠q,不妨设p＞q.令=n,则m＞n由此可得不定方程(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.几何解题途径的探求方法一．充分地展开想象想象力，就是人们平常说的形象思维或直觉思维能力。
奥林匹克训练题库·智巧问题
五智巧问题1 某国的货币有1元、50分、20分、10分、5分、2分、1分共七种硬币〔1元=100分〕.某人带了9枚硬币去买东西,凡不超过2元的东西他都能拿出假设干枚硬币支付,钱数正好,无需找钱.这9枚硬币的总面值最多是多少？最少是多少？2 A,B,C,D四人进行围棋比赛,每人都要与其他三人各赛一盘.比赛是在两张棋盘上同时进行,每天每人只赛一盘.第一天A与C比赛,第二天C 与D比赛,第三天B与谁比赛？3 有20间房子,有的开着灯,有的关着灯.在这些房子里的人都希望与大多数房子保持一致.现在,从第1间房子里的人开始,如果其余19间房子的灯开着的多,就把灯翻开,否那么就把灯关上.假设最开始时开灯与关灯的房子各10间,并且第1间房子的灯开着.那么,这20间房子里的人轮完一遍后,开着灯的房子有几间？4 甲、乙、丙三名选手参加长跑比赛.起跑后甲处在第一的位置,在整个比赛过程中,甲与乙、丙的位置次序共交换了7次.比赛结果甲是第几名？5 正义路小学共有1000名学生,为支持“希望工程〞,同学们纷纷捐书,有一半男生每人捐了9本书,另一半男生每人捐了5本书；一半女生每人捐了8本书,另一半女生每人捐了6本书.全校学生共捐了多少本书？6 某杂志每期定价1.50元,全年共出12期.某班局部同学订半年,其余同学订全年,共需订费720元；如果订半年的改订全年,订全年的改订半年,那么共需603元.问：这个班共有多少名学生？7 某次猜谜语比赛,谜语按难易分两类,每人可以猜三条.每猜对一条较难的谜语得3分,每猜对一条较容易的谜语得1分.结果有8人得1分、7人得2分、6人得3分、5人得4分、4人得5分.恰好猜对两条谜语的有几人？8 一排六棵树〔见下列图〕分别是六个人栽的,A,B,C三人栽的是大树,D,E,F三人栽的是小树.如果A与E栽的树相隔两棵树,B与F栽的树相隔一棵树,那么C栽的树是左起第几棵？9 一个正方形大厅被分隔成16个小间〔见右图〕,每相邻两间都相通,有阴影的四间是休息室,其余布置成展览室.从A处出发,使走过的房间数最少而到达休息室〔可以是任何一间〕的不同走法共有多少种？10 整盒香烟在盒中排列如左下列图所示.抽出2支香烟后〔右下列图〕,剩下的香烟在盒中仍不能移动.要保持剩下的香烟在盒中仍不能移动,最多能抽出多少支香烟？11 有一根长8m的方木,锯成等长的5段,外表积增加了1m2,求这根方木的体积.12 生物学家发现一种胞子,每小时可分裂成3个,每个新胞子同原来的一样,一小时后它们中的每一个又都可以分裂成3个.这种过程连续不断地进行下去.一天早晨,一位生物学家在一个容器中放入一个胞子,到了中午13 兔子和乌龟在一个200米的环形跑道上赛跑,它们从同一地点同时出发,乌龟每爬行5米,兔子超过它1圈.当乌龟爬完1圈时,兔子跑了多少圈？14 兔子跑3步的时间狗跑2步,兔子一步跑1米,狗一步跑1.5米.如果狗和兔子在100米的直跑道上赛跑,赛程为一个往返,狗和兔子调头的时间相等,那么谁将获胜？15 有一口枯井深10米,一只蜗牛从井底向上爬,白天向上爬3米,晚上向下滑2米.问：这只蜗牛几天能爬出井？16 某学校进行乒乓球单打比赛,参赛选手共56人.如果采用淘汰赛,最后产生一名冠军,那么一共要比赛多少场？17 有六条铁链,每条有四个环〔见下列图〕.翻开一个环要用5分钟,闭封一个翻开的环要用7分钟.现在要把六条铁链连成一条长铁链,至少要用多少时间？18 从分别写有3,4,5,6,7,8的6张卡片中任取三张,做三个一位数的加法,问：可能得到多少种不同的结果？19 一个玩具上有红色和白色按钮各一个,还有100个能站能坐的小木偶,按一下红色按钮就会有一个小木偶坐下,按一下白色按钮就可以使站着的小木偶增加一倍.现在只有两个小木偶站着,要想使站着的小木偶增加到27个,最少按几次按钮？怎样按？20 箱子中放着一些茶杯,有一个小朋友从箱子里往外拿,每次拿出箱子里茶杯总数的一半,然后再放回一个.拿了100次之后,箱子里还有两个茶杯,求开始时箱子里的茶杯数.21 某商店规定3个空汽水瓶可以换一瓶汽水,小明有10个空汽水瓶.问：他一共可以换到多少瓶汽水？22 红、蓝墨水各一瓶,用一根滴管从红墨水中吸一滴滴到蓝墨水中,搅拌后,再从蓝墨水中吸一滴同样体积的墨水滴到红墨水中.这时红墨水中的蓝墨水多,还是蓝墨水中的红墨水多？23 足球队有18名队员,其中10人穿大号球衣,8人穿小号球衣.小马虎将10件大号球衣和8件小号球衣领回来后,一人一件地随便发给了每个队员,结果有的大个队员领到了小号球衣,小个队员领到了大号球衣.问：大个队员领到了小号球衣的人数与小个队员领到了大号球衣的人数哪个多？为什么？24 50名同学面向老师站成一行.老师先让大家从左至右按1,2,3,…依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转,接着又让报数是6的倍数的同学向后转.问：现在面向老师的同学还有多少名？25 用铁丝制成左下列图的铁丝网,重量是30克.用同型号的铁丝制成右下列图的铁丝网,重量是多少克？26 某幼儿园的孩子中,任意5个孩子的年龄之和不大于20,所有孩子的年龄之和是140.这个幼儿园至少有多少个孩子？甲杯里的水还剩多少克？：甲、乙二人谁分到的蛋糕多？29 右图中AB的长度是20cm,任意相邻两圈的距离都是1cm.求图中所有线段的长度和.30 六年级一班有20个男生,某次测试全班有24人超过90分,问：女生中超过90分的比男生中未超过90分的多几人？31 小明的左衣袋和右衣袋中分别装有相同数目的硬币,两衣袋中硬币总钱数也相等.当任意从左衣袋取出两枚硬币与右衣袋的任意两枚硬币交换时,左衣袋的钱数要么比原来多二分,要么比原来少二分.问：两个衣袋共有几分钱？32 一个人买了D元C分钱的商品〔C为一位数或两位数〕,交给售货员20元钱,售货员错误地看成C元D分,于是找给买主4.88元.按正确的价格,售货员应找给买主多少钱？33 爸爸有一个储钱罐,里面放的都是五分的硬币.爸爸清点时发现,硬币的枚数及总金额都是五位数,这两个五位数刚好由0～9这10个数码组成,即这两个五位数的所有数码互不相同.这些硬币的总金额最多是多少分？34 甲、乙合伙买了一双冰鞋后,他俩带的钱还剩下30元,如果单独买这双冰鞋,那么甲差27元,乙差30.6元,这双冰鞋多少钱？35 A,B,C,D四个钢珠,用天平两个两个称,共称了六次,最重的是B和C,第二重的是A和B.请将这四个钢珠按重量从重到轻依次排列出来.36 A,B,C,D,E住在同一栋楼里,A住的高度是B的2倍、C的3倍、D 的4倍、E的6倍,又C正好住在D的楼上.试判断他们各住在第几层.37 汽车里程表说明汽车行驶了15951千米,这个数字从两面读都一样.汽车又行驶了3时后,里程表上的数字从两面读仍一样,并且在行驶途中还出现过一次这种情况.问：汽车这3时的平均速度是多少？38 学校组织全校同学去春游,租用甲、乙两种大客车.假设用7辆甲种大客车和4辆乙种大客车那么需跑3趟,假设用8辆甲种大客车和9辆乙种大客车那么只需跑2趟〔假设每辆车都满载〕.甲、乙两种大客车哪种坐的乘客多？39 右图为某邮递员负责的邮区街道图,图中交叉点为邮户,每个小长方形的长为180米、宽为150米.如果邮递员每分行200米,在每个邮户停留半分,那么从邮局出发走遍所有邮户,再回到邮局,最少要用多少分？40 一条公共汽车线路,包括首尾两站共10站.首尾两站同时每隔3分相向发车一辆,每辆汽车行驶一个单程需要27分.要保证首、尾两站随时都有车,至少需要多少辆汽车？41 某路电车每隔5分从甲站发一辆电车到乙站,全程要走20分.有一个人从乙站出发沿电车线路前往甲站,他出发时恰有一辆电车到达乙站,在路上他又迎面遇到了10辆电车,到达甲站时恰有一辆电车从甲站开出.问：他从乙站到甲站用了多长时间？42 一辆公共汽车在线路上行驶,包括起点站和终点站沿途共有10个站.如果在每个车站上车的乘客,在以后的每个站恰好都有1人下车,那么共有多少位乘客乘坐了这辆车？43 长途汽车在甲、乙两地间运行,每天从甲、乙两地同时相对开出一辆客车,单程需要三天时间,到达终点后,休整两天再按原路返回.为了保证这条线路上客运任务能正常进行,这条线路上至少应配备几辆客车？44 长途汽车有甲、乙两个终点站,汽车要用4时才能驶完全程.从上午6点开始,每隔1时从甲、乙两站同时发出一辆公共汽车,最后一班车在下午4点发出.问：从甲站发车的汽车司机最多能看到几辆迎面驶来的公共汽车？最少能看到几辆？45 一个圆的周长是5.4米,两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行,这两只蚂蚁每秒钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米.它们每次爬行1秒、3秒、5秒……〔连续奇数〕就调头爬行.两只蚂蚁第一次相遇时,已爬行了多长时间？46 马戏团的“猴子骑车〞节目是由5只猴子用5辆自行车表演的,每只猴子至少骑一次车,但一只猴子不能重复骑同一辆车.表演结束后,5只猴子分别骑了2,2,3,5,x次,五辆车分别被骑了1,1,2,4,y次,求x＋y.47 A,B两地相距54千米,有18人共同骑7匹马由A地到B地去,每匹马每次只能驮1人,为了轮换休息,大家决定每人骑马行1千米轮换一次.问：每人骑马、步行各多少千米？48 一次象棋比赛共有10名选手参加,他们分别来自甲、乙、丙三个队.每个人都与其余9名选手各赛一盘,每盘棋的胜者得2分,负者得0分,平局各得1分.比赛结果,甲队选手平均得9分,乙队选手平均得7.2分,丙队选手平均得18分.甲、乙、丙队参赛选手各有几人？49 四名棋手进行循环赛,胜一局得2分,平一局得1分,负一局得0分.比赛结果,没有人全胜,并且各人的总分都不相同.问：至多有多少局平局？50 一次校友聚会有47人参加,在参加聚会的同学中有个有趣的现象,每个女生熟悉的男生人数各不相同,并恰好构成一串连续的自然数,最多的全熟悉,最少的也熟悉18个.问：这次聚会有多少个女生参加？51 甲、乙、丙、丁四人出同样多的钱合伙买回一批本,分本时甲比其他三人各少拿了8个本,因而这三人分别退给甲0.70元.求每个本多少钱.52 四个小朋友分20块糖,四人分到的糖数各不相同.分到糖数最多的小朋友至少能分到几块糖？53 7个人共有100元钱,他们的钱数各不相同〔均为整数元〕,试证实他们中至少有3人的钱数之和不少于50元.54 有一个吹泡机,一次恰好吹出100个肥皂泡.肥皂泡吹出后,经过12％,这些肥皂泡不到4分钟全部破了.如果吹泡机每分钟吹一次,那么到第10次吹出新的肥皂泡时,没有破的肥皂泡至多有多少个？55 甲、乙、丙和一些同学围坐在一张大圆桌旁.如果从甲开始数起,那么顺时针方向的第13人是乙,逆时针方向的第15人是丙；另外,乙是从丙开始数起,顺时针方向的第7人.问：圆桌旁总共坐有多少人？56 A,B,C,D,E,F,G七人每月都要在一张圆桌上共餐几,但他们对安排座位有个规定,一个月中每个人只能与另外六个人中的每一人相邻一次.根据这个规定,一个月中这七个人至多能坐在一起共餐几次？57 小明从1999年的日历中抽出14张,是从5月14日到5月27日连续14天的,这14天的日期数相加是287.小亮也抽出14张,也是连续的14天,这14天的日期数虽然与小明的不相同,但相加恰好也是287.小亮抽出的14张是从几月几日到几月几日？58 某校毕业生共分9个班,每班人数相等.一班的男生比二、三两个班的女生总数多1；四、五、六三个班的女生总数比七、八、九三个班的男生总数多1.求该校毕业生中男、女生人数的比.59 桌上放有345枚正面朝下的硬币,第1次翻动其中1枚,第2次翻动其中2枚,第3次翻动其中3枚……第345次翻动345枚.经过345次翻动后,能否使这345枚硬币都正面朝上？60 假设干个同样的盒子排成一排,小明把50多个同样的棋子分装在盒中,其中只有一个盒子没装棋子.小光趁小明不在时偷偷从每个有棋子的盒子中各拿了一个棋子放在空盒中,然后把盒子重新排了一下.小明回来后仔细查看一番,没发现有人动过这些盒子和棋子.问：共有多少个盒子？61 一只用黑、白两种颜色的皮子缝制成的足球如右图所示.这只足球上有黑色皮子12块.问：这只足球上缝了多少块白色皮子？62 甲定于下午3时乘飞机到达机场,乙驾车准时到机场去接,不料飞机早到达1时,甲信步由机场沿公路向单位走去,中途遇到乙,随即乘车返回单位,结果比原来方案提前10分到单位.问：甲下飞机信步走了多长时间？。
综合智巧
例3 李明有一些红笔，王芳有一些蓝 笔，李明给王芳5支红笔后，王芳将 两种笔搅乱，再任意拿出5支笔给李 明。问：此时李明手中的蓝色笔多还 是王芳手中的红色笔多？
解析：在两人交换的过程中，各色笔的 总数没有发生变化。以李明为例，把5支 红笔给王芳后，又拿回5支笔，不管拿回 5支笔是什么颜色，每少一支红笔就必定 补上一支蓝笔，也就是说，此时李明手 中得到的蓝笔只数一定与他失去的红笔 支数相等。也就是说，此时李明手中的 蓝笔与王芳手中的红笔一样多。
14+14÷（3-1）=21（瓶）
练习 某商店规定5个空汽水瓶可以换一瓶 汽水，小明喝了189瓶汽水，其中有一些是 用喝完的空瓶换的，那么他们至少要买多 少瓶汽水？ 那么，189中共包含几个5呢？ 189÷5=37（个）……4（瓶）
需要买的 37×4+4=152（瓶） 答：他们至少要买152瓶汽水。 买4瓶就可喝5瓶 反过来，喝5瓶只需买4瓶
练习2 足球队有18名队员，其中10人穿大号 的球衣，8人穿小号的球衣，小马虎将10件 大号球衣和8件小号球衣领回后，一人一件 的随便发给每个球员，结果有的大个球员 领到了小号球衣，有的小个球员领到了大号 球衣，问：大个球员领到小号球衣的人数与 小个球员领到大号球衣的人数哪个多？
一样多
习题精练： 2、甲、乙、丙、丁四人出同样多的钱，合伙 买回一批本子。分本子时，甲比其他人各少拿 了8本，因而这三人分别退给甲1.6元，则每个 本子（ ）元。
例题5：
有一个猎人带了一条狼狗、一只兔子和 一筐青菜，要乘船到河对面去。河里只 有一条小船。因为船小，猎人一次只能 带一样东西。但是他不在时，狼狗会咬 兔子，兔子又会吃青菜。请同学们帮他 想一想，应该怎样安排过河？
思路点拨：
芹菜和墨水的实验,写一篇作文,三百字左右
芹菜和墨水的实验,写一篇作文,三百字左右
今天，我在一本科普杂志上看到说芹菜放在加了墨汁的水中会变色哦。
为了证实这种情况，我决定动手做一做。
我按照书里的要求，准备好了两个干净的矿泉水瓶，红墨汁和蓝墨汁各一瓶，还有一株新鲜的芹菜。
在两个矿泉水瓶里分别灌了半瓶水，将红蓝墨汁分别倒在一个细小的勺子上，一瓶红的，一瓶蓝的。
我又拿来剪刀，将芹菜的根须剪下，用剪刀把它剪成两半后分别将它们插在两瓶被染的墨水中。
我在一旁静静地等待着，眼睛一动不动地盯着芹菜。
几个小时过去了，我被发生的变化惊呆了，我连忙聚精会神地观察起来，我发现一株芹菜的茎染成了红色，上面布满一丝丝红色的茎脉，像血丝一样。
再看另一株茎内则有着一条条蓝色的纹理，绿色的芹菜茎真的变色了，一夜过去了，早晨，我睁开朦胧惺松的睡眼，跑到客厅，“哇”一夜之间，芹菜的颜色大变，展现在我眼前。
跃峰奥数W代数组合之一道印度数学奥林匹克中的染色问题
代数组合之一道印度数学奥林匹克中的染色问题冯跃峰【题目】给定正整数n 、p ，其中3<p≤2n ，将正n 边形的p 个顶点染红色，其余顶点染蓝色，证明：存在2个全等的至少有[2p ]+1个顶点的多边形，其中一个的顶点全为红色，另一个的顶点全为蓝色。
（1998年印度数学奥林匹克试题）【题感】题目条件非常简洁（正n 边形的p 个顶点染红色），看不出对解题的任何启示，宜从目标入手。
【逐步逼近】从目标看，找一个红色与蓝色“大”多边形（顶点不少于r=[2p ]+1，称为子图形）全等，可退一步，先找一个红色子图形，进而找全等的蓝色子图形。
找红色子图形就是一个很简单的问题了，题给了p 个红点，红色子图形有s=C p r +C p r+1+…+C p p 个，从中任取一个即可。
【整体思考】现在的问题是，如何适当地选取其中一个红色子图形，它能与一个蓝色子图形全等。
这自然想到整体思考，考察所有s 个红色子图形，每个都找与自己全等的子图形（发动群众），然后证明必有一个找到的为蓝色。
【充分条件】现在需要考虑的是，每个子图形如何去寻找与自己全等的子图形形呢？注意其顶点都是“正n 边形的顶点”，一个充分条件是将所有红色子图形的顶点在圆周上旋转找全等子图形（除此之外，对称法也能找全等子图形）。
显然，每个红色子图形的顶点在圆周上旋转找全等，等价于将整个红色p 边形的顶点在圆周上旋转找全等。
实际上，记图中红色顶点构成的p 边形为W 1，假定W 1旋转到W i （2≤i≤n ），则W i 的每个子多边形与与W 1对应的子多边形全等。
于是，我们只需在W i 中找到一个蓝色的子图形即可。
【整体估计】因为有n-p 个蓝点，且旋转中每个蓝点共出现在p 个W i 中（对任一蓝点A ，它与p 边形W 的各顶点重合一次，从而出现在p 个W i 中），n-p 个蓝点共旋转得（n-p ）p 个蓝点。
将其归入n-1个位置（最初位置无蓝点），由平均数抽屉原理，必有一个位7置蓝点数不少于1p --n p n ）（12n --≥n p n ）（12n -⋅=n p 21n p n ⋅-=.2p >于是，必有一个位置W i 存在蓝色子图形，它与W 1中对应的红色子图形全等，命题获证。
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红、蓝墨水各一瓶，用一根滴管从红墨水中吸一滴滴到蓝墨水中，搅拌后，再从蓝墨水中吸一滴同样体积的墨水滴到红墨水中。
这时红墨水中的蓝墨水多，还是蓝墨水中的红墨水多？
看到这个习题，我又傻眼了，红、蓝墨水各一瓶，这一瓶到底有多少滴？谁也不知道，瓶里墨水有多少都不知道，还要比变化后瓶里的“红墨水中的蓝墨水多，还是蓝墨水中的红墨水多”这岂不是巧妇难为无米之炊？
想了很长时间，仍然无果，只好向高人求救，不出几分钟，高人便告知了我答案，听到分析，我便知道自己又犯了一个经常怪学生不该犯的“想当然”的错误。
遇到难度习题，想不出当然的，只有通过假设、验证才有可能到达希望的彼岸。
比如这道习题，我首先就应该想：（1）如果每个瓶里有两滴墨水，吸掉一滴红墨水到蓝瓶里，蓝瓶里就有三滴墨水了，其中两滴是蓝墨水，一滴是红墨水，搅拌后，蓝瓶里的红墨水不管瓶里的体积发生何种变化，它的体积都是这瓶蓝墨水的三分之一。
如果从蓝瓶里还回一滴到红瓶里，这滴墨水的三分之二是蓝墨水，假设把这滴墨水看作三份、原有瓶里的那滴也一定是三份，此时瓶里便有六份，六份中两份是蓝色的，所以，红瓶里的蓝墨水便占这瓶墨水的六分之二，也就是三分之一，得出“红墨水中的蓝墨水与蓝墨水中的红墨水”一样多。
（2）如果每个瓶里有三滴墨水，吸掉一滴红墨水到蓝瓶里，蓝瓶里就有四滴墨水了，其中三滴是蓝墨水，一滴是红墨水，搅拌后，蓝瓶里的红墨水不管瓶里的体积发生何种变化，它的体积
都是这瓶蓝墨水的四分之一。
如果从蓝瓶里还回一滴到红瓶里，这滴墨水的四分之三是蓝墨水，假设把这滴墨水看作四份、原有瓶里的那两滴是八份，此时瓶里便有十二份，十二份中三份是蓝色的，所以，红瓶里的蓝墨水便占这瓶墨水的十二分之三，也就是四分之一，得出“红墨水中的蓝墨水与蓝墨水中的红墨水”一样多。
……
多次假设论证我们便可以得知，“红墨水中的蓝墨水与蓝墨水中的红墨水”一样多。
得出结论后，我总觉得很奇怪，怎么回事，拿一滴纯红色的墨水换回一滴混合的墨水，怎么会是这种结局？我不甘心，一整天都沉浸在这个奇怪的现象的困扰中。
早上，看见家人在弄五谷豆浆，我便拿了10颗黄豆和10
玉米分放两堆，先拿2颗到玉米那，然后闭着眼睛从玉米那摸两颗回来，再看玉米里的黄豆颗数和黄豆里的玉米颗数，这不试不打紧，一试便让我自己偷笑了半天，这道题只要通过简单的设问，答案便会轻易浮出水面：玉米堆里10颗中有两颗是黄豆，那原来的两颗玉米去哪了呢？（当然在黄豆堆里！）也就是说在这种情况下如果把玉米比作雀，把黄豆比作鸠，如果“雀占鸠巢”，鸠去哪了？不言而喻，鸠占雀巢了。
因此不管你抓多少颗黄豆到玉米堆里，只要你拿回颗数相同，玉米堆里有多少颗黄豆，黄豆堆里便有多少颗玉米！
红墨水和蓝墨水虽然是液体，但其中的道理也应该是一样的。
因为两个瓶里的墨水变换后，它们的总体积不发生变化，蓝墨水的“进军”无疑占了一定的空间，这个空间谁让出来的？当
然是红墨水，红墨水去哪了？当然是在蓝墨水瓶里。
这不就是一个互换领地的游戏吗？看来考虑数学问题，不但要认真仔细的分析每个条件的变化规律，也要学会跳出习题看习题！。