分治法与递归式求解剖析
NOIP基础算法讲解2
while(i<=mid)do begin temp[p]:=a[i];inc(p);inc(i);end while(j<=right)do begin temp[p]:=a[j];inc(p);inc(i);end for i:=left to right do a[i]:=temp[i]; end;
数据范围：n≤10^6。所有数之和不超过10^9。
例题8：快速幂
【问题】计算an mod k的值 ，其中n<=109。
方法1：朴素算法。每次乘以a，时间复杂度O(n)。 function power(a,n:longint):longint; var x:longint; begin x:=1; for i:=1 to n do x:=x*a; power:=x; end;
时间效率不尽如人意….. 问题出现在哪里呢？？
方法2：分治策略
采用分治求解: ➢划分问题：把序列分成元素个数尽量相等的两半； ➢递归求解：统计i和j均在左边或者均在右边的逆序对个数； ➢合并问题：统计i在左边，但j在右边的逆序对个数。
记数列a[st]~a[ed]的逆序对数目为d(st,ed); mid=(st+ed)/2,则有：
三、分治的三步骤
①划分问题：将要解决的问题分解成若干个规模较 小的同类子问题；
②递归求解：当子问题划分得足够小时，求解出子 问题的解。
③合并问题：将子问题的解逐层合并成原问题的解。
四、分治的框架结构
procedure Divide() begin
递归与分治算法心得
递归与分治算法心得
递归与分治算法是算法设计中常见的两种方法，它们在解决问题时都采用了“分而治之”的思想，将问题分解成更小的子问题，然后通过递归调用或者合并子问题的解来得到原问题的解。
通过我的学习和实践，我深刻认识到了递归与分治算法的重要性和优势。
首先，递归算法可以使问题的描述更加简单明了。
通过将问题转化为自身的子问题，我们可以建立起更为简洁优美的数学模型。
其次，递归算法可以使问题的解决过程更加自然。
在递归过程中，我们可以利用已知的子问题解决同类问题，实现代码的复用和模块化。
此外，递归算法还可以解决一些重要的数学问题，如斐波那契数列和二分查找等。
分治算法则更加注重问题的分解和合并。
它将问题划分成若干个规模相同或相近的子问题，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
这种方法在解决某些复杂问题时具有很大的优势。
例如，在排序算法中，归并排序采用了分治算法的思想，将待排序的序列分成两个长度相等的子序列，然后递归地对子序列排序，最后将子序列合并成有序序列。
这种算法具有较高的稳定性和灵活性，常常被应用于海量数据的排序任务中。
总之，递归与分治算法是算法设计中不可或缺的两种方法。
在解决问题时，我们应该根据具体情况选择合适的算法，并在实践中不断探索、总结和优化。
只有这样，我们才能更好地应对日益复杂多变的计算机科学挑战。
递归和分治法
递归和分治法摘要：1.递归和分治法的定义2.递归和分治法的区别3.递归和分治法的应用实例4.递归和分治法的优缺点正文：递归和分治法是计算机科学中常用的两种算法设计技巧。
它们在解决问题时都采用了将问题分解成更小子问题的思路，但在具体实现上却有所不同。
下面，我们来详细了解一下递归和分治法。
1.递归和分治法的定义递归法是指在算法中调用自身来解决问题的方法。
递归函数在执行过程中，会将原问题分解成规模更小的相似子问题，然后通过调用自身的方式，解决这些子问题，最后将子问题的解合并，得到原问题的解。
分治法是指将一个大问题分解成若干个规模较小的相似子问题，然后分别解决这些子问题，最后将子问题的解合并，得到原问题的解。
分治法在解决问题时，通常需要设计一个主函数（master function）和一个子函数（subfunction）。
主函数负责将问题分解，子函数负责解决子问题。
2.递归和分治法的区别递归法和分治法在解决问题时都采用了将问题分解成更小子问题的思路，但它们在实现上存在以下区别：（1）函数调用方式不同：递归法是通过调用自身来解决问题，而分治法是通过调用不同的子函数来解决问题。
（2）递归法必须有递归出口，即必须有一个基线条件，而分治法不一定需要。
3.递归和分治法的应用实例递归法应用广泛，例如斐波那契数列、汉诺塔问题、八皇后问题等。
分治法也有很多实际应用，例如快速排序、归并排序、大整数乘法等。
4.递归和分治法的优缺点递归法的优点是代码简单易懂，但缺点是容易产生大量的重复计算，导致时间复杂度较高。
分治法的优点是时间复杂度较低，但缺点是代码实现相对复杂，需要设计主函数和子函数。
总之，递归和分治法都是解决问题的有效方法，具体应用需要根据问题的特点来选择。
如何应用分治算法求解问题
如何应用分治算法求解问题分治算法，英文名为Divide and Conquer Algorithm，是一种高效的算法设计策略，在计算机科学中有着广泛的应用。
该算法将一个大问题分解成多个小问题，各自独立地解决，再将结果合并起来得到最终结果。
在本文中，我们将阐述如何应用分治算法求解问题，并通过几个实例来具体说明该算法的应用。
一、分治算法的原理分治算法的核心思想是将一个大问题分解成若干个小问题来解决，然后将这些小问题的解组合起来生成大问题的解。
其具体步骤如下：1. 分解：将原问题划分成若干个规模较小的子问题。
2. 解决：递归地解决每个子问题。
如果子问题足够小，则直接求解。
3. 合并：将所有子问题的解合并成原问题的解。
分治算法的主要优点在于它可以有效地缩小问题规模，从而缩短整个算法的执行时间。
另外，该算法天然适用于并行计算，因为每个子问题都是独立求解的。
二、分治算法的应用分治算法在各种领域都有广泛应用，包括数学、自然科学、计算机科学等。
以计算机科学领域为例，分治算法常常用于解决以下类型的问题：1. 排序问题2. 查找问题3. 字符串匹配问题4. 最大子序列和问题5. 矩阵乘法问题6. 图形问题下面我们将一一讲解这些问题的分治算法实现。
1. 排序问题排序问题是在一组数据中将其按指定规律进行排列的问题。
在计算机科学中，排序算法是十分重要的一类算法。
其中，分治算法由于其高效性和可并行性被广泛应用。
常用的分治排序算法包括归并排序和快速排序。
归并排序的基本思想是将待排序元素以中心点为界分成两个序列，对每个序列进行排序，然后将两个序列合并成一个有序序列；而快速排序则利用了分割的思想，通过每次选取一个元素作为“轴点”，将数组分成小于轴点和大于轴点的两部分，对这两部分分别进行快速排序。
2. 查找问题查找问题是在一组数据中寻找某个元素的问题。
分治算法在查找问题中的应用主要体现在二分查找中。
在二分查找中，我们首先将已排序的数组分成两半，在其中一半中查找目标值。
《算法设计与分析》实验报告实验一...
《算法设计与分析》实验报告实验一递归与分治策略应用基础学号：**************姓名：*************班级：*************日期：2014-2015学年第1学期第九周一、实验目的1、理解递归的概念和分治法的基本思想2、了解适用递归与分治策略的问题类型，并能设计相应的分治策略算法3、掌握递归与分治算法时间空间复杂度分析，以及问题复杂性分析方法二、实验内容任务：以下题目要求应用递归与分治策略设计解决方案，本次实验成绩按百分制计，完成各小题的得分如下，每小题要求算法描述准确且程序运行正确。
1、求n个元素的全排。
（30分）2、解决一个2k*2k的特殊棋牌上的L型骨牌覆盖问题。
（30分）3、设有n=2k个运动员要进行网球循环赛。
设计一个满足要求的比赛日程表。
（40分）提交结果：算法设计分析思路、源代码及其分析说明和测试运行报告。
三、设计分析四、算法描述及程序五、测试与分析六、实验总结与体会#include "iostream"using namespace std;#define N 100void Perm(int* list, int k, int m){if (k == m){for (int i=0; i<m; i++)cout << list[i] << " ";cout << endl;return;}else{for (int i=m; i<k; i++){swap(list[m], list[i]);Perm(list, k, m+1);swap(list[m], list[i]);}}}void swap(int a,int b){int temp;temp=a;a=b;b=temp;}int main(){int i,n;int a[N];cout<<"请输入排列数据总个数：";cin>>n;cout<<"请输入数据：";for(i=0;i<n;i++){cin>>a[i];}cout<<"该数据的全排列："<<endl;Perm(a,n,0);return 0;}《算法设计与分析》实验报告实验二递归与分治策略应用提高学号：**************姓名：*************班级：*************日期：2014-2015学年第1学期一、实验目的1、深入理解递归的概念和分治法的基本思想2、正确使用递归与分治策略设计相应的问题的算法3、掌握递归与分治算法时间空间复杂度分析，以及问题复杂性分析方法二、实验内容任务：从以下题目中任选一题完成，要求应用递归与分治策略设计解决方案。
分治算法
65 97
13 76
38 49 65 97
13 27 76
13 27 38 49 65 76 97
黑盒划分典型问题—合并排序
合并排序算法改进
从分治过程入手，容易消除mergeSort算法中的递归 调用
49 38 65 97 76 13 27
38 49
65 97
13 76
27
38 49 65 97
题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
T(n)
=
n
递归的概念
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这 就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复 应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其 规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求 出其解。这自然导致递归过程的产生。
直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数 自身给出定义的函数称为递归函数。
黑盒划分典型问题—合并排序
【例5】合并排序
任务描述：任意给定一包含n个整数的集合，把n个整数按升序排列。 输入：每测试用例包括两行，第一行输入整数个数，第二行输入n个整 数，数与数之间用空格隔开。最后一行包含-1，表示输入结束。 输出：每组测试数据的结果输出占一行，输出按升序排列的n个整数。 样例输入：
13 27 76
13 27 38 49 65 76 97
黑盒划分典型问题—合并排序
黑盒划分典型问题—合并排序
合并排序算法改进
从分治过程入手，容易消除mergeSort算法中的递归调用 自然合并排序
49 38 65 97 76 13 27
49
38 65 97
76
13 27
38 49 65 97
黑盒划分典型问题—逆序对问题
算法设计技巧与分析
算法设计技巧与分析算法设计技巧是计算机科学领域中非常重要的一部分。
一个好的算法能够提高程序的效率，减少资源的消耗。
算法设计的技巧有很多种，比如递归、分治、贪心、动态规划等等。
以下将对一些常用的算法设计技巧进行分析和讨论。
递归是一种非常常见的算法设计技巧。
递归是指一个函数在执行的过程中会调用自身。
递归通常需要一个基本的情况和一个递推的情况。
递归的好处是能够简化问题的求解过程，但是递归也有一些缺点，比如递归的深度过大会导致栈溢出的问题。
在设计递归算法时，需要注意避免这种情况的发生。
分治是一种将问题分解成多个子问题并将子问题的解合并起来得到最终解的算法设计技巧。
分治算法通常可以通过递归来实现。
在设计分治算法时，需要注意子问题之间的关系，以及如何将子问题的解合并起来。
贪心是指每一步都选择当前最优解的算法设计技巧。
贪心算法通常需要证明每一步的最优解一定能够导致最终的最优解。
贪心算法的好处是简单、高效，但是贪心算法不能解决所有的问题，有些问题需要使用动态规划等其他算法进行求解。
动态规划是一种将问题分解成多个子问题并选择最优的子问题解组合得到最终解的算法设计技巧。
动态规划通常需要一个表格来存储中间的结果，以便后续的计算。
在设计动态规划算法时，需要注意问题的重叠子问题特性，以及如何利用已经计算过的结果来加速计算。
在进行算法设计时，还需要考虑时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度是用来衡量算法执行时间的参数，通常用“大O记法”来表示。
空间复杂度是用来衡量算法消耗的空间的参数，也用“大O记法”来表示。
在算法设计中，通常要追求时间复杂度和空间复杂度尽量低。
除了以上几种常见的算法设计技巧外，还有很多其他的算法设计技巧，比如回溯、剪枝等等。
在实际的算法设计中，不同的问题可能需要采用不同的算法设计技巧。
因此，对算法设计技巧的熟练掌握和运用是非常重要的。
综上所述，算法设计技巧与分析是计算机科学中的重要内容。
通过合理选择和运用不同的算法设计技巧，能够提高程序的效率，从而更好地解决问题。
分治法实验心得
分治法实验心得分治法实验心得分治法是一种常见的算法设计策略，它将原问题划分成若干个规模较小但结构与原问题相似的子问题，然后递归地求解这些子问题，最终将子问题的解合并得到原问题的解。
在本次实验中，我们实现了两个基于分治法的算法：归并排序和快速排序，并对它们进行了性能测试和比较。
一、归并排序1. 原理归并排序是一种典型的分治算法。
它将待排序数组不断地二分为两个子数组，直到每个子数组只剩下一个元素。
然后将相邻的两个子数组合并成一个有序数组，再将相邻的两个有序数组合并成一个更大的有序数组，直到最终合并成整个待排序数组。
2. 实现我们采用了自顶向下的递归方式实现了归并排序。
具体来说，我们定义了一个merge函数用于合并两个有序子数组，并定义了一个sort 函数用于递归地对左右两个子数组进行排序和合并。
3. 性能测试与比较我们使用Python内置的time模块对不同规模（10^2 ~ 10^6）的随机整数列表进行了性能测试，并绘制出了运行时间随数组规模增大的变化曲线。
结果表明，归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，与理论分析相符。
二、快速排序1. 原理快速排序也是一种分治算法。
它选择一个基准元素，将数组中小于等于它的元素放在其左侧，大于它的元素放在其右侧。
然后递归地对左右两个子数组进行同样的操作，直到每个子数组只剩下一个元素。
2. 实现我们实现了两个版本的快速排序：递归版本和非递归版本。
其中，递归版本采用了经典的Lomuto分区方案，而非递归版本则采用了更高效的Hoare分区方案。
3. 性能测试与比较我们同样使用Python内置的time模块对不同规模（10^2 ~ 10^6）的随机整数列表进行了性能测试，并绘制出了运行时间随数组规模增大的变化曲线。
结果表明，快速排序具有很好的平均时间复杂度（O(nlogn)），但最坏情况下时间复杂度会退化到O(n^2)。
三、总结与思考通过本次实验，我们深入理解了分治算法设计策略，并学会了如何实现归并排序和快速排序。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
内容提要
1. 求解递归式 2. 主定理 3. 合并排序、快速排序 4. 堆排序 5. 最大和子数组问题 6. 矩阵乘积的Strassen方法
重点与难点
重 点 ： Merge Sort 、 Quick-Sort 、 Maximum-Subarray 、 Strassen’s algorithm 等算法的思想及其时间复杂度的表示、递 归式的求解方法、The Master Theorem、 HeapSort算法的复杂度分析。 难点：主定理及堆排序算法的复杂度分析 。
其它的渐近记号
非紧上界f(n)=o(g(n)) 是指对于任意正常数 c,存在正常数n0 使得当n n0时,
f(n) < c g(n) 非紧下界f(n)=(g(n)) 是指对于任意正常数 c,存在正常数n0使得当n n0时,
f(n)> c g(n)
分治法的基本步骤
Divide: 将问题分割为若干的具有原问题类 型的子问题； Conquer: 递归求出子问题的解。当子问题 规模仍不够小而不易求解时，将子问题继 续分割。直到子问题规模足够小以便于求 解。 Combine: 合并子问题的解得到原问题的解
学习目的与要求
1. 理解掌握归并排序、快速排序、最大 子数组、Strassen矩阵乘法方法的主要思 想，及其时间复杂度表示； 2. 掌握求解递归式的几种常用方法； 3. 理解主定理的思想及应用场合； 4. 理解堆排序的主要思想及算法的复杂 度分析方法。
复习: 渐近记号
渐近上界O:
f(n)=O(g(n)) 是指存在 正常数 c and n0 使得当 n n0时, f(n) c g(n) O(g(n)) = { f(n): 正常数 c and n0 s.t. f(n) c g(n) n n0}
q=floor((2+2)/2)=2
30 10 40 20 60 50
30 10 40 20 60 50 30 10 40 20 60 50
Merge
30 10 40 20 60 50
10 30 40 20 60 50 10 30 40 20 60 50
q=floor((3+3)/2)=3
30 10 40 20 60 50
30 10 40 20 60 50 30 10 40 20 60 50
q=floor((1+1)/2)=1
30 10 40 20 60 50
30 10 40 20 60 50 30 10 40 20 60 50
Merge
30 10 40 20 60 50
30 10 40 20 60 50 30 10 40 20 60 50
}
T(n) (1) (1) T(n/2) T(n/2) (n)
T(n) =
T(n)=?
(1)
当 n = 1,
2T(n/2) + (n) 当 n > 1
递归式
表达式:
c
n 1
T
(n)
2T
n 2
cn
n 1
是一个递归式.
递归式例子
s(n)
c
0 s(n
1)
n0 n0
0
n0
s(n) n s(n 1) n 0
ห้องสมุดไป่ตู้
T(n) = 2T(n/2 + 17) + n T(n) = (n lg n)
迭代法
迭代法
展开递归式 进行若干步代数运算 求和
例如
0
n0
s(n) c s(n 1) n 0
s(n) = c + s(n-1) c + c + s(n-2) 2c + s(n-2) 2c + c + s(n-3) 3c + s(n-3) … kc + s(n-k) = ck + s(n-k)
类似地，对右边子序列进行合并排序
30 10 40 20 60 50
10 30 40 20 60 50
…. ..
10 30 40 20 50 60
进行合并
30 10 40 20 60 50
10 30 40 20 60 50
…. ..
10 20 30 40 50 60
合并排序算法分析
语句
时间复杂度
合并排序例子
30 10 40 20 60 50
q=floor((1+6)/2)=3
30 10 40 20 60 50
q=floor((1+3)/2)=2
30 10 40 20 60 50
30 10 40 20 60 50
q=floor((1+2))/2=1
30 10 40 20 60 50
MergeSort(A, left, right) { if (left < right) { mid = floor((left + right) / 2); MergeSort(A, left, mid); MergeSort(A, mid+1, right); Merge(A, left, mid, right); }
复习: 渐近记号
渐近下界:
f(n)=(g(n)) 是指 正常数 c 及 n0 使得
0 cg(n) f(n) n n0
渐近紧界:
f(n)=(g(n))是指 正常数 c1, c2, 及 n0 使得
c1 g(n) f(n) c2 g(n) n n0 f(n) = (g(n)) 当且仅当 f(n) = O(g(n)) 及 f(n) = (g(n))
合并排序
MergeSort(A, p, r) { if (p < r) { q = floor((p + r) / 2); MergeSort(A, p, q); MergeSort(A, q+1, r); Merge(A, p, q, r); }
}
// 合并排序将两个已排序的子数组合并成一个有序数组 // (时间复杂度?)
c
n 1
T
(n)
2T
n 2
c
n 1
c
n 1
T
(n)
aT
n b
cn
n 1
求解递归式的方法
替换法(猜想法) 迭代法 主定理 公式法
替换法
替换法
也称为 “猜测法”
先猜测答案, 然后用归纳法进行证明
例如:
猜想
T(n) = 2T(n/2) + (n) T(n) = (n lg n) T(n) = 2T(n/2) + n T(n) = (n lg n)
10 30 40 20 60 50 10 30 40 20 60 50
Merge
30 10 40 20 60 50
10 30 40 20 60 50 10 30 40 20 60 50
Merge
30 10 40 20 60 50
10 30 40 20 60 50 10 30 40 20 60 50