弯曲应力
弯曲应力
二、弯曲强度条件
1、塑性材料：
max
M max y max Iz
令Iz /ymax=W， W-----抗弯截面系数
弯曲强度条件：
max
M max W
[]
注意:
当梁为变截面梁时, max 并不一定发生在| M |max 所在面上。
2.脆性材料： 因为 [t ] < [c ] ，所以应分别建立强度条件。
q 30 kN m
解：弯矩图如图所示
A
0.5m
B
WZ
M max
2m
FB 28.1kN
61.2cm3
FA 46.9kN
31.9
查表
N0 12.6工字钢 WZ=77.5cm3
15
kN
13.16
28.1
kNm
3.75
例5
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴 的惯性矩Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ ＋］ =50MPa，抗压强度［σ －］=125MPa。试按正应力强 200 度条件校核梁的强度。
y
z
F F
y
结 论:
对于均质,连续的等截面直梁在纯弯曲时,横截面上只产生 正应力， (与横截面的形状无关)。
6.2纯弯曲时的正应力
纯弯曲时梁的正应力公式推导：
F F
m n
m
n
m
n
m
dx
n
一、变形几何关系（应变-位移）
o n
d
凹边变弯缩短
dx
n
（- ）
无 （+）
m
z y
m
dx
中性层上变弯 凸边变弯伸长
弯曲应力公式
弯曲应力公式
弯曲应力公式是用于计算材料在受到弯曲力作用时所产生的应力的公式。
弯曲应力是指材料在弯曲变形时内部产生的应力。
在工程实践中，了解材料的弯曲应力是设计和评估结构和构件强度的重要基础。
根据弯曲应力公式，弯曲应力可以通过以下公式计算：
σ = (M * c) / I
其中，σ是弯曲应力，M是作用于材料的弯曲力矩，c是截面和材料最远点之间的距离（也称为材料的离心距），而I是截面的惯性矩。
弯曲应力公式反映了弯曲力和材料断面之间的关系。
公式中的离心距和惯性矩可以描述结构材料的几何特性和材料的物理特性。
弯曲应力正比于弯曲力矩并反比于截面的惯性矩。
这意味着对于相同的弯曲力矩，当截面的惯性矩越大时，材料的弯曲应力越小。
弯曲应力的计算对于工程设计和工程结构的安全性至关重要。
通过了解材料的弯曲应力，工程师可以确定材料是否足够强大，以承受特定的弯曲力矩。
此外，在材料设计中，可以通过调整截面形状、尺寸和材料的选择来减小或优化弯曲应力。
总结而言，弯曲应力公式是工程实践中用于计算弯曲应力的重要工具。
它通过考虑弯曲力矩、离心距和截面的惯性矩等因素，为工程师提供了评估结构和构件强度的基础，并为设计和优化工程材料提供了指导。
第6章 弯曲应力
称为抗弯截面系数
只有一根对称轴的横截面形状: yt，max yc，max O y
O y
z
t,max
My t ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
z
简单截面的弯曲截面系数 b h ⑴ 矩形截面
z
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
y d
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy 源自/2 63()
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 对于细长梁（ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。 F
l
M ( x) y Iz
Fl
4
max
M ( x) Wz
解：
由弯曲曲率公式 可得：
M EIz
M EI z
1
代入弯曲正应力公式：
M EIZ Ed 533.3MPa WZ WZ 2
3.正应力的正负号与弯矩 及点的坐标 y的正负号有关。实际计算中，可根 据截面上弯矩的方向，直接判断中性 轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生 压应力，而不必计及M和y的正负。
三、最大弯曲正应力 有两根对称轴的横截面形状: b h
z
y y
z
max
M M Mymax I z Wz Iz y max
基本假设2:
梁内各纵向纤维无挤压 假设，纵向纤维间无正应 力。
中性层与中性轴
纵向对称面 中性层 Z 中性轴
中性层 根据变形的连续性 可知，梁弯曲时从其凹 入一侧的纵向线缩短区 到其凸出一侧的纵向线 伸长区，中间必有一层 纵向无长度改变的过渡 层，称为中性层 。 中性轴: 中性层与横截面的交 线就是中性轴。
第五章 弯曲应力
第五章弯曲应力§5-1 梁弯曲正应力§5-2 惯性矩计算§5-3 梁弯曲剪应力*§5-4 梁弯曲时的强度计算§5-5 塑性弯曲的概念*§5-6 提高梁抗弯能力的措施§5-1 梁弯曲正应力一、梁弯曲时横截面上的应力分布一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时有弯矩和剪力两个内力。
弯矩由分布于横截面上的法向内力元σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组成，故横截面上同时存在正应力和剪应力。
MσdAτdA Q当梁较长时，正应力是决定梁是否破坏的主要因素，剪应力则是次要因素。
二、弯曲分类P P a aAC DB ACD +−BC D+P PPa 梁AC 、BD 段的横截面上既有剪力又有弯矩，称为剪切弯曲（横力弯曲）。
CD 段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，称为纯弯曲。
此处仅研究纯弯曲时梁横截面上正应力与弯矩的关系。
三、纯弯曲实验1.准备A BC DE F G H 在梁侧面画上AB 、CD 、EF 、GH 四条直线，且AB ∥CD 、EF ∥GH。
在梁两端对梁施加纯弯矩M 。
A B C D E F G H M MA BC DE F G H 2.现象•变形后横向线AB 、CD 发生了相对转动，仍为直线，但二者不再平行；仍与弧线垂直。
•纵向线EF 、GH 由直线变成曲线，且EF 变短，GH 变长；•曲线EF 、GH 间的距离几乎没有变化；•横截面上部分沿厚度方向变宽，下部分变窄。
3.假定•梁的任意一个横截面，如果在变形之前是平面，在变形后仍为平面，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度，且与变形后的轴线垂直。
——平截面假定。
•梁上部分纤维受压而下部分纤维受拉，中间一层纤维既不受拉也不受压，这一层叫中性层或中性面。
•中性层与横截面的交线叫中性轴。
梁弯曲变形时横截面绕中性轴转动。
中性层纵向对称面中性轴•梁的纵向纤维之间无挤压力作用，故梁的纵向纤维只受拉伸或压缩作用——单向受力假设。
弯曲应力-材料力学
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
另外，根据不同的弯曲形式和受力情 况，还可以采用其他计算公式来求解 弯曲应力，如均布载荷下的简支梁、 集中载荷下的悬臂梁等。
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
弯曲应力可能导致材料发生弯曲变形，影响结构的稳定性和精度。
弯曲应力对材料刚度的影响
弯曲应力对材料的刚度有影响，材料的刚度随着弯曲应力的增大而 减小。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
弯曲应力
材料的韧性和强度都会影响其弯曲应力的大小和分布。韧性好的材料能够更好地分散和 吸收弯曲应力，而高强度的材料则能够承受更大的弯曲应力而不发生断裂。
材料韧性、强度与弯曲应力的关系
韧性
是指材料在受到外力作用时吸收能量的能力。韧性好的材料能够吸收更多的能量，从而 减少因弯曲应力而产生的脆性断裂。
强度
剪切应力的分布
剪切应力在材料截面的边缘最大，向中性轴方向 逐渐减小。
3
剪切应力和弯曲应力的关系
剪切应力和弯曲应力共同作用，影响梁的承载能 力和稳定性，在设计时需要考虑两者的相互作用。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
材料力学第五章 弯曲应力
F F d F 0 N 2 N 1 S
将FN2、FN1和dFS′的表达式带入上式，可得
* M M d M * S S b d x 0 z z
I z I z
简化后可得
dM S z* dx I z b
dM F S ，代入上式得 由公式（4－2）， dx
* 式中 S z
A1
y1dA ，是横截面距中性轴为 y 的横线 pq 以下的面积对中性轴的静矩。同理，
可以求得左侧面 rn 上的内力系的合力 FN 1 为
M * FN 1 S z Iz
在顶面rp上，与顶面相切的内力系的合力是
d F b d x S
根据水平方向的静平衡方程
F 0 ，可得
综上所述，对于各横截面剪力相同的梁和剪力不相同的
细长梁（l>5h），在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式 （5－2）仍然适用。
例5－1
图5－10(a)所示悬臂梁，受集中力F与集中力
偶Me作用，其中F＝5kN，Me＝7.5kN· m，试求梁上B点左邻 面1－1上的最大弯曲正应力、该截面K点处正应力及全梁的 最大弯曲正应力。
第五章 弯曲应力
5.1 弯曲正应力 5.2 弯曲切应力简介 5.3 弯曲强度条件及其应用 5.4 提高梁弯曲强度的主要措施
5.1 弯曲正应力
上一章研究表明，一般情况下，梁横截面上同时存在
剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τ dA才可能构成剪力， 也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩，如图5－1（a)所示。 因此，在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ（见图 5－1(b)）。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为 弯曲正应力与弯曲切应力。
弯曲应力_精品文档
弯曲应力引言弯曲应力是材料受到弯曲力作用时产生的应力。
在工程中，许多结构和元件都会承受弯曲力，因此对于弯曲应力的研究非常重要。
本文将介绍弯曲应力的概念、产生原因、计算方法以及对材料性能的影响。
一、概念与定义弯曲应力是由外力在材料截面上产生的弯曲时引起的内力分布所导致的。
当材料受到垂直于其截面的力作用时，材料会发生形变，产生内部应力以抵消外力的作用。
这些应力在截面上沿纵横两个方向分布，形成应力分布图。
在该图中，对于一切外力小于弯曲应力时，材料会发生弹性形变，当外力超过弯曲应力时，材料开始发生塑性变形。
二、弯曲应力产生原因弯曲应力的主要产生原因是施加在材料上的弯曲力。
当一个材料受到作用力时，由于横向收缩和纵向伸展，材料会发生变形。
在弯曲过程中，材料的上面受到压力，下面受到拉力。
这种压力和拉力导致了截面上的应力分布，形成弯曲应力。
三、弯曲应力的计算方法为了计算弯曲应力，需要了解材料的弯曲刚度和外力大小。
根据材料的力学性质，可以使用欧拉-伯努利梁理论计算等效弯曲应力。
该理论基于以下假设：材料在弯曲过程中保持线弹性，纵向扰动被忽略，并且任何截面都在弯曲过程中垂直于轴线。
通过这些假设，可以得到以下弯曲应力的计算公式：σ = (M * y) / I其中，σ是应力，M是弯矩，y是离轴心的距离，I是截面的惯性矩。
这个公式表示弯曲应力与弯矩成正比，与截面惯性矩成反比。
因此，在设计结构时，可以通过调整截面形状或增加材料的截面尺寸来减小弯曲应力。
四、弯曲应力对材料性能的影响弯曲应力对材料性能有重要影响。
首先，弯曲应力会导致材料发生弹性或塑性变形。
在弯曲应力作用下，材料的内部结构发生改变，导致材料的力学性能发生变化。
其次，弯曲应力还会导致材料的疲劳断裂。
当材料受到长期的反复弯曲作用时，弯曲应力超过了材料的疲劳极限，材料会产生裂纹，最终导致断裂。
因此，在设计和使用材料时，必须考虑到弯曲应力对材料的影响，并采取相应的措施来避免材料破坏。
材料力学(给排水)第四章-弯曲应力
弯曲应力的计算方法
1 梁弯曲公式
常用于计算直梁受弯时的应力分布和最大应 力值。
2 等强度法
常用于计算不同形状截面的梁受弯时的应力 分布。
弯曲应力的分布特点
1 最大应力出现在最远离中性轴的位置
2 中性轴附近应力应变
2 下表面拉应变
3 中性面应变为0
弯曲应力的应力-应变关系
1 胡克定律
当弯曲应力小于材料的弹性极限时，应力与 应变成正比关系。
2 弹性模量
描述了材料在受力时的变形程度。
材料力学中常见的弯曲应力计算问题
1 悬臂梁的最大弯曲应力计算
2 叠木梁的弯曲应力分布计算
3 榀形梁的弯曲应力计算
弯曲应力的工程应用及实例
1 建筑结构设计
弯曲应力的分析和计算对 于设计坚固和稳定的建筑 结构至关重要。
2 桥梁工程
弯曲应力的研究可以帮助 工程师设计和评估桥梁的 结构和安全性。
3 车辆设计
在汽车和飞机等交通工具 的设计过程中，弯曲应力 是一个重要的考虑因素。
材料力学(给排水)第四章 -弯曲应力
在材料力学中，弯曲应力是一个重要的概念，它涉及到物体在受力时的弯曲 情况。本章将介绍弯曲应力的定义、计算方法、分布特点、应变状态、应力应变关系以及其工程应用及实例。
弯曲应力的定义
1 弯曲应力
当一个物体受到外力作用而发生弯曲时，物体内部会出现垂直于弯曲面的应力，这种应 力即为弯曲应力。
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20:01:46
（儒拉夫斯基公式）
式中符号意义：
：截面上距中性轴y处的剪应力
S ：y以外面积对中性轴的静矩 I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
b：y处的宽度
对于矩形：
* z
yc
h
c
y z b
92
h * * Sz A yc b 2 y y 27
92
36
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
20:01:46
例6-1 一简支梁受力如图所示。已知 [ ] 12MPa，空心圆截面 的内外径之比 一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？
q=0.5KN/m
d 0.8 ，试选择截面直径D；若外径D增加 D
A L=4m
1 2 qL 8
并且
h y , 0; 2
y 0, max
3 FS 2 bh
3 FS 2 A
92
28
弯曲应力/弯曲时的剪应力 实心截面梁的弯曲切应力误差分析
20:01:46
精确解 =
= bI z
1/1
1.12
FS Sz* b 1/2 1.57 1/4 2.30
h
翼缘部分的水平剪应力沿翼缘宽 度按直线规律变化，并与腹板部分 的竖向剪力形成“剪应力流” 。 翼缘部分的剪应力强度计算时一 般不予考虑。
( y)
腹板与翼缘交界处的应力较复杂，在连接处的转角 上发生应力集中，为了避免这一点，以圆弧连接，使 这里的剪应力实际值接近以腹板剪应力公式所得到的
结果。
My1 1 , Iz
( M dM ) y1 2 Iz
M Iz
A1
M dM y1dA bdx Iz
dM bdx Iz
A1
y1dA 0
A1
y1dA
* dM S z* F S S z dx bI z bI z
S
* z
92
26
FS
弯曲应力/弯曲时的剪应力
a b ( y)d
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
20:01:46
所以纵向纤维ab的应变为:
ab ( y )d d yd y dx d ab
(a)
——横截面上距中性轴为y处的轴向变形规律。
曲率
1
(), 则 ();
曲率
20:01:45
第六章 弯曲应力
92
1
20:01:45
1. 引言
2. 弯曲正应力
3. 弯曲切应力
4. 梁的强度条件 5. 梁的合理强度设计 6. 双对称截面梁的非对称弯曲
92
2
20:01:46
一、引言
92
3
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力 横力 F 弯曲 a F (+)
FQ 图
20:01:46
d z
Iz
64
d 4,
Wz
32
d 3,
D
d z
Iz
64
(D d )
4 4
64
D 4 (1 4 )
Wz
92
18
32
d ( ) D
D3 (1 4 )
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
20:01:46
由纯弯曲推导得到的结果可推广到横力弯曲的梁： (a) 横力弯曲的细长梁，即梁的跨高比:L/h>5时， 其误差不大； (b) 对R/h>5的曲率梁，可使用直梁公式。 非纯弯曲时的挠曲轴的曲率方程为：
h y 2 2
2 b h 2 y 2 4
弯曲应力/弯曲时的剪应力 而
20:01:46
1 3 I z bh 12
6 FS h 2 2 ( y ) 3 bh 4
因此矩形截面梁横截面上的 剪应力的大小沿着梁的高度按 抛物线规律分布。
20:01:46
假 设
在有剪应力存在的情形下， 弯曲正应力公式依然存在
剪应力方向与剪力的方向相同，并 沿截面宽度方向切应力均匀分布（对于
狭长的矩形截面适用）
在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的切应
力，而无须应用“平衡，变形协调和物性关系”。
92
23
弯曲应力/弯曲时的剪应力
20:01:46
（一）矩形截面
M EI z
1
为常数，挠取轴 是一条圆弧线
EIz ——抗弯刚度。
正应力的计算公式为
My Iz 横截面上最大正应力为
max
92
16
Mymax M M Iz I z / ymax Wz
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
20:01:46
Iz ——截面的抗弯截面模量，反映了截面 Wz ymax 的几何形状、尺寸对强度的影响。
3、实验观察:
M M
横截面上 只有正应 力无剪应 力
92
7
M
凹边缩短
长度保持 不变的纵 向纤维
纵向纤维间无挤压作用 凸边伸长
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
20:01:46
中性层——杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不 缩短的曲面。
中性轴——中性层与横截面的交线。
中性轴
中性轴
中性层
4、平面截面假设——横截面变形后保持为平面，只是 绕中性轴旋转了一角度。
矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：
竖放： z h b b
1 3 1 2 I z bh , Wz bh 12 6
平放：
I z 1 hb 3 , 12
h
92
17
z´
1 2 Wz hb 6
若h>b, 则 Wz Wz 。
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
20:01:46
h/b
1.0
2/1
1.04
92
29
弯曲应力/弯曲时的剪应力
20:01:46
（二）工字形截面梁的弯曲切应力 1、腹板
* FS S z ( y) Iz
翼缘
式中
z
( y)
腹板
(y)：截面上距中性轴y处的剪应力
* Sz ：y处横线一侧的部分面积对中性轴的静矩
I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
20:01:46
正应力分析方法
1. 2. 3.
4. 5. 6.
92
6
外力分析（确定约束反力） 内力分析（绘剪力图、弯矩图） 平面假定与变形协调方程
应变分布与应力分布 应用静力学方程确定待定常数 正应力表达式
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
20:01:46
1、研究对象：等直细长对称截面梁 2、前提: (a)小变形——在弹性变形范围内， (b)满足平面弯曲条件， （c）纯弯曲。
20:01:46
考虑平衡条件
M dA dA
z x
M
z
M
M z A (dA) y
E 2 A y dA M
Iz
y A E dA
2
y
E Iz M
(e)
I z 为截面对中性轴的惯性矩。
92
15
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
20:01:46
可得挠曲轴的曲率方程：
(b)
对一定材料， E=C； 对一定截面，
1
C.
——横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y成比例。 当 y 0时,
0；
应力为零的点的连线。 M
y ymax时, max .
与实验结果相符。
92
11
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
20:01:46
（3）由静力平衡方程确定中性轴的位臵及应力计算公式
20:01:46
1、弯曲正应力强度条件：
M max max [ ] Wz
可解决三方面问题：
（1）强度校核，即已知 M max , [ ],Wz , 检验梁是否安全；
M max （2）设计截面，即已知 M max , [ ],可由 Wz 确定 [ ]
截面的尺寸；
（3）求许可载荷，即已知 WZ , [ ], 可由 M max Wz [ ] 确定。
92
20
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
20:01:46
（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来
确定。
（4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩 的计算式。
92
21
20:01:46
三、弯曲时的剪应力
92
22
弯曲应力/弯曲时的剪应力
：y处的宽度
92
30
弯曲应力/弯曲时的剪应力
20:01:46
max
FS S z ,max
Iz
FS ( I z / S z ,max )
腹板上的剪应力呈抛物线变化，腹板部分的剪应力合力 占总剪力的95~97%。
92
31
弯曲应力/弯曲时的剪应力
20:01:46
2、翼缘
( z)
92
8
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
20:01:46
5、理论分析
（1）变形分布规律
m
o1
o
n
o2
dx
a´ b´