高三数学常用函数性质及图像
《高三数学二次函数》课件
3 二次函数的单调性
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
4 二次函数的极值
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 0)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递减，求$a$的取值范围。
提高习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 1)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递增，求$a$的取值范围。
04
下一步学习计划
01
深入学习其他类型的函数，如 三角函数、指数函数等，进一 步拓展数学知识面。
02
加强数学练习，通过大量的习பைடு நூலகம்题训练提高自己的解题能力和 数学思维能力。
03
学习数学中的其他重要概念和 定理，如导数、积分等，为后 续的学习打下坚实的基础。
04
参加数学竞赛或课外活动，与 其他同学一起探讨数学问题， 共同进步。
基础习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x = 2$处取得最小值，求$a$的取值范围。
基础习题3
三角函数的图象与性质(高三一轮复习)
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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(4)三角函数型函数奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性 质，如在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0，则为奇函数，若y为最大或最小值， 则为偶函数．若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函 数，则φ＝2π＋kπ(k∈Z)．
A．y＝fx－π4为奇函数 B．y＝fx－4π为偶函数 C．y＝fx＋4π－1为奇函数 D．y＝fx＋π4－1为偶函数
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 21 —
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin
ωx＋π4
＋b(ω>0)的最小正周期为T.若
2π 3
<T<π，且y＝f(x)的图象关于点32π，2中心对称，则fπ2＝( A )
— 10 —
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 11 —
2．(易错题)(2023·宜昌检测)下列函数中，在其定义域上是偶函数的是( B )
A．y＝sin x
B．y＝sin x
C．y＝tan x
D．y＝cosx－π2
解析 对于A，∵y＝sin x的定义域为R，sin(－x)＝－sin x，∴y＝sin x为奇函
数，A错误；对于B，∵y＝
sin
x
的定义域为R，
sin－x
＝
－sin
x
＝
sin
x
，∴y＝
sin x为偶函数，B正确；对于C，∵y＝tan x的定义域为kπ－π2，kπ＋2π(k∈Z)，即定 义域关于原点对称，tan(－x)＝－tan x，∴y＝tan x为奇函数，C错误；对于D，∵y＝
高三数学总复习三角函数的图象与性质PPT课件
1．函数 y＝tan 3x 的定义域为( ) A.xx≠32π＋3kπ，k∈Z B.xx≠π6＋kπ，k∈Z C.xx≠－π6＋kπ，k∈Z D.xx≠π6＋k3π，k∈Z
解析：选 D 由 3x≠π2＋kπ，得 x≠π6＋k3π，k∈Z.
2．(2014·陕西高考)函数 f(x)＝cos2x＋π4 的最小正周 期是( )
π A.2
B．π
C．2π
D．4π
解析：选 B 由余弦函数的复合函数周期公式得 T＝ 2ωπ＝22π＝π.
3．已知函数 f(x)＝sinωx＋π3 (ω>0)的最小正周期为 π， 则该函数的图象( )
＝
3 2 sin
2x－12cos
2x
＝cosπ6sin 2x－sinπ6cos 2x ＝sin2x－π6. (1)f(x)的最小正周期为 T＝2ωπ＝22π＝π， 即函数 f(x)的最小正周期为 π. (2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤56π. 由正弦函数的性质，
当 2x－π6＝π2，即 x＝π3时，f(x)取得最大值 1.
[答案] (1)A (2)B (3)C
互动探究 本例(2)中函数 f(x)的对称中心是什么？
解：令 x－π4＝kπ，k∈Z，则 x＝π4＋kπ，k∈Z. 故函数 f(x)＝sinx－π4的对称中心为π4＋kπ，0(k∈Z)．
函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性 (1)若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当 x＝0 时，f(x) 取得最大或最小值；若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当 x ＝0 时，f(x)＝0. (2)对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象 的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在 判断直线 x＝x0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心 时，可通过检验 f(x0)的值进行判断．
高三文科数学总复习课件：三角函数的图像与性质
递减区间.
第二十一页，编辑于星期日：二十二点 四十八 分。
备选例题.已知函数f (x) sin(x )( 0, 0 ) 是R上的偶函数，其图象关于点M (3 , 0)对称，且在
4
区间[0, ]上是单调函数，求和的值.
2
第二十二页，编辑于星期日：二十二点 四十八 分。
(方法一) 由于f (x)是R上的偶函数，所以f (x) f (x),
（其中 0） 6
6
2
（1）求函数 f (x) 的值域；
（2）若函数 y f (x)的图象与直线 y 1
的两个相邻交点间的距离为 ，求函数
y f (x)的单调增区间.
2
第十一页，编辑于星期日：二十二点 四十八分。
点评 研究三角函数 y Asin(x )( A 0, 0)
的单调性，基本思想是把 x 看作
f
6
1.
(1)求实数a的值；
(2)求f (x)的单调区间、周期和最值.
第十三页，编辑于星期日：二十二点 四十八分。
练习2.已知函数
f (x) cos(2x ) 2sin(x ) sin(x ).
3
4
4
（1）求函数f (x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求函数f (x)在区间[ , ]上的值域.
的1 图象，
2
第八页，编辑于星期日：二十二点 四十八分。
第九页，编辑于星期日：二十二点 四十八分。
类型二 三角函数的图象与性质
定义域 周期性 奇偶性
值域、最值 单调性
对称性
第十页，编辑于星期日：二十二点 四十八分。
例1
设函数 f (x) sin(x ) sin(x ) 2 cos2 x，
专题五+5.3三角函数的图像与性质课件——2023届高三数学一轮复习
标):ωx+φ=π+2kπ.(以上k∈Z)
例1
(2022重庆十一中月考,5)函数f(x)=Asin(ωx+φ)
A
0,
ω
0,
0
φ
2
的部分图象如图所示,将其向右平移 3 个单位长度后得到图象对应的函
数解析式为 ( )
A.y= 2 sin 2x
B.y=
2
sin
2x
3
C.y=
2
sin
2x
3
D.y=
5 3
, 13 6
⫋
3 2
, 5 2
,易知函数y=sin
x在
3 2
,
5 2
上单调递增,则函数f(x)=sin
2
x
3
在区间
,
5 4
上单调递增,故
D正确.故选BD.
答案 BD
考法三 三角函数的最值 求三角函数最值常见的函数形式
1.y=asin x+bcos x= a2 b2 sin(x+φ),其中cos φ= a ,sin φ= b .
2
,
0
,(π,-1),
3 2
,
0
,(2π,1).
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图时,一般先列表,后 描点,连线,其中所列表如下:
ωx+φ
x
y=A· sin(ωx+φ)
0
π
2
-
π - + 2
左平移 个单位长度,得到曲线C2
12
三角函数的图象与性质课件高三数学一轮复习
4π
3
4π
C.
3
≤ φ ≤ 2π
4π
D.
3
≤φ≤
[解析] 因为 ∈ [− , ],所以�� + ∈ [− + , + ].
又 ≤ <
所以
+ ≤ ,
−
+ ≥ ,
解得
+<
,且函数
≤≤
,即
在[− , ]上单调递增,
φ = kπ +
π
2
k∈ .
③若y = Atan ωx + φ 为奇函数,则有φ = kπ k ∈ .
自测诊断
1.函数f x = 2sin
A.
π
2
1
x
2
−
π
4
的最小正周期为(
B.π
[解析] 由题意知,在 =
D )
C.2π
−
D.4π
中, = ,∴ =
=
π 3π
π π
A.
B. ,
C. − ,
D.
4 4
2 2
[解析] 因为 = + − = + = − ,
令 − ≤ ≤ + , ∈
,解得 − ≤ ≤ + , ∈ ,
(新人教A)高三数学第二轮复习第二讲函数的图像与性质
第二讲 函数（二）一、函数的图象1，图象的变换 （1）平移变换①函数(),y f x a =+的图象是把函数()y f x =的图象沿x 轴向右（0a >）或向右（0a <）平移||a 个单位得到的；②函数)0(,)(<+=a a x f y 的图象是把函数轴的图象沿y x f y )(=向上（0a >）或向下（0a <）平个单位得到的移a 。
（2）对称变换①函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线x=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线y=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于坐标原点对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。
③如果函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有=+)(a x f )(a x f -，那么)(x f y = 的图象关于直线a x =对称。
④设函数y=f(x)的定义域为R ，满足条件f(a+x)=f(b －x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=2ba +对称。
（3）伸缩变换①)0(),(>=a x af y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标伸长)1(>a 或缩短)10(<<a 到原来的a 倍。
②)0(),(>=a ax f y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的横坐标伸长)10(<<a 或缩短)1(>a 到原来的a1倍。
例1.将下列变换的结果填在横线上： （1）将函数xy -=3的图象向右平移2个单位，得到函数 的图象；（2）将函数)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位，得到函数 的图象；（3）将函数3)2(-=x y 的图象各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数 的图象. 解析：（1）关键是答案为23--=x y ，还是)2(3--=x y ，可以取一个点检验，将函数xy -=3的图象向右平移2个单位后点（－1，3）变为（1，3），故答案为)2(3--=x y ，即xy -=23（2）关键是答案为)213(log 2+-=x y ，还是]1)2(3[log 2-+=x y ，注意到)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位后（1，1）变为点（－1，1），所以后者正确，故答案为)53(log 2+=x y ；（3）函数3)2(-=x y 的图象经过变换后，点（3，0）变为（9，1），故答案为3)131(-=x y .评析：总结上述解答，应该明白一个函数)(x f 的图象的各种变换都是针对基本变量x （或y ）进行的，所以变换后发生的变化都应该紧随着变量x （或y ）的后面，应认真总结这些经验.注意，函数图象变换的规律也可以应用到曲线方程表示的图形的变换. 例2.已知函数,1-=x xy 给出下列三个命题中正确命题的序号是 ①函数的图象关于点（1，1）对称； ②函数的图象关于直线x y -=2对称； ③将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数xy 1=重合. .答案：①、②、③.（提示：111y x =+-） 例3．将奇函数)(x f y =的图象沿着x 轴的正方向平移2个单位得到图象C ，图象D 与C 关于原点对称，则D对应的函数是（ ）A ．)2(--=x f yB ．)2(-=x f yC ．)2(+-=x f yD ．)2(+=x f y答案D ．（提示：)2()2()(---=⇒-=⇒=x f y x f y x f y ，即).2(+=x f y例4．已知f(x+199)=4x 2＋4x+3(x ∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．分析：由f(x ＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的，由2214434()22y x x x =++=++，立即求得f(x)的最小值即f(x ＋199)的最小值是2． 2.利用图象解决函数问题熟练掌握函数图象的有关知识是学习函数以及解决函数问题的重要基本技能，在学习时要抓住下面两个要点：（1）学习函数图象的最基本的能力是熟练掌握所学过的基本初等函数（如正、反比例函数，二次函数，指数、对数函数，三角函数）的图象；（2）“数形结合”是一种很重要的数学方法，在解决许多函数、方程、不等式及其它与函数有关的问题时，常常运用“数形结合”的方法解答问题或帮助分析问题，运用“数形结合”解答问题需要有下述能力与经验：1）必须有能力准确把握问题呈现的全部图象特征；2）必须能够列出等价的数学式子表达问题的图象特征。
余弦函数与正切的图象及性质 讲义-2022届高三数学二轮复习
余弦函数的图象及性质知识精讲一. 函数()cos f x x =称之为余弦函数我们知道cos sin()2y x x x R π==+∈，由此可知，余弦函数cos y x = 图象与正弦函数图象相同，根据图象的平移我们就可以得到余弦函数的图象，即： 将正弦函数图象整体向左平移2π个单位，既可得到余弦函数图象. 二. 余弦函数的图象余弦函数图象的作法：1. 五点作图法：找出五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来2. 图象平移法：将正弦函数图象整体向左平移2π个单位，即为余弦函数图象三．余弦函数的性质1. 定义域：R2. 值域：[]1 1-，3. 奇偶性：偶函数4. 最小正周期：2T π=5. 单调区间：单调递增区间2 2) k k k Z πππ-∈（，， 单调递减区间2 2) k k k Z πππ+∈（，， 6. 对称轴：π x k k Z =∈， 7. 对称中心：0) 2k k Z ππ+∈（，，三点剖析一. 方法点拨1. 用正弦图象()sin f x x =转换成余弦图象()cos f x x =的方法：图象整体向左平移2π个2π3π2ππ2Oyx单位即可得到，正弦函数图象经过原点，而当0x =余弦函数图象经过最高点()0 1，，故正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶函数.2. 余弦函数图象的平移和转换可参考正弦函数图象的方法. 二．重点题型及解题思路1.涉及余弦函数求值域问题：（1）形如cos cos a x by c x d+=+ 型的函数可以通过将cos x 看成一个整体则可通过分离常数法求出值域 （2）形如sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+的函数则可利用换元法求函数最值（令21sin cos sin cos 2t t x x x x -=+=，）（3）形如22sin (cos )cos y A x x B x C =++或的函数通过换元转化为二次函数求解（4）形如cos()y A x B ωϕ=++的形式：已知x 的取值范围，求得x ωϕ+的范围，根据三角函数图像求出cos()x ωϕ+的范围，进而求得cos()A x B ωϕ++的范围，即为()f x 的值域2.涉及余弦函数求单调性的问题：设函数cos()y A x B ωϕ=++单调递增区间的求法，设22 k x k k Z ππωϕπ-+≤+≤∈，，解得x 的范围即为()f x 的单调递增区间；单调递减区间的求法，设22 k x k k Z πωϕππ≤+≤+∈，，解得x 的范围即为()f x 的单调递减区间．3.涉及余弦函数求解析式问题：可参照正弦函数求解析式的方法余弦函数的性质例题1、 函数1y =+1cos 2x -的定义域为 ． 例题2、 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A.y ＝lnx B.y ＝x 2＋1 C.－y ＝sinx D.y ＝cosx例题3、 若将函数2cos2y x =的图像向右平移12π个单位长度，则平移后函数的一个零点是（ ）A.506π（，）B.706π（，）C.103π-（，）D.106π（，）例题4、 函数()123cos log 2xf x x π=- 零点个数是（ ）A.2 3 C.4D.5随练1、 函数y =2cos 1x + ） A.[2-,2]()33k k K Z ππππ+∈ B.[2-,2]()66k k K Z ππππ+∈C.2[2,2]()33k k K Z ππππ++∈D.22[2-,2]()33k k K Z ππππ+∈余弦函数有关的值域问题例题1、 函数])35,6[)(3cos(πππ∈-=x x y 的最小值是______． 例题2、 函数c 5[,]6os26f x x x ππ=∈（），的值域是_________．例题3、 函数2cos -1y x =的最大值、最小值分别是（ ）A.2,-2B.1,-3C.1,-1D.2,-1例题4、 函数cos 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期和最大值分别为（ ）A.,1πB.2π，C.21π，D.22π，例题5、 函数22cos cos 1y x x =++﹣，ππ[,]22x ∈-的图象大致为（ ） A. B. C. D.随练1、 函数cos 24f x x π=（）（﹣）在区间[0]2π，上的最小值为（ ） A.1﹣B.2C.0 2余弦函数有关的单调性问题例题1、 函数cos y x =的一个单调递增区间为（ ） A.()22ππ-，B.0π（，）C.3()22ππ， D.2ππ（，）例题2、 求函数cos(3)4y x π=-的单调递减区间例题3、 函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A.13(,),44k k k Z ππ-+∈B.13(2,2),44k k k Z ππ-+∈C.13(,),44k k k Z -+∈D.13(2,2),44k k k Z -+∈例题4、 已知函数f （x ）＝sin （cosx ）－x 与函数g （x ）＝cos （sinx ）－x 在区间π(0,)2都为减函数，设x 1，x 2，x 3∈（0，π2），且cosx 1＝x 1，sin （cosx 2）＝x 2，cos （sinx 3）＝x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是（ ） A.x 1＜x 2＜x 3 B.x 3＜x 1＜x 2C.x 2＜x 1＜x 3D.x 2＜x 3＜x 1随练1、 函数32cos 23y x π=-﹣（）的单调递减区间是（ ） A.263k k ππππ++（，）k Z ∈（） B.36k k ππππ-+（，）k Z ∈（） C.32234k k ππππ++（，）k Z ∈（） D.2236k k ππππ-+（，）k Z ∈（）余弦函数有关的对称问题例题1、 函数y=xcosx+sinx 的图象大致为（ ）A. B. C. D.例题2、 函数cos 43y x π=+（）的图像的相邻两个对称中心间的距离为（ ） A.8π B.4π C.2π D.π例题3、 函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像与函数cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像（ ）A.有相同的对称轴但无相同的对称中心B.有相同的对称中心但无相同的对称轴C.既有相同的对称轴但也有相同的对称中心D.既无相同的对称中心也无相同的对称轴随练1、 函数123log cos(2)2y x π-=的单调递增区间是（ ）A.,[]44k k ππππ+﹣k Z ∈（） B.,]4[k k πππ﹣k Z ∈（） C.[3,]44k k ππππ+﹣k Z ∈（） D.,[]4k k ππππ+﹣k Z ∈（）正切函数的图像及性质知识精讲一．函数()tan f x x =称之为正切函数二．正切函数的图象类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图象，下面我们利用正切线画出函数tan y x =，,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭的图象，作法如下： 1. 作直角坐标系，并在直角坐标系 轴左侧作单位圆．2. 把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．3. 描点. （横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）．4. 连线．根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右扩展，得到正切函数tan y x = ，(,,)2x R x k k Z ππ∈≠+∈的图象，并把它叫做正切曲线.三. 正切函数的性质1. 定义域：| 2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， 2. 值域：R3. 周期性：正切函数是周期函数，周期是π．4. 奇偶性：tan()tan x x -=-，正切函数是奇函数，正切曲线关于原点O 对称．5. 单调性：由正切曲线图象可知：正切函数在开区间(,),22k k k Z ππππ-++∈内都是增函数．6. 中心对称点： 0 2k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 函数sin y x = cos y x =tan y x = 定义域 RR{|,}2x x k k ππ≠+∈Z值域[1,1]-[1,1]-R 奇偶性 奇函数偶函数 奇函数 最小正周期2πT =2πT =πT =单调区间22)22k k ππππ-+（，增322)22k k ππππ++（，减k Z ∈ 22)k k πππ-（，增 22)k k πππ+（，减k Z ∈)22k k ππππ-+（，增k Z ∈对称轴 ππ(2x k k =+∈Z)π(x k k =∈Z) 无 对称中心 (π,0)()k k ∈Z0)()2k k Z ππ+∈（，π(,0)(2k k ∈Z)三点剖析一. 注意事项1. 正切函数图象的定义域为{|,}2x x k k ππ≠+∈Z ，值域为全体实数R ，不同于正弦函数和余弦函数定义域是全体实数R ，值域是[1,1]-.2. 关于()()tan f x x ωϕ=+的最小正周期，最小正周期为T πω=，而正弦和余弦函数的最小正周期为2T πω=3. 切记正切函数必须说是在定义域内单调递增，而不能说是在全体实数内单调递增.4. 正切函数图象的中心对称点是π(,0)(2k k ∈Z)，不同于正弦函数图象和余弦函数图象，对称轴只是与x 轴的交点. 5. 正切函数图象没有对称轴.6.正弦函数的单调性质，值域求解析式等问题可类似正余弦函数的求解方法解决正切函数有关的值域问题例题1、 函数tan 24y x π=-（）的定义域为______________． 例题2、 求函数3tan 3y x =-的定义域例题3、 求函数tan y x =3(,)442x x πππ≤≤≠且的值域随练1、 求函数1tan()26y x π=-的定义域、值域正切函数有关的单调性问题例题1、 函数tan f x x =+（）（4π）的单调增区间为（ ） A.k π（﹣ 2π，k π+2π）k Z ∈， B.1k k k Z ππ+∈（，（）），C.k π（﹣34π，k π+ 4π）k Z ∈， D.k π（﹣ 4π，k π+34π）k Z ∈， 例题2、 若()tan()4f x x π=+，则（ ）A.101f f f （﹣）＞（）＞（）B.011f f f （）＞（）＞（﹣）C.101f f f （）＞（）＞（﹣）D.011f f f （）＞（﹣）＞（）例题3、 下列函数中，是奇函数且在区间01（，）内单调递减的函数是（ ） A.12log y x = B.1y x = C.3y x =D.tan y x = 随练1、 已知实数x ，y 满足11()()22x y <，则下列关系式中恒成立的是（ ） A.tanx ＞tany B.ln （x 2＋2）＞ln （y 2＋1） C.11x y> D.x 3＞y 3随练2、 已知tan1,tan2,tan3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A.a b c ＞＞ B.a c b ＞＞C.c b a ＞＞D.c a b ＞＞正切函数有关的对称问题例题1、 函数πtan(2)4y x =+的最小正周期为（ ）A.2πB.πC.π2D.π4例题2、 对于函数2tan xy =，下列判断正确的是（ ）． A.周期为π2的奇函数 B.周期为2π的奇函数 C.周期为π的偶函数D.周期为π2的偶函数例题3、 下列函数中，既是奇函数又以π为周期，且在20,π（）上单调递增的是（ ） A.tan 2xy = B.sin y x = C.tan y x = D.cos x随练1、 在函数①y ＝cos|2x |，②πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④y ＝|cosx|中，最小正周期为π的所有函数为（ ）．A.①②③B.①③④C.②④D.①③随练2、 函数53tan 26y x π=+（）的最小正周期为______．拓展1、 函数1sin cos 2y x x -的定义域是____________________． 2、 使函数32cos y x =﹣取得最小值时的x 的集合为（ ） A.{|}2x x k k Z ππ=+∈， B.{|}2x x k k Z π=∈，C.2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D.2,2x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭3、 定义：[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][1.5101].5==，﹣﹣，给出下列结论： ①函数[]sin y x =是奇函数；②函数[]sin y x =是周期为π的周期函数；③函数[]sin cos y x x =﹣不存在零点； ④函数[][]sin cos y x x =﹣的值域为[]101﹣，，． 其中正确结论是（ ）A.①③B.②④C.③④D.②③4、 函数lncos 2y x =+（4π）的一个单调递减区间是（ ）A.5(,)88ππ--B.3(,)88ππ--C.(,)88ππ-D.3(,)88ππ-5、 函数π()cos(π)6f x x =-的图象的对称轴方程为（ ）A.2(Z)3x k k =+∈B.1(Z)3x k k =+∈C.1(Z)6x k k =+∈D.1(Z)3x k k =-∈6、 求函数2tan 2tan 3y x x =--在区间[,]34ππ-上的值域7、 下列四个命题中正确的是（ ）A.函数tan y x =+（4π）是奇函数B.函数sin |2y x =+（3π）|的最小正周期是πC.函数tan y x =在∞+∞（﹣，）上是增函数 D.函数cos y x =在每个区间[72,24k k ππππ++]k z ∈（）上是增函数 8、 下列函数中，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数的是（ ）A.cos y x =B.sin y x =C.tan y x =D.sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭9、 下列坐标所表示的点不是函数tan()26x y π=-的图像的对称中心的是（ ）A.(,0)3πB.5(,0)3π-C.2(,0)3πD.4(,0)3π10、 对于函数tan 2f x x =（），下列选项中正确的是（ ）A.f x （）在（﹣ ，4π）上是递增的B.f x （）在定义域上单调递增C.f x （）的最小正周期为πD.f x （）的所有对称中心为（4k π，0）。
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一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0）(2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限(4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴3、一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k 0) （2）必过点：（0，b ）和（-kb，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><0b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限（4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.4、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质k<0时，直线经过二、四象限 k ＞0，b ＜0直线经过第一、三、四象限 k ＜0，b ＞0直线经过第一、二、四象限 k ＜0，b ＜0直线经过第二、三、四象限增减性 k>0，y 随x 的增大而增大；（从左向右上升） k<0，y 随x 的增大而减小。
（从左向右下降）倾斜度 |k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 图像的 平 移b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.6、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.8、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.9、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.10、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bcx b a +-的图象相同.（2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b cx b a +-和y=2222b cx b a +-的图象交点.二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式① 一般式：()()20f x ax bx c a =++≠② 顶点式：()()()20f x a x m n a =++≠ ③ 零点式：()()()()120f x a x x x x a =--≠当240b ac∆=->时，二次函数的图像和x轴有两个交点()11,0M x，()22,0M x，线段1212M M x x=-==当240b ac∆=-=时，二次函数的图像和x轴有两个重合的交点,02bMa⎛⎫-⎪⎝⎭．特别地，当且仅当0b=时，二次函数()()20f x ax bx c a=++≠为偶函数．1. 二次函数基本形式：2y ax=的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质：上加下减。
3. ()2=-的性质：y a x h左加右减。
Array4. ()2=-+的性质：y a x h k三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当0c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2=---；y ax bx cy ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2()2=---；y a x h ky a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()22. 关于y轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系从函数观点来看，一元二次不等式()200ax bx c a ++>≠的解集就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上，位于x 轴上方的点的横坐标的集合；一元二次不等式()200ax bx c a ++<≠的解集就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上，位于x 轴下方的点的横坐标的集合；一元二次不等式()200ax bx c a ++≥≠的解集就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上，位于x 轴上方的点和与x 轴的交点的横坐标的集合；一元二次不等式()200ax bx c a ++≤≠的解集就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上，位于x 轴下方的点和与x 轴的交点的横坐标的集合．一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的解就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上，与x 轴的交点的横坐标．反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。