保险精算学-生存年金培训课件
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寿险精算 第四讲 生存年金
《寿险精算数学》 §2.5 生存年金
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金的概念 生存年金是指在已知某人生存的条件下，按预先约定的金额以连续 方式或以一定的周期进行一系列给付的保险，且每次年金给付必须 以年金受领人生存为条件。 生存年金可分为：定期生存年金和终身生存年金、即期生存年金 和延期生存年金、期初生存年金和期末生存年金，等等。 2.5.1 精算现值的计算方法 在生存年金中，n年期生存保险的期望现值（即趸缴纯保费）称 为精算现值。在生存年金中，保额为1单位的n 年期生存保险的精算 现值E(Z) 用符号n E x 表示，即：
2 Ax Ax Var[ ax ] Var[ax 1] d2 2
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
期初付定期生存年金
• 当期支付方法
ax:n
•
1 k Ex v k p x lx k 0 k 0
k
n 1
n 1
v k lx k
t
Ex (3) n Ex t Ex n t Ex t Ex n
1 n t E x t
年龄
n
x
x+t
n t
x+n 1 S
Ex
1
Ext
现时值
t
Ex
1
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金精算现值计算方法
• • • • • 计算方法主要有两种：现时支付法、总额支付法 现时支付法计算步骤：未来连续支付的现时值之和 求出时刻t 给付年金的数额 计算t 时给付额的精算现值 对现值按可能的给付时间进行求和（或积分）
关系式
故:
再由
1 dax Ax
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金的概念 生存年金是指在已知某人生存的条件下，按预先约定的金额以连续 方式或以一定的周期进行一系列给付的保险，且每次年金给付必须 以年金受领人生存为条件。 生存年金可分为：定期生存年金和终身生存年金、即期生存年金 和延期生存年金、期初生存年金和期末生存年金，等等。 2.5.1 精算现值的计算方法 在生存年金中，n年期生存保险的期望现值（即趸缴纯保费）称 为精算现值。在生存年金中，保额为1单位的n 年期生存保险的精算 现值E(Z) 用符号n E x 表示，即：
2 Ax Ax Var[ ax ] Var[ax 1] d2 2
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
期初付定期生存年金
• 当期支付方法
ax:n
•
1 k Ex v k p x lx k 0 k 0
k
n 1
n 1
v k lx k
t
Ex (3) n Ex t Ex n t Ex t Ex n
1 n t E x t
年龄
n
x
x+t
n t
x+n 1 S
Ex
1
Ext
现时值
t
Ex
1
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金精算现值计算方法
• • • • • 计算方法主要有两种：现时支付法、总额支付法 现时支付法计算步骤：未来连续支付的现时值之和 求出时刻t 给付年金的数额 计算t 时给付额的精算现值 对现值按可能的给付时间进行求和（或积分）
关系式
故:
再由
1 dax Ax
保险精算课件 第4章生存年金
推导：对终身寿险和终身生存年金，有
Ax E(vK1)
axE (aK 1)E (1d vK 1)1 dA x
即 1dax Ax
公式二：
1iaxiAxAx
解释：x岁时的1单位元等于(x)死亡年末的1元
赔付现值 A x ，加上(x)存活期每年 i 元的利息
现值 i a x 和死亡年年末i元利息的现值 i A x 。
例：对于(30)的从60岁起每月500元的生存 年金，预定利率为6%。根据附表1，计算 保单的趸缴净保费。
例：某保单提供从60 岁起每月给付500元的生存 年金，如果被保险人在60岁前死亡，则在死亡年 末给付10000元。设预定利率为6%，如果某人购 买了这种保单，根据附表2的资料，求这一生存年 金的精算现值。
1da A
x:n
x:n
1a A
x:n
x:n
ax vax Ax
a va A1
x:n
x:n
x:n
例：年龄为35岁的人，购买按连续方式给付 年金额为2000元的生存年金，利率i=6%， 试求死亡均匀分布假设下终身生存年金的精 算现值（已知 A35 0.11156）.
提示：利用公式 1ax Ax
2. 某年龄为40岁的人以1万元纯保费购买了 30年纯生存保险，试以附表1计算，他在70 岁可以领取的保险金额。
5.2 年付一次的生存年金精算现值
期初、期末支付的
终身生存年金 定期生存年金 延期终身生存年金 延期定期生存年金
1.终身生存年金
• (x)的每年1单位元期初付终身生存年金精算现值
ax kEx vkk px
n1
n1
a x:n
kEx
保险精算第四讲
1 zt
2.2 定期年金
（2）Var (Y ) Var (
)
1
2
Var ( zt )
2.3 延期年金
3 离散生存年金
Var (aT )
1
2 2 [ A ( A ) ] 2 x:n x:n
4每年h次支付年金 5计算基数公式
例4.4（例4.3续）
1 生存年金简介 2 连续生存年金
2.1 终身年金
在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
2.2 定期年金
2.3 延期年金
计算：30年定期生存年金精 算现值及方差
3 离散生存年金
a30:30
4每年h次支付年金 5计算基数公式
例4. 4答案
a30:30 1 e 0.05t 1 1 e 0.0530 40 at fT (t )dt a30 30 p30 dt 13.01 0.05 70 70 0 0
3 离散生存年金
4每年h次支付年金 5计算基数公式
例4.2答案
1 e （3）Pr(aT ax ) Pr( 0.06 ln 0.4 Pr(T ) 0.06
ln 0.4 0.06 0.06T
1 生存年金简介 2 连续生存年金
10)
2.1 终身年金
2.2 定期年金
lim
N j 0
xk
j N
v
1 N
k 1
k
t v dt x t
x ax 0
t v dt x t
ax v t t px dt
0
2.2 定期年金
（2）Var (Y ) Var (
)
1
2
Var ( zt )
2.3 延期年金
3 离散生存年金
Var (aT )
1
2 2 [ A ( A ) ] 2 x:n x:n
4每年h次支付年金 5计算基数公式
例4.4（例4.3续）
1 生存年金简介 2 连续生存年金
2.1 终身年金
在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
2.2 定期年金
2.3 延期年金
计算：30年定期生存年金精 算现值及方差
3 离散生存年金
a30:30
4每年h次支付年金 5计算基数公式
例4. 4答案
a30:30 1 e 0.05t 1 1 e 0.0530 40 at fT (t )dt a30 30 p30 dt 13.01 0.05 70 70 0 0
3 离散生存年金
4每年h次支付年金 5计算基数公式
例4.2答案
1 e （3）Pr(aT ax ) Pr( 0.06 ln 0.4 Pr(T ) 0.06
ln 0.4 0.06 0.06T
1 生存年金简介 2 连续生存年金
10)
2.1 终身年金
2.2 定期年金
lim
N j 0
xk
j N
v
1 N
k 1
k
t v dt x t
x ax 0
t v dt x t
ax v t t px dt
0
寿险精算_卓志_生存年金
Sx ( Ia) x ，Sx Nx Nx1 Nx2 ... Dx S x S x n nN x n ( Ia) x:n Dx
Sx Sxn ( I n a) x Dx S x 1 ( Ia) x Dx S x 1 S x n1 nN x n1 ( Ia) x:n Dx S x 1 S x n 1 ( I n a) x Dx
ax
( m)
1 (1 v m
1 m
2．延付n年的终身生存年金：
n
1 m
px v
2 m
2 m
px ...)
ax
( m)
n Ex a
(m) x
( m) xn (m) x
3．n年定期生存年金：
a
( m) x:n
a
na
1． a x:n
2． a x 3．
n
0
n
2
2.n年定期生存年金：
2 2
ax:n 1 vpx v
px ... v
n 1
N x N xn n 1 px Dx
3．延付n年的终身生存年金：
4．延付n年的m年定期生存年金：
N xn a n x Dx
N xn N xnm a nm x Dx
本章主要介绍生存年金的基本概 念，基本计算原理和不同条件下 的生存年金的计算方法。
一、（x）在n年期满生存所得的1单位的精 算现值
n
Ex v
n n
px
二、转换函数
Dx v lx
x
保险精算学生存年金精算现值
2.a x:n
a x:n
1
n Ex
3.a x:nm
a x:m
vm
m
px
a xm:n
4.ax
a x:n
n
ax
and
5.ax ax 1
6.a 1 a
x:n
x:n1
7.n ax n ax n Ex
8.n m ax a n1m x
and
n ax vn n pxaxn n Exaxn
ax
a x:n
1 vpx vt t px1 1 vpxax1 t 1
可以一直递推下去，而求出ax。
等价表达式：
ax 1 vax1 vqxax1 直观的解释：对(x)的终身生存年金趸缴净保费等于在x岁上规定 的1单位元给付加上x 1岁上的趸缴净保费在x岁上的值,再减去在 x x 1岁因死亡不能得到将来的ax1的部分. 对年龄x k,上式可以写成 :
6.2 生存年金精算现值
• 纯粹的生存保险 • 年付一次生存年金的精算现值 • 生存年金与寿险的关系 • 年付m次生存年金的精算现值 • 变额生存年金 • 生存年金的递推公式
6.2.1 纯粹的生存保险
生存保险是以被保险人生存为给付条件的保险，纯粹的 生存保险是在约定的保险期满时，如果被保险人存活将得到 规定的保险金额的保险。
N xn1
m 1 2m
Dxn
Dx
a(m)
nx
n
ax
m 1 2m
n
Ex
Nxn
m 1 2m
Dx
n
Dx
P123 eg6.10，6.11
6.2.5 变额生存年金
Ia x
k
k 0
1 vk
寿险精算学课件-生存年金
50:10
a
1A 50:10
1 0.55 7.5
50:10
0.06
0.5 0.55
连续给付延期生存年金
❖定义: m ax
❖ 种类
▪ 延期M年终身连续生存年金 ▪ 延期M年终身定期生存年金
❖ 适用领域
▪ 养老金
延期生存年金的计算
❖ 方法一：综合支付技巧
❖ 方法二：当期支付技巧
0
,0 T m
Y
a a ,T m
综合支付技巧
函数变换关系
期初支付定期生存年金
❖ 当期支付技巧
❖ 综合支付技巧
n1
a x:n
k Ex
k0
n1
vk 1 k px
k0
1
n
1
vk
1
lx k 0
lx k
a , K 0, , n 1
Y
K1
a ,K n
n
a E[Y ] x:n
n1
a k1
k qx
a n
n px
k0
期初支付终身 生存年金
期初支付定期 生存年金
与生存相关联的一次性给付
❖ n年定期生存
n Ex
A1 x:n
vn n px
❖ n Ex称为生存贴现因子，它具有如下性质 n Ex = t Ex E n t x t
❖ 延期寿险还可以表现为
m ax = m Ex ax m
m n ax = m Ex
a x:n
期初支付终身生存年金的概念
ax
x1
k Ex
Y
T
a ,T n
ax：n E(Y )
na
0T
t px
保险精算学-生存年金(2)
ax E(aT ) aT fT (t )dt
0
相关公式
（ 1 ）ax E (aT ) aT fT (t )dt
0
Байду номын сангаас
1 vt
0
t
px x t dt
1 zt 1 vt 1 （2）ax E (aT ) E ( ) E( ) (1 Ax )
以终身寿险为例，
E (vT ) E (v K 1 ) E (v S 1 ) Ax Ax v s 1ds
0 1
i
Ax
例6.4（例6.3续）
已知个体(x)的未来生存时间T的密度为
1 , 0t fT (t ) t 0, 其他 100, 0.05, x 30
t
t
x t px e
s ds
xt
e t
综合支付技巧 t 1 v 0.04 ax p dt (1 e 0.06t )e 0.04t dt 10 t x x t 0 0.06 0
当期支付技巧
t 0.06t 0.04t 0 0
t 0 0 70 70 0.05 t
1 1 e 0.0570 dt 0.277 70 0.05 70
a30
1 A30
1 0.277 14.458 0.05
例4.3答案
(2)
2
A30 v fT (t )dt e 0.1t
2t 0 0
70
70
第六章 生存年金
第三节
连续生存保险
简介
《保险精算学年金》课件
年金保险的特点和分类
1 特点
提供稳定的经济收入，分散老年风险，满足退休者的生活需求。
2 分类
分为定期年金、终身年金、延期年金等类型，根据领取方式和期限的不同。
保险精算学在年金保险中的应 用
保险精算学通过概率分析、风险评估和投资策略等方法，帮助保险公司确定 合适的保险费率、风险分担和理赔政策，确保年金保险的长期可持续性。
结论和要点
1 结论
保险精算学在年金保险中发挥重要作用，确保保险公司的长期可持续性和退休者的生活 稳定。
2 要点
年金保险的定义、特点和分类，保险精算学在年金保险中的应用及计算公式，以及风险 和稳定性分析。
年金计算公式介绍Βιβλιοθήκη 定期年金计算方法：[年金金额] × [年金支付期数]
终身年金
计算方法：[年金金额] × [预计领取年数] × [生存概率]
延期年金
计算方法：[年金金额] × [预计领取年数] × [延期期限折现率]
年金保险的风险和稳定性分析
风险
年金保险面临投资风险和长寿风险，需做好风险管 理和资产配置。
《保险精算学年金》PPT 课件
本PPT课件将介绍保险精算学在年金保险领域的应用，探讨年金保险的特点、 分类、计算公式等内容，并分析年金保险的风险和稳定性。
保险精算学年金的定义
年金是一种金融产品，为退休者提供规定期限内的经济支持。保险精算学是 一门应用数学，使用统计学和金融原理来评估和管理保险风险。
稳定性
保险精算学的应用增强了年金保险的稳定性，确保 保险公司能够按时支付给退休者。
年金保险的发展趋势
创新产品
开发更灵活和个性化的年金保 险产品，满足日益多样化的退 休需求。
技术应用
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•
每天都是美好的一天，新的一天开启 。20.11.2420.11.2414:0214:02:0614:02:06Nov-20
•
务实，奋斗，成就，成功。2020年11月24日 星期二2时2分6秒Tuesday, November 24, 2020
•
抓住每一次机会不能轻易流失，这样 我们才 能真正 强大。20.11.242020年 11月24日星期 二2时2分6秒20.11.24
n Ex vn n px
lxn
(3)
n Ex
t Ex nt Ext
t Ex n Ex
1 E nt xt
年龄
x
x+t
x+n
n Ex
E nt xt
1
现时值
1
S
t Ex
1
第2节
离散生存年金
简介
• 离散生存年金定义： – 在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔 一段时期支付一次年金的保险。
• 离散生存年金与连续生存年金的关系 – 计算精算现值时理论基础完全相同 – 连续－积分离散－求和 – 连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、 延付要分别考虑
– 假定i＝6％ – 假定i＝2.5％
(1)1000040 E25 100001.0640 0.78765825 765.78 (1)1000040 E25 100001.02540 0.78765825 2933.48
相关公式及意义
(1) lx n Ex (1 i)n lxn
(2) S 1 1 (1 i)n lx
•
严格把控质量关，让生产更加有保障 。2020年11月 下午2时 2分20.11.2414:02November 24, 2020
•
重规矩，严要求，少危险。2020年11月24日 星期二2时2分6秒14:02:0624 November 2020
•
好的事情马上就会到来，一切都是最 好的安 排。下 午2时2分6秒下 午2时2分14:02:0620.11.24
•
弄虚作假要不得，踏实肯干第一名。14:02:0614:02:0614:0211/24/2020 2:02:06 PM
•
安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20.11.2414:02:0614:02Nov-2024-Nov-20
•
重于泰山，轻于鸿毛。14:02:0614:02:0614:02Tuesday, November 24, 2020
•
不可麻痹大意，要防微杜渐。20.11.2420.11.2414:02:0614:02:06November 24, 2020
•
加强自身建设，增强个人的休养。2020年11月24日 下午2时 2分20.11.2420.11.24
•
追求卓越，让自己更好，向上而生。2020年11月24日星期 二下午2时2分6秒14:02:0620.11.24
h 1 2h
(
m
Ex
mn Ex )
第六节
等额年金转换函数公式
等额年金转换函数公式
险种
初付
延付
终身生存年金
定期生存年金
延期终身生存 年金
延期定期生存 年金
ax
Nx Dx
a Nx Nxn
x:n
Dx
m
ax
Nxm Dx
m
a x:n
Nxm Nxmn Dx
ax
N x1 Dx
a N x1 N xn1
回顾：确定年金的终值计算
n-2
回顾：确定年金的终值计算
n-2 n-1
（1）生存年金保单的分解与合成
X岁 X+1岁 X+2岁 X+k岁 k
1
X+n岁
/1 1Ex+n-1
n-2
/1 n-kEx+k /1 n-1Ex+1
（2）利用相应的现值折算
X+14 54
..
t
t
t
t
例6.2
• 已知 i 0.05
定期生存年金
•
基本定义
a(h) x：n
a(h) x
E a(h)
n x xn
• UDD假定下的推导公式
a(h) x:n
[(h)ax
(h)]
n Ex[ (h)axn
(h)]
(h)a x:n
(h)(1
n Ex )
• 近似公式（实际操作公式）
a(h) x:n
a x:n
h 1(1 2h
n Ex )
(3) 终身生存年金的趸交净保费
• 保险公司的收费原理是期望意义下的现 值或终值的收支相等，这样计算出来的 费用称为净保费.
• 对于1元的终身生存年金，如果要计算 投保人在投保初的一次性交清（趸交） 净保费，则其数额应该等于相应的年金 的精算现值，
.
计算保险费收入的精算现值的例子
• 例：假如40岁的王女士投保了终身 交费的终身寿险，保单规定每年初 交费100元，试根据附表II（183页） 计算保险公司在此保单上今后期望 的保费收入的现值（设年利率为 6%）.
例子：假设 30 岁的人投保了 终身的年初付的 6000元的生 存年金. 如果年利率为 3%.
试根据表IV (117885页) 计算其 精算现值.
解： x 30, i 3%.
P
60000
a30
60000
N30 D30
60000 91,698,459 3,905,782
140865.7（1 元）
谢谢大家！
– 生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条件）
生存年金的用途
• 被保险人保费交付常使用生存年金的方式 • 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生
存年金的方式，特别在：
– 养老保险 – 伤残保险 – 抚恤保险 – 失业保险
与生存相关联的一次性支付
• 现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以 在第n年末获得生存赔付的保险。
解：x 40, i 6%.
P
100
a40
100
N 40 D40
100 15,164,500 960,036
1579.58（元）
6.2.3 其它形式的生存年金的 趸交净保费的费率
1、n 年定期生存年金
2、n 年延期生存年金
3、n 年延期 m 年定期期末付生存 年金
6.2.4 生存年金 的终值
• 也就是我们在第三章讲到的n年期纯粹生存
保险。单位元数的n年期生存保险的趸缴纯
保费为 A 1 x:n
• 在生存年金研究中习惯用n Ex 表示该保险的
精算现值
n Ex
A1 x:n
vn n px
t
例6.1
• 计算25岁的男性购买40年定期生存险的趸 缴纯保费。已知 p 40 25 0.78765825
• 离散生存年金的分类 – 期初年金/期末年金 – 终身年金/定期年金 – 延期年金/非延期年金
6.2.2 终身生存年金的现值
该保单可以分解成1年期、2年期、… n 年 期、… 的无穷多个纯粹生存年金保单的合成，
其精算现值可以用所有这些纯粹生存年金的 精算现值求和而得.
tEx=Dx+t /Dx
延期生存年金
• 延期终身生存年金（UDD假定）
m
a(h) x
m Ex
a(h) xm
m Ex
[ (h)axm
(h)]
h 1 m ax 2h m Ex
• 定期终身生存年金 （UDD假定）
a(h)
mn x
m
Ex
a(h) x m:n
m
Ex
[
(h)a x
m：n
(h) (1 n Exm )]
m n ax
x 90 91 92 93
lx
100 72 39
0
dx
28
33 39
－
• 假定91岁存活给付5，92岁存活给付10，求：
a90
例6.2答案
a90
5vp90
10v 2
2
p90
5 1.05
72 100
10 1.052
39 100
6.97
常见险种的期末付生存年金
险种
延付年金精算现值
终身生存年金
n年定期 生存年金
– 初付年金/延付年金 – 连续年金/离散年金 – 定期年金/终身年金 – 非延期年金/延期年金
生存年金与确定性年金的关系
• 确定性年金
– 支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）
• 生存年金与确定性年金的联系
– 都是间隔一段时间支付一次的系列付款
• 生存年金与确定性年金的区别
– 确定性年金的支付期数确定
ax
1 Ax i
1 A
a
x:n
x:n
i
m年延期 终身生存年金
m ax
ax
a x:m
m Ex axm
1(A i x:m
Ax )
m年延期 n年定期 生存年金
m n ax
a x:mn
a x:m
m
Ex
a xm:n
1
(A A )
i x:m
x:mn
第五节
年付h次的生存年金
简介
• 分类
– 终身年金与定期年金 – 期初付年金与期末付年金 – 延期年金与非延期年金
x:n
Dx
m
ax
N xm1 Dx
a m x:n
N N xm1
xmn1
Dx
年金计算一般公式
：首次支付 年金的年龄
n：支付 次数
特别： N∞ = 0