高考专题高三数学附加题答案
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）
2014届高三数学《考前指导》
理科附加题
（一）矩阵与变换
例1答案：2或－2． 答案：α＝????
??
－1 2．
例2答案：2．
说明：也可以通过特殊点的变换得到a ，b 的方程组．
例3答案：A －
1＝????
??－1 2 2 －3 ．
例4答案：（1）λ1＝2，α1＝??????21；λ1＝3，α2＝??????11；（2）????
?
?435339．
说明：（2）中出现错误的一种原因是忽视了特征值与特征向量的对应性． （二）坐标系与参数方程
例1答案：a ＝2，或a ＝－8． 例2答案：3＋2．
例3∵圆心为直线ρsin （θ-）=-与极轴的交点，
∴在ρsin （θ-）=-中令θ=0，得ρ=1
圆C 的圆心坐标为（1，0） ∴圆C 经过点P （
，
），
∴圆C 的半径为PC=1 圆的极坐标方程为ρ=2cos θ。
例4答案：3x 2－y ＋6＝0．
例5答案：2．
（1）倾斜角为60°（2），∴|AB|=
102
． （三）概率
例1 [解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。 解：（1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且
P （X=10）=0.8×0.9=0.72， P （X=5）=0.2×0.9=0.18， P （X=2）=0.8×0.1=0.08， P （X=-3）=0.2×0.1=0.02。 由此得X 的分布列为：
X 10 5 2 -3
P
0.72
0.18
0.08
0.02
（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件。 由题设知4(4)10n n --≥，解得14
5
n ≥
， 又n N ∈，得3n =，或4n =。
所求概率为3
344
0.80.20.80.8192P C =??+= 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。
例2答案：（1）2；（2）8
15
；
（3）
ζ 0 1 2 P
25
815
115
E(ζ)＝23．
例3答案：（1）2
3
；
（2）
ξ 2 3 4 5 P
130
215
310
815
E (ξ)＝13
3．
（3）2930．
（四）空间向量与立体几何
1．建立合适坐标系（右手系）2．求平面的法向量是重要的基本功
例1答案：（13，1）．例2答案：（1）515；（2）1
2
．
例3解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1(0,0,2)，E (2,1,0)，C (0,2,0)． 设P (x ，y,2)，则1D P ＝(x ，y,0)，EP ＝(x －2，y －1,2)， EC ＝(－2,1,0)． 因为D 1P ⊥平面PCE ，所以D 1P ⊥EP .
D 1P ⊥EC .所以1D P ·EP ＝0，1D P ·
EC ＝0， 故????? x (x －2)＋y (y －1)＝0，－2x ＋y ＝0.解得?
???
?
x ＝0，y ＝0(舍去)或???
x ＝45
，y ＝85.
即P ????45，85，2，所以1D P ＝????45，85，0，所以D 1P ＝1625＋6425＝455
. (2)由(1)知，DE ＝(2,1,0)，1D P ＝????
45，85，0，1D P ⊥平面PEC ，设DE 与平面PEC 所成
角为θ，1D P 与DE 所成角为α，则sin θ＝|cos α|＝
????????1D P ·DE | 1D P ||DE |＝16
55·
8025
＝45. 所以直线DE 与平面PEC 所成角的正弦值为4
5
.
（五）圆锥曲线与方程
例1本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。满分10分。
例2解：(1)设A ????x 1，x 214，B ????x 2，x 22
4，
∵焦点F (0,1)，∴AF ＝????－x 1，1－x 2
14，FB ＝???
?x 2，x 2
2
4－1. ∵AF ＝λFB ，∴?????
－x 1＝λx 2，1－x 214＝λ????x 224－1，消λ，得x 1????x 224－1＋x 2????1－x 214＝0. 化简整理得(x 1－x 2)????x 1x 24＋1＝0. ∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＝－4. ∴y 1y 2＝x 2
14·x
2
24
＝1. ∴OA ·
OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3. (2)证明：抛物线方程为y ＝14x 2，∴y ′＝1
2
x .∴过抛物线A ，B 两点的切线方程分别为
y ＝12x 1(x －x 1)＋x 214和y ＝12x 2(x －x 2)＋x 2
24，即y ＝12x 1x －x 214和y ＝12x 2x －x 224
. 联立解出两切线交点M 的坐标为???
?x 1＋x 2
2，－1.
∴FM ·AB ＝
????x 1＋x 22，－2·????x 2－x 1，x 22－x 2
14＝x 22－x 212－x 22－x 212＝0(定值).
（六）数学归纳法
例1[证明] (1)由AB ，BC ，AC 为有理数及余弦定理知
cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 2
2AB ·AC
是有理数．
(2)用数学归纳法证明cos nA 和sin A ·sin nA 都是有理数． ①当n ＝1时，由(1)知cos A 是有理数， 从而有sin A ·sin A ＝1－cos 2A 也是有理数． ②假设当n ＝k (k ≥1)时，cos kA 和sin A ·sin kA 都是有理数． 当n ＝k ＋1时，由 cos(k ＋1)A ＝cos A ·cos kA －sin A ·sin kA ， sin A ·sin(k ＋1)A ＝sin A ·(sin A ·cos kA ＋cos A ·sin kA ) ＝(sin A ·sin A )·cos kA ＋(sin A ·sin kA )·cos A ， 由①及归纳假设，知cos(k ＋1)A 与sin A ·sin(k ＋1)A 都是有理数． 即当n ＝k ＋1时，结论成立．
综合①②可知，对任意正整数n ，cos nA 是有理数．
证明：(1)由二项式定理，得a n＝C0n＋C1n2＋C2n(2)2＋C3n(2)3＋…＋C n n(2)n，
所以a＝C0n＋C2n(2)2＋C4n(2)4＋…＝1＋2C2n＋22C4n＋…，
因为2C2n＋22C4n＋…为偶数，所以a是奇数．
(2)由(1)设a n＝(1＋2)n＝a＋b2(a，b∈Z)，则(1－2)n＝a－b2，
所以a2－2b2＝(a＋b2)(a－b2)＝(1＋2)n(1－2)n＝(1－2)n.
当n为偶数时，a2＝2b2＋1，存在k＝a2，使得a n＝a＋b2＝a2＋2b2＝k＋k－1，当n为奇数时，a2＝2b2－1，存在k＝2b2，使得a n＝a＋b2＝a2＋2b2＝k－1＋k，综上，对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得a n＝k－1＋k.
五、热身冲刺
3．[解] (1)若两条棱
相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，
所以共有8C 2
3对相交棱． 因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411
.
(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2， 其中距离为2的共有6对，
故P (ξ＝2)＝6C 212＝666＝111， P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝6
11
.
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1 2
P (ξ) 411 611 1
11
则其数学期望E (ξ)＝1×611＋2×111＝6＋2
11
.
4．解：（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)x y ， 由FM MT =，得点M 是线段FT 的中点，则(0,)2t
M ，(,)2
t
PM x y =--， 又(2,),(1,)FT OT OF t PT x t y =-=-=---，
由PM FT ⊥，得2()02
t x t y +-=，―――――――――――①
由//PT OF ，得(1)0()10,x t y --?+-?= ∴t=y ――――②
由①②消去t ，得2
4y x =即为所求点P 的轨迹C 的方程
（Ⅱ）证明：设直线,,TA TF TB 的斜率依次为12,,k k k ，并记11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则2
t
k =-
设直线AB 方程为1x m y =+ 241y x x my ?=?=+?，得2
440y my --=，∴12124,4
y y m y y +=??
?=-? ∴2222
121212()2168y y y y y y m +=+-=+，∴
22
211222
1222
121212122222
1212()(1)()(1)
44(1)(1)44
4()4()16()3224()16
y y y t y t y y
y y y y t y y y y t t k y y y y -++-+=+++-+++-==-=+++ ∴12,,k k k 成等差数列
6．解：（1）当n=4时，符合条件的集合A 为：{}{}{}{}21,42,31,3,4，，，， ∴ (4)f =4。 ( 2 ）任取偶数n x P ∈，将x 除以2 ，若商仍为偶数．再除以2 ，··· 经过k 次以后．商必为奇数．此时记商为m 。于是=2k x m ，其中m 为奇数*k N ∈。
由条件知．若m A ∈则x A k ∈?为偶数；若m A ?，则x A k ∈?为奇数。 于是x 是否属于A ，由m 是否属于A 确定。
设n Q 是n P 中所有奇数的集合．因此()f n 等于n Q 的子集个数。 当n 为偶数〔 或奇数）时，n P 中奇数的个数是
2n （1
2
n +）。 ∴()()2
1
22()=2n
n n f n n +?????
为偶数为奇数
。
【考点】集合的概念和运算，计数原理。
【解析】（1）找出=4n 时，符合条件的集合个数即可。 （2）由题设，根据计数原理进行求解。