【全国百强校首发】湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期第二次模块检测语文答案
! 是说 陶 渊 明 的 思 想 值 得 现 代 人 借 鉴" 并不是说# 现代人的生存困 ! " # 境$ % & 由第二段结尾# ' 新世界( 要完全冲破牢笼却难办得多" 哪怕仅仅是冲 $ " %! 破思想的牢笼$ 可知% & ! 强加因果%# 项" # 一概$ 说法绝对" 原文是# 普遍$ %% 项" # 必然 & " ' ( 项" 会恢复古代人的生活方式 $ 不当" 原文是 # 回到 ' 古代人 ( 在一开始就面 % & 临的问题上$ 原文为# 总规 ) " (! $ * ! + 年以高速铁路为主骨架的快速铁路网基本建成" 与其他铁路共同构成的快速客运网可覆盖 + 模达)万公里以上" * 万以 上人口城市$ % & # 原始创新能力$ 有误" 原文为 # 实现了中 + " (! ' 项" , + 次列车上线运行" 追赶者$ 到# 引领者$ " 从# 学徒$ 到# 师傅$ 的完美逆袭 $ %# 项" 国高铁从# 除日本外还有法国) 德国) 西班牙以及加拿大等传统高铁强国" 只是中 日两国在亚洲高铁市场的竞争中处于领跑地位%% 项" # 已经发挥出建 成高铁安全运输的示范效应$ 文中并未提及% & 机遇* # 一带一路$ 给我国高铁提供了与国际产能合作的机会" ! 中 " !分& 国高铁已具备深度输出能力%! !分& 挑战* 传统高铁强国都有意插足亚洲高铁建设" 日本长期对中国高铁输 出持竞争立场+ ! 我国高铁仍需加强自主创新%! $分& $分& ! 小说并非在讲述# 感恩的故事$ " 时代背景也不是# 大饥饿时代$ % & . " # 第一处* # 这天晚上" 天下大雪" 出奇的冷 $ " 渲染气氛" 交代了故事发生 / " ! 引出下文王老汉因冷不出门) 吴亚龙留借据拿苕片的故 的背景" !分& 事的叙写%! !分& 第二处* # 原来下了雪" 现在雪停了 $ " 推动了情节的发展" ! 为下文 !分& 也暗指了吴亚龙选择在雪停 沿着清晰的脚印追寻偷苕片的人作铺垫" 之夜偷苕片" 其实意并不在偷%! $分& ! 一& 我认为王老汉是主人公% 0 " 作者在塑造王老汉时" 着墨最多" 运用了动作) 神态) 心 形象塑造上" 理) 细节以及正侧面等多种描写手法进行塑造% 主题上" 小说的结尾 门口堆了一些东西$ # 竟找不出一张哪怕是手指宽的字条 $ " 虽只 写到# 字未提王老汉" 但很明显能看出是王老汉的善举" 从而体现人性之美" 深化了主题%情节上" 作为明线" 王老汉的活动贯穿情节始终% 从 题目上看" # 借给你的温暖 $ 中的 # 借给 $ 也昭示着主人公应是王老汉% ! 言之成理即可" 每点$分" 任答三点即可" 只有观点没有分析不给分&主人公% 小说虽然对吴亚龙的描写刻画着墨不多" 但吴亚龙勤劳) 憨 形象上" 厚) 淳朴) 善良) 诚信的形象非常突出% 情节上" 吴亚龙借粮食作为一 苕片 $ 留借条" 有吴亚龙 条暗线贯穿小说始终% 正是因为有吴亚龙偷 # 才有了结尾的那幕感人场景% 主题上" 小说 与他父亲的那番对话" , 借给你的温暖宣扬的就是人与人之间的一种诚信" 一种互助" 一种信 一种大爱" 吴亚龙用偷 # 苕片 $ 留借条) 准备靠做帮工来抵粮钱的憨 任" 厚淳朴换来王老汉的无私帮助" 正好揭示了小说的主题% 言之成理即可" 每点$分" 只有观点没有分析不给分& ! ! 三& 两位都是主人公% 两位都是作者着力塑造的形象% 主题上" 吴亚龙用偷 # 苕 形象上" 片$ 留借条) 准备靠做帮工来抵粮钱的憨厚淳朴换来王老汉的无私帮 助" 正好揭示了小说颂扬人性美的主题% 情节上" 两个人物的活动作 # 借给你的温暖 $ 是建立在 为明暗两条线索贯穿小说始终% 题目上" 两人的高尚人格上的% 言之成理即可" 每点$分" 任答三点即可" 只有观点没有分析不给分& ! ! * " ( , 道德经是老子的作品% & ! ! " %! # 王述在会稽任职时" 恰逢母丧$ 应为# 王述先前曾在会稽任职" 因母 ! $ " %! 亲去世" 就辞职治丧$ %# 恨$ 在古代应该是遗憾的意思而不是怨恨% & ! & 羲之很喜欢服药颐养性情" 不喜欢在京城" 刚到浙江" 便有终老于 ! & " ! 此的志向%! # 雅好服食养性$ # 终焉之志$ 各 $分& ! & ! 东汉& 张芝临池学写字" 池水都变成黑色" 如果天下人像他那样沉 $ 迷于书法" 也不一定比他差%! # 耽之若是$ # 未必后之也$ 各 $分& ! 是借喻" 不是借代% & ! ) " # 或侧面烘托& " 写月下细浪涟漪层层涌起" 空中云朵依稀" ! + " 侧面描写! 侧面烘托月光朗照" 月色美好% 借景抒情" 通过写景营造出清爽明 丽的意境" 凸显诗人愉悦之情% 对仗" # 照野 $ 对# 横空 $ " # 弥弥 $ 对 # 隐隐$ " # 浅浪$ 对# 层霄$ " 对仗工整" 富于音韵之美%! 每条 $ 分" 只答 手法没有分析每条给!分%语言表达!分& ! & 青青子衿悠悠我心! & 女也不爽 士贰其行 ! & 伏清白以死 ! " ! $ & & 久在樊笼里复得返自然 直兮固前圣之所厚! ) . 彼此间祸福相互关联%句中形容时代与技术的关系不 ! . " ' 休戚相关* 恰当" 可用# 息息相关$ %空谷足音* 比喻极为难得的音信) 言论以及 人或事物等% 处心积虑* 千方百计地盘算% 多含贬义" 褒贬不当% 形容人人都一致称颂% 穿云裂石* ! 声音 & 穿破云天" 震 有口皆碑* 形容乐器声或歌声高亢嘹亮% 用错对象% 无可辩驳* 没有 裂石头" 可争辩反驳的" 指事实清楚" 理由充分% / 搭配不当%# 提高 $ 与# 了解 $ 不搭配" 可以把 # 提高 $ 改为 # 增 ! / " (! ' 项" 进$ %# 项" 语序不当% 定语位置不恰当" # 一种 $ 移到 # 万能 $ 之前%% 语文 长郡版 参考答案$
上学期高一化学寒假作业_02_word版含解析
作业范围：必修一《化学物质及其变化》姓名：学校：班级：时间：60分钟分值：100分一、选择题(本题共20小题，每小题4分，共80分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．下列物质中属于碱性氧化物的是( )A．SO2 B．CaO C．CO D．NaOH【来源】【百强校】2017届浙江省嘉兴一中高三上学期10月月考化学试卷（带解析）【答案】B【题型】选择题【难度】容易2．下列属于弱电解质的是（）A．铜 B．硝酸钾 C．氢氧化钠 D．纯醋酸【来源】【百强校】2017届浙江省嘉兴一中高三上学期10月月考化学试卷（带解析）【答案】D【解析】A．铜是单质，不属于电解质，故A错误；B．硝酸钾属于盐类，属于强电解质，故B错误；C．氢氧化钠属于强碱，属于强电解质，故C错误；D．纯醋酸是弱酸，属于弱电解质，故D正确；故选D。
【题型】选择题【难度】容易3．东晋炼丹家葛洪的《抱朴子》里记载“丹砂(HgS)烧之成水银，积变又还成了丹砂”这句话里没有涉及到的反应类型为( )A．氧化还原反应 B．化合反应 C．分解反应 D．置换反应【来源】【百强校】2017届黑龙江省哈尔滨六中高三上9月月考化学试卷（带解析）【答案】D【题型】选择题【难度】容易4．关于胶体，下列说法正确的是( )A．胶体的聚沉是化学变化B．含有0.01mol FeCl3的溶液制成的胶体中，胶体粒子的数目约为6.02×1021个C．胶体的介稳性与胶体带有电荷有关D．NaCl晶体既可制成溶液又可制成胶体【来源】【百强校】2017届黑龙江省哈尔滨六中高三上9月月考化学试卷（带解析）【答案】D【解析】A．胶体的聚沉为分散质粒子的直径变大的过程，没有新物质生成，为物理变化，故A错误；B．胶体粒子是氢氧化铁的集合体，0.01mol Fe3+完全水解生成氢氧化铁胶体粒子的数目小于6.02×1021个，故B 错误；C．胶体具有介稳定性主要是胶体粒子的直径介于溶液和浊液之间，故C错误；D．NaCl分散在水中形成溶液，分散在酒精中形成胶体，故D正确；故选D。
【全国百强校首发】湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第三次调研考试生物试题(PDF版)--赠品
绝密★启用前长郡中学2019届高三第三次调研考试生物试卷命题人：胡昆审题人：胡希凡注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效；3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚；4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损；5．本堂考试时量为90分钟，考试总分90分；6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共30小题，1～24题，每小题1分；25～30题，每小题2分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的）1．下列有关实验的叙述中错误的是A．脂肪鉴定实验中滴加体积分数为50％的酒精的原理是苏丹Ⅲ或苏丹Ⅳ易溶于酒精B．验证唾液淀粉酶是蛋白质的实验中，常用鸡蛋清作为对照组实验中的材料C．在蛋白质鉴定实验中，为防止蛋清粘在试管壁上，最好对其进行稀释处理D．在物质鉴定实验中，经健那绿染色，可观察到蓝绿色的细胞核2．如图为某种细胞结构示意图，正常生理状态下，下列选项中的变化都会在该细胞中发生的是A．氨基酸→胰岛素；ATP→ADP＋PiB．葡萄糖→淀粉；H2O→[H]＋O2C．氨基酸→RNA聚合酶；[H]＋O2→H2OD．葡萄糖→丙酮酸；染色质→染色体3．下列关于水的叙述，正确的是A．生物体内由n个氨基酸、m条肽链形成的蛋白质共脱去了（n+m）个水分子B．处于清水中的洋葱鳞片叶表皮细胞发生质壁分离复原过程中渗透压逐渐变大C．若培养液中酵母菌细胞呼吸产生水，则可以确定培养液中酵母菌只进行有氧呼吸D．衰老的细胞内水分减少会引起细胞体积变小、新陈代谢的速率减慢4．种子萌发时，脂肪水解生成脂肪酸和甘油，然后脂肪酸和甘油分别在多种酶的催化下形成葡萄糖，最后转变为蔗糖，并转运至胚轴供给胚生长和发育，如图所示。
2018高考物理真题汇编光学 电磁波 相对论
2018年全真高考+名校模拟物理试题分项解析真题再现1．用双缝干涉实验装置得到白光的干涉条纹，在光源与单缝之间加上红色滤光片后A. 干涉条纹消失B. 彩色条纹中的红色条纹消失C. 中央条纹变成暗条纹D. 中央条纹变成红色【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试物理（北京卷）【答案】 D点睛：本题考查了光的干涉现象，注意只有频率相同、振动相同的两列波才能形成稳定的干涉图像，同时要掌握哪些点是振动加强点，哪些点是振动减弱点。
2．氢原子光谱在可见光区域内有四条谱线都是氢原子中电子从量子数n>2的能级跃迁到n=2的能级发出的光，它们在真空中的波长由长到短，可以判定A.B. 同一介质对C.D.【来源】2018年全国普通高等学校招生同一考试理科综合物理试题（天津卷）【答案】 A分析前后能级差的大小；根据折射率与频率的关系分析折射率的大小；根据传播速度的大小；根据发生光电效应现象的条件是入射光的频率大于该光的极限频率判断是否会发生光电效应．对应的能量最小，根据后能级之差最小，A的频率最小，同一介质对应的折射率最小，根据BC错误；能，D 错误．【点睛】光的波长越大，频率越小，同一介质对其的折射率越小，光子的能量越小． 3．（多选）梳子在梳头后带上电荷，摇动这把梳子在空中产生电磁波．该电磁波______． A. 是横波B. 不能在真空中传播C. 只能沿着梳子摇动的方向传播D. 在空气中的传播速度约为3×108 m/ s【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试物理（江苏卷） 【答案】 AD【解析】摇动的梳子在空中产生电磁波，电磁波是横波，选项A 正确；电磁波能在真空中传播，选项B 错误；电磁波传播的方向与振动方向垂直，选项C 错误；电磁波在空气中传播的速度约为光速，选项D 正确。
4．两束单色光A 、B 的波长分别为A λ、B λ，且A λ>B λ，则______（选填“A ”或“B ”）在水中发生全反射时的临界角较大．用同一装置进行杨氏双缝干涉实验时，可以观察到______（选填“A ”或“B ”）产生的条纹间距较大． 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试物理（江苏卷） 【答案】 A A5．如图，△ABC 为一玻璃三棱镜的横截面，∠A=30°，一束红光垂直AB 边射入，从AC 边上的D 点射出，其折射角为60°，则玻璃对红光的折射率为_____。
湖南省长沙市长郡中学2023届高三二模数学试题
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
( ) 22．已知函数 f ( x) = (cos x -1) e-x ， g ( x) = ax2 + 1- ex x (a Î R ) ．
(1)当 x Î(0,π ) 时，求函数 f ( x) 的最小值；
(2)当
x Î éêë-
π 2
=
1
+ 3i 2
=
1 2
+
3 2
i
，
故
z
=
1 2
-
3 2
i
，虚部为
-
3 2
，
故选：C． 3．A 【分析】列出从 5 个点选 3 个点的所有情况，再列出 3 点共线的情况，用古典概型的概率 计算公式运算即可.
【详解】如图，从 O, A, B, C, D 5 个点中任取 3 个有 {O, A, B},{O, A,C},{O, A, D},{O, B,C} {O, B, D},{O, C, D},{A, B,C},{A, B, D}
C
相交于点
H
æ çè
-
2 3
,
4 3
ö ÷ø
，与
y
轴相交于点
S
，过点
S
的另一
条直线 l 与 C 相交于 M , N 两点，且△ASM 的面积是△HSN 面积的 3 倍，求直线 l 的方 2
程． 21．人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某
校成立了 A, B 两个研究性小组，分别设计和开发不同的 AI 软件用于识别音乐的类别.
【详解】
取 BP 的中点为 O ，连接 OA,OC ， 因为 PA ^ 平面 ABC ，而 AB Ì 平面 ABC ，故 PA ^ AB ， 故OP = OA = OB . 同理 PA ^ BC ，而 CA ^ BC ， CA I PA = A,CA, PA Ì 平面 PAC ， 故 BC ^ 平面 PAC ，而 PC Ì 平面 PAC ，故 BC ^ PC ， 故 OP = OC = OB ，
湖南省长郡中学2018届高三下学期第一次模拟考试英语试卷附答案
2018届湖南省长郡中学高三下学期第一次模拟考试英语试题第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题;每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A. £19.15.B. £9.18.C. £9.15.答案是C。
1. Where does the conversation probably take place?A. On a bus.B. On the subway.C. In a taxi.2. What are the two speakers talking about?A. A dinner party.B. A beach sport.C. A weekend plan.3. How much more does Nancy need for the computer?A. $ 100.B. $ 550.C. $ 650.4. What is the woman planning to do on the weekend?A. Hold a dance party.B. Visit Bill with the man.C. Help the man with a party.5. How does the woman feel about the final exam?A. Worried.B. Confident.C. Disappointed.第二节（共15小题;每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
湖南省长沙市长郡中学高三上学期第二次月考化学试卷
炎德·英才大联考长郡中学2025届高三月考试卷（二）化学得分：__________本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。
时量75分钟，满分100分。
可能用到的相对原子质量：H~1 C~12 O~16 Na~23 Al~27 S~32一、选择题（本题共14小题，每小题3分，共42分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.在巴黎奥运会舞台上，科技与体育双向奔赴，释放更加迷人的魅力。
下列说法不正确的是 A.奥运火炬燃料中的丙烷、丁烷属于烃B.生产橡胶弹性地板的原料天然橡胶是异戊二烯的聚合物C.中国队领奖服采用的环保再生纤维材料为有机高分子材料D.比赛乒乓球台可变灯光系统的控制芯片的主要成分为2SiO 2.下列化学用语表示正确的是 A.NH 4Cl 的电子式：B.铜的基态原子的简化电子排布式：92[Ar]3d 4sC.23SO -的VSEPR 模型：D.HCl 中σ键的电子云轮廓图：3.实验室在进行“电解CuCl 2溶液”实验时，与该实验无关．．的安全注意事项是4.下列有关物质结构与性质的说法错误的是A.酸性强弱：氯乙酸>乙酸>丙酸B.邻羟甲基苯甲醛的沸点低于对羟甲基苯甲醛C.O 3是含有极性键的强极性分子，它在四氯化碳中的溶解度低于在水中的溶解度D.由4R N +与6PF -。
构成的离子液体常温下呈液态，与其离子的体积较大有关5.原儿茶酸（Z ）具有抗菌、抗氧化作用，常用于治疗烧伤、小儿肺炎等疾病，可采用如图所示路线合成。
下列说法正确的是A.Y 存在二元芳香酸的同分异构体B.可用酸性KMnO 4溶液鉴别X 和ZC.X 分子中所有原子可能共平面D.Z 与足量的溴水反应消耗23molBr 6.下列过程中，对应反应方程式正确的是A.用氢氟酸刻蚀玻璃：2342SiO 4F 6H SiF 3H O --+++=↑+B.AgCl 溶于浓氨水：()32322Ag 2NH H O Ag NH 2H O ++⎡⎤+⋅=+⎣⎦C.酸性K 2Cr 2O 7溶液氧化2322222227H O :Cr O 8H 5H O 9H O 2Cr 4O -++++=++↑D.四氯化钛水解：4222TiCl (2)H O TiO H O 4HClx x ++⋅↓+ △7.化学是一门以实验为基础的学科。
长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期中考试文科综合试题(含答案)
长郡中学 学年度高一第一学期期中考试 文科综合
在南半球 向南运动 +( 如果黄赤交角变成 则地球上五带的纬度范围变化情况是 " & ( # & 2 寒带范围变大 热带范围变大 )( 温带范围变大 热带范围变小 * ( 寒带范围变小 温带范围变大 +(
在北半球 向北运动 * ( 在南半球 向北运动 ,(
寒带范围变大 温带范围变大 ,( 右图中的圆表示某一纬线圈 箭头表示地球自转方向 读图完 成" . " '题 若 ) 地的经度为# 则 * 地的经度为 " . ( $ 2 3 )( " 0 $ 2 4 * ( " 0 $ 2 3 +( " % $ 2 4 ,( " % $ 2 3 若非阴影部分为新的一天 阴影部分为旧的一天 那么下列判断 " ' ( 正确的是 )( 5 ) 所在经线为$ 2 * ( 5 * 所在经线为" $ 2 +( 5 * ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ晨线 ,( 5 ) 所在经线的地方时为" $时
文科综合 长郡版 !#
某地有一幢楼 冬至日正午影长与楼房高度相同 据此回答 " 0 " -题 该地冬至日正午太阳高度是 " 0 ( )( # % 1 . 2 * ( & . 2 +( ' ' 1 . 2 ,( / $ 2 该地的纬度可能是 " ( )( # % 1 . 2 6 * ( # " 1 . 2 7 +( # . 1 . 2 6 ,( ' 1 . 2 7 下列节日中 长沙昼长与夜长差值最小的是 " / ( 国际妇女节 国际劳动节 中国教师节 中国国庆节 )( * ( +( ,( 我国北方住宅区的楼房间距理论上应比南方宽 理由是 # $ ( 北方平原多 北方冬季白昼短 )( * ( 南方湿润 北方正午太阳高度比南方低 +( ,( 所谓性价比是指产品本身具有的特性和功能与其单个产品价格之间的比率关系 # " ( 消费者看重商品的性价比 是因为 商品是价值与交换价值的统一体 商品是使用价值与交换价值的统一体 )( * ( 商品是使用价值与价值的统一体 商品是价格与价值的统一体 +( ,( 房地产市场素有 金九银十 的说法 进入十月 各地房产开展系列优惠活动 小王 # # ( 采用银行按揭贷款的方式购买了价格 万元的新房 首付款 # 然后在 " $ . 万元 .年 内付清银行贷款. .万元及利息" .万元 其中的$万元房价 # .万元首付款 " .万 元利息分别体现了货币的 职能 流通手段 价值尺度 支付手段 价值尺度 流通手段 支付手段 )( * ( 价值尺度 支付手段 流通手段 支付手段 流通手段 贮藏手段 +( ,( 在 商品 货币 商品 的流通过程中 商品 货币 阶段的变化 是商品的惊险的 # % ( 跳跃 这个 跳跃 如果不成功 摔坏的不是商品 而是商品所有者这说明 商品生产者需要生产适销对路 质量上乘的商品 )( 商品生产者生产的商品失去了使用价值和价值 * ( 货币作为商品交换的媒介必须是足值的货币 +( 货币作为一般等价物在物物交换中起决定作用 ,( 随着信息技术的发展 电子商务 电子银行 电子政务正在走进人们的生活 人们在 # & ( 购物和旅游时越来越喜欢使用银行信用卡 其原因是银行信用卡 可以作为财富的代表 能够简化收款手续 方便购物消费 是一般等价物 可以增强消费安全 防止金融风险 具有透支功能 可以获得指定数额的贷款 )( * ( +( ,( 小王承包了几公顷山地 种植水果并获得了丰收 他与一家公司签订了合同 该公司 # . ( 给小王签发了一张现金支票 兑换这一张支票的正确方式是 凭这张现金支票去对方所在公司支取现金 )( 凭这张现金支票去证券公司支取现金 * ( 凭这张现金支票到银行去支取现金 +( 凭这张现金支票到交易市场转让 获得所需现金 ,( 近年来 我国劳动力成本不断上涨 为应对劳动力价格上涨的压力 某企业引进先 # ' ( 进设备 提高了生产的自动化程度 使单位产品人工成本不升反降 这从一个侧面 说明了 价格的变动可以调节生产要素的投入 任何商品的价格总是围绕价值上下波 动 劳动力价格上涨对企业既是压力也是动力 只有提高劳动力价格才能促 使企业改进技术 )( * ( +(
2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u →=（1，2，﹣1），v →=（﹣3，﹣6，3），则（ ） A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确2．《莱因德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．53B ．103C ．56D ．1163．若直线y ＝kx ﹣2与直线y ＝3x 垂直，则k ＝（ ） A ．3B ．13C ．﹣3D ．−134．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与NA 所成的角的余弦值为（ ） A ．−√3010 B ．√306C ．√3010D ．√225．双曲线C 与椭圆x 29+y 24=1有相同的焦点，一条渐近线的方程为x ﹣2y ＝0，则双曲线C 的标准方程为（ ） A ．x 24−y 2=1 B ．y 29−x 236=1C ．x 29−y 236=1 D ．y 24−x 2=16．已知抛物线E ：x 2＝4y 和圆F ：x 2+（y ﹣1）2＝1，过点F 作直线l 与上述两曲线自左而右依次交于点A ，C ，D ，B ，则|AC |与|BD |的乘积为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．√27．已知数列{a n }满足2a n+1a n +a n+1−3a n =0(n ∈N ∗)且a 1＞0．若{a n }是递增数列，则a 1的取值范围是（ ） A ．(0，12) B ．(12，1)C ．（0，1）D ．(0，√2−1)8．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B 点，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈（π4，π3），则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．(√22，√3−1) B ．(√22，1)C ．(√22，√32)D ．(√33，√63)二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知m →=(1，a +b ，a −b)（a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，则下列结论正确的是（ ） A ．若l ∥α，则5a ﹣b +1＝0 B ．若l ∥α，则a +b ﹣1＝0C ．若l ⊥α，则a +b ﹣2＝0D ．若l ⊥α，则a ﹣b ﹣3＝010．已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A ．{1a n}B ．{a n a n +1}C ．{lg （a n 2）}D ．{a n +a n +1}11．已知p ∈R ，直线l 1：x ﹣py +p ﹣2＝0过定点A ，l 2：px +y +2p ﹣4＝0过定点B ，l 1与l 2交于点M ，则下列结论正确的是（ ） A ．l 1⊥l 2B ．MA •MB 的最大值是25C ．点M 的轨迹方程是x 2+y 2﹣5x ＝0D ．MA +2MB 的最大值为5√512．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线l 与C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，其中点A 在第一象限，点M 是AB 的中点，作MN 垂直于准线，垂足为N ，则下列结论正确的是（ ） A ．若以AB 为直径作圆M ，则圆M 与准线相切B ．若直线l 经过焦点F ，且OA →⋅OB →=−12，则p ＝4C ．若AF →=3FB →，则直线l 的倾斜角为π3D ．若以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，则|AB||MN|的最小值为√2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知⊙M 的圆心为M （3，﹣5），且与直线x ﹣7y +2＝0相切，则圆C 的面积为 ． 14．如图，在三棱锥O ﹣ABC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，OA ＝OC ＝3，OB ＝2，则直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值为 ．15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，则当C 的离心率e ＝ 时，满足sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2．16．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推． （1）这个数列的第100项为 ；（2）整数N 满足条件：N ＞1000且该数列的前N 项和为2的整数幂，则最小整数N ＝ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，a n+12−2a n+1=a n 2+2a n ．（1）证明：{a n }为等差数列，并求出通项公式； （2）设b n =(−1)n a n ，求b 1+b 2+b 3+⋯+b 20．18．（12分）四棱锥P ﹣ABCD 中，BC ∥AD ，BC ⊥平面P AB ，P A ＝AB ＝BC ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，且PE ⊥EC ．（1）求证：BD ⊥平面PEC ； （2）求二面角E ﹣PC ﹣D 的正弦值．19．（12分）已知圆M ：x 2+（y ﹣2）2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点． （1）求四边形QAMB 面积的最小值； （2）若|AB |=4√23，求Q 点的坐标．20．（12分）设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，A 、B 为抛物线上两动点，AA '⊥l 于A '，定点K （0，1）使|KA |+|AA '|有最小值√2． （1）求抛物线的方程；（2）当KA →=λKB →（λ∈R 且λ≠1）时，是否存在一定点T 满足TA →⋅TB →为定值？若存在，求出T 的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知数列{a n}，a1＝2，a n+1=2−1a n ，数列{b n}满足b1＝1，b2nb2n−1=b2n+1b2n=a n．（1）求证：数列{1a n−1}为等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）求b2n+1的表达式；（3）求证：1b2+1b4+⋯+1b2n＜1．22．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，上、下顶点分别为B1、B2，A为椭圆上的点，且满足k AB1⋅k AB2=−34．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1、F2作两条相互平行的直线l1，l2交C于M，N和P，Q，顺次连接构成四边形PQNM，求四边形PQNM面积的取值范围．2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u →=（1，2，﹣1），v →=（﹣3，﹣6，3），则（ ） A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确解：∵v →=−3u →，∴v →∥u →．故α∥β． 故选：A ．2．《莱因德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．53B ．103C ．56D ．116解：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列， 使较大的三份之和的17是较小的两份之和，设分的面包，从小到大依次为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5， 依题意得17(a 3+a 4+a 5)=a 1+a 2，故3a 1+9d ＝7（2a 1+d ），2d ＝11a 1， 由S 5＝5a 3＝5（a 1+2d ）＝100， 得a 1+2d ＝12a 1＝20， 解得a 1=53． 故选：A ．3．若直线y ＝kx ﹣2与直线y ＝3x 垂直，则k ＝（ ） A ．3B ．13C ．﹣3D ．−13解：∵直线y ＝kx ﹣2与直线y ＝3x 垂直， ∴3k ＝﹣1，解得k =−13．故选：D ．4．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与NA 所成的角的余弦值为（ ） A ．−√3010B ．√306C ．√3010D ．√22解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°， M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， 如图，BC 的中点为O ，连结ON ，MN ∥B 1C 1且MN =12B 1C 1＝OB ，则MNOB 是平行四边形， BM 与AN 所成角就是∠ANO ， ∵BC ＝CA ＝CC 1，设BC ＝CA ＝CC 1＝2，∴CO ＝1，AO =√5，AN =√5，MB =√B 1M 2+BB 12=√(√2)2+22=√6， 在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO =AN 2+NO 2−AO 22AN⋅NO =62×√5×√6=√3010．故选：C ． 5．双曲线C 与椭圆x 29+y 24=1有相同的焦点，一条渐近线的方程为x ﹣2y ＝0，则双曲线C 的标准方程为（ ） A ．x 24−y 2=1 B ．y 29−x 236=1C ．x 29−y 236=1D ．y 24−x 2=1解：由题意双曲线C 与椭圆x 29+y 24=1有相同的焦点，知c =√5，设双曲线的方程为x 2﹣4y 2＝λ（λ＞0），∴x 2λ−y 2λ4=1，∴λ+λ4=5，∴λ＝4．则双曲线C 的标准方程为x 24−y 2=1．故选：A ．6．已知抛物线E ：x 2＝4y 和圆F ：x 2+（y ﹣1）2＝1，过点F 作直线l 与上述两曲线自左而右依次交于点A ，C ，D ，B ，则|AC |与|BD |的乘积为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．√2解：由抛物线E ：x 2＝4y 和圆F ：x 2+（y ﹣1）2＝1，可知抛物线焦点为F （0，1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线的方程为x ＝m （y ﹣1），由{x =m(y −1)x 2=4y ，得m 2y 2﹣（2m 2+4）y +m 2＝0， 则y 1y 2＝1，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1+1，|BF |＝y 2+1， ∴|AC |＝y 1，|BD |＝y 2， ∴|AC |×|BD |＝y 1y 2＝1，当且仅当y 1＝2y 2，即y 1=√2，y 2=√22时取等号．故选：A ．7．已知数列{a n }满足2a n+1a n +a n+1−3a n =0(n ∈N ∗)且a 1＞0．若{a n }是递增数列，则a 1的取值范围是（ ） A ．(0，12)B ．(12，1)C ．（0，1）D ．(0，√2−1)解：根据2a n+1a n +a n+1−3a n =0(n ∈N ∗)， 可得a n+1=3a n2a n +1， 所以1a n+1=13⋅1a n+23，所以1a n+1−1=13⋅(1a n−1)，从而可得数列{1a n+1−1}是以1a 1−1为首项，13为公比的等比数列，所以1a n−1=(1a 1−1)⋅(13)n−1，整理有a n =11+(1a 1−1)(13)n−1，因为a n +1＞a n ＞0， 所以11+(1a 1−1)(13)n＞11+(1a 1−1)(13)n−1＞0，整理得：(1a 1−1)⋅13＜1a 1−1，即0＜a 1＜1， 故选：C ． 8．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B 点，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈（π4，π3），则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．(√22，√3−1) B ．(√22，1)C ．(√22，√32) D ．(√33，√63)解：椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B 点，F 为其右焦点，设左焦点为F ′．所以|AF ′|+|AF |＝2a ，根据对称关系：四边形AF ′BF 为矩形． 所以|AB |＝|FF ′|＝2c ， 由于AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α， 所以|AF |＝2c sin α，|AF ′|＝2c cos α， 所以2c sin α+2c cos α＝2a ， 所以ca =1sinα+cosα=√2sin(α+π4)，由于α∈（π4，π3），故α+π4∈(π2，7π12)， 所以√2+√64＜sin(α+π4)＜1， 所以√2sin(α+π4)∈(√22，√3−1)，即离心率的范围． 故选：A ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知m →=(1，a +b ，a −b)（a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，则下列结论正确的是（ ） A ．若l ∥α，则5a ﹣b +1＝0 B ．若l ∥α，则a +b ﹣1＝0C ．若l ⊥α，则a +b ﹣2＝0D ．若l ⊥α，则a ﹣b ﹣3＝0解：根据题意，m →=(1，a +b ，a −b)（a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，若l ∥α，则m →⊥n →，则有m →⋅n →=0，即1+2（a +b ）+3（a ﹣b ）＝0，即5a ﹣b +1＝0，A 正确，B 错误； 若l ⊥α，则m →∥n →，则有11=a+b 2=a−b 3，变形可得a +b ﹣2＝0且a ﹣b ﹣3＝0，C 、D 正确． 故选：ACD ．10．已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A ．{1a n}B ．{a n a n +1}C ．{lg （a n 2）}D ．{a n +a n +1}解：根据题意，{a n }为等比数列，设其公比为q （q ≠0）； 对于A ，1a n =1a 1q n−1=1a 1⋅(1q)n−1，∴数列{1a n}是以1a 1为首项，1q为公比的等比数列，故A 正确；对于B ，a n+1a n+2a n a n+1=a n+2a n=q 2，∴数列{a n a n +1}是以a 1a 2为首项，q 2为公比的等比数列，故B 正确；对于C ，当a n ＝1时，lg(a n 2)=0，数列{lg(a n 2)}不是等比数列，故C 错误；对于D ，当q ＝﹣1时，a n +a n +1＝0，数列{a n +a n +1}不是等比数列，故D 错误． 故选：AB ．11．已知p ∈R ，直线l 1：x ﹣py +p ﹣2＝0过定点A ，l 2：px +y +2p ﹣4＝0过定点B ，l 1与l 2交于点M ，则下列结论正确的是（ ） A ．l 1⊥l 2B ．MA •MB 的最大值是25C ．点M 的轨迹方程是x 2+y 2﹣5x ＝0D ．MA +2MB 的最大值为5√5解：对于A ，1•p +（﹣p ）•1＝0，∴l 1⊥l 2，A 正确； 对于B ，l 1恒过定点A （2，1），l 2恒过定点B （﹣2，4），由选项A 正确可推得，MA 2+MB 2＝AB 2＝25≥2MA •MB ，MA ＝MB 时等号成立，∴MA •MB 的最大值是252，B 错误；对于C ，设M （x ，y ），则MA ⊥MB ，MA 2+MB 2＝AB 2＝52，（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（x +2）2+（y ﹣4）2＝25，化简有x 2+y 2﹣5y ＝0，C 错误；对于D ，设∠MAB ＝θ，θ∈(0，π2)，则MA ＝5cos θ，MB ＝5sin θ，∴MA +2MB =5(cosθ+2sinθ)=5√5sin(θ+φ)≤5√5，即MA +2MB 的最大值为5√5，D 正确． 故选：AD ．12．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线l 与C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，其中点A 在第一象限，点M 是AB 的中点，作MN 垂直于准线，垂足为N ，则下列结论正确的是（ ） A ．若以AB 为直径作圆M ，则圆M 与准线相切B ．若直线l 经过焦点F ，且OA →⋅OB →=−12，则p ＝4C ．若AF →=3FB →，则直线l 的倾斜角为π3D ．若以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，则|AB||MN|的最小值为√2解：由抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线l 与C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，其中点A 在第一象限，点M 是AB 的中点，作MN 垂直于准线，垂足为N ，对于A ，当以AB 为直径作圆M ，且AB 经过焦点F 时，|MN|=12(|AF|+|BF|)=12|AB|，此时圆M 与准线相切，当直线l 不经过焦点F 时，圆M 不一定与准线相切，故A 错误；对于B ，过F 的直线l 的方程设为x =my +p2，把直线方程与抛物线方程联立，可得y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，y 1y 2=−p 2，x 1x 2=(y 1y 2)24p2=14p 2，OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=14p 2−p 2=−12(p ＞0)，解得p ＝4，B 正确；对于C ，AF →=(p2−x 1，−y 1)，FB →=(x 2−p2，y 2)，AF →=3FB →，可得p 2−x 1=3(x 2−p2)，﹣y 1＝3y 2，又y 1y 2=−p 2，x 1x 2=(y 1y 2)24p 2=14p 2，可求出A(3p 2，√3p)，B(p6，−√3p 3)，k 1=y 1−y 2x 1−x 2=√3p+√3p33p 2−p 6=√3，∴直线l 的倾斜角为π3，C 正确；对于D ，设AF ＝a ，BF ＝b ，由抛物线的定义可得|MN|=12(|AF|+|BF|)=12(a +b)，以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，∴AF ⊥BF ，|AB|=√a 2+b 2，|AB||MN|=√a 2+b 212(a+b)=√(a+b)2−2ab12(a+b)≥√(a+b)2−(a+b)2212(a+b)=√2，当且仅当a ＝b 时，即AF ＝BF 时等号成立，D 正确． 故选：BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知⊙M 的圆心为M （3，﹣5），且与直线x ﹣7y +2＝0相切，则圆C 的面积为 32π ． 解：因为圆M 与直线．x ﹣7y +2＝0相切，所以点M （3，﹣5）到直线：x ﹣7y +2＝0的距离即为圆M 的半径， 所以r =|3−7×(−5)+2|√1+(−7)=405√2=4√2，圆C 的面积为π×(4√2)2=32π． 故答案为：32π．14．如图，在三棱锥O ﹣ABC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，OA ＝OC ＝3，OB ＝2，则直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值为3√1717．解：如图所示，以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，则A （0，0，3），B （2，0，0），C （0，3，0）， 直线OB 的方向向量OB →=(2，0，0)， 由于AB →=(2，0，−3)，AC →=(0，3，−3)， 若m →=(x ，y ，z)是平面ABC 的一个法向量，则{AB →⋅m →=2x −3z =0AC →⋅m →=3y −3z =0， 据此可得m →=(32，1，1)， ∴|cos ＜OB →，m →＞|=|OB →⋅m →|OB →||m →||=32×172=3√1717， 故直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值为3√1717． 故答案为：3√1717． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，则当C 的离心率e ＝ √72时，满足sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2． 解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 上一点，由sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2得|PF 1|＝3|PF 2|， 由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2|PF 2|＝2a ， 所以|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ；因为∠F 1PF 2＝60°，由余弦定理可得4c 2＝9a 2+a 2﹣2×3a •a •cos60°， 整理可得4c 2＝7a 2，所以e 2=c 2a 2=74，即e =√72．故答案为：√72． 16．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推． （1）这个数列的第100项为 256 ；（2）整数N 满足条件：N ＞1000且该数列的前N 项和为2的整数幂，则最小整数N ＝ 1897 ． 解：对数列进行分组如下： 第一组：20，1个数， 第二组：20，21，2个数， 第三组：20，21，22，3个数， ……，第k +1组：20，21，22，…，2k ，k +1个数； （1）由1+2+3+⋯+k =k(k+1)2≤100可得k ≤13，且1+2+3+⋯+13＝91，所以该数列的第100项在第14组的第9个数，即28＝256． （2）该数列前k 组的项数和为1+2+3+⋯+k =k(k+1)2， 由题意可知N ＞1000，即k(k+1)2＞1000，解得k ≥45，n ∈N *，即N 出现在第44组之后． 又第k 组的和为20+21+⋯+2k−1=1×(1−2k)1−2=2k −1，所以前k 组的和为1+（1+2）+⋯+（1+2+⋯+2k ﹣1）＝（21﹣1）+（22﹣1）+⋯ +（2k ﹣1）＝（21+22+⋯+2k ）﹣k ＝2k +1﹣k ﹣2， 设满足条件的N 在第k +1（k ∈N *）组（k ≥44）， 且第N 项为第k +1组的第m （m ∈N *）个数， 第k +1组的前m 项和为1+2+22+⋯+2m ﹣1＝2m ﹣1，要使该数列的前N 项和为2的整数幂， 即2m ﹣1与﹣k ﹣2互为相反数， 即2m ﹣1＝2+k ， 所以k ＝2m ﹣3，由k ≥44，所以2m ﹣3≥44，解之得m ≥6， 取最小值m ＝6，此时k ＝26﹣3＝61， 对应满足的最小条件为N =61(61+1)2+6=1897． 故答案为：256；1897．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，a n+12−2a n+1=a n 2+2a n ．（1）证明：{a n }为等差数列，并求出通项公式； （2）设b n =(−1)n a n ，求b 1+b 2+b 3+⋯+b 20．解：（1）证明：因为a 1＝2，a n+12−2a n+1=a n 2+2a n ， 所以a n+12−a n 2=(a n+1−a n )(a n+1+a n )=2(a n+1+a n )，因为数列{a n }各项均为正数，即a n +1+a n ＞0， 所以a n +1﹣a n ＝2，即数列{a n }为等差数列，公差为d ＝2，首项为a 1＝2． 所以a n ＝2+（n ﹣1）×2＝2n ；（2）由（1）知a n＝2n，其公差为d＝2，所以b n=(−1)n a n=(−1)n⋅2n，所以b1+b2+b3+⋯+b20＝（﹣a1+a2）+（﹣a3+a4）+⋯+（﹣a19+a20）＝10d＝20．18．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，BC⊥平面P AB，P A＝AB＝BC＝2AD＝2，E为AB的中点，且PE⊥EC．（1）求证：BD⊥平面PEC；（2）求二面角E﹣PC﹣D的正弦值．（1）证明：因为BC⊥平面P AB，PE⊂平面P AB，所以BC⊥PE，因为PE⊥EC，EC∩BC＝C，EC，BC⊂平面BCD，所以PE⊥平面BCD，又BD⊂平面BCD，所以PE⊥BD，因为tan∠ABD=ADAB=12，tan∠BCE=BEBC=12，所以∠ABD＝∠BCE，因为∠BCE+∠CEB＝90°，所以∠ABD+∠CEB＝90°，即BD⊥CE，又PE∩CE＝E，PE，CE⊂平面PEC，所以BD⊥平面PEC．（2）解：由（1）得PE⊥AB，因为E为AB的中点，且P A＝AB＝2，所以PB＝2，以E为坐标原点，EB，EP所在直线分别为x轴，z轴，过点E作BC的平行线为y轴，建立空间直角坐标系E﹣xyz，则E （0，0，0），P(0，0，√3)，C （1，2，0），D （﹣1，1，0），B （1，0，0）， 所以PC →=(1，2，−√3)，PD →=(−1，1，−√3)，PE →=(0，0，−√3)， 设平面PCD 的法向量为m →=(x ，y ，z)， 由PC →⋅m →=0，PD →⋅m →=0得，{x +2y −√3z =0−x +y −√3z =0，令x ＝1，则y ＝﹣2，z =−√3，所以m →=(1，−2，−√3)， 由（1）知，平面PCE 的一个法向量为BD →=(−2，1，0)， 所以cos ＜m →，BD →＞=m →⋅BD →|m →||BD →|=8×5=−√105，所以二面角E ﹣PC ﹣D 的正弦值为√155． 19．（12分）已知圆M ：x 2+（y ﹣2）2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点． （1）求四边形QAMB 面积的最小值； （2）若|AB |=4√23，求Q 点的坐标．解：（1）∵圆M ：x 2+（y ﹣2）2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点，∴MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB =|MA|⋅|QA|=|QA|=√|MQ|2−|MA|2=√|MQ|2−1≥√|MO|2−1=√3． ∴四边形QAMB 面积的最小值为√3．（2）设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ， ∴|MP|=√1−(223)2=13．在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1=13|MQ|， ∴|MQ |＝3，设Q （x ，0），则x 2+22＝9， ∴x =±√5， ∴Q(±√5，0)．20．（12分）设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，A 、B 为抛物线上两动点，AA '⊥l 于A '，定点K （0，1）使|KA |+|AA '|有最小值√2． （1）求抛物线的方程；（2）当KA →=λKB →（λ∈R 且λ≠1）时，是否存在一定点T 满足TA →⋅TB →为定值？若存在，求出T 的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．解：（1）不妨设抛物线焦点为F ， 此时F(p2，0)，因为A 、B 为抛物线上两动点，AA '⊥l 于A '， 所以|AA '|＝|AF |，又定点K （0，1）使|KA |+|AA '|有最小值√2， 此时|KA|+|AA′|=|KA|+|AF|≥|KF|=√2， 即|KF|=√(p 2−0)2+(0−1)2=√2， 解得p ＝2或p ＝﹣2（舍去）， 则抛物线的方程为y 2＝4x ； （2）因为KA →=λKB →， 所以K ，A ，B 三点共线，不妨设直线AB 方程为x ＝t （y ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 1，y 1），T （m ，n ）， 联立{y 2=4x x =t(y −1)，消去x 并整理得y 2﹣4y +4t ＝0，此时Δ＝（4t ）2﹣4×4t ＞0， 解得t ＜0或t ＞1，由韦达定理得y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝4t ， 所以x 1＝t （y 1﹣1），x 2＝t （y 2﹣1），此时TA →⋅TB →=(x 1−m)(x 2−m)+(y 1−n)(y 2−n)，因为TA →⋅TB →=[ty 1﹣（m +t ）][ty 2﹣（m +t ）]+（y 1﹣n ）（y 2﹣n ） ＝（t 2+1）y 1y 2﹣[t （m +t ）+n ]（y 1+y 2）+（m +t ）2+n 2 ＝4t （1﹣4m ）2﹣4t [t （m +t ）+n ]+（m +t ）2+n 2 ＝（1﹣4m ）t 2+2（2﹣2n +m ）t +m 2+n 2， 若存在一定点T 满足TA →⋅TB →为定值， 此时1﹣4m ＝0且2﹣2n +m ＝0， 解得m =14，n =98，此时T(14，98)，此时TA →⋅TB →=8564． 21．（12分）已知数列{a n }，a 1＝2，a n+1=2−1a n ，数列{b n }满足b 1＝1，b 2n b 2n−1=b 2n+1b 2n=a n ．（1）求证：数列{1a n −1}为等差数列，并求出数列{a n }的通项公式； （2）求b 2n +1的表达式； （3）求证：1b 2+1b 4+⋯+1b 2n＜1．（1）证明：由a 1＝2，a n+1=2−1a n 可知a n+1−1=a n −1a n ， ∴1a n+1−1=a n a n −1=1+1a n −1故1a n+1−1−1a n −1=1，又1a 1−1=1，∴数列{1a n −1}是以1为公差，1为首项的等差数列，∴1a n −1=n ，即a n =n+1n ． （2）解：由b 2n b 2n−1=b 2n+1b 2n=a n ，有b 2n+1b 2n−1=a n2=(n+1n)2，∴b2n+1=b2n+1b2n−1×b2n−1b2n−3×...×b3b1×b1=(n+1n)2×(nn−1)2×⋯×(21)2×1＝（n+1）2，∴b2n+1=(n+1)2．（3）证明：由（2）可得：b2n=b2n+1a n=(n+1)2n+1n=n(n+1)，∴1b2+1b4+⋯+1b2n=11×2+12×3+⋯+1n(n+1)=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1＜1．22．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，上、下顶点分别为B1、B2，A为椭圆上的点，且满足k AB1⋅k AB2=−34．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1、F2作两条相互平行的直线l1，l2交C于M，N和P，Q，顺次连接构成四边形PQNM，求四边形PQNM面积的取值范围．解：（1）由于焦距为2，则c＝1，设A（x0，y0），则x02a2+y02b2=1，又B1（0，b），B2（0，﹣b），k AB1⋅k AB2=−34，则k AB1⋅k AB2=y0−bx0⋅y0+bx0=y02−b2x02=−b2a2=−34，∴a2=43b2=43(a2−1)，∴a＝2，b=√3．即椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．（2）由对称性可知，四边形PQNM 为平行四边形， 设MN ：x ＝my +1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），将直线MN 的方程与椭圆方程联立得：（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0． 由根与系数的关系可得，y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， 则|MN|=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2√36m 2(3m 2+4)2+363m 2+4=12(1+m 2)3m 2+4， 设点F 2（1，0）到直线l 1的距离为d ，则d =2√1+m 2，所以四边形PQNM 面积为：S =|MN|d =24√1+m 23m 2+4．设√m 2+1=t ≥1，则S =24t 3t 2+1=243t+1t在t ∈[1，+∞）单调递减，所以S 的取值范围为（0，6]．。
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x+y−12=0的倾斜角是( )A. π4B. π2C. 3π4D. π32.已知点B是点A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，则|OB|等于A. 5B. 34C. 41D. 523.长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3,0)的椭圆的标准方程为A. x29+y2=1 B. x281+y29=1C. x29+y2=1或y281+x29=1 D. y29+x2=1或x281+y29=14.已知方程x22+m −y2m+1=1表示双曲线，则m的取值范围为A. (−2,−1)B. (−∞,−2)∪(−1,+∞)C. (1,2)D. (−∞,1)∪(2,+∞)5.在正四棱锥P−ABCD中，PA=4,AB=2,E是棱PD的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值是( )A. 612B. 68C. 38D. 56246.已知椭圆C:x29+y25=1的右焦点为F,P是椭圆上任意一点，点A(0,23)，则▵APF的周长的最大值为A. 9+21B. 14C. 7+23+5D. 15+37.已知A(−3,0),B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射到P点，则光线所经过的路程为A. 210B. 6C. 26D. 268.已知A,B两点的坐标分别是(−1,0),(1,0)，直线AM,BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程为A. y=−x2+1(x≠±1)B. y=x2+1(x≠±1)C. x=−y2+1(y≠±1)D. x=y2+1(y≠±1)二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知A(−3,−4),B(6,3)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等，则a的值可取A. −13B. 13C. −79D. 7910.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1､F2，过点F1的直线与C的左支相交于P,Q两点，若PQ⊥PF2，且4|PQ|=3|PF2|，则( )A. |PQ|=4aB. 3PF1=PQC. 双曲线C的渐近线方程为y=±223x D. 直线PQ的斜率为411.已知椭圆C1:x29+y25=1，将C1绕原点O沿逆时针方向旋转π2得到椭圆C2，将C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆C3，动点P,Q在C1上，且直线PQ的斜率为−12，则A. 顺次连接C1,C2的四个焦点构成一个正方形B. C3的面积为C1的4倍C. C3的方程为4x29+4y25=1D. 线段PQ的中点R始终在直线y=109x上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2024-2025学年湖南省长沙市百强校(SD)高一上期中考试数学试题(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市百强校(SD)高一上期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x |0≤x ≤3}，B ={x |x <1或x ≥3}，则图中的阴影部分表示的集合为A. {x |1≤x ≤3}B. {x |1<x <3}C. {x |1≤x <3}D. {x |1<x ≤3}2.若集合M ={(x−y,x +y)|y =2x }，则A. (3,−1)∈MB. (−1,3)∈MC. (−1,2)∈MD. (2,−1)∈M3.设a ，b ∈R ，则“2a =2b ”是“a 2=b 2”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知函数f(x)的定义域是[−1,4]，则函数f(x +1) x−1的定义域是A. (1,5] B. (1,4] C. [1,3] D. (1,3]5.已知函数f (x )={−x 2−ax−5,x ≤1,a x ,x >1,且对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，则a 的取值范围是A. (−∞,−2) B. (−∞,0) C. (−3,−2]D. [−3,−2]6.已知f (x )=2x 2−|x |+1，a =f (log 213)，b =f (32)，c =f (log 32)，则下列不等式成立的是A. c <b <a B. c <a <b C. a <b <c D. a <c <b7.已知函数f(x)对任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，总有(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0.若存在x ∈(a−1,a)使得不等式f(3a−x)≤f(x +a 2)成立，则实数a 的取值范围是A. [−1,2]B. [0,1]C. (−∞,0)∪(1,+∞)D. (−∞,−1]∪[2,+∞)8.已知函数f (x )是定义在(0,+∞)上的增函数，当n ∈N ∗时，f (n )∈N ∗.若f [f (n )]=3n ，其中n ∈N ∗，则f(4)=A. 4B. 5C. 7D. 8二、多选题：本题共3小题，共18分。