(通用版)高考数学二轮复习(全套)试卷汇总

（通用版）高考数学二轮复习（全套）试卷汇总

规范答题示例1 函数的单调性、极值与最值问题

典例1 (12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；

(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．

审题路线图 求f ′(x )――――→讨论f ′(x )

的符号

f (x )单调性―→f (x )最大值―→解f (x )max >2a －2. 规范解答 · 分步得分

构建答题模板 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1

x

－a .

若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．

若a ＞0，则当x ∈?

??

??0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈? ??

??1a ，＋∞时，f ′(x )

＜0.

所以f (x )在?

??

??0，1a 上单调递增，在? ??

??1a ，＋∞上单调递减.5分

所以当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，

当a >0时，f (x )在? ????0，1a 上单调递增，在? ????1a ，＋∞上单调递减.6分 (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1

a

处取得最大值，

第一步 求导数：写出函数的定义域，求函数的导数． 第二步

定符号：通过讨论确

定f ′(x )的符号． 第三步

写区间：利用f ′(x )

的符号写出函数的单调区间． 第四步

求最值：根据函数单

评分细则(1)函数求导正确给1分；

(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；

(3)求出最大值给2分；

(4)构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分；

(5)通过分类讨论得出a的范围，给2分．

跟踪演练1 (2017·山东)已知函数f(x)＝x2＋2cos x，g(x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2)，其中e＝2.718 28…是自然对数的底数．

(1)求曲线y＝f(x)在点(π，f(π))处的切线方程；

(2)令h(x)＝g(x)－af(x)(a∈R)，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．解(1)由题意知f(π)＝π2－2.

又f′(x)＝2x－2sin x，

所以f′(π)＝2π.

所以曲线y＝f(x)在点(π，f(π))处的切线方程为y－(π2－2)＝2π(x－π)．

即2πx－y－π2－2＝0.

(2)由题意得h(x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2)－a(x2＋2cos x)，

h′(x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2)＋e x(－sin x－cos x＋2)－a(2x－2sin x)

＝2e x(x－sin x)－2a(x－sin x)＝2(e x－a)(x－sin x)．

令m(x)＝x－sin x，

则m′(x)＝1－cos x≥0，

所以m(x)在R上单调递增．

因为m(0)＝0，

所以当x＞0时，m(x)＞0；

当x＜0时，m(x)＜0.

①当a≤0时，e x－a＞0，

当x＜0时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；

当x＞0时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，

所以当x＝0时，h(x)取到极小值，

极小值是h(0)＝－2a－1.

②当a＞0时，h′(x)＝2(e x－e ln a)(x－sin x)，

由h′(x)＝0，得x1＝ln a，x2＝0.

(i)当0＜a＜1时，ln a＜0，

当x∈(－∞，ln a)时，

e x－e ln a＜0，h′(x)＞0，h(x)单调递增；

当x∈(ln a,0)时，

e x－e ln a＞0，h′(x)＜0，h(x)单调递减；

当x∈(0，＋∞)时，

e x－e ln a＞0，h′(x)＞0，h(x)单调递增．

所以当x＝ln a时，h(x)取到极大值，

极大值是h(ln a)＝－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．

当x＝0时，h(x)取到极小值，极小值是h(0)＝－2a－1；

(ii)当a＝1时，ln a＝0，

所以当x∈(－∞，＋∞)时，h′(x)≥0，

函数h(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；

(iii)当a＞1时，ln a＞0，

所以当x∈(－∞，0)时，e x－e ln a＜0，h′(x)＞0，

h(x)单调递增；

当x∈(0，ln a)时，e x－e ln a＜0，h′(x)＜0，h(x)单调递减；

当x∈(ln a，＋∞)时，e x－e ln a＞0，h′(x)＞0，

h(x)单调递增．

所以当x＝0时，h(x)取到极大值，

极大值是h(0)＝－2a－1；

当x＝ln a时，h(x)取到极小值，

极小值是h(ln a)＝－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．

综上所述，

当a≤0时，h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，函数h(x)有极小值，极小值是h(0)＝－2a－1；

当0＜a＜1时，函数h(x)在(－∞，ln a)和(0，＋∞)上单调递增，在(ln a,0)上单调递减，函数h(x)有极大值，也有极小值，极大值是h(ln a)＝－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]，

极小值是h(0)＝－2a－1；

当a＝1时，函数h(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；

当a ＞1时，函数h (x )在(－∞，0)和(ln a ，＋∞)上单调递增，在(0，ln a )上单调递减，函数h (x )有极大值，也有极小值，极大值是h (0)＝－2a －1，极小值是h (ln a )＝－a [(ln a )2

－2ln a ＋sin(ln a )＋cos(ln a )＋2]．

规范答题示例2 导数与不等式的恒成立问题

典例2 (12分)设函数f (x )＝e mx

＋x 2

－mx .

(1)证明：f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；

(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围． 审题路线图 (1)求导f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x →讨论m 确定f ′(x )的符号→证明结论 (2)条件转化为(|f (x 1)－f (x 2)|)max ≤e －1――――→结合(1)知

f (x )min ＝f (0)

?

??

??

f (1)－f (0)≤e －1，

f (－1)－f (0)≤e －1→

?

????

e m

－m ≤e －1，e －m

＋m ≤e －1→构造函数g (t )＝e t

－t －e ＋1→研究g (t )的单调性→

寻求???

??

g (m )≤0，g (－m )≤0

的条件→对m 讨论得适合条件的范围

评分细则 (1)求出导数给1分；

(2)讨论时漏掉m ＝0扣1分；两种情况只讨论正确一种给2分； (3)确定f ′(x )符号时只有结论无中间过程扣1分； (4)写出f (x )在x ＝0处取得最小值给1分；

(5)无最后结论扣1分； (6)其他方法构造函数同样给分． 跟踪演练2 已知函数f (x )＝ln x ＋1

x

.

(1)求函数f (x )的单调区间和极值；

(2)若对任意的x >1，恒有ln(x －1)＋k ＋1≤kx 成立，求k 的取值范围； (3)证明：ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2

－n －14(n ＋1) (n ∈N *，n ≥2)．

(1)解 f ′(x )＝－ln x

x

2，由f ′(x )＝0?x ＝1，列表如下：

因此函数f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)，极大值为f (1)＝1，无极小值． (2)解 因为x >1，ln(x －1)＋k ＋1≤kx ?ln (x －1)＋1

x －1≤k ?f (x －1)≤k ，

所以f (x －1)max ≤k ，所以k ≥1. (3)证明 由(1)可得f (x )＝ln x ＋1x ≤f (x )max ＝f (1)＝1?ln x x ≤1－1

x

，

当且仅当x ＝1时取等号．

令x ＝n 2 (n ∈N *

，n ≥2)．

则ln n 2

n 2<1－1n 2?ln n n 2<12? ?

???1－1n 2<12??????1－1n (n ＋1)＝12? ??

??1－1n ＋1n ＋1(n ≥2)，

所以ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<12? ????1－12＋13＋12? ????1－13＋14＋…＋12? ????1－1n ＋1n ＋1

＝12? ?

???n －1＋1n ＋1－12＝2n 2－n －14(n ＋1)

. 规范答题示例3 解三角形

典例3 (12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63

，B ＝A ＋π

2.

(1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．

审题路线图 (1)利用同角公式、诱导公式→求得sin A ，sin B →利用正弦定理求b (2)方法一余弦定理求边c →S ＝1

2ac sin B

方法二用和角正弦公式求sin C →S ＝1

2

ab sin C

评分细则 (1)第(1)问：没求sin A 而直接求出sin B 的值，不扣分；写出正弦定理，但b 计算错误，得1分．

(2)第(2)问：写出余弦定理，但c 计算错误，得1分；求出c 的两个值，但没舍去，扣2分；面积公式正确，但计算错误，只给1分；若求出sin C ，利用S ＝1

2ab sin C 计算，同样

得分．

跟踪演练3 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角的对边，且3cos C ＋sin C ＝3a

b

.

(1)求B 的大小；

(2)若a ＋c ＝57，b ＝7，求AB →·BC →

的值． 解 (1)∵3cos C ＋sin C ＝

3a

b

，

由正弦定理可得3cos C ＋sin C ＝

3sin A

sin B

，

∴3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin A ?3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin(B ＋C ) ?3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin B cos C ＋3cos B sin C ， ∴sin B sin C ＝3sin C cos B ， ∵sin C ≠0，∴sin B ＝3cos B ， ∴tan B ＝3，又0

3.

(2)由余弦定理可得

2ac cos B ＝a 2

＋c 2

－b 2

＝(a ＋c )2

－2ac －b 2

， 整理得3ac ＝(a ＋c )2

－b 2

，即3ac ＝175－49. ∴ac ＝42，

∴AB →·BC →＝－BA →·BC → ＝－|BA →||BC →

|·cos B ＝－ac ·cos B ＝－21.

规范答题示例4 三角函数的图象与性质

典例4 (12分)已知m ＝(cos ωx ，3cos(ωx ＋π))，n ＝(sin ωx ，cos ωx )，其中ω>0，

f (x )＝m·n ，且f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π

2

.

(1)若f ? ????α2＝－34，α∈?

????0，π2，求cos α的值；

(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移

π

6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间．

审题路线图 (1)f (x )＝m·n ―――――→数量积运算辅助角公式得f (x )――→对称性

周期性求出ω―

―――――→()2f =α和差公式cos α

(2)y ＝f (x )―――→图象变换y ＝g (x )―――→整体思想

g (x )的递增区间

评分细则 (1)化简f (x )的过程中，诱导公式和二倍角公式的使用各给1分；如果只有最后结果没有过程，则给1分；最后结果正确，但缺少上面的某一步过程，不扣分；

(2)计算cos α时，算对cos ? ????α－π3给1分；由cos ? ????α－π3计算sin ? ????α－π3时没有考虑范围扣1分；

(3)第(2)问直接写出x 的不等式没有过程扣1分；最后结果不用区间表示不给分；区间表示式中不标出k ∈Z 不扣分；没有2k π的不给分．

跟踪演练4 (2017·山东)设函数f (x )＝sin ? ????ωx －π6＋sin ?

????ωx －π2，其中0＜ω＜3.已

知f ? ??

??π6＝0.

(1)求ω；

(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在??????－π4，3π4上的最小值．

解 (1)因为f (x )＝sin ? ????ωx －π6＋sin ? ????ωx －π2，

所以f (x )＝

32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －3

2

cos ωx ＝3? ??

??12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ? ????ωx －π3.

由题设知f ? ??

??π6＝0，

所以

ωπ6

－π

3

＝k π，k ∈Z ， 故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3， 所以ω＝2.

(2)由(1)得f (x )＝3sin ?

????2x －π3， 所以g (x )＝3sin ?

??

??x ＋π4－π3＝3sin ?

??

??x －π12

.

因为x ∈??????－π4，3π4，所以x －π12∈??????－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－3

2

.

规范答题示例5 数列的通项与求和问题

典例5 (12分)下表是一个由n 2

个正数组成的数表，用a ij 表示第i 行第j 个数(i ，j ∈N *

)．已

知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．且a 11＝1，a 31＋a 61＝9，a 35＝48.

a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n

… … … … …

a n 1 a n 2 a n 3 … a nn

(1)求a n 1和a 4n ； (2)设b n ＝

a 4n (a 4n －2)(a 4n －1)

＋(－1)n ·a n 1(n ∈N *

)，求数列{b n }的前n 项和S n .

审题路线图

数表中项的规律―→确定a n 1和a 4n ――→化简b n 分析b n 的特征――→

选定求和方法

分组法及裂项法、公式法求和

＝1－12n ＋1－1－n ＋12＝1－n 2－1

2n ＋1－1.12分

项估算结果.

评分细则 (1)求出d 给1分，求a n 1时写出公式结果错误给1分；求q 时没写q >0扣1分； (2)b n 写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分； (3)缺少对b n 的变形直接计算S n ，只要结论正确不扣分； (4)当n 为奇数时，求S n 中间过程缺一步不扣分．

跟踪演练5 (2017·山东)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列????

??

b n a n 的前

n 项

和T n .

解 (1)设{a n }的公比为q ， 由题意知a 1(1＋q )＝6，a 2

1q ＝a 1q 2

，

又a n >0，由以上两式联立方程组解得a 1＝2，q ＝2， 所以a n ＝2n

.

(2)由题意知S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1，

又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0， 所以b n ＝2n ＋1.

令c n ＝b n a n ，则c n ＝2n ＋12

n ，

因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋1

2n ，

又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋1

2n ＋1， 两式相减得

12T n ＝32＋? ????12＋1

22＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1＝32＋12? ?

??

?1－12n －11－12－2n ＋12n ＋1＝52－2n ＋52

n ＋1，

所以T n ＝5－2n ＋5

2

n .

规范答题示例6 空间中的平行与垂直关系

典例6 (12分)如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点．

(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAH ⊥平面DEF . 审题路线图

(1)条件中各线段的中点――――→设法利用中位线定理取PD 的中点M ――――――→考虑平行关系

长度关系

平行四边形AEFM ―→AM ∥EF ――――→线面平行

的判定定理EF ∥平面PAD

(2)平面PAD ⊥平面ABCDPA ⊥AD ――――→面面垂直的性质PA ⊥平面ABCD ―→PA ⊥DE ――――――――→正方形ABCD 中E ，H 为AB ，BC 中点

DE ⊥AH ―――――→线面垂直的判定定理DE ⊥平面PAH ――――→面面垂直的

判定定理平面PAH ⊥平面DEF

规范解答·分步得分

构建答题模板 证明 (1)取PD 的中点M ，连接FM ，AM .

∵在△PCD 中，F ，M 分别为PC ，PD 的中点，∴FM ∥CD 且FM ＝12

CD .

∵在正方形ABCD 中，AE ∥CD 且AE ＝1

2CD ，

∴AE ∥FM 且AE ＝FM ， 则四边形AEFM 为平行四边形， ∴AM ∥EF ，4分

∵EF ?平面PAD ，AM ?平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD .6分

(2)∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ， ∴PA ⊥底面ABCD ，∵DE ?底面ABCD ，∴DE ⊥PA . ∵E ，H 分别为正方形ABCD 边AB ，BC 的中点， ∴Rt △ABH ≌Rt △DAE ，

则∠BAH ＝∠ADE ，∴∠BAH ＋∠AED ＝90°，∴DE ⊥AH ，8分 ∵PA ?平面PAH ，AH ?平面PAH ，PA ∩AH ＝A ，∴DE ⊥平面PAH ， ∵DE ?平面EFD ，∴平面PAH ⊥平面DEF . 12分 第一步

找线线：通过三角形或

四边形的中位线、平行四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直．

第二步

找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行． 第三步

找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行． 第四步

写步骤：严格按照定理中的条件规范书写解题步骤.

评分细则 (1)第(1)问证出AE 綊FM 给2分；通过AM ∥EF 证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF ∥平面PAD 同样给分；

(2)第(2)问证明PA ⊥底面ABCD 时缺少条件扣1分；证明DE ⊥AH 时只要指明E ，H 分别为正方形边AB ，BC 的中点得DE ⊥AH 不扣分；证明DE ⊥平面PAH 只要写出DE ⊥AH ，DE ⊥PA ，缺少条件不扣分．

跟踪演练6 如图，在三棱锥V —ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点． (1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V —ABC 的体积．

(1)证明 因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB ，

又因为VB ?平面MOC ，OM ?平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC .

(2)证明 因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB .

又因为平面VAB ⊥平面ABC ，平面VAB ∩平面ABC ＝AB ，且OC ?平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB .

又OC ?平面MOC ，所以平面MOC ⊥平面VAB . (3)解 在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1，

所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB .

所以三棱锥C —VAB 的体积等于13·OC ·S △VAB ＝3

3，

又因为三棱锥V —ABC 的体积与三棱锥C —VAB 的体积相等， 所以三棱锥V —ABC 的体积为

33

. 规范答题示例7 空间角的计算问题

典例7 (12分)如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上异于A ，B 的一个动点，DC 垂直于圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC ＝EB ＝1，AB ＝4. (1)求证：DE ⊥平面ACD ；

(2)若AC ＝BC ，求平面AED 与平面ABE 所成的锐二面角的余弦值． 审题路线图 (1)

(2)

CA ，CB ，CD 两两垂直―→建立空间直角坐标系―→写各点坐标―→

求平面AED 与平面ABE 的法向量―→将所求二面角转化为两个向量的夹角

规范解答·分步得分

构建答题模板

(1)证明 ∵DC ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，∴DC ⊥BC ， 又AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上异于A ，B 的点，∴AC ⊥BC ， 又AC ∩DC ＝C ，AC ，DC ?平面ACD ，∴BC ⊥平面ACD ， 又DC ∥EB ，DC ＝EB ，∴四边形BCDE 是平行四边形， ∴DE ∥BC ，∴DE ⊥平面ACD .4分

(2)解 在Rt △ACB 中，AB ＝4，AC ＝BC ， ∴AC ＝BC ＝22，

如图，以C 为原点建立空间直角坐标系，

则A (22，0,0)，D (0,0,1)，B (0,22，0)，E (0,22，1)，AD →＝(－22，0,1)，DE →＝(0,22，0)，

AB →

＝(－22，22，0)，BE →

＝(0,0,1).6分 设平面ADE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则???

??

n 1·AD →＝－22x 1＋z 1＝0，

n 1·DE →＝22y 1＝0，令x 1＝1，得n 1＝

(1,0,22)，

设平面ABE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则???

??

n 2·AB →＝－22x 2＋22y 2＝0，

n 2·BE →＝z 2＝0，令x 2＝1，得n 2＝

(1,1,0).

第一步

找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线．

第二步

写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标． 第三步

求向量：求直线的方向向量或平面的法向量． 第四步

求夹角：计算向量的夹角． 第五步

得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.

10分

∴cos〈n1，n2〉＝n1·n2

|n1||n2|＝

1

32

＝

2

6

.

∴平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为

2

6

.12分

评分细则(1)第(1)问中证明DC⊥BC和AC⊥BC各给1分，证明DE∥BC给1分，证明BC⊥平面ACD时缺少AC∩DC＝C，AC，DC?平面ACD，不扣分．

(2)第(2)问中建系给1分，两个法向量求出1个给2分，没有最后结论扣1分，法向量取其他形式同样给分．

跟踪演练7 (2017·山东)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形

ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF的

中点．

(1)设P是CE上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；

(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E—AG—C的大小．

解(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，

AB，AP?平面ABP，AB∩AP＝A，

所以BE⊥平面ABP.

又BP?平面ABP，

所以BE⊥BP，又∠EBC＝120°，

所以∠CBP＝30°.

(2)方法一取EC的中点H，连接EH，GH，CH.

因为∠EBC＝120°，

所以四边形BEHC为菱形，

所以AE＝GE＝AC＝GC＝32＋22＝13.

取AG的中点M，连接EM，CM，EC，

则EM⊥AG，CM⊥AG，

所以∠EMC为所求二面角的平面角．

又AM＝1，所以EM＝CM＝13－1＝2 3.

在△BEC中，由于∠EBC＝120°，

由余弦定理得EC2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，

所以EC＝23，因此△EMC为等边三角形，

故所求的角为60°.

方法二 以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意得A (0,0,3)，E (2,0,0)，

G (1，3，3)，C (－1，3，0)，

故AE →＝(2,0，－3)，AG →＝(1，3，0)，CG →

＝(2,0,3)， 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量． 由???

??

m · AE →＝0，

m ·AG →＝0，

可得??

?

2x 1－3z 1＝0，

x 1＋3y 1＝0.

取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3，－3，2)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量． 由???

??

n ·AG →＝0，

n ·CG →＝0，

可得??

?

x 2＋3y 2＝0，

2x 2＋3z 2＝0.

取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3，－2)．

所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝1

2

.

因此所求的角为60°.

规范答题示例8 直线与圆锥曲线的位置关系

典例8 (12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3

2

，

且点? ????3，12在椭圆C 上．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 2

4b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，

B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .

①求|OQ ||OP |

的值；②求△ABQ 面积的最大值．

审题路线图 (1)椭圆C 上点满足条件―→得到a ，b 的关系式―――――――→已知离心率e ＝

3

a 2＝

b 2＋

c 2

基本量法求得椭圆C 的方程

(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P ，Q 共线设坐标代入方程―→求出|OQ ||OP |

②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 的方程联立――→通法

研究判别式Δ并判断根与系数的关系―→ 用m ，k 表示S △OAB ―→求S △OAB 的最值――――――――→利用①得S △ABQ 和S △OAB 的关系

得S △ABQ 的最大值

评分细则 (1)第(1)问中，求a 2

－c 2

＝b 2

关系式直接得b ＝1，扣1分；

(2)第(2)问中，求|OQ |

|OP |时，给出P ，Q 的坐标关系给1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处

扣1分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．

跟踪演练8 (2017·全国Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，

P 3? ????－1，

32，P 4?

?

???1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；

(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．

(1)解 由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋3

4b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．

因此?????

1b 2＝1，1a 2

＋3

4b 2

＝1，

解得?

????

a 2

＝4，

b 2

＝1.

故椭圆C 的方程为x 2

4

＋y 2

＝1.

(2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.

如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为? ?

???t ，4－t 2

2，

?

?

???t ，－4－t 2

2，则k 1＋k 2＝

4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1， 得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 2

4＋y 2

＝1，

得(4k 2

＋1)x 2

＋8kmx ＋4m 2

－4＝0， 由题设可知Δ＝16(4k 2

－m 2

＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2

－4

4k 2＋1.

而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2

＝

kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2

＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2

. 由题设k 1＋k 2＝－1，

故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2

－44k 2＋1＋(m －1)·－8km

4k 2＋1＝0，

解得k ＝－

m ＋1

2

.

当且仅当m >－1时，Δ>0， 于是l ：y ＝－m ＋1

2

x ＋m ，

即y ＋1＝－

m ＋1

2

(x －2)，

所以l 过定点(2，－1)．

规范答题示例9 解析几何中的探索性问题

典例9 (12分)已知定点C (－1,0)及椭圆x 2

＋3y 2

＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．

(1)若线段AB 中点的横坐标是－1

2

，求直线AB 的方程；

(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →

为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

审题路线图 (1)设AB 的方程y ＝k (x ＋1)→待定系数法求k →写出方程 (2)设M 存在即为(m ，0)→求MA →·MB →→在MA →·MB →

为常数的条件下求m →下结论

评分细则 (1)不考虑直线AB 斜率不存在的情况扣1分； (2)不验证Δ>0，扣1分；

(3)直线AB 方程写成斜截式形式同样给分； (4)没有假设存在点M 不扣分；

(5)MA →·MB →

没有化简至最后结果扣1分，没有最后结论扣1分．