课时跟踪检测(四十五) 函数y=Asin(ωx φ)

课时跟踪检测（四十五） 函数y=A sin(ωx +φ)

A 级——学考水平达标练

1．函数y ＝sin ????2x －π3在区间???

?－π

2，π上的简图是( )

解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ????－π3＝－32＜0，排除B 、D.当x ＝π

6时，sin ????2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C ，故选A.

2．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π

4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数

解析式是( )

A ．y ＝cos 2x

B ．y ＝1＋cos 2x

C ．y ＝1＋sin ?

???2x ＋π4 D ．y ＝cos 2x －1

解析：选B 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ????2????x ＋π4，即y ＝sin ????2x ＋π

2＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x .

3．如图所示的图象的函数解析式是( )

A ．y ＝sin ????x ＋π

6 B ．y ＝sin ????2x －π

6 C ．y ＝cos ?

???4x －π3 D ．y ＝cos ?

???2x －π6 解析：选D 由图知T ＝4×????π12＋π6＝π，∴ω＝2πT ＝2.又x ＝π

12时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求．

4．把函数y ＝sin ????2x －π4的图象向右平移π

8

个单位，所得图象对应的函数是( )

A ．非奇非偶函数

B ．既是奇函数又是偶函数

C ．奇函数

D ．偶函数

解析：选D y ＝sin ????2x －π4图象向右平移π

8个单位得到y ＝sin ????2????x －π8－π4＝sin ????2x －π2＝－cos 2x 的图象，y ＝－cos 2x 是偶函数.

5．要得到函数f (x )＝cos ????2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ????2x ＋π

3的图象( ) A ．向左平移π

2个单位长度

B ．向右平移π

2个单位长度

C ．向左平移π

4个单位长度

D ．向右平移π

4

个单位长度

解析：选C 因为f (x )＝cos ????2x ＋π2－π6＝sin ????π6－2x ＝sin ????2x ＋5π

6＝sin ????2????x ＋π4＋π3，所以要得到函数f (x )＝cos ????2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ????2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度即可．

6．将函数y ＝sin x 的图象的横坐标和纵坐标同时伸长到原来的3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为________．

解析：y ＝sin x ――→横坐标伸长到原来的3倍

纵坐标伸长到原来的3倍y ＝3sin x 3――→向右平移3个单位长度y ＝3sin ????13(x －3)＝3sin ????13x －1. 答案：y ＝3sin ???

?1

3x －1 7．将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π

12个单位长度，得到函数y ＝sin(4x ＋φ)(0＜φ＜π)

的图象，则φ的值为________．

解析：将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12

个单位长度，得到y ＝sin ????4????x ＋π12＝sin ????4x ＋π3，所以φ的值为π3

. 答案：π3

8.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________.

解析：由图象可得A ＝2，周期为4×????7π12－π3＝π，所以ω＝2，将???

?7π

12，－2代入得

2×7π12＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，所以f (0)＝2sin φ＝2sin π3＝62

.

答案：

6

2

9．已知函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)????φ∈????0，π2，其图象向左平移π6

个单位长度后，关于y 轴对称．

(1)求函数f (x )的解析式；

(2)说明其图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的．

解：(1)将函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)图象上的所有点向左平移π

6

个单位长度后，所得图象的

函数解析式为y ＝3sin ????2????x ＋π6＋φ＝3sin ???

?2x ＋π3＋φ. 因为图象平移后关于y 轴对称， 所以2×0＋π3＋φ＝k π＋π

2(k ∈Z )，

所以φ＝k π＋π

6(k ∈Z )，

因为φ∈????0，π2，所以φ＝π6. 所以f (x )＝3sin ?

???2x ＋π

6. (2)将函数y ＝sin x 的图象上的所有点向左平移π

6个单位长度，所得图象的函数解析式为

y ＝sin ????x ＋π6，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的1

2(纵坐标不变)，得函数y ＝sin ????2x ＋π

6的图象，再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y ＝3sin ?

???2x ＋π

6的图象． 10．设ω＞0，若函数y ＝sin ????ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π

3个单位长度后与原图象重合，求ω的最小值．

解：将y ＝sin ????ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π

3个单位长度后，所得图象的函数解析式为y ＝sin ????ω?

???x －4π3＋π3＋2＝sin ????

ωx ＋π3－4ωπ3＋2. 因为平移后的图象与原图象重合，

所以有4ωπ3＝2k π(k ∈Z )，即ω＝3k 2(k ∈Z )，

又因为ω＞0，所以k ≥1， 故ω＝3k 2≥3

2.

故ω的最小值为3

2

.

B 级——高考水平高分练

1．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π

4

个单位长度，所得图象经过点

???

?3π4，0，则ω的最小值是________． 解析：函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π

4

个单位长度得到函数f (x )＝

sin ????ω????x －π4(其中ω＞0)，将????3π4，0代入得sin ωπ2＝0，所以ωπ2

＝k π(k ∈Z )，解得ω＝2k (k ∈Z)，故得ω的最小值是2.

答案：2

2．某同学给出了以下结论：

①将y ＝sin x 的图象向右平移π个单位长度，得到y ＝－sin x 的图象； ②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位长度，得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位长度，得到y ＝sin(－x －2)的图象． 其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)．

解析：将y ＝sin x 的图象向右平移π个单位长度所得图象的解析式为y ＝sin(x －π)＝－sin(π－x )＝－sin x ，所以①正确；

将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位长度得到图象的解析式为y ＝sin(x －2)，所以②不正确；

将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位长度所得图象的解析式为y ＝sin [－(x ＋2)]＝sin(－x －2)，所以③正确．

答案：①③

3.如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)????A ＞0，ω＞0，|φ|＜π

2的一个周期内的图象．

(1)求函数f (x )的解析式；

(2)若g (x )的图象与f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求函数g (x )的解析式及g (x )的最小正周期．

解：(1)由图，知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴f (x )＝2sin ????π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入，得0＝2sin ????－π

4＋φ. ∵|φ|＜π2，∴φ＝π

4

，∴f (x )＝2sin ????π4x ＋π4. (2)作出与f (x )的图象关于直线x ＝2对称的图象(图略)，可以看出g (x )的图象相当于将f (x )的图象向右平移2个单位长度得到的，

∴g (x )＝2sin ????π4(x －2)＋π4＝2sin ????π4x －π

4， ∴g (x )的最小正周期为2π

π4

＝8.

4．已知函数f (x )＝2sin ????ωx ＋φ－π

6＋1(ω＞0,0＜φ＜π) 为偶函数，且函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π

2.

(1)求f ????π8的值；

(2)将函数f (x )的图象向右平移π

6个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为

原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的单调递减区间．

解：(1)∵f (x )为偶函数，

∴φ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋2π

3(k ∈Z )．

又0＜φ＜π，∴φ＝2π3

，

∴f (x )＝2sin ?

???ωx ＋π

2＋1＝2cos ωx ＋1. 又函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π

2，

∴T ＝2πω＝2×π

2，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos 2x ＋1，

∴f ????π8＝2cos ???

?2×π8＋1＝2＋1.

(2)将f (x )的图象向右平移π

6个单位长度后，得到函数f ????x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f ????

x 4－π6的图象，

所以g (x )＝f ????x 4－π6＝2cos ????2????x 4－π

6＋1 ＝2cos ????

x 2－π3＋1.

当2k π≤x 2－π

3

≤2k π＋π(k ∈Z )，

即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π

3(k ∈Z )时，g (x )单调递减．

∴函数g (x )的单调递减区间是?

???4k π＋2π3，4k π＋8π

3(k ∈Z )．

5．设m 为实常数，已知方程2sin ????x ＋π

4＝m 在开区间(0,2π)内有两相异实根α，β. (1)求m 的取值范围； (2)求α＋β的值．

解：作出函数y ＝2sin ???

?x ＋π

4在区间(0,2π)上的图象如图所示．

(1)若方程2sin ????x ＋π4＝m 在区间(0,2π)内有两相异实根α，β，则y ＝2sin ????x ＋π

4的图象与y ＝m 有两个相异的交点．观察图象知，当－2＜m ＜2且m ≠1时有两个相异的交点，即方程2sin ????x ＋π

4＝m 在区间(0,2π)内有两个相异实根，故实数m 的取值范围为(－2，1)∪(1，2)．

(2)当m ∈(－2，1)时，由图象易知两交点关于直线x ＝

5π4对称，∴α＋β2＝5π4，α＋β＝5π

2

. 当m ∈(1，2)时，由图象易知两交点关于直线x ＝π

4对称，

∴α＋β2＝π4，α＋β＝π2， 故α＋β的值为5π2或π2

.