高二必修五数学试题解三角形考卷2014
完整版高中数学必修5解三角形测试题及答案
高中数学必修5解三角形测试题及答案一、选择题：〔每题 5分，共60分〕1．在VABC 中，AB 3,A 45,C 75，那么BC=A ．33 B ． 2C ．2D ．3 32．以下关于正弦定理的表达或变形中错误的选项是．．A ．在VABC 中,a:b:c=sinA:sinB:sinCB ．VABC 中,a=bsin2A=sin2Ba =b+cC ．VABC 中,sin AsinB+sinCD ．VABC 中,正弦值较大的角所对的边也较大sinAcosB B 的值为3．VABC 中,假设 a,那么bA ．30B ．45C ．60D ．90ab c，那么VABC 是4．在VABC 中，假设 =cosCcosAcosBA ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形5．以下命题正确的选项是A ．当a=4,b=5,A=30时，三角形有一解。
B ．当a=5,b=4,A=60时，三角形有两解。
A 〕B 〕B 〕〔B 〕．等腰直角三角形D 〕C ．当a= 3,b=2,B=120时，三角形有一解。
D ．当a=3 6,A=60时，三角形有一解。
2,b=26．ABC 中,a=1,b=3,∠A=30°,那么∠B 等于〔 B 〕A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°7． 符 合 下 列 条 件 的 三 角 形 有 且 只 有 一 个 的 是〔 D〕A ．a=1,b=2,c=3B ．a=1,b=2,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100°D ．b=c=1,∠B=45°8． 假设 (a+b+c)(b+c － a)=3abc, 且sinA=2sinBcosC, 那 么 ABC 是〔 B〕A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9．在 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A=,a= 3,b=1，3c=那么(B)(A)1(B)2(C)3－1(D)3uur10．〔2021 重庆理〕设ABC 的三个内角A,B,C ，向量m ( 3sinA,sinB)，ruurr1cos(AB)，那么C =〔n(cosB,3cosA)，假设mgnC 〕A ．B ．25C ．D ．66 3 311．等腰△ABC 的腰为底的2倍，那么顶角A 的正切值是〔 D 〕Ａ． 3Ｂ．3Ｃ． 15Ｄ．1528712．如图：D,C,B 三点在地面同一直线上 ,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β,α(α<β),那么A 点离地面的高度 AB 等于〔A 〕Aasin sinasin sin A ．)B ．)sin(cos(asin cosacos sin C ．)D ．)sin(cos(αβBD C题号 1234567891011 12答案二、填空题：〔每题 5分，共 20分〕13．a 2，那么 abc _______2_______sinAsinBsinA sinC14．在ABC 1 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______.中，假设S ABC =4415．〔广东2021理〕点A,B,C 是圆O 上的点， 且AB4, ACB450 ，那么圆O 的面积等于8．rrr rrr16．a2,b4,a 与b 的夹角为3，以a,b 为邻边作平行四边形，那么此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为____2 3________三、解答题：〔 17题10分，其余小题均为 12分〕17．在ABC 中，c 2,b2 3 ,B450，解三角形ABC 。
高中数学必修五解三角形综合测试题二(基础含答案)
高中数学必修五解三角形综合测试题二（考试时间120分钟，总分150分）・选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，请把正确答案填在答题卡上）. 1、在 4ABC 中，A=60 , a=® b=，2,则 B 等于 2、 3、4、5、 6、7、 8、9、A. 45 或 135在△ ABC 中, 冗A.3 在△ ABC 中, AA /3+1B. 60C. 45D. 135若 5a=2bsin A,则 8为()C 九#2c.3a3冗a=2, A=30°, C = 45°,则△ ABC 的面积 S 2在△ ABC 中，若bB.\/3-1 =a 2+c 2+ ac, C.V3+2则B 等于（）△ABC 等于( )D A /3-2A. 60B. 45 或 135C. 120D. 30 在△ ABC 中，已知 a = 9, b= 273, C=150°,则 c 等于 A. 39B. 8 3C . 10V2D. ). 7 3海上有A 、B 两个小岛相距 岛和A 岛成75°的视角，则 A. 10V3 n mile B.10^610 n mile,从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望 B 、C 间的距离是（）n mile C.5 2 n mileD. 5\/6 nmile在△ ABC 中，若 a= 7, b= 473, c=V13, 则△ ABC 的最小角为（ ）. A# B. 3 C 中 D. 7一 ,八 ，•一.八一，… .. 兀 兀 一 _____ 一11、4ABC 的内角A, B,C 的对边分别为a, b,c,已知b= 2 , B = — , C=—,则^ABC 的64面积为（）.A.2 3 2 B ., 3 1 C.2. 3 - 2 D., 3-112、已知锐角^ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 23cos 2A+cos2A= 0 , a=7, c=6, WJb=（）.A. 10B. 9C. 8D. 5二.填空题（共4小题，每题5分，共20分，请把正确答案填在答题卡上） ， ,兀 一一 1 …13、在4ABC 中，若 b= 5, B=z ，sin A=3,则 a =.14、在 z\ABC 中，若 sinA : sin B : sinC=7 ： 8 ： 13,则C=。
高中数学必修5解三角形测试题及答案
8高中数学必修5解三角形测试题及答案、选择题：(每小题5分，共60分)1 .在 L ABC 中，AB =、3, A = 45 , C = 75，则 BC=D . 3 .3在 LI ABC 中,a:b:c 二sinA:sinB:sinC|_|ABC 中,a=b = si n2A=s in2BLABC中，盒= s^SnCLI ABC 中,正弦值较大的角所对的边也较大a=、一3 ,b=2 ,B= 120 时，三角形有一解。
B .等边三角形 D .等腰直角三角形D .当 a =[2,b =GA=60时，三角形有一解。
6. A ABC 中,a=1,b=/ A=30 °，则/ B 等于 60° B . 60° 或 120°符合下列条件的30° 或150 ° 形有且D . 120° 有一a=1,b=2 ,c=3 a=1,b= .2，/ A=30 ° C . a=1,b=2, / A=100 ° 若(a+b+c)(b+ca)=3abc,且b=c=1, / B=45 °sin A=2s in BcosC,ABC(B . ,2 2. F 列关于正弦定理的叙述或变形中 错误的是3. sin A cosBABC 中,若-aB . 304. 在LI ABC 中，若 b 45a,则.B 的值为C . 60 b c —，则L ABC 是D . 90 A .直角三角形 5.下列命题正确的是A .当B .当 cosA cosB cosCB .等边三角形C .钝角三角形D .等腰直角三角形(a=4,b=5,A= 30时，三角形有一解。
a=5,b=4,A= 60时，三角形有两解。
C .当 A .直角三角形 C .等腰三角形317.在厶 ABC 中 ，已知 c 二■ 2,bB = 45°，解三角形 ABCjr .—9.在△ ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知A 二二,a=. 3 ,b=1,3则 c=( B)(A)1(B)2(C) '.3 — 1(D) .310 . ( 2009 重庆理)设 ABC 的三个内角 A, B, C ,向量 m = (、、3sin A,sin B),n = (cos B, .. 3 cos A)，若 m|_n = 1 cos(A B)，则 C = ( C )二 二2 二 5 二A .B .C .D .6 3 3 611.已知等腰△ ABC 的腰为底的2倍，则顶角 A 」2题号12345678910 11 12答案13.已知—=2，则 -------------- a +b-------------- = _______ 2 ______sin A si nA sin B si n C—1 2 22応14 .在△ ABC 中，若 S A ABC = — (a +b — c ),那么角/ C=_— ________ .4415.(广东2009理)已知点 代B,C 是圆0上的点， 且AB = 4, • ACB = 45°，则圆0的 面积等于—8二.16.已知a =2, b =4, a 与b 的夹角为孑，以a,b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的 两条对角线中较短的一条的长度为 ______ 2 J3 _______ 三、解答题：（17题10分，其余小题均为12分）A 的正切值是12 .如图：D,C,B 三点在地面同一直线上 ，DC=a,从3C,D 两点测得C .a sin _：sin : a sin ： sin : cosC --) a sin ： cos :acos ： sin : cos 程壯)A 点仰角分别是 3,已知 a = 2、. 3, c = . 6 2, B = 45,求 b 及A 。
【数学】高二数学必修五解三角形shiti
解三角形测试题一、选择题：（每小题5分，共计60分）1. △ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( )A 直角三角形B 等腰直角三角形C 等边三角形D 等腰三角形2. 在△ABC 中，c=3，B=300，则a 等于（ ）AB ．C或D ．2 3. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ）A ．a=7，b=14，A=300有两解B ．a=30，b=25，A=1500有一解C ．a=6，b=9，A=450有两解D ．a=9，c=10，B=600无解 4. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3si n :si n :si n =C B A ，则cosC 的值为（ ）A ．41- B ．41C ．32-D ．325. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则CB A cb a sin sin sin ++++等于( )A ．33 B ．3392 C ．338 D ．2396. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则⋅的值为( )A ．79B ．69C ．5D ．-57.关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-CB A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形 8. 设m 、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是( ) A.0＜m ＜3 B.1＜m ＜3 C.3＜m ＜4 D.4＜m ＜6 9. △ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( )A.60°B.120°C.60°或120°D.45°10. 在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( ) A.0°＜A ＜30° B.0°＜A ≤45° C.0°＜A ＜90° D.30°＜A ＜60°11.在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形12. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）(A) 锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D) 由增加的长度决定 二、填空题（每小题4分，满分16分）13.在△ABC 中，有等式：①asinA=bsinB ；②asinB=bsinA ；③acosB=bcosA ；④sin sin sin a b cA B C+=+. 其中恒成立的等式序号为______________14. 在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是 。
高中数学必修五__第一章___解三角形知识点归纳及测试题
第十二讲 解三角形1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形： 222cos 2b c a bc+-A =等，8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
②已知三边求角） 9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >． 11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）12．坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡比)．1. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于 （ ）A 63B 62C 12D 322. △ABC 中，cos cos cos a b cA B C ==，则△ABC 一定是 （ ）A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形3.△ABC 中，若60A =，3a =，则sin sin sin a b cA B C +-+-等于 （ ）A 2B 12C 3D 324. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ）A13 B 12 C 34D 0 5.在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是 。
高中数学必修五解三角形测试题及答案
高中数学必修五解三角形测试题及答案1.在三角形ABC中，如果C=90度，a=6，B=30度，那么c-b的值是多少？选项：A。
1 B。
-1 C。
2/3 D。
-2/32.如果A是三角形ABC的内角，那么下列函数中一定取正值的是什么？选项：A。
XXX3.在三角形ABC中，角A和角B都是锐角，并且cosA>sinB，那么三角形ABC的形状是什么？选项：A。
直角三角形 B。
锐角三角形 C。
钝角三角形 D。
等腰三角形4.在等腰三角形中，一条腰上的高为3，这条高与底边的夹角为60度，那么底边的长度是多少？选项：A。
2 B。
3 C。
3/2 D。
2/35.在三角形ABC中，如果b=2sinB，那么角A等于多少？选项：A。
30度或60度 B。
45度或60度 C。
120度或60度 D。
30度或150度6.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是多少？选项：A。
90度 B。
120度 C。
135度 D。
150度填空题：1.在直角三角形ABC中，如果C=90度，那么sinAsinB 的最大值是1/4.2.在三角形ABC中，如果a=b+bc+c，那么角A的大小是60度。
3.在三角形ABC中，如果b=2，B=30度，C=135度，那么a的大小是2.4.在三角形ABC中，如果5.在三角形ABC中，如果AB=2(6-2)，C=30度，那么AC+BC的最大值是5.解答题：1.在三角形ABC中，如果acosA+bcosB=ccosC，那么三角形ABC是等腰三角形。
2.在三角形ABC中，证明：b-a/c = c-b/a。
3.在锐角三角形ABC中，证明：XXX>XXX。
4.在三角形ABC中，如果a+c=2b，A-C=π/3，那么sinB 的值是1/2.1.在△ABC中，若 $\log(\sin A) - \log(\cos B) - \log(\sin C) = \log 2$，则△ABC的形状是（）A。
直角三角形 B。
高中数学必修五解三角形测试题及答案
tan B b
A ．直角三角形
B ．等腰或直角三角形
C ．不能确定
二、填空题
D ．等腰三角形
1. 在△中，若 sin A sin B, 则 A 一定大于 B ，对吗？填（对或错）
2
2
2
2. 在△中，若 cos A cos B cos C 1, 则△的形状是。
3. 在△中，∠ C 是钝角，设 x sin C, y sin A sin B, z cos A cos B,
则 x, y, z 的大小关系是。
1
4. 在△中，若 a c 2b，则 cos A cos C cos A cosC
sin Asin C 。
3
2 5. 在△中，若 lg tan B lg tan A lg tan C, 则 B 的取值范围是。
2
6. 在△中，若 b
ac ，则 cos( A C)
cos B
）
A ． 30 0 或 60 0
B ． 45 0 或60 0
C． 120 0或 60 0
D． 30 0 或 150 0
6. 边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是（
）
0
A ． 90
0
0
0
B． 120
C． 135
D． 150
二、填空题
0
1. 在 Rt △中， C 90 ，则 sin Asin B 的最大值是。
（数学 5 必修）第一章：解三角形
[ 基础训练 A 组]
一、选择题
1. 在△中，若 C
0
90 , a
6, B
30 0 ，则 c b 等于（
）
A． 1 B． 1 C． 2 3 D． 2 3
2014三角形高考试题带答案
17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值．16．解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.8．、[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )图1-3A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m8．C [解析] 由题意可知，AC ＝60sin 30°＝120.∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC ＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24.在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC∠BAC，于是BC ＝120×222＋64＝240 22＋6＝120(3－1)(m)．故选C.18．、[2014·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．18．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222×2×52＝－15. (2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C 可得sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，所以a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，所以b ＝3.17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327. 16．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．16．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.18．[2014·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝2＋ 2.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值． 18．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2， 化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2， 故cos(A ＋B )＝－22， 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值．16．解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.12．[2014·北京卷] 在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________．12．2158 [解析] 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×2×1×14＝4，即c ＝2；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋4－12×2×2＝78，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158.14．[2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．14．1 [解析] 由BC sin A ＝ACsin B ，得sin B ＝2sin 60°3＝1，即B ＝90°，所以△ABC 为以AB ，BC 为直角边的直角三角形， 则AB ＝AC 2－BC 2＝22－（3）2＝1，即AB 等于1.7．、[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 7．A [解析] 设R 是三角形外切圆的半径，R ＞0，由正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ．故选A.∵sin ≤A sin B ，∴2R sin A ≤2R sin B ，∴a ≤b .同理也可以由a ≤b 推出sin A ≤sin B .13．[2014·湖北卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a＝1，b ＝3，则B ＝________．13.π3或2π3 [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sin π6＝3sin B，解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π3.19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值；(2)求BE 的长．图1-419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.14．、[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．14.6－24[解析] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c .故cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝34a 2＋12b 22ab －24≥234a 2·12b 22ab －24＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝23时等号成立．18．、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长．(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？图1-618．解： 方法一：(1)如图所示， 以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170，0)，直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点 B 的坐标为(a ，b )，则k BC ＝b －0a －170＝－43， k AB ＝b －60a －0＝34，解得a ＝80, b ＝120，所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知， 直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切， 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d － 680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680 － 3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大， 即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 方法二：(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO ＝43，所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60，OC ＝170，所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503， 从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003， 从而BC ＝CF －BF ＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝35， 所以r ＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680－3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大，即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 5．[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19 B.13 C ．1 D.725．D [解析] 由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2＝2⎝⎛⎭⎫b a 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫322－1＝72. 17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327. 18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12， 所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan C tan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°.17．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．17．解：(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 16．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.图1-316．150 [解析] 在Rt △ABC 中，BC ＝100，∠CAB ＝45°，所以AC ＝100 2.在△MAC中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，所以∠AMC ＝45°，由正弦定理有AM sin ∠MCA ＝AC sin ∠AMC，即AM ＝sin 60°sin 45°×100 2＝1003，于是在Rt △AMN 中，有MN ＝sin 60°×1003＝150 . 17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2.(1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积．17．解：(1)在△ABC 中，由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2， 所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63. 由正弦定理可得，b ＝a sin B sin A ＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33. 由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63 ＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322. 16．、、[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值．16．解： (1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b ＝2a .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 8．、[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )图1-3 A ．240(3－1)m B ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m8．C [解析] 由题意可知，AC ＝60sin 30°＝120. ∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC ＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24. 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC ∠BAC， 于是BC ＝120×222＋64＝240 22＋6＝120(3－1)(m)．故选C. 18．、[2014·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值； (2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ， 且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值． 18．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72. 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝ 22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222×2×52＝－15. (2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C 可得 sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A 2＝2sin C ， 化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C .由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，所以a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，所以b ＝3.。
高中必修五——解三角形(含答案)
解三角形一．解答题（共5小题）1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，O为△ABC三边中垂线的交点．（1）若b﹣c=a，2sinB=3sinC，求cosA的值；（2）若b2﹣2b+c2=0，求•的取值范围．2．已知函数f（x）=sin2x+2cos2x．（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）设a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，f（c）=3，c=1，ab=2，求a，b的值．（Ⅰ）若a=2，b=3，求△ABC的外接圆的面积；（Ⅱ）若c=2，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．4．在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos2A=sin2B+cos2C+sinAsinB．（I）求角C的大小；（Ⅱ）若c=，求△ABC周长的取值范围．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a和b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A；（Ⅲ）若ab=，求△ABC的周长．解三角形参考答案与试题解析一．解答题（共5小题）1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，O为△ABC三边中垂线的交点．（1）若b﹣c=a，2sinB=3sinC，求cosA的值；（2）若b2﹣2b+c2=0，求•的取值范围．【分析】（1）利用正弦定理可求2b=3c，结合已知可得a=2c，b=，用余弦定理即可求值得解．（2）如图所示，延长AO交外接圆于D．由于AD是⊙O的直径，可得∠ACD=∠ABD=90°，于是cos，cos∠BAD=．可得=•（﹣）=2﹣2，．再利用c2=2b﹣b2，化为=（b﹣）2﹣．由于c2=2b﹣b2＞0，解得0＜b＜2．令f（b）=（b﹣）2﹣．利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵2sinB=3sinC，∴2b=3c．又∵b﹣c=a，∴a=2c，b=，∴cosA==﹣．（2）∵O为△ABC三边中垂线的交点，∴O为三角形外接圆的圆心．如图所示，延长AO交外接圆于D，连接BD、CD，∵AD是圆O的直径，∴∠ACD=∠ABD=90°，cos，cos∠BAD=．∵c2=2b﹣b2，∴=•（﹣AB）=•﹣•=2﹣2=b2﹣c2=b2﹣（2b﹣b2）=b2﹣b=（b﹣）2﹣．∵c2=2b﹣b2＞0，∴0＜b＜2，设f（b）=（b﹣）2﹣，又f（0）=0，f（2）=2，∴的取值范围是：[﹣，2]．【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的外接圆的性质、向量的运算法则、数量积运算、二次函数的单调性等基础知识与基本方法，属于难题．2．已知函数f（x）=sin2x+2cos2x．（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）设a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，f（c）=3，c=1，ab=2，求a，b的值．【分析】（Ⅰ）利用三角函数间的关系将f（x）化简为f（x）=2sin（2x+）+1，由x∈[0，]；可求得2x+∈[，]，从而可求得函数f（x）的值域．（Ⅱ）由f（C）=3可求得C，利用余弦定理可求得a2+b2=7，通过解方程可求得a、b的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1（2分）=2sin（2x+）+1（4分）∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，（6分）∴函数f（x）的值域为[0，3]．（7分）（Ⅱ）∵f（C）=3，∴2sin（2C+）+1=3，即sin（2C+）=1．∵0＜C＜π，∴2C+∈[，]，∴2C+=，∴C=．（10分）又c2=a2+b2﹣2abcosC，c=1，ab=2，cosC=，∴a2+b2=7．（12分）由，得或．（14分）【点评】本题考查三角函数间的关系，考查正弦函数的性质，考查余弦定理与解方程得能力，属于难题．3．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知．（Ⅰ）若a=2，b=3，求△ABC的外接圆的面积；（Ⅱ）若c=2，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）a=2，b=3，C=，由余弦定理可求得c，再利用正弦定理可求得△ABC的外接圆的半径，从而可求△ABC的外接圆的面积；（Ⅱ）利用三角函数间的关系将条件转化为：sinBcosA=2sinAcosA，对cosA分cosA=0与cosA≠0讨论，再分别借助正弦定理，通过解方程组与再由三角形的面积公式即可求得△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=3，C=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣2×2×3×=7，∴c=，设其外接圆半径为R，则2R=，故R=，∴△ABC的外接圆的面积S=πR2=；（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosA，∴sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时，∠A=，∠B=，a=，b=，可得S=；当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a…①，∵c=2，∠C=60°，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=4…②，联立①①解得a=，b=，∴△ABC的面积S=absinC=absin60°=．综上可知△ABC的面积为．【点评】本题考查余弦定理与正弦定理，考查转化与方程思想的综合运用，考查综合分析与运算能力，属于难题．4．在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos2A=sin2B+cos2C+sinAsinB．（I）求角C的大小；（Ⅱ）若c=，求△ABC周长的取值范围．【分析】（I）由三角函数的平方关系、余弦定理即可得出；（II）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（I）∵cos2A=sin2B+cos2C+sinAsinB，∴1﹣sin2A=sin2B+1﹣sin2C+sinAsinB，∴sin2A+sin2B﹣sin2C=﹣sinAsinB，∴a2+b2﹣c2=﹣ab，∴=，又0＜C＜π，∴．（2）∵，∴a=2sinA，b=2sinB，则△ABC的周长L=a+b+c=2（sinA+sinB）+=2（sinA+）+=，∵，，∴，即，∴△ABC周长的取值范围是．【点评】熟练掌握三角函数的平方关系、正、余弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等是解题的关键．5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=2，C=60°．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a和b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A；（Ⅲ）若ab=，求△ABC的周长．【分析】（I）由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，化为a2+b2﹣ab=4．由于△ABC 的面积等于，可得=，即ab=4，联立即可解得．（II）由sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，可得sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A，化为cosA=0或cosB=2sinA．当cosA=0，A=90°，当cosB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，代入a2+b2﹣ab=4，解得a，再利用正弦定理可得sinA==，解得A，由a ＜c，A只能是锐角．（III）由a2+b2﹣ab=4．与ab=，解得a+b=3，即可得出．【解答】解：（I）由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，∴4=a2+b2﹣2abcos60°，化为a2+b2﹣ab=4．∵△ABC的面积等于，∴=，化为ab=4，联立，解得a=b=2．（II）∵sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A，∴2sinBcosA=4sinAcosA，∴cosA=0或sinB=2sinA．当cosA=0，A=90°，当sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，代入a2+b2﹣ab=4，解得，则sinA==，解得A=30°，或A=150°，∵a＜c，∴A＜C，∴A=30°．综上可得：A=90°或A=30°．（III）由a2+b2﹣ab=4．可得：（a+b）2﹣3ab=4，由ab=，解得a+b=3，∴△ABC的周长=a+b+c=3+2=5．【点评】本题综合考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式、诱导公式、等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。
2014年三角、解三角形高考真题
2014年三角函数、解三角形高考题1．（2014天津理15）已知函数2()cos sin 3f x x x x x π⎛⎫=⋅++∈ ⎪⎝⎭R ． （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．2．（2014天津文16）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知a c -=，sin B C =．（1）求cos A 的值；（2）求cos 26A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．3．（2014江西理16）已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中a ∈R ，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．（1）当a =4πθ=时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；（2）若02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1f π=，求a ，θ的值．4．（2014江西文16）已知函数2()(2cos )cos(2)f x a x x θ=++为奇函数，且04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中a ∈R ，(0,)θπ∈．（1）求a ，θ的值；（2）若2,,452f απαπ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．5．（2014广东理16）已知函数()sin ,4f x A x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，且53122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）求A 的值；（2）若3()()2f f θθ+-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求34f πθ⎛⎫-⎪⎝⎭．6．（2014湖南理18）如图，在平面四边形ABCD 中，1AD =，2CD =， AC =（1）求cos CAD ∠的值； （2）若cos BAD ∠=sin CBA ∠=，求BC 的长．DCBA7．（2014湖南文19）如图，在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥，1DE =，EC =2EA =，23ADC π∠=， 3BEC π∠=．（1）求sin CED ∠的值；（2）求BE 的长．8．（2014四川理文16）已知函数()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，4cos cos 2354f απαα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos sin αα-的值．9．（2014陕西理16）ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ． （1）若,,a b c 成等差数列，证明：sin sin 2sin()A C A C +=+； （2）若,,a b c 成等比数列，求cos B 的最小值．10．（2014陕西文16）ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ． （1）若,,a b c 成等差数列，证明：sin sin 2sin()A C A C +=+； （2）若,,a b c 成等比数列，且2c a =，求cos B 的最小值．11．（2014山东理16）已知向量(,cos2)m x =a ，(sin 2,)x n =b ，函数()f x =⋅a b ，且()y f x =的图象过点12π⎛ ⎝和点2,23π⎛⎫-⎪⎝⎭． （1）求,m n 的值；（2）将()y f x =的图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图象，若()y g x =图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间．12．（2014山东文17）中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知3a =，cos A =，2B A π=+． （1）求b 的值；（2）求ABC △的面积．13．（2014安徽理16）设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且3b =，1c =，2A B =． （1）求a 的值；（2）求sin()4A π+的值．14．（2014安徽文16）设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且3b =，1c =，ABC △cos A 与a 的值．15．（2014湖北理17）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似BCD EA满足函数关系：()10sin,[0,24)1212f t t t t ππ=-∈．（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11℃．则在哪段时间实验室需要降温？16．（2014湖北文17）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()10sin,[0,24)1212f t t t t ππ=-∈．（1）求实验室这一天上午8时的温度；（2）求实验室这一天的最大温差． 17．（2014辽宁文理17）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且a c >．已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求： （1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值．18．（2014福建文18）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+． （1）求54f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．19．（2014福建理16）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-． （1）若02πα<<，且sin α=，求()f α的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．20．（2014北京理15）如图，在ABC △中，3B π∠=，8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=． （1）求sin BAD ∠；（2）求BD ，AC 的长．21．（2014北京文16）函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）写出()f x 的最小正周期及图形中0x ，0y 的值； （2）求()f x 在区间[,]212ππ--上的最大值和最小值．22．（2014重庆理17）已知函数())(0,)22f x x ππωϕωϕ+>-≤<的图象关于直线3x π=DB A对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（1）求ω和ϕ的值；（2）若2()263f αππα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，求3cos()2πα+的值．23．（2014重庆文18）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且8a b c ++=． （1）若2a =，52b =，求cos C 的值； （2）若22sin cos sin cos 2sin 22B A A B C +=，且ABC △的面积9sin 2S C =，求a 和b 的值．24．（2014浙江理18）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知a b ≠，c =，22cos cos cos cos A B A A B B -．（1）求角C 的大小；（2）若4sin 5A =，求ABC △的面积．25．（2014浙江文18）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知24s i n4s i n s i n 22A BA B -+= （1）求角C 的大小；（2）4b =，ABC △的面积为6，求边长c 的值．26．（2014江苏理文15）已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α=（1）求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求5cos 26πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 27．（2014大纲全国卷理17文18）ABC △内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B ．28．（2014广东文16）已知函数()sin ,3f x A x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，且512f π⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求A 的值；（2）若()()0,2f f πθθθ⎛⎫--=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．29．（2014新课标Ⅱ文17）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，1AB =，3BC =，2CD DA ==．（1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积．。
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高二必修五数学试题解三角形考卷2014-2015学年度一、选择题1．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，b ＝6，则△ABC 的外接圆半径为（ ）A.6B.12C.23D.432．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且a b >，则B =（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 3．要测量底部不能到达的珠江电视塔的高度，在珠江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m ，则电视塔在这次测量中的高度是( )．A ．1002 mB ．400 mC ．2003 mD ．500 m4．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量(3,1)m =-，(cos ,sin )n A A =， 若m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A ，B 的大小为( )． A.6π，3π B.23π，6π C.3π，6π D.3π，3π5．在ABC ∆中，60B =，2b ac =，则三角形一定是( )．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形6．在ABC ∆中，已知030,10,25===A c a ，则角B 等于（ ）A ．0105B ．060C ．015D ．0015105或7．已知，，且、都是锐角，则＋（ ）A 、B 、C 、或D 、或 8．若锐角ABC ∆中，B C 2=，则bc的取值范围是（ ）（A ）()2,0 （B ）()2,3 （C ）()3,2 （D ）()2,2tan 2α=tan 3β=αβαβ=4π43π4π43π43π45π9．若ABC ∆为钝角三角形，三边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是 （ ） （A ）)5,1( （B ）)5,13(（C ）)13,5( （D ）)5,13()5,1(10．在ABC ∆中，若1tan tan >B A ，则ABC ∆是（ ） （A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）无法确定11．已知ABC ∆中，C B A C B sin sin sin sin sin 222-=-+,则A= （ ） （A ） 60 （B ） 90 （C ） 150 （D ） 12012．在ABC ∆中，====A B b a 则,6,1,3π（ ）（A ）3π （B ）6π或65π （C ） 32π （D ）3π或32π 13．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a A b B A a 2cos sin sin 2=+，则=ab（ ） A ．2 B ．22 C ．3 D ．23 14．各角的对应边分别为，满足，则角的范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 15．在△中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（ ） A ． B ． C ． D ． 16．.在ABC∆中，已知 30,10,25===A ca，则角C =A.30B.45C.135D.45135或17．在锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．18．设的内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，若，则ABC的形状为（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定19．在ABC ∆中，若0120,2==A b ，三角形的面积3=S ，则三角形外接圆的半径为ABC ∆c b a ,,1≥+++ba cc a b A (0,]3π(0,]6π[,)3ππ[,)6ππABC A B C a b c 2C B =cb2sin C 2cos B 2sin B 2cos C ABC cosC ccosB asinA b +=20．在ABC ∆中，内角 A 、B 、C 的对边分别是 a 、b 、c ，若223, 23 b c ac sin A sin C -==，则B=（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 21．在锐角．．三角形中，分别为内角的对边，若，给出下列命题：①；②；③．其中正确的个数是（ ）． A ． B ．1 C ． D ． 22．在则（ ）A ．B ．C ．D ．23．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是（ ）A ．10mB ．10mC ．10mD ．10m24．在△中，若，则等于（ ） A ． B ． C ． D ．25．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ． B ． C ． D ． 26．△ABC 中，若cos cos a bB A=，则该三角形一定是（ ） A ．等腰三角形但不是直角三角形 B ．直角三角形但不是等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形27．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是a ，b ，c ，若2B A =，1a =，3b =，则c =（ ）ABC ,,a b c ,,A B C 2A B =ππ64B <<(2,3]a b∈22a b bc =+023,3,160A 0===∆∆ABC S b ABC ，中，=++++CB A cb a sin sin sin 3383392332632ABC B a b sin 2=A 006030或006045或0060120或0015030或A sin A cos A tan Atan 128．在ABC ∆中，“3sin 2A >”是“3A π>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件29．在中,已知,则的面积是（ ） A ． B ． C ．或 D ．30．在△ABC 中，若，，，则B 等于（ ）A ．B ．或C ．D ．或31．若cCb B a A cos cos sin ==，则∆ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角是30的直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．有一个内角是30的等腰三角形32．一个三角形的两个内角为45°和30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为（ ）A ．26B ．36C ． 22D ． 32 33．ABC △的三个内角为A ，B ，C ，若sin 3c o s 5πta n6c o s 3sin A A A A+=-，则sin sin B C ⋅的最大值为（ ） A ．34 B ．1 C ．12D ．2 二、填空题34．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝8，c ＝6，a ＝4，D 为边BC 的中点，则|AD|＝___________.35．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝8，c ＝6，A ＝3π，∠BAC 的角平分线交边BC 于点D ，则|AD|＝___________.36．已知ABC ∆的三边长,,a b c 满足2b c a +≤，2c a b +≤，则ba的取值范围是 。
37．已知锐角ABC ∆的面积为33，4BC =，3CA =，则角C 的大小为 38．已知,,a b c 为ABC ∆的三边，120B =，则222c a c a b ++-=ABC ∆ 30,4,34=∠==B AC AB ABC ∆3438343832a =23b =030A =6060120303015039．如图，在山腰测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为 米．40．ABC ∆中，已知54cos ,135sin ==B A ，则=C cos ． 41．在中，，，则= .42．在∆ABC 中，60,10A BC ∠==，D 是AB 边上的一点，2CD =，△CBD 的面积为1，则AC 边的长为_______．43．锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b ，若2sin a B b =，则角A 等于 ． 44．在△ABC 中，3A π∠=，3BC =，6AB =，则C ∠=_________. 45．在=-=+-∆C ab b c a ABC 则角中，,3222A.150B.60C.30D.45135或46．若在△ABC 中，，则△ABC 的形状为_________ 47．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知6π=C ，1=a ，3=b ，则=B ____________．48．若满足，，的恰有一解，则实数的取值范围是 ．49．在△ABC 中，a=2，则b ·cosC+c ·cosB 的值为__________． 50．在△ABC 中，若 ．51．在△ABC 中，若，则等于（ ） A ． B ． C ． D ． 52．ABC∆中，，，三角形面积，．ABC ∆cos cos 2cos a B b A c A +=tan 3tan B C =ACABcCb B a A cos cos sin ==3ABC π∠=3AC =BC m =ABC △m =++=A c bc b a 则,22230,6,90===B a C b c -11-3232-60A =︒1b =ABC 3S =sin sin sin a b cA B C++=++53．在△ABC 中，若 ． 54．等腰△ABC 顶角的余弦为13，则底角的正弦值为 ． 三、解答题55．（本小题满分12分）在中，内角所对的边分别为。
已知 （1）求的值；（2）若，求的面积56．（12分）在ABC ∆中，3,26,2a b B A ==∠=∠。
（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值。
57．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,23.B C b a ==（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）cos(2)4A π+的值．58．（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是△ABC 三个内角,,A B C 的对边。