浙江省2013年高考数学仿真模拟试卷6(理科)-2

5题1．【原创】．已知集合M=⎩⎨⎧∈++==-=},1)42sin(2|{},3|2R x x y y N x y x π，且M 、N 都是全集R 的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{x|-33≤≤x }B ． {y|-31≤≤y }C ．{x|33≤<x }D ．Φ （命题意图：考查函数定义域、值域、集合运算）2. 【原创】已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“21=a ”是“点M 在第四象限”的( )（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（命题意图：考查复数运算、复平面的理解、充分、必要条件）3. 【原创】设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+22142y x y x y x ，则z ＝x ＋y ： ( )A ．有最小值2，最大值3 B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值 D ．既无最小值，也无最大值（命题意图：考查线性规划）4．[原创]某甲上大学前把手机号码抄给同学乙.后来同学乙给他打电话时，发现号码的最后一个数字被撕掉了，于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字，且用过了的数字不再重复.则拨号不超过3次而拨对甲的手机号码的概率是（ ）. （A ）103 （B ）102 （C ）101（D ）31（命题意图：考查古典概型的计算） 5．【改编教材必修3】如果执行右面的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n ≥m ，那么输出的P 等于( )A ．1m nC - B. 1m n A - C. mn C D.mn A （命题意图：考查排列数、组合数，算法中的循环结构）6．[原创] 已知：l m ,是直线，βα,是平面，给出下列四个命题：①若l 垂直于α内的两条直线，则α⊥l ；②若α//l ，则l 平行于α内的所有直线；③若,,βα⊂⊂l m 且,m l ⊥则βα⊥；④若,β⊂l 且,α⊥l 则βα⊥；⑤若βα⊂⊂l m ,且,//βα则m //。

其中正确命题的个数是( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3（命题意图：考查空间位置关系）7．[原创] 函数()s i n ,[,],22f x x x x ππ=∈-12()()f x f x >若，则下列不等式一定成立的是( )A ．021>+x x B ．2221x x > C ．21x x > D ．2221x x <（命题意图：考查函数奇偶性、单调性、三角函数）8．【2010年福建高考题改编】已知双曲线)0(12222>=-b by x的左、右焦点分别是1F 、2F ，M N R1题正视图 侧视图23113其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则21PF PF ∙＝( )A. －12B. －2C. 0D. 4（命题意图：考查双曲线的性质、向量的数量积）9．【原创】在等差数列{}n a 中，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时，n =（ ）A ．18 B ．19 C ．20 D ．21 （命题意图：考查等差数列的概念、性质）10．【2012温州市高三第一次适应性测试】如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体ABC D 的棱长为4，C 在平面α内，B 是直线l上的动点，则当O 到AD 的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为 （ ）A ．422+ B ．222+C ．4 D ．43（命题意图：考查空间想象力、创新思维）11．【由2012浙江省高考考试说明样卷改编】已知53)4s i n (=-x π，则x 2sin 的值为 ．（命题意图：考查同角三角函数关系、两倍角关系、两角和与差）12．【原创】设(2,4),(1,1)a b ==，若()b a m b ⊥+，则实数m =________（命题意图：考查向量的坐标运算）13. 【原创】一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 .（命题意图：考查三视图、几何体积） 14．【2012年浙江省高考样卷改编】已知随机变量X 的分布列如下表所示，X 的期望EX=1.5，则DX 的值等于 。

X 0 1 2 3 P0．1ab0.2（命题意图：考查期望、方差的计算） 15．【原创】6(1)(1)x x +-展开式中3x 项系数为 ．(命题意图：考查二项式定理）16．若函数|1|l o g )(+=x t x f 在区间(-2，-1)上恒有,0)(>x f ，则关于t 的不等式)1()18(f f t>-的解集为____________(命题意图：考查对数函数、指数函数、不等式) 17．【2011徐州高三第三次质量检测】如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，αlODCBAAB=EF=1，CA=CB=2，若2A B A E A C A F ⋅+⋅=，则EF 与BC 的夹角等于__________________。

(命题意图：向量的运算(18)．【根据2011年全国高考山东卷改编】（本题满分14分） 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．（命题意图：考查正弦定理的运用、三角函数的性质(19)．【2009浙江省高考命题解析改编】（本题满分14分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1,,2n n S a 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若22nb na -=，设n n nb c a =求数列{}n c 的前项和n T .（命题意图：考查数列的性质和应用）(20)．【2012浙江省高考样卷20改编】（本题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ,∠DAB 为直角，AB ‖CD,AD =CD =24B,E 、F 分别为PC 、CD 的中点. （Ⅰ）试证：CD ⊥平面BEF;（Ⅱ）设PA ＝k ·AB ,且二面角E -BD -C 的平面角大于︒30,求k 的取值范围（命题意图：考查立体几何中的位置关系、空间角的计算）(21)．【2011届宁波十校联考改编】已知：圆221x y +=过椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y kx m =+与圆221x y +=相切 ，与椭圆22221x y ab+=相交于A ，B 两点记23,.34O A O B λλ=⋅≤≤ 且 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求k 的取值范围； （Ⅲ）求O A B ∆的面积S 的取值范围.（命题意图：考查求曲线的轨迹方程、直线和圆锥曲线的位置关系） (22)．【2009年浙江省高卷22题改编】（本题满分15分）已知函数1()(2)(1)2l n ,().(,xf x ax x g x x e a e -=---=∈R 为自然对数的底数 （I ）当1,()a f x =时求的单调区间； （II ）若函数1()(0,),2f x a 在上无零点求的最小值；（III ）若对任意给定的(](]00,,0,(1,2)i x e e x i ∈=在上总存在两个不同的，使得0()(),i f x g x a =成立求的取值范围。

（命题意图：考查函数、导数、不等式的应用及分类讨论问题。

）(1)C (2)A (3)B (4 )A (5) D (6) B (7)B(8)C (9) C (10) A(11).257. (12).-3 (13).3 (14) 0.85(15) .16 (16) (0,31) (17) 3π(18)．（Ⅰ）由正弦定理，可得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 将上式代入已知的cos B cos C ＝－b 2a ＋c ，得cos B cos C ＝－sin B2sin A ＋sin C ，（3分即2sinAcos B ＋sin Ccos B ＋cos Csin B ＝0，即2sin Acos B ＋sin(B ＋C)＝0.A B C π++= ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，故2sin A cos B ＋sin A ＝0.因为sin A ≠0，故cosB ＝－12，又因为B 为三角形的内角，所以B ＝23π. （7分）方法二 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c ，得a 2＋c 2－b 22ac ×2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c ，整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，因为B 为三角形内角，所以B ＝23π.（Ⅱ）将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B的变形式：b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B . 9分所以13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，即得ac ＝3，】=所以S △ABC ＝12ac sin B ＝343.（14分）(19)．解：（Ⅰ）由题意知0,212>+=n n n a S a 当1n =时，21212111=∴+=a a a 当212,212211-=-=≥--n n n n a S a S n 时，两式相减得122--=n n n a a a （2n ≥整理得：21=-n n a a （2n ≥） 4分∴数列{}n a 是21为首项，2为公比的等比数列.211122212---=⨯=⋅=n n n n a a 6分（Ⅱ）42222--==n b n na nb n 24-=∴7分24216822n n n nnb n nc a ---====nn n n n T 28162824 (2)82028132-+-++-++=- …… ①13228162824 (202)821+-+-+++=n nn n nT …… ②①－②得1322816)21 (2)121(8421+--+++-=n nn n T9分nn n n n n n n 242816)211(442816211)211(218411112=----=----⋅-=+-+-12分nn n T 28=∴ 14分(20)．解法一：（Ⅰ）证：由已知DF ∥AB 且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而CD ⊥BF . 又PA ⊥底面ABCD,故PA ⊥CD ，而CD ⊥AD ，从面CD ⊥平面PAD .CD ⊥PD . 3分在△PDC 中，E 、F 分别PC 、CD 的中点，故EF ∥PD ,从而CD ⊥EF ,由此得CD ⊥面BEF . 6分（Ⅱ）连结AC 交BF 于G .易知G 为AC 的中点.连接EG ,则在△PAC 中易知EG ∥PA .又因PA ⊥底面ABCD ,故BC ⊥底面ABCD .在底面ABCD 中，过C 作GH ⊥BD ,垂足为H ,连接EH .由线面垂直知EH ⊥BD .从而∠EHG 为二面角E -BD -C 的平面角. ………8分设AB=a ,则在△PAC 中，有BG =21PA =21ka .以下计算GH ，考察底面的平面图（如答(19)图２）.连结GD 因S△CBD =21BD ·GH=21GB ·OF.故GH =BDDF GB ∙.在△ABD 中，因为AB ＝a,AD =2A ,得BD =5a 而GB =21FB =21AD -a.DF-AB ,从而得GH =BDDF GB ∙=aa a 5∙＝.55a 因此tan EHG=GHEG =.255521k aka =由k ＞0知EHG ∠是锐角，故要使EHG ∠＞︒30，必须k 25＞tan ︒30=,33解之得，k 的取值范围为k ＞.1515214分解法二：（Ⅰ）如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a ,则易知点A,B,C,D,F 的坐标分别为A (0,0,0),B (a ,0,0),C (2a ,2a ,0),D (0,2a ,0),F (a ,2a ,0).从而DC=(2a ,0,0),BF =(0,2a ,0),DC ·BF =0,故DC ⊥BF 设PA =b ,则P (0,0,b ),而E 为PC 中点.故 E ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,,b a a .从而BE =⎪⎭⎫⎝⎛2,,0b a .DC ·BE =0,故DC ⊥BE .由此得CD ⊥面BEF .（Ⅱ）设E 在xOy平面上的投影为G ，过G 作GH ⊥BD 垂足为H,知EH ⊥BD.从而∠EHG 为二面角E-BD-C 的平面角.由PA ＝k ·AB 得P(0,0,ka),E ⎪⎭⎫⎝⎛2,,ka a a ,G(a,a,0).设H(x,y,0)，则GH =(x-a,y-a,0), BD =(-a,2a,0),由GH ·BD =0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即 x-2y=-a ①又因BH =(x,a,y,0),且BH 与BD 的方向相同，故aa x -＝ay 2，即2x+y=2a②由①②解得x =53a,y=54a,从而GH ＝⎪⎭⎫⎝⎛--0,51,52a a ，｜GH ｜＝55a. tan EHG =GHEC=aKa 552=k 25由k ＞0知，EHC 是锐角，由∠EHC ＞,30︒得tanEHG ＞tan ,30︒即k 25＞.33故k 的取值范围为k ＞15152(21)．解：（Ⅰ）由题意知2c=2,c=1因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b=1.故a=2所求椭圆方程为1222=+yx4分（Ⅱ）因为直线l:y=kx+m 与圆122=+y x 相切所以原点O 到直线l 的距离21||km +＝1,即：m 122+=k 6分又由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x mkx y ，（221k +）022422=-++m kmx x 设A （11,y x ），B （22,y x ），则22212212122,214km x x kkm x x +-=+-=+………8分=∙=OB OA λ2212122121)()1(mx x km x x k y y x x ++++=+＝22211kk ++，由4332≤≤λ，故1212≤≤k，即]1,22[]22,1[⋃--的范围为k ………10分（III）]4))[(1()()(||2122122212212x x x x k y y x x AB -++=-+-=＝22)12(22+-k，由1212≤≤k ，得：34||26≤≤AB ………14分||21||21AB d AB S ==，所以：3246≤≤S ………15分(22)解：（I ）当21,()12l n ,()1,a f x xx f x x'==--=-时则 …………1分由()0,2;f x x '>>得由()0,0 2.f x x '<<<得 …………3分故(][)()0,2,2,.f x +∞的单调减区间为单调增区间为 …………4分 （II ）因为1()0(0,)2f x <在区间上恒成立不可能，故要使函数1()(0,)2f x 在上无零点，只要对任意的1(0,),()02x f x ∈>恒成立，即对12ln (0,),221x x a x ∈>--恒成立。