流体的连续性方程
第3章流体力学连续性方程微分形式
第四节 欧拉运动微分方程的积分
du p p p du d y x 1 z ( Xdx Y Zdz dy ) ( dx dy dz ) dx dy d x y z dt dt d
<I> <II> <III>
p 2、均匀不可压缩流体，即=Const； <II>= d ( )
中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。 受力分析(x方向为例)： 1.表面力
z
A'
D' M p(x,y,z) B' N
C'
p dx p x 2
dz dx D dy A
O
o’
p dx p Cx 2
B
x
∵理想流体，∴=0
左表面
y
p dx P p A ( p ) dydz M M 2 x p dx 右表面 P p A ( p ) dydz N N 2 x
2 2 2 2 2 2 ，例： 拉普拉斯算符 x y z 2
2 2 2 u u u x x x u x 2 2 2 x y z 2
第三节 流体动力学基本方程式
第四节 欧拉运动微分方程的积分
由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组（迁移加速度的三 项中包含了未知数与其偏导数的乘积），因而至今还无法在一般情况下积分， 只能在一定条件下积分。 欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距ds 的坐标分量），然而相加得：
du p p p du du y x 1 z ( Xdx Y Zdz dy ) ( dx dy dz ) dx dy d x y z dt dt dt
连续性方程公式
连续性方程公式
连续性方程公式是一种基本的方程，它描述了不受外力影响，封闭系统中物质的连续流动。
连续性方程公式表明，物质的流动受到物质密度、流速和压力等物理量的影响。
这个方程公式为科学家提供了深入了解物质流动规律的重要方法。
连续性方程公式是微分方程的一种，它是高等数学中关于流体动力学的核心理论。
连续性方程的一般形式为：
T/t + VT=(λT)
其中，T代表一个物质的总数，t时间，V物质的流速，λ物质的导热系数，代表的是梯度算子。
连续性方程的特点是它表明物质的流动受到物质的产品因子（即流速）和物质之间的相互作用（即压力）的影响。
连续性方程公式在工程中同样重要，其用于解释流体系统中的动量和能量传输，以及热传导和物理过程中物质的流动。
解决连续性方程可以帮助科学家们更好地掌握物质流动的规律，例如连续性方程可以用来解释流体中的热传导及其作用。
在飞机设计方面，连续性方程也有重要意义。
在飞机翼的设计中，连续性方程被用来模拟气动流动，以保证飞机翼的低阻力性能、高抗性性能和低摩擦系数等。
当飞机在空中飞行时，连续性方程可以帮助飞行员准确地控制飞机的垂直和水平姿态，同时实现最佳油耗。
在热力学和化学方面，连续性方程也拥有重要的应用。
例如，连续性方程可以用来解释气体的扩散和流动，以及物质在某一温度压力
下的变化。
连续性方程还可以用来求解流体的稳定性，解释温度的变化以及流体环境中的热量传递。
总之，连续性方程是物理学、工程学和化学中一类重要的方程。
它具有丰富的实际应用，为研究物质流动提供了有力的支持。
流体力学连续性方程和恒定总流动量方程
K1' 2'
dt时段动量变化
K K1'2' K12
恒定总流的动量方程
1' 1 2 2'
1' 1
2
2'
K 1'-2' K 2-2' K 1'-2
dt 时间内水流动量的变化
K 1-2 K 1-1' K 1'-2
dx dx , y , z , t u x x , y , z , t dydzdt 2 2
u dx dx ( x, y , z , t ) u x ( x, y, z , t ) x dydzdt x 2 x 2 u dx dx ux x dydzdt x 2 x 2
FRz arctg FRx
恒定总流的动量方程的应用
管轴水平放置 1 1
重力与水流方 向垂直，可忽 略。
V1 FP1=p1A1
FRy FR FRx V2
2
沿x方向列动量方程：
2
y
x
FP2=p2A· 2
沿y方向列动量方程为：
p1 A1 FRx qv (0 1V1 )
FRy p2 A2 qv ( 2V2 0) FRy p2 A2 2 qvV2
作用于控制体内流体上所有外力的矢量和。外力包
括：控制体上下游断面1、2上的流体总压力P1、P2、重力G 和总流边壁对控制体内流体的作用力R。其中只有重力为质 量力，其余均为表面力。即
F P1 P 2 G R
《化工原理》课件—01流体流动(连续性方程+能量衡算)
1 2
u12
p1
Ws
gz2
1 2
u22
p2
W f ,12
gz1
1 2
u12
p1
gz2
1 2
u22
p2
1、计算输送流体所需的功Ws或功率P； 2、计算流体流速、压强、所处位置高度； 3、分析机械能之间相互转化的规律等。
应用举例
1、确定输送设备的功率 P
用泵将碱液池的碱液输送至吸收塔顶，经喷 咀喷出，泵的进口管为108×4.5mm的钢管， 流速为1.5m/s, 出口管为76×2.5mm，储 液池碱液深度1.5m，池底至喷咀的垂直距 离20m,流动阻力损失30J/kg，喷咀处表压 0的.3效k率gf为/c6m52%，。碱液密度ρ=1100kg/m3,泵
p2v2
p2
p2
pdv d( pv) vdp ( pv) vdp
v1
p1v1
p1
p1
即：
Q
Ws
U
gZ
1 2
u2
( pv)
U Q W
p2
Q (( pv) vdp W f 12 )
p1
两式合并，有：
Q Ws Q (( pv)
p2
vdp
p1
W
f
12 )
gZ
1 2
u2
(
pv)
gz1
1 2
u12
p1
gz2
1 2
u22
p2
gz为单位质量流体所具有的位能； p/ρ为单位质量流体所具有的静压能；
u2/2为单位质量流体所具有的动能。
gz1
1 2
u12
p1
gz2
1 2
流体力学连续性方程的证明
两边同时除以dxdydzdt后得到
( u ) ( ) ( w) 0 t x y z
u v w d 0 dt x y z
0 对于不可压缩流体， dt d
于是，上式变为：
u v w 0 x y z
如图沿流道任取两个过流断面1为流入断面2为流出断面根据质量守恒定理则断面1上流入的流体质量应等于断面2上流出的流体质量即是
连续性方程的证明
如图所示，在流场中任取一点M，其在直角 坐标系中的位置为（x,y,z)，以M点为中心取 一微元六面体，六面体的边长dx,dy,dz分别 平行于坐标轴。 在x轴方向，dt时间内，通过表面EFGH 流入的质量是：
同理，在y方向和z方向上，时间内通过表面净流入的质量分别 为：
( ) dxdydzdt y
( w) dxdydzdt z
则在dt内通过该微元六面体的净流入的质 量为：
( u ) ( ) ( w) x y z dxdydzdt
该六面微元体原来的总质量为
dxdydz
dt dxdydz t
经过时间dt后，平均密度变为
dt时间内，六面体因密度变 化引起的总质量变化为
dxdydzdt t
根据质量守恒定理有：
( u ) ( ) ( w) x y z dxdydzdt t dxdydzdt
dx dx dydzdt x 2 x 2
由表面ABCD流出的质量是
dx dx 来自 dydzdt x 2 x 2
.
在dt时间内沿X轴方向净流入的质量为：
流体力学 质量守恒方程(连续性方程)
三、总流的连续性方程
恒定、均匀、不可压缩流体
方程的推导依据是： 质量守恒及恒定流的特性。
1、方程：
连续性方程 是不涉及任 何作用力的
方程。
取控制体，考虑到条件 1）在恒定流条件下，流管的形状与位置不随时间改变； 2）不可能有流体经流管侧面流进或流出； 3）流体是连续介质，元流内部不存在空隙； 4）忽略质量转换成能量的可能。 根据质量守恒原理
所涉及的两种概念： （1）系统；（2）控制体。
一、系统、控制体 1、系统 ——由确定的流体质点组成的流体团。
即一团确定的流体质点的集合。 系统边界
——把系统和外界分开的真实或假想的界面。
（1）系统边界的特点： 1> 系统的体积边界面形状、大小随时间改变； 2> 边界上受外力作用； 3> 在系统边界面上无质量交换； 4> 边界上可以有能量交换。
（1）有固定边界域的总流连续方程式
物理意义：流入控制体内的净质量流量与控制体内由于 密度变化在单位时间里所增加的质量相等。 适用范围：恒定流、非恒定流、可压缩、不可压缩流体、 理想流体、实际流体。
（2）恒定流的总流连续性方程
对于恒定流，有 ，则上式为 适用范围：固定边界内所有恒定流，包括可压缩或不可 压缩流体、理想流体、实际流体。
t x y z
（2）恒定不可压缩流体运动微分方程：
u x u y u z 0
x
y
z
2、简单分析：
M y
u y dxdzdt (u y
u y
y
dy)dxdzdt
u y
第3章流体力学连续性方程微分形式
X方向
( ux ) dxdydz x
同理可得：
在dt时间内因密度变化而减少的 质量为：
3
y方向：
z方向：
( u y ) y dxdydz ( u z ) dxdydz z
dxdydz ( ) dxdydz t t dxdydz
0 t
适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。
（2）不可压缩流体的连续性微分方程
当为不可压缩流时
u x u y u z 0 x y z
Const
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ， 与流出的流体体积（质量）之差等于零。 适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
1
第三章 流体动力学基础
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程 二、理想流体运动微分方程
三、粘性流体的运动微分方程
第四节 欧拉运动微分方程的积分
一、在势流条件下的积分
二、沿流线的积分
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程
2
在流场内取一微元六面体（如图），边长为dx,dy,dz，中心点O流速为 （ ux,uy,uz ） D' z C' ux dx ux dx A' dz u B' u z u x x 2 x x 2 o’ M uy ux N 以x轴方向为例： C D ux dx 1 dx dy u u 左表面流速 M A x 2 x B o u x x 1 右表面流速 u N u x dx 2 x y ∴ 单位时间内x方向流出流进的质量流量差： ( u x ) ( u x ) 1 1 M M [ u x dx]dydz [ u x dx]dydz 右 左 2 x 2 x ( u x ) x dxdydz
流体力学3-3连续性方程
dxdydz
M x
同理可得：
( ux ) x ( u y ) y ( uz ) z
dxdydz dxdydz dxdydz
M y M z
质量守恒定律：单位时间内流出与流入六面体的流体质量差之总
和应 等于六面体内因密度变化而减少的质量
M x M y M z [
t
( ux ) x
( u y ) y
( uz ) z
]dxdydz dxdydz
t
流体的连续性微分方程的一般形式：
( u x ) x
( u y ) y
( u z ) z
0
物理意义：作为水力学三大方程之一，体现了运动与空 间的关系 适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流； 可压缩流体或不可压 缩流体。
第三节 连续性方程
一、连续性微分方程
在流场内取一微元六面体如图，边长为dx,dy,dz，中心点O’流速为 （ ux,uy,uz ） D' z C' 以x轴方向为例： 左表面流速 右表面流速
ux
1 u x 2 x
1 u x 2 x
u x dx x 2
A' M A o
dz o’ uy D dx
uz ux
B'
ux
N C
u x dx x 2
uM Байду номын сангаас x
dx
uN ux
dx
y
dy B
x
∴ 单位时间内x方向流出流进的质量流量差：
( ux ) x
( ux ) 1 ( ux ) M x M 右 M 左 [ u x 1 dx ] dydz [ u x 2 x 2 x dx]dydz
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流体的连续性方程
流体力学是关于流体力学与流动的规律和性质的科学。
在流体的运动过程中，流体的密度和速度都会发生变化。
为了描述这种变化，我们引入了连续性方程，它是流体力学中的重要基本方程之一。
连续性方程是描述流体质量守恒的方程。
它基于以下几个假设：假设流体是连续均匀的，假设流体是非可压缩的，假设流体在稳态流动过程中质量不会减少或增加。
基于这些假设，我们可以得到流体的连续性方程。
在流体力学中，流体的连续性方程可以表示为以下形式：
∇·ρv+A=0
其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∇·是散度运算符，A 是质量流量。
连续性方程的物理意义是流体的质量在单位时间内的净流入或流出量等于单位时间内质量积累的速率。
在实际应用中，根据具体问题的不同，连续性方程可以具体表达为不同的形式。
下面将介绍几个常见的连续性方程的应用。
1. 理想流体的连续性方程
理想流体是指当流体受到外力作用时不发生黏性耗散的流体。
在理想流体中，连续性方程可以写作以下形式：
∇·v=0
这个方程表示了在理想流体中，速度矢量场的散度为零，即流体流入和流出的速率相等，流体的质量不会减少或增加。
2. 不可压缩流体的连续性方程
不可压缩流体是指密度在流动过程中可以忽略变化的流体。
在不可压缩流体中，连续性方程可以写作以下形式：
∇·v=0
这个方程表示了在不可压缩流体中，速度矢量场的散度为零，即流体流入和流出的速率相等，流体的质量不会减少或增加。
不过需要注意的是，不可压缩流体的连续性方程只能描述速度场的分布，而不能描述流体密度的变化。
3. 积分形式的连续性方程
连续性方程还可以表示为积分形式。
在空间中的一个任意闭合曲面S上，流体质量的净流出量等于质量积累的速率，即可以表示为以下积分形式：
∮S ρv·n dS = -d/dt ∭V ρ dV
其中，S是曲面的边界，n是法向量，V是曲面所包围的体积，∮和∭分别表示曲面和体积的积分。
总结：
流体的连续性方程是流体力学中的重要基本方程之一，用于描述流体质量守恒的关系。
根据具体情况，连续性方程可以具体表达为理想
流体的连续性方程、不可压缩流体的连续性方程或积分形式的连续性方程。
通过连续性方程，我们可以深入研究流体的运动规律和性质，为流体力学的应用提供理论基础。