著名机构讲义春季11-八年级培优版-特殊的平行四边形-学生版

教师姓名学生姓名年级初二上课时间学科数学课题名称特殊的平行四边形

特殊的平行四边形

知识模块Ⅰ：矩形

1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

H

G

F E

O

A

C

B

D

H

2、 性质定理：

（1）矩形的四个角都是直角. （2）矩形的对角线相等.

（3）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴是每组对边的垂直平分线. 3、判定定理：

（1）有三个角是直角的四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形.

【例1】如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =4，P 是AD 上不与A 、D 重合的一动点，

PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，E 、F 为垂足，则PE +PF 的值为 ．

【例2】如图所示：点O 是矩形ABCD 的对角新AC 与BD 的交点，E 、F 、G 、H 分别是AO 、BO 、CO 、DO 上的一点，且AE =BF =CG =DH .求证：四边形EFGH 是矩形.

【例3】已知：矩形ABCD 中，延长BC 至E ，使BE =BD ，F 为DE 中点，连接AF 、CF ． 求证：AF ⊥CF ．

【例4】将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH ，若EH =3，

EF =4，求AD

AB 的值．

A

B

C

D

E

F

A B

C

D E

G

H M

N

D

B

C

A

E

N

O

M

D

A

B

C

知识模块Ⅱ：菱形

1、 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2、 性质定理：

（1）菱形的四条边都相等.

（2）菱形的对角线互相垂直，并且没一条对角线平分一组对角.

（3）菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线. 3、判定定理：

（1）四条边都相等的四边形是菱形. （2） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

【例5】如图，菱形ABCD 的边长为4 cm ，且∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，P 点在BD 上，则PE +PC 的最小值为________．

【例6】如图所示：以等腰Rt △ABC 的斜边AB 为边作菱形ABDE ，使D 、E 、C 三点在同一直线上，求∠CAE .

【例7】如图所示：在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC 交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ,交BC 于点N ,BE 、AN 相交于点O . 求证：四边形AMNE 是菱形.

O

D

A

形，并说明理由．

（3）在（2）的情况下，当点D 运动到什么位置时，四边形BCGE 是菱形？并说明理

由．

图1 图2

知识模块Ⅲ：正方形

1、 定义：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.

2、 性质定理：

（1）正方形的四条边相等，四个角都是直角.

（2）正方形的对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角.

【例10】如图所示:正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,E 是OB 延长线上一点，CE =BD ， 求∠ECB 的度数.

A

B

C

D

E F

G A

B

C

D

G

E

Q

F

B

C

A D P

E

【例11】已知：Q 为正方形ABCD 的CD 边的中点，P 为CD 上一点，且∠BAP =2∠QAD ．

求证：AP =PC +BC ．

【例12】如图所示:正方形ABCD 的边长为12，点P 在BC 上，BP =5，EF ⊥AP ,垂足为Q ，且EF 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ，求EF 的长度.

M

A

B C

D

【习题1】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ．

①若=AB AD ，则平行四边形ABCD 是 形； ②若=AC BD ，则平行四边形ABCD 是 形； ③若90ABC ∠=o ，则平行四边形ABCD 是 形； ④若BAO DAO ∠=∠，则平行四边形ABCD 是 形．

【习题2】已知矩形的两条对角线的一个夹角为120°，一条对角线与较短边的和为18，则对角线的长为 .

【习题3】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，使点D 落在点D '处，

CD '交AB 于点F ，则重叠部分△AFC 的面积为 ________．

【习题4】设菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长为33+，∠ABC =60°，则菱形的面积为 .

【习题5】如图所示：点M 是ABCD Y 边AD 的中点，且MB =MC .求证：ABCD Y 是矩形.

【习题6】已知：四边形ABCD 是菱形，AC 、BD 是它的对角线，∠ABC =30°. 求证：2AB AC BD =g .

F

C

E

D

G A

B

【习题7】如图，在菱形ABCD 中，AC =4，BD =6，P 是AC 上一动点(P 与C 不重合)，PE //BC 交AB 于点E ，PF //CD 交AD 于点F ，连结EF ，求图中阴影部分的面积．

【习题8】如图所示：在梯形ABCD 中，AD //BC ,AB =CD ,BC =2AD ,2AD AB =

,DE ⊥BC ，垂足为点

F ，且点F 是DE 的中点，联结AE ，交边BC 于点

G .求证：四边形DGEC 是正方形.

【习题9】已知：如图边长为a 的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 分

别为DC 、BC 上的点，且=DE CF ． 求证：（1）EO FO ⊥．

（2）M 、N 分别在OE 、OF 延长线上，OM ON a ==，四边形MONG 与正方形ABCD 重合部分的面积等于21

4

a ．

O

N

M

G

F E

D C

B

A