【考研真题】北京工业大学865高等代数历年真题解析
2016年北京工业大学统计学考研专业目录招生人数参考书目历年真题复试分数线答题方法
2016年北京工业大学统计学考研专业目录、招生人数、参考书目、历年真题、复试分数线、答题方法、复习经验指导一、2016年北京工业大学统计学专业考研招生目录专业代码、名称及研究方向招生人数考试科目备注006-应用数理学院0714统计学1801非参数统计与数据分析02应用统计03生物统计04金融工程与应用概率05经济统计①101思想政治理论②201英语一③663数学分析④865高等代数二、2015年北京工业大学统计学专业考研复试分数线考试科目政治外语专业一专业二总分统计学36365454350三、2016年北京工业大学统计学专业考研参考书科目名称书名作者出版社663数学分析《数学分析讲义》（第五版）刘玉琏,傅沛仁高等教育出版社,2008865高等代数《高等代数》（第三版）北京大学数学系几何代数教研室高等教育出版社,2003四、2010年北京工业大学统计学专业考研真题663数学分析865高等代数（2009年）五、2016年北京工业大学统计学考研真题答题黄金攻略名师点评：认为只要专业课重点背会了，就能拿高分，是广大考生普遍存在的误区。
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(一)名词解析答题方法【考研名师答题方法点拨】名词解释最简单，最容易得分。
在复习的时候要把参考书中的核心概念和重点概念夯实。
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专业课辅导名师解析：名词解析答题方法上要按照核心意思+特征/内涵/构成/案例，来作答。
①回答出名词本身的核心含义，力求尊重课本。
这是最主要的。
②简答该名词的特征、内涵、或者其构成、或者举一个案例加以解释。
如果做到①②，基本上你就可以拿满分。
考研高等代数真题答案
考研高等代数真题答案一、选择题1. 根据线性空间的定义，下列哪个选项不是线性空间的子空间？- A. 所有零向量组成的集合- B. 线性空间中的非零向量集合- C. 线性空间中的任意向量集合- D. 线性空间中满足特定线性组合的向量集合答案：B2. 矩阵A的特征值是λ1, λ2, ..., λn，矩阵B的特征值是μ1,μ2, ..., μn。
若AB=BA，那么矩阵A+B的特征值是什么？- A. λ1+μ1, λ2+μ2, ..., λn+μn- B. λ1*μ1, λ2*μ2, ..., λn*μn- C. λ1+μ1, λ1+μ2, ..., λn+μn（无规律）- D. 不能确定答案：A二、填空题1. 若线性变换T: V → W，其中V和W是有限维向量空间，且dim(V) = n，dim(T(V)) = r，则T的核的维数是_________。
答案：n-r2. 设A是一个3×3的矩阵，且|A| = 2，矩阵A的特征多项式为f(λ)= (λ-1)^2(λ-3)，则矩阵A的迹是_________。
答案：4三、解答题1. 证明：若矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A*的行列式等于|A|^(n-1)，其中n是A的阶数。
证明：设矩阵A是一个n×n的可逆矩阵，其伴随矩阵记为A*。
根据伴随矩阵的定义，我们有：A * A* = |A| * I，其中I是单位矩阵。
两边同时乘以A的逆矩阵A^(-1)，得到：A^(-1) * A * A* = |A| * A^(-1) * I，即 A* = |A|^(n-1) * A^(-1)。
由此可知，A*的行列式是|A|^(n-1)。
2. 解线性方程组：x + 2y + 3z = 14x + 5y + 6z = 27x + 8y + 9z = 3解：首先写出增广矩阵：[1 2 3 | 1][4 5 6 | 2][7 8 9 | 3]通过初等行变换，将增广矩阵化为行最简形式：[1 0 -1 | -1][0 1 3 | 4][0 0 0 | 0]根据行最简形式，我们可以得到y = 4 - 3z，x = 1 + z。
高等代数考研真题详解
高等代数考研真题详解高等代数考研真题详解高等代数是数学专业研究生考试的重要科目之一，也是数学学科中的基础课程。
考研真题是考生备考的重要参考资料，通过对真题的详细解析，可以帮助考生更好地理解高等代数的知识点，提高解题能力。
本文将对几道高等代数考研真题进行详细解析，帮助考生更好地备考。
第一道题目是关于线性空间的性质的判断题。
题目如下：判断下列命题的正确性：1. 若线性空间V中存在一个非零向量v，使得V中的每个向量都可以表示为v的倍数，则V是有限维的。
2. 若线性空间V中存在一个非零向量v，使得V中的每个向量都可以表示为v与另一个向量的线性组合，则V是有限维的。
对于第一题，我们可以通过反证法来证明其正确性。
假设V是无限维的，那么存在一个无限长的线性无关向量组，我们可以找到一个向量w，使得w与这个向量组线性无关。
那么w就无法表示为v的倍数，与题目的条件矛盾，因此V是有限维的。
对于第二题，我们可以通过举例来证明其正确性。
假设V是有限维的，那么存在一个有限长的基底，我们可以选择其中的一个向量v作为题目中所述的非零向量。
对于任意一个向量x，我们可以找到一组系数使得x可以表示为v与另一个向量的线性组合，因此V是有限维的。
通过以上的解析，我们可以得出第一题的命题是正确的，而第二题的命题是错误的。
接下来，我们来看一道关于线性空间的子空间的题目。
题目如下：设V是数域K上的线性空间，U和W是V的子空间，证明U∩W也是V的子空间。
对于这道题目，我们需要证明U∩W满足线性空间的三个条件：非空性、封闭性和加法逆元存在性。
首先，由于U和W都是V的子空间，所以它们都非空。
因此，U∩W也非空。
其次，对于U∩W中的任意两个向量u和w，由于u和w分别属于U和W，所以它们也属于V。
因此，u和w的线性组合也属于V。
根据线性空间的定义，u和w的线性组合也属于U和W。
因此，u和w的线性组合也属于U∩W。
所以，U∩W对于向量的加法封闭。
最后，对于U∩W中的任意一个向量u，由于u属于U和W，所以u的加法逆元也分别属于U和W。
高等代数考研试题及答案
高等代数考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列矩阵中，哪个不是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [1, -1; 2, 2]2. 设线性变换 \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) 由矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) 给出，那么 \( T(1, 2, 3) \) 的结果是：A. (3, 5, 3)B. (5, 3, 3)C. (1, 2, 3)D. (2, 3, 1)3. 多项式 \( p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的根的个数是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 设 \( V \) 是所有 \( n \) 次多项式的向量空间，\( T: V\rightarrow V \) 是一个线性变换，且 \( T(p(x)) = p'(x) \)。
如果 \( T \) 的特征值为 \( k \)，那么 \( k \) 等于：A. 0B. 1C. -1D. \( n \)5. 下列哪个命题是正确的？A. 每个线性映射都可以用一个矩阵来表示。
B. 矩阵的乘积总是可交换的。
C. 两个相似矩阵必定是同阶矩阵。
D. 行列式的值总是正数或零。
6. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶方阵，如果 \( A \) 的所有特征值的和等于 \( 0 \)，那么 \( A \) 必定是：A. 正交矩阵B. 对角矩阵C. 零矩阵D. 反对称矩阵7. 如果一个 \( n \) 阶方阵 \( A \) 的所有元素都等于 \( 1 \)，那么 \( A^n \) 的迹（trace）是：A. \( n \)B. \( n^n \)C. \( n! \)D. \( 0 \)8. 对于任意 \( n \) 阶方阵 \( A \)，下列哪个选项是正确的？A. \( \det(A^2) = (\det A)^2 \)B. \( \det(A^T) = \det A \)C. \( \det(A + I) = \det A + 1 \)D. \( \det(A) = \det(A^T) \)9. 设 \( V \) 是一个向量空间，\( T: V \rightarrow V \) 是一个线性变换，如果 \( T \) 的一个特征向量 \( v \) 满足 \( T(v) = \lambda v \)，那么 \( T \) 的逆变换 \( T^{-1} \)（如果存在）将 \( v \) 映射到：A. \( \lambda^{-1} v \)B. \( \frac{1}{\lambda} v \)C. \( v \)D. \( v + \lambda v \)10. 下列哪个矩阵是正交矩阵？A. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)B. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)C. \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)D. \( \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式 \( \det A \) 等于 _______。
新版北京工业大学数学考研经验考研真题考研参考书
考研是我一直都有的想法，从上大学第一天开始就更加坚定了我的这个决定。
我是从大三寒假学习开始备考的。
当时也在网上看了很多经验贴，可是也许是学习方法的问题，自己的学习效率一直不高，后来学姐告诉我要给自己制定完善的复习计划，并且按照计划复习。
于是回到学校以后，制定了第一轮复习计划，那个时候已经是5月了。
开始基础复习的时候，是在网上找了一下教程视频，然后跟着教材进行学习，先是对基础知识进行了了解，在5月-7月的时候在基础上加深了理解，对于第二轮的复习，自己还根据课本讲义画了知识构架图，是自己更能一目了然的掌握知识点。
8月一直到临近考试的时候，开始认真的刷真题，并且对那些自己不熟悉的知识点反复的加深印象，这也是一个自我提升的过程。
其实很庆幸自己坚持了下来，身边还是有一些朋友没有走到最后，做了自己的逃兵，所以希望每个人都坚持自己的梦想。
本文字数有点长，希望大家耐心看完。
文章结尾有我当时整理的详细资料，可自行下载，大家请看到最后。
北京工业大学数学的初试科目为：(101)思想政治理论(201)英语一(663)数学分析(865)高等代数参考书目为：1.刘玉琏,傅沛仁.《数学分析讲义》（第五版），高等教育出版社，2008。
2.北京大学数学系几何代数教研室《高等代数》（第三版），高等教育出版社，2003。
跟大家先说一下英语的复习吧。
学英语免不了背单词这个难关，词汇量上不去，影响的不仅是考试成绩，更是整体英语能力的提升；背单词也是学习者最感到头痛的过程，不是背完了转身就忘，就是背的单词不会用，重点单词主要是在做阅读的时候总结的，我把不认识不熟悉的单词全都挑出来写到旁边，记下来反复背直至考前，总之单词这一块贵在坚持，背单词的日程一定要坚持到考研前一天。
因此，学会如何高效、科学地记忆词汇，养成良好的记单词习惯，才能达到事半功倍的学习效果，我用的是《木糖英语单词闪电版》，里面的高频词汇都给列出来了，真的挺方便的，并且刷真题我用的《木糖英语真题手译》这本书，我感觉对我帮助特别大，里面的知识点讲解的通俗易懂，而且给出的例子都很经典，不容易忘记。
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北京工业大学2014年高等代数真题解析一.填空题(写出正确答案，本题共25分，每小题5分)1.如果实方阵，则【解答】，因此，2.已知三阶矩阵A的特征值是x3=1的三个不同根，则【解答】x3=1的三个根为，故。
3.二次型的秩=2，则【解答】，其秩为2，易见无论a取何值，矩阵的第1与2行都线性无关，故该矩阵的秩为2当且仅当，即。
4.设，其中B为3阶实方阵，T关于矩阵加法和数乘构成R-线性空间，则T的一组基为【解答】与A可交换，即与，与其可交换的矩阵即故E，为T的一组基。
T的维数为3。
5.设是n阶行列式，其中，，则 (写出具体表达式)【解答】，特征方程的两根都是1，故。
二.选择题(将正确的答案的选项填入括号中，本题共25分，每小题5分)1.设均为3矩阵，且，若，，则（）(A)(B)(C)(D)【解答】，因此，选A。
2.秩为r的n阶方阵A满足( )【解答】，故A的特征值为0,2，为其一个化零多项式，没有重零点，故A可对角化，故其秩与非零特征值的个数相同，故A的特征值2的重数为r，特征值0的重数为n-r。
选B。
3.设，且A的伴随矩阵的秩是1，则a和b的关系是( )a=b a≠b且a≠2b a≠b且a+2b≠0 a+2b=0 【解答】，其特征值为可对角化。
的秩是1，故r(A)=2，故a-b≠0且a+2b=0，即a≠b且a+2b=0，选D。
4.向量组线性无关，而线性相关，则下面论断正确的是( )(A)能被线性表出(B)不能被线性表出(C)能被线性表出(D)不能被线性表出【解答】线性无关，故线性无关，不能被线性表出。
线性相关，故a4能被线性表出，与等价，故不能被线性表出，当然也不能被线性表出。
选B。
5.设V，U是n维，m维向量空间(m≠n)，的线性映射，则( )(A)(B)(C) (D)【解答】由线性映射的理论，选A。
三.(本题18分)已知线性方程组有无穷多解；设是三阶矩阵，，分别为的属于特征值的特特征向量。
(1)求所给线性方程组的通解；(2)求矩阵；(3)求行列式的值。
【解答】(1)方程组的增广矩阵为方程组有无穷多解，故，即。
方程组的通解为(2)，令，则P(3)A的特征值为1，-2，-1，故的特征值为故。
四.(本题20分)设是欧氏空间中一单位向量，定义。
证明：(1)是正交变换。
这样的正交变换称为镜面反射；(2)如果维欧氏空间中正交变换以1作为一个特征值，且属于特征值1的特征子空间的维数为n-1，则一定是镜面反射。
【解答】见2007年第七大题。
五.(本题20分)设V是数域P上的n维线性空间，是V的线性变换，，上的恒等变换。
向量组满足，(1)证明为V的一组基；(2)求在下的矩阵。
【备注1】还应该规定。
见2008年第五大题。
六.(本题18分)设A是实数域上的n阶矩阵，且。
(1)证明：矩阵A可逆，并用矩阵A(2)证明：；(3)证明：是可对角化矩阵并且可以表示成两个可逆的实对称矩阵的乘积。
【解答】(1)，故矩阵A。
(2)，故为A的化零多现式，其没有重零点，故可对角化。
的特征值为1或-3，故有个线性无关的特征向量，即，即。
(3)之前已经证明了A是可对角化矩阵，故存在可逆矩阵P，使得这里，为两个可逆的实对称矩阵。
七.(本题24分)设A，B是实数域上的n阶矩阵，是矩阵B的特征多项式，令表示的k阶导数，C=AB-BA。
假定C与A，B可交换。
证明：(1)对任意正整数，有(2)对每个正整数，有，特别地，有(3)若A，B均为实对称矩阵，则。
【解答】(1)我们用数学归纳法证明此结论。
当k=1时，结论显然是成立的。
假设时，结论成立，即k=m+1，，故。
，即故时，结论也成立。
故结论对任意自然数都成立，故对任意正整数k，有(2)令，则，假设我们已经依次求得，则时，故对每个正整数，有，故，故，即。
(3)，故C的特征值全为0。
若A，B均为实对称矩阵，则故C为反对称矩阵，故，特征值全为0，而为实对称矩阵，故，即，即。
北京工业大学2015年高等代数真题解析一.填空题(本题共25分，每小题5分，写出正确答案)1.设A是n阶方阵，为矩阵，为，则【解答】，故，即，因此，2.若实对称矩阵A与矩阵合同，且，则的规范形为【解答】容易得到B的特征值为1，1，-1，实对称矩阵A与矩阵B合同，故的规范形为。
3.设矩阵，齐次线性方程组解空间的维数为2，则【解答】依据题意，，即故，即。
4.设A与B均为阶矩阵，，则【解答】5.如果的四个根是，则【解答】为矩阵的特征值，因此二.填空题(本题共25分，每小题5分)1.设A为型矩阵，B为型矩阵，其中，若，则( )；；；【解答】，故，故。
选A。
2.已知3阶方阵A的特征值为0,2，-1，则行列式的值为( )【解答】3阶方阵的特征值为0,2,-1，故的特征值为，，故。
选。
3.设分别是方阵A的两个不同特征值，分别是它们对应的特征向量，则向量组线性无关的充分必要条件是( )；；；.【解答】分别是方阵A的两个不同特征值，分别是它们对应的特征向量，故线性无关，，于是，线性无关的充分必要条件是，选B。
4.设是阶实正定矩阵，而实矩阵是矩阵方程的唯一解，则( )(A)是正定矩阵； (B)是半正定矩阵；(C)是负定矩阵； (D)无法确定的正、负定性。
【解答】是阶实正定矩阵，而实矩阵是矩阵方程的唯一解，故，故，由唯一性，，即为对称矩阵。
再任取的特征值，假设为相应的特征向量，则，由于是阶实正定矩阵，故，故，，由的任意性，B是正定矩阵，选。
5.实二次型经过非退化线性替换可化成规范形，则的值为( ) ；；；【解答】二次型的矩阵为，其特征值为，经过非退化线性替换可化成规范形，其有一个正特征值，2个0特征值，故只能，，即。
选D。
三.(本题12分)设线性方程组为4元非齐次线性方程组，秩(A)=3。
已知是方程组的三个解向量，且(1)求该方程组相应导出组的一个基础解系；(2)求的通解。
【解答】为4元非齐次线性方程组，秩(A)=3，故有4-3=1个线性无关的解。
是方程组的三个解向量，且，，故和为的两个不向的解，故为的一个非零解，故是的一个基础解系。
故为的通解。
四.(本题共24分)设A是阶实方阵。
令(1)(2)若A是主对角线上元素两两不等的对角矩阵，求的维数和一组基；(3)设，求的维数和一组基。
【解答】(1)和，故，，由的任意性，(2)设，其中，两两不同。
任取，则等价于，即，由于两两不同，故又等价于。
故当且仅当为对角矩阵，故，，线性无关，且中任意元素均可由其线性表示，故为的一组基，。
(3)我们先来考虑一个问题：设，求。
任取与可交换的矩阵，则因此，，如果，则如果，则如果，则因此，故为一组基，的维数为。
现在假设某矩阵C的Jordan标准形为，存在可逆矩阵，则其中，的一组基，。
对于本题，A的特征值为1，，故只有一个线性无关的特征向量，其Jordan标准形为。
五.(本题共28分)设V是数域P上的n为的一组基，于是由定义了V的一个线性变换，回答下列问题：(1)试求在下的矩阵；(2)证明；(3)若有一个线性变换满足，则存在的一组基，使得在这组基下的矩阵与(1)中得到的矩阵相同。
(4)若上阶方阵满足。
证明M与N相似。
【解答】(1)，故在下的矩阵为。
(2)在下的矩阵为在该基下的矩阵分别为。
，，故。
(3)线性变换满足，故存在非零向量，使得，但。
，如果0，设为，故，故，矛盾！故0，故线性无关，故为V的一组基。
由于故存在V的一组，使得在这组基下的矩阵与（1）中得到的矩阵相同。
(4)，故和为M，N的最小多项式，故M，N的初等因子都为，故M与N相似。
六.(本题共16分)设是阶实对称矩阵。
秩()=，是中元素的代数余子式。
记。
设二次型。
(1)写出三次型的矩阵形式，并求出该二次型的矩阵；(2)二次型与的规范形是否相同？说明理由。
【解答】(1)(2)的正负特征值的个数分别相等，故与的规范形是相同的。
七.(本题共20分)设是n分别表示矩阵的行列式，转置矩阵和伴随矩阵。
(1)，其中表示元素的代数余子式。
(2)假定(a)若，证明是列向量组正交的可逆矩阵，举例说明A未必是正交矩阵；(b)若，并且是正交矩阵。
【解答】(1)我们首先证明：若矩阵A的第行除了外，其余元素均为0，。
事实上，通过进行次行交换和次列交换，可将换到一行一列位置上，而第一行其余元素都是0。
对手一般的矩阵，利用行列式的可加性，可得这里还用到了一个性质，就是行列式的任一元素的代数余了式与该元素所处的行列的元素均无关。
(2)，是n阶非零实方阵，故。
(a)若n=2，则，故A是列向量组正交的可逆矩阵。
但未必是正交矩阵如。
例如，取=2E，则A非零，，但A不是正交矩阵。
(b)若，就可以得到，故，即是正交矩阵。