数据分布特征的描述讲义
统计学第4章数据特征的描述
极差计算简单，但容易受到极端值的影响，不能全面 反映数据的离散程度。
四分位差
定义
四分位差是第三四分位数与第 一四分位数之差，用于反映中
间50%数据的离散程度。
计算方法
四分位差 = 第三四分位数 第一四分位数
优缺点
四分位差能够避免极端值的影 响，更稳健地反映数据的离散
程度，但计算相对复杂。
方差与标准差
统计学第4章数据特征 的描述
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REPORTING
• 数据特征描述概述 • 集中趋势的度量 • 离散程度的度量 • 偏态与峰态的度量 • 数据特征描述在统计分析中的应用 • 数据特征描述的注意事项
目录
PART 01
数据特征描述概述
REPORTING
WENKU DESIGN
数据特征描述在推断性统计中的应用
参数估计 假设检验 方差分析 相关与回归分析
基于样本数据特征，对总体参数进行估计，如点估计和区间估 计。
通过比较样本数据与理论分布或两组样本数据之间的差异，对 总体分布或总体参数进行假设检验。
研究不同因素对总体变异的影响程度，通过比较不同组间的差 异，分析因素对总体变异的贡献。
定义
方差是每个数据与全体数据平均数之方根，用于衡量数据的波动大小。
计算方法
方差 = Σ(xi - x̄)² / n，标准差 = √方差
优缺点
方差和标准差能够全面反映数据的离散程度，且计算相对简单，但容易受到极端值的影响。同时，方差 和标准差都是基于均值的度量，对于非对称分布的数据可能不够准确。
适用范围
适用于数值型数据，且数据之间可能 存在极端异常值的情况。
特点
中位数不受极端值影响，对于存在极 端异常值的数据集，中位数能够更好 地反映数据的集中趋势。
医学统计学(MedicalStatistics)
2. 分类数据（categorical） ：
• 变量值表现为按某属性划分的定性类别。清点各 类别个数后得到的资料称计数资料。
• 2）多分类（无序）：例：副作用（有重复选 择）
• 3.等级（有序）
• 疗效：痊愈=4、显效=3、有效=2、无效=1
例：105人心脏外科病人心理反应情况
• 心理反应 病例
• 症状
数
• 焦虑
102
• 抑郁
57
• 自我认同紊乱 10
• 恐惧
5
• 合计
174
百分比 反应发生率 （%） （%） 58.6 97.14 32.8 54.28
• 例：病情分级（Ｘ1）：Ⅰ ， Ⅱ，Ⅲ
• 疗效（X２）：痊愈、显效、有效、无效
• 病人满意度（X３）： 好、中、差
•
人数
50 25 5
数据类型及赋值
• 数据（变量）类型 变量的表现
• 1.计量变量：
血压值：12.3kap
• 2.分类（定性）
• 1）两分类： 疗效：有效=1，无效=0
•
性别：男=1，女=2
六、科研工作的步骤 根据研究的目的
1.研究 设计
设计考虑：
研究对象、 指标、例 数、如何 准确得到 数据。
2.收集 资料
来源：
3.整理 资料
目的：
1.日常工作 记录、病历。
2.专门的调 查和实验。
使资料系 统化，便 于进一步 统计分析
4.分析 资料
方法： 用统计方 法分析资 料，阐述 规律性， 得出结论。
研究生统计学讲义第2讲第3章定量资料的统计描述
现在我们把 X 转换为标准正态变量，因为μ=100， σ=10，所以
u X 90 100 1.0
10
因此90分能够用平均值下的1个标准差表示，见图 右图
P (X < 90)=P ( u <－1.0 )
附表3从u=0.00到u=4.99以增量0.01编成标准正态分布 的CDF表，沿着表的左边按所给u的一个小数找到u ，再从表的顶端找到u的第二位小数，在表内主要部
x2=78.6g/L时，u2 = (78.6－73.8)/3.9=1.23
2.查标准正态曲线下面积表（附表3）：u= －0.46时 ，在表的左侧找到-0.4，在表的上方找到0.06，二者相 交处为0.3228，标准正态曲线下，横轴上u值小于－ 0.46的面积为Ф(－0.46)= P(U<－0.46)=32.28％，即标 准正态变量u值小于－0.46的概率为32.28％；同样查 得u=1.23时，标准正态曲线下，横轴上u值小于1.23的 面积为Ф(1.23) =P(U<1.23)= 0.8907，即u值小于1.23的 概率为89.07％ 。
图3.16左边μ=100，σ=10，X≥125 右边μ=0，σ=1， u≥2.5，注意刻度不同
只有0.62%的得分将是125或更高．
补例2 假设女高血压患者舒张压大约集中在100mmHg
，标准差是16mmHg ，血压是正态分布．求：
1．P (X<90) 2．P (X>124) 3．P (96<X<104) 4．求
2.中位数M (Median)
中位数M是排序观察值的中间值．当一组数据按照 从小到大的顺序排列起来时，值的深度d=(n+1)/2， 是它相对于极端值（末端）所在的位置．它不是由全 部观察值综合计算出来的，而是由居中位置的观察值 所决定，因此它不受个别特小或特大的观察值的影响 ，应用范围较广。
《正态分布》说课稿
《正态分布》说课稿引言概述：正态分布是统计学中最重要的分布之一，也被称为高斯分布。
它具有许多重要的特性，被广泛应用于各个领域，如自然科学、社会科学和工程学等。
本文将介绍正态分布的基本概念、性质和应用。
一、基本概念1.1 正态分布的定义正态分布是一种连续型概率分布，其曲线呈钟形，左右对称，中间较高，两端逐渐减小。
正态分布的概率密度函数可以用数学公式表示为f(x) = 1/(σ√(2π)) * exp(-(x-μ)²/(2σ²))，其中μ为均值，σ为标准差。
1.2 正态分布的特点正态分布具有以下特点：均值、中位数和众数相等；曲线在均值处对称；68%的数据落在均值加减一个标准差的范围内；95%的数据落在均值加减两个标准差的范围内；99.7%的数据落在均值加减三个标准差的范围内。
1.3 正态分布的标准化为了方便计算和比较不同正态分布的数据，可以对数据进行标准化处理。
标准化后的正态分布具有均值为0，标准差为1的特点，可以通过Z分数来表示标准化后的数值。
二、性质2.1 正态分布的稳定性正态分布具有较好的稳定性，即在不同样本量和不同实验条件下，其曲线形状基本保持不变。
这使得正态分布成为统计学中最常用的分布之一。
2.2 正态分布的中心极限定理中心极限定理指出，大量独立同分布的随机变量的和近似服从正态分布。
这一定理在统计学中具有重要的应用价值，可以用来进行参数估计和假设检验。
2.3 正态分布的偏度和峰度正态分布的偏度为0，峰度为3。
偏度描述了分布的对称性，偏度为0表示分布左右对称；峰度描述了分布的陡峭程度，峰度为3表示分布与正态分布的陡峭程度相同。
三、应用3.1 统计学中的应用正态分布在统计学中有着广泛的应用，如参数估计、假设检验、贝叶斯推断等。
许多统计学方法都基于正态分布的假设进行推导和应用。
3.2 工程学中的应用在工程学领域，正态分布常用于描述各种随机变量的分布，如电子元件的寿命、材料的强度等。
计量经济学讲义
计量经济学讲义第一部分：引言计量经济学是研究经济现象的量化方法，它结合了统计学和经济学原理，旨在提供对经济现象进行定量分析的工具和技术。
本讲义将介绍计量经济学的基本概念和方法，帮助读者理解和应用计量经济学的基本原理。
第二部分：经济数据和计量经济学模型1. 经济数据的类型- 我们将介绍经济数据的两种主要类型：时间序列数据和截面数据。
时间序列数据是在一段时间内收集的数据，而截面数据是在同一时间点上收集的数据。
2. 计量经济学模型- 我们将讨论计量经济学模型的基本原理和应用，例如最小二乘法和线性回归模型。
这些模型可以帮助我们分析经济数据之间的关系，并进行预测和政策评估。
第三部分：经济数据的描述性统计分析1. 描述性统计分析的概念- 我们将介绍描述性统计分析的基本概念和方法，包括中心趋势测量、离散度测量和分布形态测量。
这些方法可以帮助我们理解和总结经济数据的基本特征。
2. 经济数据的描述性统计分析实例- 我们将通过实例演示如何使用描述性统计分析方法来分析和解释经济数据。
例如，我们可以使用均值和方差来描述一个国家的经济增长和收入分配。
第四部分：计量经济学的统计推断1. 统计推断的概念- 我们将讨论统计推断的基本概念和方法，包括假设检验和置信区间。
这些方法可以帮助我们从样本数据中推断总体参数，并评估推断的精度和可靠性。
2. 统计推断的实例- 我们将通过实例演示如何使用统计推断方法来研究和解释经济现象。
例如，我们可以使用假设检验来判断一个政策措施对经济增长的影响。
第五部分：计量经济学的回归分析1. 单变量线性回归模型- 我们将介绍单变量线性回归模型的基本原理和应用。
这个模型可以帮助我们分析一个因变量和一个自变量之间的关系，并进行预测和政策评估。
2. 多变量线性回归模型- 我们将讨论多变量线性回归模型的基本原理和应用。
这个模型可以帮助我们分析多个自变量对一个因变量的影响，并进行政策评估和变量选择。
第六部分：计量经济学的时间序列分析1. 时间序列模型的基本概念- 我们将介绍时间序列模型的基本概念和方法，包括自回归模型和移动平均模型。
1分布特征描述类
1分布特征描述类分布特征是指在一定范围内，不同数值或对象的分布情况。
通过对分布特征的描述和分析，可以更好地理解数据的规律和特点，有助于数据的统计分析和决策支持。
在统计学和数据分析领域，分布特征描述是非常重要的一部分，可以帮助我们揭示数据的本质，并为后续的研究和应用提供依据。
分布特征描述主要包括对数据的中心趋势、离散程度、形状和对称性等方面的描述。
其中，数据的中心趋势反映了数据的集中程度，通常用均值、中位数和众数等来描述；数据的离散程度则反映了数据的分散程度，通常用方差、标准差和极差等来描述；数据的形状和对称性反映了数据的分布形态，通常用偏度和峰度来描述。
这些描述指标可以帮助我们全面地认识数据的特点，为数据分析和决策提供依据。
在描述分布特征时，我们通常会用图表和统计指标相结合的方法，来展示数据的分布情况。
常见的图表包括直方图、箱线图、饼图和散点图等，这些图表可以直观地展示数据的分布情况，帮助我们找出数据的规律和特点。
而统计指标则可以量化地描述数据的分布特征，提供客观的数据支持。
在实际应用中，分布特征描述可以帮助我们进行数据探索和分析，找出数据中的异常情况和规律性，为后续的数据处理和分析提供基础。
比如，在市场调研中，我们可以通过对销售数据的分布特征描述，找出最畅销的产品和销售状况，为产品的推广和销售提供决策支持；在金融风险管理中，我们可以通过对资产收益率的分布特征描述，找出潜在的风险源和赚钱机会，为投资决策提供指导。
总的来说，分布特征描述是数据分析的重要一环，可以帮助我们更好地理解数据的特点和规律，为数据处理和决策提供依据。
通过对数据的中心趋势、离散程度、形状和对称性等方面的描述，我们可以全面地认识数据，并更好地利用数据为我们的工作和生活带来更多的价值。
因此，分布特征描述不仅在统计学和数据分析领域具有重要意义，而且在各个行业和领域都有着广泛的应用前景。
数据分布特征的描述讲义
数据分布特征的描述讲义数据分布特征的描述是统计学中的一个重要概念，它提供了对数据集的整体性质和模式的理解。
在进行数据分析和统计推断时，了解数据的分布特征可以帮助我们进行更准确的推断和预测。
本讲义将介绍数据分布特征的几个主要方面，包括中心趋势、离散程度、偏斜度和峰度。
一、中心趋势中心趋势是描述数据集中心位置的一个指标。
常用的中心趋势测量指标有平均值、中位数和众数。
1. 平均值（Mean）：平均值是将数据集中所有数值相加后再除以总数的结果。
平均值对异常值和偏斜数据比较敏感，因此不适用于非正态分布的数据。
2. 中位数（Median）：中位数是将数据集按顺序排列后，处于中间位置的数值。
中位数对异常值和偏态数据的影响较小，适用于非正态分布的数据。
3. 众数（Mode）：众数是数据集中出现次数最多的数值。
众数在描述离散数据和非正态分布数据的中心趋势时较为常用。
二、离散程度离散程度是描述数据集中数据分散程度的一个指标。
常用的离散程度测量指标有范围、方差和标准差。
1. 范围（Range）：范围是数据集中最大值和最小值之间的差异。
范围对异常值敏感，仅仅描述了数据的最大和最小值，没有考虑其他数值的分布情况。
因此，在实际应用中较少使用。
2. 方差（Variance）：方差是每个数据点与平均值之差的平方和的均值。
方差衡量了数据集中数据分散的程度，数值越大，数据越分散。
3. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根。
标准差和方差的大小和正负方向相同，但标准差的量级更易于理解。
三、偏斜度偏斜度是描述数据分布形状对称性的一个指标。
正偏斜和负偏斜分别表示数据分布右偏和左偏。
常用的偏斜度测量指标有偏斜系数。
1. 偏斜系数（Skewness）：偏斜系数是数据分布的非对称性度量。
如果偏斜系数小于0，则分布为左偏；如果偏斜系数大于0，则分布为右偏；如果偏斜系数等于0，则分布为对称。
四、峰度峰度是描述数据分布形状尖峭程度的一个指标。
《数据解读与分析》 讲义
《数据解读与分析》讲义在当今数字化的时代，数据无处不在。
从我们日常的网络浏览记录，到企业的生产销售数据，从社交媒体的互动信息，到科学研究中的实验结果，数据以各种形式和规模不断产生。
然而，仅仅拥有数据是远远不够的，关键在于如何对这些数据进行解读和分析，从中提取有价值的信息，为决策提供支持。
一、数据解读与分析的重要性数据解读与分析是将原始数据转化为有意义的见解和可操作的决策的过程。
它能够帮助我们：1、了解现状通过对数据的分析，我们可以清晰地了解当前的情况。
比如，一家企业可以通过销售数据了解不同产品的市场占有率、销售趋势，从而知道哪些产品表现出色，哪些需要改进。
2、发现问题数据往往能够揭示隐藏在表面之下的问题。
例如，通过客户投诉数据的分析，企业可以发现产品或服务存在的缺陷，及时采取措施加以解决。
3、预测未来基于历史数据和趋势，我们可以进行预测，为未来的规划和决策提供依据。
比如，根据过去几年的销售数据和市场趋势，预测未来的市场需求，提前做好生产和库存准备。
4、优化决策有了准确的数据分析结果，我们能够做出更明智、更优化的决策，降低风险，提高成功率。
二、数据的类型在进行数据解读与分析之前，我们需要了解数据的类型。
常见的数据类型包括：1、定量数据这类数据可以用数字进行衡量和表达，例如销售额、年龄、身高、体重等。
定量数据又分为离散数据（如学生人数）和连续数据（如温度、时间）。
2、定性数据定性数据通常是描述性的信息，不能直接用数字衡量，如颜色、性别、品牌等。
定性数据可以进一步分为名义数据（没有特定顺序，如血型）和有序数据（有一定的顺序，如满意度的等级）。
三、数据收集要进行有效的数据分析，首先要有可靠的数据来源。
数据收集的方法多种多样，包括：1、问卷调查通过设计一系列有针对性的问题，收集受访者的意见和信息。
2、观察法直接观察研究对象的行为、状态等。
3、实验法在控制其他变量的情况下，改变某个变量，观察其对结果的影响。
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第三章数据分布特征的描述（一）教学目的通过本章学习，掌握数据分布集中趋势和分布离散程度的测度，重点掌握分组数据的均值和标准差及变异系数的计算与众数、中位数和均值的比较，并能灵活加以运用，了解数据分布形状（即偏态与峰度）及其测度。
（二）基本要求使学生熟练掌握数据分布特征的描述方法。
（三）教学要点1、集中趋势的测度指标及其计算方法；2、离散趋势的测度指标及其计算方法；3、数据分布偏态与峰度的测度。
（四）教学时数9课时（五）学习内容统计数据的分布特征可以从两个方面进行描述：一是数据分布的集中趋势，二是数据分布的离散程度。
集中趋势和离散程度是数据分布特征对立统一的两个方面。
本章通过介绍平均指标和变异指标这两种统计指标的概念及计算来讨论反映数据集中趋势和分散程度的两个方面的特征。
第一节数据分布集中趋势的测定集中趋势是指一组数据向某中心值靠拢的倾向，集中趋势的测度实际上就是对数据一般水平代表值或中心值的测度。
不同类型的数据用不同的集中趋势测度值，低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据，反过来，高层次数据的集中趋势测度值并不适用于低层次的测量数据，选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势，要根据所掌握的数据的类型来确定。
一般我们用平均指标作为集中趋势测度指标，本节重点介绍众数、中位数两个位置平均数和算术平均数、调和平均数及几何平均数三个数值型平均数。
一、众数(Mode)(一) 概念众数是指一组数据中出现次数最多的变量值，用M0表示。
从变量分布的角度看，众数是具有明显集中趋势点的数值，一组数据分布的最高峰点所对应的变量值即为众数。
当然，如果数据的分布没有明显的集中趋势或最高峰点，众数也可以不存在；如果有多个高峰点，也就有多个众数。
1.集中趋势的测度值之一；2.出现次数最多的变量值；3.不受极端值的影响；4.可能没有众数或有几个众数；5.适用于定类数据、定序数据、定距数据和定比数据。
众数的不唯一性：无众数原始数据: 10 5 9 12 6 8一个众数原始数据: 6 5 9 8 5 5多于一个众数原始数据: 25 28 28 36 42 42（二）众数确定1.定类数据和定序数据众数的测定定类数据与定序数据计算众数时，只需找出出现次数最多的组所对应的变量值即为众数。
2.未分组数据或单变量值分组数据众数的确定未分组数据或单变量值分组数据计算众数时，我们只需找出出现次数最多的变量值即为众数。
3.组距分组数据众数的确定组距分组数据，众数的数值与其相邻两组的频数分布有一定的关系，这种关系可作如下的理解： 设众数组的频数为m f ，众数前一组的频数为1-f ，众数后一组的频数为1+f 。
当众数相邻两组的频数相等时，即1-f =1+f ，众数组的组中值即为众数；当众数组的前一组的频数多于众数组后一组的频数时，即1-f ＞1+f ，则众数会向其前一组靠，众数小于其组中值；当众数组后一组的频数多于众数组前一组的频数时，即1-f ＜1+f ，则众数会向其后一组靠，众数大于其组中值。
基于这种思路，借助于几何图形而导出的分组数据众数的计算公式如下：if f f f f f U M i f f f f f f L M m mm m m m ⨯-+---=⨯-+--+=+-++--)()()()(1110111其中：L 表示众数所在组的下限；U 表示众数所在组的上限；i 表示众数所在组的组距；f m 为众数组的频数；f -1为众数组前一组的频数；f +1为众数组后一组的频数。
上述下限和上限公式是假定数据分布具有明显的集中趋势，且众数组的频数在该组内是均匀分布的，若这些假定不成立，则众数的代表性就会很差。
从众数的计算公式可以看出，众数是根据众数组及相邻组的频率分布信息来确定数据中心点位置的，因此，众数是一个位置代表值，它不受数据中极端值的影响。
二、中位数 （一）概念中位数是将总体各单位标志值按大小顺序排列后，处于中间位置的那个数值。
1.集中趋势的测度值之一； 2.排序后处于中间位置上的值； 3.不受极端值的影响；4.适用于定序数据和数值型数据；5.各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即：m in1=∑-=ni e i M X（二）中位数的确定1.定序数据中位数的确定定序数据中位数确定的关键是确定中间位置，中间位置所对应的变量值即为中位数。
（1）未分组原始资料中间位置的确定⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为偶数中位数位置为奇数中位数位置N N N N 221（2）分组数据中间位置的确定2∑=f 中位数位置2.数值型数据中位数的确定⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=组距分组资料单变量值分组资料分组资料未分组资料数值型数据资料（1）未分组资料首先必须将标志值按大小排序。
设排序的结果为：123n x x x x ≤≤≤⋅⋅⋅≤ 则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫⎝⎛+为偶数时当为奇数时当N X X N X M N N N e 1222121 （2）单变量分组资料⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∑∑=⎪⎭⎫⎝⎛∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∑+为偶数时为奇数时f X f X M f f e 221 （3）组距分组资料① 根据位置公式确定中位数所在的组；② 假定在中位数组内的各单位是均匀分布的，就可利用下面的公式计算中位数的近似值:if S f L M mm e ⋅-∑+=-'12 i f S f U M m m e ⋅-∑-=+'12 其中，1-m s是到中位数组前面一组为止的向上累计频数，'1+m s 则是到中位数组后面一组为止的向下累计频数；fm 为中位数组的频数；i 为中位数组的组距。
三、算术平均数算术平均数(Arithmetic mean)也称为均值(Mean)，是全部数据算术平均的结果。
算术平均法是计算平均指标最基本、最常用的方法。
算术平均数在统计学中具有重要的地位，是集中趋势的最主要测度值，通常用x 表示。
根据所掌握数据形式的不同，算术平均数有简单算术平均数和加权算术平均数。
（一）简单算术平均数(Simple arithmetic mean)未经分组整理的原始数据，其算术平均数的计算就是直接将一组数据的各个数值相加除以数值个数。
设总体数据为X 1,X 2,…,X n ，样本数据为x 1,x 2,…,x n 则统计总体均值X 和样本均值x 的计算公式为：NX NX X X X Ni i N∑=+++==121121nini xx x x x nn=+++==∑（二）加权算术平均数(Weighted arithmetic mean)根据分组整理的数据计算的算术平均数，就要以各组变量值出现的次数或频数为权数计算加权的算术平均数。
设原始数据（总体或样本数据）被分成K 或k 组，各组的变量值为X 1,X 2,…,X K ，或x 1,x 2,…,x k ，各组变量值的次数或频数分别为F 1,F 2…F K ，或f 1,f 2,…,f k ，则总体或样本的加权算术平均数为：∑∑=++++++===Ki iKi i i KKK F F X F F F F X F X F X X 11212211∑∑=++++++===k i iki i i kk k f fx f f f f x f x f x x 11212211上述公式中是用各组的组中值代表各组的实际数据，使用代表值时是假定各组数据在各组中是均匀分布的，但实际情况与这一假定会有一定的偏差，使得利用分组资料计算的平均数与实际的平均值会产生误差，它是实际平均值的近似值。
加权算术平均数其数值的大小，不仅受各组变量值i x 大小的影响，而且受各组变量值出现的频数即权数i f 大小的影响。
如果某一组的权数大，说明该组的数据较多，那么该组数据的大小对算术平均数的影响就越大，反之，则越小。
实际上，我们将上式变形为下面的形式，就更能清楚地看出这一点。
1111Ki iKi iiKKi iii i x ff x x ff======∑∑∑∑由上式可以清楚地看出，加权算术平均数受各组变量值（i x ）和各组权数即频率∑iif f 大小的影响。
频率越大，相应的变量值计入平均数的份额也越大，对平均数的影响就越大；反之，频率越小，相应的变量值计入平均数的份额也越小，对平均数的影响就越小。
这就是权数权衡轻重作用的实质。
需要指出的是，当各组变量值出现的频数（i f ）或频率∑iiff 相等时，权数的作用就消失了，这就意味着各组变量值对总平均的结果所起的作用是一样的，此时，加权算术平均数就等于简单算术平均数。
算术平均数在统计学中具有重要的地位，它是进行统计分析和统计推断的基础。
从统计思想上看，算术平均数是一组数据的重心所在，它是消除了一些随机因素影响后或者数据误差相互抵消后的必然性的结果。
算术平均数具有下面一些重要的数学性质，这些数学性质在实际中有着广泛的应用，同时也体现了算术平均数的统计思想。
错误!未找到引用源。
各变量值与其算术平均数的离差之和等于零，即1()0nii xx =-=∑ 或1()0kiii x x f=-=∑错误!未找到引用源。
各变量值与其算术平均数的离差平方和最小，即21()minnii xx =-=∑ 或21()minkii i xx f =-=∑四、调和平均数（Harmonic mean ）在实际工作中，经常会遇到只有各组变量值和各组标志总量而缺少总体单位数的情况，这时就要用调和平均数法计算平均指标。
调和平均数是各个变量值倒数的算术平均数的倒数，习惯上用H 表示。
1. 集中趋势的测度值之一 2. 均值的另一种表现形式 3. 易受极端值的影响 4. 用于定比数据 5. 计算公式为12112112Kiki Kk i i ki mm m m H m m m m x x x x ==+++==+++∑∑在实际工作中，调和平均数通常是作为算术平均数的变形使用的，也就是由于受所掌握资料的限制，有时不能直接采用算术平均数的计算公式计算平均数，这就需要使用调和平均数的形式进行计算。
111111KKKii ii ii i i KKKi i i ii i i iimx fx fH xm x f fx x ==========∑∑∑∑∑∑由此可见，调和平均数和算术平均数在本质上是一致的，惟一的区别是计算时使用了不同的数据。
在实际应用时，可掌握这样的原则，当计算算术平均数其分子资料未知时，就采用加权算术平均数计算平均数，分母资料未知时，就采用加权调和平均数计算平均数。
五、几何平均数(Geometric mean) 1. 集中趋势的测度值之一2. N 个变量值乘积的 N 次方根3. 适用于特殊的数据4. 几何平均数是适应于特殊数据的一种平均数，在实际生活中，通常用来计算平均比率和平均速度。
当所掌握的变量值本身是比率的形式，而且各比率的乘积等于总的比率时，就应采用几何平均法计算平均比率。