矩阵线性方程组的矩阵表示
第四章 矩阵·行列式·线性方程组
1, 2, , n 的一切排列求和，那么数 D 称为 n 阶方阵相应的行列式。例如，四阶行列式是 4! 个形为
(1)k a1k1 a2 k2 a3k3 a4 k4 的项的和，而其中 a13 a21a34 a42 相应于 k 3 ，即该项前端的符号应为 (1)3 。
（6）
2.1.5. 拉普拉斯恒等式
（7）
显然（2） ， （3）分别是（6） ， （7）的特例。
n 设 A (aij )mn ， B (bij ) mn （ m n ） ，又设 l Cm ，A 的所有 n 阶子式为 U1 ,U 2 , ,U l ，B 的相应的 n
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第四章
矩阵·行列式·线性方程组
§1 矩阵与行列式
第四章
矩阵·行列式·线性方程组
本章内容包括矩阵、行列式与线性代数方程组两部分. 在前一部分，叙述了矩阵和行列式的基本概念，重点介绍各种类型矩阵的性质、基本运算，此外， 还介绍了矩阵的特征值与特征矢量的求法，及有关的内容，如相似变换等；在线性方程组部分，着重介 绍含 n 个未知量的 n 个方程的方程组解法，也简单地讨论了解的结构。最后对整系数线性方程组和线性 不等式组也作了扼要说明。
若行列式中有两行（或列）对应的元素完全相同或成比例，则行列式为零。 若行列式中有一行（或列）元素是其他某些行（或列）对应元素的线性组合，则行列式为零。
7°若行列式中某一行（或列）的所有元素都可表示为两项之和，则该行列式可用两个同阶的行列式
之和来表达。例如
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第四章
线性代数-山大全套课件
若设
a11
A
a21
am1
a12 a22 am2
a1n
a2
n
amn
x1
x
x
2
xn
那么线性方程组可以用矩阵表示为
b1
b
b2
bm
Ax b
矩阵的基本运算及性质
1. 矩阵加法与减法 A B B A (A B) C A (B C)
矩阵的加法、减法、数乘运算
矩阵的加法 矩阵的减法 矩阵的数乘
矩阵的乘法
为了用矩阵表示线性方程组，先定义矩阵的乘法： 如果矩阵A的列数等于矩阵B的行数，那么对于
A (aij ) mn , B (bij ) nl 定义矩阵 C (cij )ml 为A与B的乘积。记为C＝AB
n
其中 cij aik bkj ai1b1 j ai2b2 j ainbnj k 1
am1
am2
amn
a11 a12 a1n b1
a
21
a22
a2n
b2
am1
am2
amn
bm
于是对于方程组的研究将归结于对上面数表的研究。 这种数表叫做矩阵。
矩阵的定义
将m×n个数排成一个m行n列的数表
0 0 0
0 0 1
A 0 0 1, B 0 0 0 AB 0 0 0, BA 0 0 0
《线性代数》第1章线性方程组与矩阵
记为 En 或 E即，
1 0 L 0
E
0
1L
0
.
L L O M
0
0L
1
定义2 两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵.
如果两个同型矩阵
A (aij )mn 和 B (bij )mn 中所有对应位置的元素都相等， 即 aij bij ，其中
该线性方程组由常数 aij i 1,2,L ,m ; j 1,2,L ,n 和 bi i 1, 2,L , m完全确定， 可以用一个 mn 1 个数排成的 m 行 n 1列的数表
a11 a12 L
°A
a21
a22
L
M M
am1
am2
L
a1n b1
a2n
b2
M M
amn bm
一、矩阵的定义
得到的 n m 矩阵称为矩阵 A 的转置矩阵，记为 AT ，即
a11 a21 L
AT
a12
L
a22 L LL
a1n
a2n L
am1
am 2
.
L
anm
矩阵的转置满足下面的运算规律（这里 k 为常数， A 与 B 为同型矩阵）：
数 aij 位于矩阵aij 的第 i 行第 j 列，称为矩阵的i, j 元素， 其中 i 称为元素 aij 的行标， j 称为元素 aij 的列标.
一般地，常用英文大写字母 A, B,L 或字母, , ,L 表示矩阵.
一、矩阵的定义
第1章 线性方程组与矩阵 6
元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵 称为复矩阵. 本书除特别指明外，都是指实矩阵.
矩阵与线性方程组的数学模型和解法
矩阵与线性方程组的数学模型和解法矩阵和线性方程组是线性代数中常见的数学概念，广泛应用于各个学科领域，包括工程、科学、经济等。
本文将介绍矩阵和线性方程组的数学模型以及常见的解法。
1. 矩阵的数学模型矩阵是由数字排列成的矩形阵列。
一个m×n的矩阵表示为：[A] = [a_ij]其中，a_ij是矩阵中第i行第j列的元素。
矩阵按行数和列数分别称为行数和列数，即m×n的矩阵有m行n列。
2. 线性方程组的数学模型线性方程组是一组以线性关系描述的方程组。
形式如下：a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2......................a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m其中，x_1, x_2, ..., x_n是未知数，a_ij是系数矩阵的元素，b_1, b_2, ..., b_m是常数项。
3. 线性方程组的解法解一个线性方程组的目标是找到一组满足所有方程的未知数值的解。
下面介绍两种常见的解法：高斯消元法和矩阵求逆法。
a. 高斯消元法高斯消元法是一种通过消元和回代的操作来求解线性方程组的方法。
具体步骤如下：Step 1: 构造增广矩阵[A|b]，其中A为系数矩阵，b为常数项矩阵。
Step 2: 利用初等行变换将增广矩阵化简为上三角矩阵。
Step 3: 从最后一行开始，利用回代法求出未知数的值。
b. 矩阵求逆法矩阵求逆法是利用逆矩阵的性质来求解线性方程组的方法。
具体步骤如下：Step 1: 构造增广矩阵[A|I]，其中A为系数矩阵，I为单位矩阵。
Step 2: 利用初等行变换将增广矩阵化简为[I|B]，其中B为所求逆矩阵。
Step 3: 利用逆矩阵的性质，将常数项矩阵变换为解的矩阵。
4. 矩阵与线性方程组的应用矩阵和线性方程组在各个学科领域都有广泛的应用。
线性方程组与矩阵的表示与运算
线性方程组与矩阵的表示与运算一、线性方程组1.概念：线性方程组是由多个线性方程构成的组合，通常表示为：a1x + b1y + c1 = 0a2x + b2y + c2 = 0amx + bmy + cm = 0其中，ai, bi, ci (i = 1, 2, …, m) 是常数，x, y 是未知数。
2.线性方程组的解：线性方程组的解是指能够满足所有方程的未知数的值。
线性方程组可能有唯一解、无解或有无限多解。
3.高斯消元法：高斯消元法是一种求解线性方程组的算法，通过初等行变换将线性方程组化为阶梯形或行最简形矩阵，从而求出解。
4.克莱姆法则：克莱姆法则是一种根据线性方程组的系数矩阵的行列式求解线性方程组的方法。
二、矩阵的表示与运算1.概念：矩阵是一个由数列组成的数列，通常表示为：A = [a_{ij}]其中，a_{ij} 是矩阵A的第i行第j列的元素，矩阵A有m行n列，称为m×n 矩阵。
2.矩阵的元素：矩阵的元素可以是实数、复数、向量等。
3.矩阵的运算：(1)矩阵加法：两个矩阵相加，对应元素相加。
(2)矩阵乘法：两个矩阵相乘，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
(3)矩阵的标量乘法：矩阵与标量相乘，矩阵的每个元素都乘以标量。
(4)矩阵的转置：矩阵的转置是将矩阵的行变为列，列变为行。
(5)矩阵的逆：矩阵的逆是指满足AA^(-1) = A^(-1)A = I的矩阵A^(-1)，其中I是单位矩阵。
4.特殊矩阵：(1)单位矩阵：单位矩阵是一个方阵，其对角线上的元素都是1，其余元素都是0。
(2)零矩阵：零矩阵是一个所有元素都是0的矩阵。
(3)对角矩阵：对角矩阵是一个只有对角线上有非零元素的矩阵。
(4)正交矩阵：正交矩阵是一个满足AA^(-1) = A^(-1)A = I的方阵。
三、线性方程组与矩阵的关系1.线性方程组的矩阵表示：线性方程组可以表示为一个系数矩阵A和增广矩阵(A|b)，其中A是系数矩阵，b是常数矩阵。
矩阵的简单应用
矩阵的简单应用矩阵是数学中一个非常重要的概念，它在物理、统计学、计算机科学、工程等许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍一些矩阵的简单应用。
1. 线性方程组矩阵最基本的应用之一就是解线性方程组。
线性方程组可以用矩阵和向量的形式表示。
例如下面这个方程组：x + y = 32x - y = 1可以表示为以下矩阵和向量：$$\left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right]$$通过进行矩阵运算，我们可以求出满足这个方程组的解。
2. 向量的线性组合矩阵可以用来表示向量的线性组合。
例如，我们可以将两个向量表示为矩阵的列向量：其中a和b是标量。
通过改变a和b的值，我们可以得到向量的不同组合。
3. 线性变换矩阵还可以表示线性变换。
线性变换是指满足以下两个条件的变换：1）对于任意的向量x和y，有f(x + y) = f(x) + f(y)。
例如，我们可以将矩阵M表示为线性变换，将一个向量x变换为y。
那么这个变换可以用以下方程表示：$$y = Mx$$4. 特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。
特征值是一个数，特征向量是一个向量。
如果一个向量在线性变换后仍然在同一条直线上，那么这个向量就是这个变换的特征向量，对应的特征值就是这个变换对这个向量的伸缩比例。
例如，下面这个矩阵：$$\left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}\right]$$5. 矩阵的逆矩阵的逆是一个矩阵，它与原矩阵相乘会得到单位矩阵。
如果一个矩阵A的逆存在，那么它可以表示为以下形式：$$A^{-1} = \frac{1}{\text{det} A}\text{adj} A$$其中，det A是A的行列式，adj A是A的伴随矩阵。
3-3线性代数
1 2 3 1 1 r2 3r1 1 2 3 1 1 r3 2r1 B = 3 1 5 3 2 0 5 4 0 1 2 1 2 2 3 r3 r2 0 0 4 0 1 2 5 0
显然， 显然， R( A) = 2, R( B ) = 3,
故方程组无解． 故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
x1 x2 x3 + x4 = 0 . x1 x2 + x3 3 x4 = 1 x x 2x + 3x = 1 2 1 2 3 4
解 对增广矩阵 进行初等变换 对增广矩阵B进行初等变换
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B = 1 1 1 3 1 ~ 0 0 2 4 1 1 1 2 3 1 2 0 0 1 2 1 2
x1 1 0 1 2 x2 0 0 1 x = c1 0 + c2 2 + 1 2 . (c1 , c2 ∈ R ) 3 0 1 0 x 4
例4 解非齐次线性方程组
2 x1 + 4 x2 x3 = 7, 2 x2 2 x3 = 2, x + 2 x x = 2. 2 3 1
且 1 0 B~ 0 0 1 1 0 0 2 3 2 1 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 ~ 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 8 0 3 1 2 0 0
与原方程组同解的方程 组为
x1 = 8, x 2 + 2 x 3 = 3, x = 2, 4
(c1 , c2 ∈ R)
例２ 求解非齐次线性方程组 x1 2 x2 + 3 x3 x4 = 1, 3 x1 x2 + 5 x3 3 x4 = 2, 2 x + x + 2 x 2 x = 3. 1 2 3 4 解 对增广矩阵B进行初等变换， 对增广矩阵 进行初等变换， 进行初等变换
线性方程组的矩阵表示与应用
线性方程组的矩阵表示与应用线性方程组是数学中重要且常见的概念，它可以通过矩阵的形式进行表示和求解。
本文将详细介绍线性方程组的矩阵表示方法以及其在实际应用中的意义。
一、线性方程组的矩阵表示线性方程组是由一组线性方程组成的数学模型。
通常情况下，线性方程组可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为已知系数，x₁、x₂、...、xₙ为未知数，b₁、b₂、...、bₙ为已知常数。
为了方便表示和计算，我们可以将线性方程组转化为矩阵的形式。
假设 A 是一个 m×n 的矩阵，其中 aᵢₙ表示线性方程组中第 i 个方程中未知数 xₙ 的系数。
并且，b 是一个 m 维列向量，表示线性方程组中的常数项。
则线性方程组可以表示为矩阵乘法的形式：Ax = b其中，x 是一个 n 维列向量，表示线性方程组的解。
二、线性方程组的矩阵应用1. 线性方程组的解线性方程组的矩阵表示使得求解过程更加简便。
通过将线性方程组表示为矩阵形式，可以利用矩阵的性质和运算方法求解方程组的解。
一般来说，我们可以使用高斯消元法、矩阵的逆等方法来求解线性方程组的解。
2. 线性方程组的唯一性线性方程组的解不一定存在，但如果线性方程组的系数矩阵 A 是满秩的，即矩阵 A 的秩等于其行数或列数，那么该线性方程组必然存在唯一解。
这是因为满秩的矩阵 A 能够通过初等行变换得到行最简形式的矩阵，从而唯一确定解的值。
3. 线性方程组与向量空间线性方程组的解空间与矩阵的零空间有密切关系。
线性方程组的所有解构成一个向量空间，称为齐次方程组的解空间。
这个解空间是由零空间中的一个特解加上齐次方程组的基础解系所张成的。
4. 线性方程组的应用线性方程组的矩阵表示在许多实际问题中具有广泛的应用。
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矩阵线性方程组的矩阵表示矩阵线性方程组是线性代数中的重要概念，它描述了一个或多个线性方程构成的一组方程。
而这些方程的关系可以通过矩阵来表示和求解。
本文将介绍矩阵线性方程组的矩阵表示，让我们一起来探索吧！
一、矩阵线性方程组的基本形式
矩阵线性方程组的一般形式可以表示为：
A * X = B
其中，A是一个m×n的矩阵，X是一个n×1的未知向量或者称为变量向量，B是一个m×1的已知向量或者称为常数向量。
这个方程组表示了矩阵A与向量X相乘得到向量B的关系。
二、为了方便研究和求解线性方程组，我们可以将A、X、B分别表示为矩阵形式：
⎡a11 a12 ... a1n⎤⎡x1⎤⎡b1⎤
⎢a21 a22 ... a2n⎥⎢x2⎥ = ⎢b2⎥
⎢... ... ... ...⎥⎢...⎥⎢...⎥
⎣am1 am2 ... amn⎦⎣xn⎦⎣bm⎦
其中，A是一个m×n的矩阵，X是一个n×1的列向量，B是一个
m×1的列向量。
通过这种矩阵表示，我们可以利用矩阵运算的性质和方法来求解矩
阵线性方程组，具体方法有高斯消元法、克拉默法则、矩阵的逆等。
三、矩阵线性方程组的求解方法
1. 高斯消元法
高斯消元法是一种常用的求解线性方程组的方法，其基本思想是通
过矩阵的初等行变换将方程组化为阶梯矩阵（行简化阶梯形矩阵），
然后通过回代求解得到方程组的解。
具体步骤如下：
（1）将系数矩阵A与常数向量B合并形成增广矩阵（A|B）；
（2）利用初等行变换，将增广矩阵化为阶梯矩阵；
（3）从最后一行开始，依次回代求解未知向量X。
2. 克拉默法则
克拉默法则是一种利用矩阵的行列式性质来求解线性方程组的方法。
该方法需要计算每个未知量对应的行列式，然后通过比值得到每个未
知量的值。
具体步骤如下：
（1）求出系数矩阵A的行列式D；
（2）将系数矩阵A的第i列替换为常数向量B，得到矩阵A'；
（3）求出矩阵A'的行列式Di；
（4）未知向量X的第i个分量xi等于Di与D的比值。
3. 矩阵的逆
如果矩阵A存在逆矩阵A-1，那么可以通过左乘逆矩阵的方式求解
线性方程组，即：
X = A-1 * B
其中，A-1是矩阵A的逆矩阵。
四、总结
矩阵线性方程组的矩阵表示是求解线性方程组的重要方法之一，通
过将方程组转化为矩阵形式，可以利用矩阵运算的规律和方法来求解。
常用的求解方法包括高斯消元法、克拉默法则和矩阵的逆。
在实际应
用中，根据具体情况选择合适的方法来求解矩阵线性方程组，可以提
高计算效率和精度。
通过本文的介绍，希望读者对矩阵线性方程组的矩阵表示有了更深
入的理解，并能够灵活应用于线性代数的相关问题中。