Hadamard乘积矩阵的一些性质

Hadamard 乘积矩阵的性质在对正定矩阵的判定和正定矩阵行列式的上界估计等方面起 重要作用. 本文将讨论 Hadam ar d 乘积阵的秩的上界和正定矩阵( 半正定矩阵) 的 Hadam ar d 积的行列式下界.
约定下文所提及的正定( 半正定) 矩阵都为实对称方阵( 或厄米特方阵) .
一、定 义
r r. 引理2 设 , 为 m 维列向量, x , y 为 n 维行向量, 则 ( * )(x* y)= ( x)* ( y).
事实上, 令 = ( 1 , 2, …, r ) ′, = ( 1, 2 , …, r ) ′, x = ( x 1, x 2, …, x n ) , y = ( y 1, y 2 , …, yn ) ,
151
…, r 为线性无关的列向量, 1, 2, …, r 为线性无关的行向量. 事实上, 因为秩 A = r , 则有列满秩阵 P m×r 与行满秩阵 Qr ×n, 使得 A = P Q[ 1] . 令 P = ( 1 , 2 , …, r ) , 则 1, 2 , …, r 为线性无关的列向量. 令 Q = ( 1 , 2 , …, r ) ′则 1, 2, …, r 为线性无关的行向量. 所以 A = 1 1 +
A* B
=
A A 11
b11D 11 ≥
A A 11
b11
b22…bnnA 11
= b11 b22…bnn A ,
所以
A * B ≥b11 b22…bnn A .
同理可得 A * B ≥a11 a22 …ann B .
为证定理5, 先证下面两个引理.
引理3 A 正定, 令
a11 … a1n x 1
( k= 1, 2, …, n) . 因此, 当 X ≠0时, X ′( A * B) X > 0, 所以 A * B 正定. 定理3的推论是明显的.
定理4的证明. 用数学归纳法求证. 当 n= 1时, 显然成立. 假设命题对 n- 1成立. 令 D = A * B = ( dij ) n×n,
dij = aij bij .
Yk=
(
y
( k) 1
,
y
( k) 2
,
…,
y
( k) n
)
′=
( g1kx 1 , g2kx 2 , …, gnkx n)
′, k=
1, 2, …, r , 则
r
∑ bij =
gikgj k,
k= 1
nn
nn
r
∑∑ ∑∑ ∑ 所以 X ′( A * B) X =
x iaijbij x j =
x iaij
第1 19
49卷8年第6 3月期 JO
U
百度文库
RN
A
L
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工 科 数 学 MAT HEM AT ICS F OR
T
E
CHN
O
LO
G
Y
V
ol. 14, No . Jun. 1998
3
Hadamard 乘积矩阵的一些性质
贾正华
( 安徽巢湖师范专科学校, 巢湖 238000)
摘要 本文给出了 Hadamar d 乘积矩阵的秩和行列式的两个不等式. 关键词 Hada mard 乘积矩阵 秩 正定矩阵 半正定矩阵
nn
∑∑ g ( x 1, x 2, …, x n) = -
A ij x i x j ,
i= 1 j = 1
其中 A ij 为 A 的元素 aij 的代数余子式.
因为 A 正定, 所以 A 合同于 I n, 且 A
>
0,
故
A
-
1 合同于
I
n
1=
In
( In 为 n 阶单位矩阵) ,
从而 A - 1正定. 又 A * = A A - 1 ( A * 为 A 的伴随矩阵) , 所以 A * 也正定, 当 x 1 , x 2, …, x n 不全
定理3( 2) 的证明
当 A 正定时, 定理3( 1) 证明中的 r = n, 则 G 可逆, 且 X ′( A * B ) X ≥0; 同时 Y k′A Y k ≥0, k
= 1, 2, …, n. 这时
g11 x 1 g12x 1 … g1nx 1
( Y 1, Y 2, …, Y n) =
g21 x 2
( ii) 若 A , B 为正定矩阵, 则 A * B 也为正定矩阵.
推论 ( 华罗庚定理) 若 A 正定( 半正定) , 则 A * A * …* A 正定( 半正定) .
k个
定理4 若 A , B 为 n 阶正定矩阵, 则
A * B ≥a a 11 22 …ann B , 或 A * B ≥b11 b22 …bnn A .
a 21
a22 … a2n
A 0=
,
an1
an2 … ann
第3期 贾正华: Hadamard 乘积矩阵的一些性质
153
所以 A 0 = ( a11 - A / A 11 ) A 11+ a12A 12 + …+ a1nA 1n
= a11A 11 + a12 A 12 + …+ a1nA 1n- A = 0. a22 … a2n
nn
∑∑ 为0时
A ij x ix j > 0, 从而 g( x 1 , x 2 , …, x n ) ≤0. 当且仅当 x 1= x 2= …= x n= 0时取等号.
i= 1 j = 1
引理4 若 A 正定, 则 A ≤a11a22…ann. 当且仅当 A 为对角阵时等号成立.
事实上, n= 1时, 显然命题成立.
a11 b11 a 12b12 … a b 1n 1n
( - A / A 11) b11 0 … 0
a21 b21 a 22b22 … a b 2n 2n
=
+
a b 21 21
d22 … d2n
an1 bn1 a n2bn 2 … a b nn nn
a b n1 n1
dn2 … dnn
所以
= A * B - ( A / A 11) b11D 11,
+ an- 1 n
0
a n- 1 1 an1
… a n- 1 n- 1 … an n- 1
0 a nn
a11 … a1 n- 1
a1n
a21 … a2n- 1
a2n
令 g( a1n, a2n, …, an- 1 n ) =
,
a … a a n- 1 1
定理2的证明:
设秩 A = r1 , 秩 B= r2 , 由引理1
r1
∑ A = + 11 11 12 12+ …+ = 1r1 1r1
, 1i 1i
i= 1
r2
∑ B =
+ 21 21
22 22+ …+
= , 2r 2 2r 2
2j 2j j= 1
其中 11 , 12 , …, ; 1r 1 21 , 22 , …, 2r2是两组线性无关的列向量组, 11, 12 , …, ; 1r 1 21 , 22 , …,
又
正定, 可知 A 0 半正定. 由定理3 A 0 * B 半正定
an2 … ann
( a11- A / A 11) b11 a12 b12 … a1n b1n
又 A 0* B =
a b 21 21
a22 b22 … a2n b2n
A 0 * B = 0.
a b n1 n1
bn2bn2 … ann bnn
gikgjk x j
i= 1 j = 1
i= 1 j= 1
k= 1
r
nn
r
∑ ∑∑ ∑ =
aij ( x i gik) ( x j gj k) = ( Y k′A Y k ) .
k= 1 i= 1 j = 1
k= 1
因为 A 半正定, 所以 Y k ′A Y k ≥0, k= 1, 2, …, r , 所以 X ′( A * B ) X ≥0, 故 A * B 为半定的.
d22 … d2n
a22b22 … a b 2n 2n
d11 的代数余子式 D 11 = 因为 A , B 正定, 则
= dn2 … dnn
a22 … a2n
. an2bn2 … annbnn
b22 … b2n
与
an2 … ann
bn2 … bnn
正定. 由归纳假设 D 11 ≥b22…bnnA 11. A 11为 a11的代数余子式, 作 a1 1- A / A 11 a12 … a1n
则得:
2 2+ …+
11
* = 2 2 , x * y = ( x 1y 1 , x 2y 2 , …, x ny n) ,
mm
1x 1 1x 2 … 1x n
1y 1 1 y 2 … 1y n
x=
2x 1
2x 2 …
2x n , y =
2y 1
2y2 …
2y n .
mx1 mx2 … mxn
定理5 A , B 为正定矩阵或有一个为半正定时 A * B ≥ A B .
三、定理的证明
定理1的几个结论由定义显然. 为证定理2先证下面两个引理. 引理1 若 A 为数域 F 上的 m×n 阶矩阵, 则秩 A = r
1 1 + 2 2+ …+ r r , 其中 1, 2,
第3期 贾正华: Hadamard 乘积矩阵的一些性质
g22x 2
…
g2nx 2 .
gn1 x n gn2x n … gnnx n 当 X ≠0时, Y 1 , Y 2 , …, Y n 中至少有一个不为0, 否则, gk1x 1 + g k2 x 2 + …+ gknx n = 0, k = 1, 2, …, n, 即 G′X = 0. 因为 G 可逆 G ′可逆 X = 0, 矛盾! 又 A 正定, 则 Y k ′A Y k 中至少有一个大于0
1i 1i) * (
) 2j 2j
秩( ( 1i *
r 1 r2
故 秩( A * B ) = 秩 ∑∑( 1i* i= 1 j= 1
2j ) ( 1i* 2j ) ( 1i*
2j ) ) ≤1, 2j )
152 工科数学 第14卷
r1 r 2
设命题对 n- 1成立.
154 工科数学 第14卷
a 11
a 12 … a 1n- 1
a 1n
a 21
a 22 … a 2n- 1
a 2n
a11 … a1 n- 1
0
A=
an- 1 1 a n1
an- 1 2 a n2
… …
an- 1 n- 1 a n n- 1
2r 2是两个线性无关的行向量组.
由 定理1 及引 理2得 :
A* B =
r1
∑ * 1i 1i
i= 1
r2
∑ 2j 2j
j= 1
r1 r2
= ∑∑( i= 1 j= 1
r1 r2
∑∑ =
( 1i* 2j ) ( 1i * 2j ) .
i= 1 j = 1
1i* 2j 为列向量, 1i* 2j 为行向量, 所以
s
s
( ii) A * ∑B i = ∑( A * Bi ) ;
i= 1
i= 1
( iii) ( A * B) ′= A ′* B′;
( iv) A , B 为对称矩阵( 或厄米特矩阵) , 则 A * B 也为对称阵( 或厄米特阵) .
定理2 秩( A * B) ≤秩 A 秩 B.
定理3 ( i) 若 A , B 为半正定矩阵, 则 A * B 也为半正定矩阵;
设 A , B 为数域 F 上两个 m×n 阶矩阵, A = ( aij ) m×n , B= ( bij ) m×n. 记 A * B = ( aij bij ) m×n , 称 A * B 为 A 与 B 的 Hadamard 乘积矩阵.
二、主要结论
定理1 ( i) A * B = B * A ;
my 1 my 2 … my n
所 以( * ) ( x * y ) 的第 i 行第 j 列的元素为( i i ) ( x j yj ) = i x j iy j . 而( x ) * ( y ) 的第 i 行
第 j 列的元素为( ix j ) ( iy j ) = i x j iy j , 所以
( * )(x* y)= ( x)* ( y).
a21 … a2n x 2
g ( x 1, x 2, …, x n ) =
,
an1 … ann x n
x 1 … xn 0
则 g( x 1, x 2 , …, x n) ≤0, 当且仅当 x 1= x 2= …= x n= 0时取等号.
事实上, 把 g( x 1 , x 2, …, x n ) 按最后一行展开即得
∑∑ ≤
秩( ( 1i* 2j ) ( 1i*
i= 1 j = 1
= r 1 r 2 = 秩( A ) 秩( B ) .
r1 r2
2j ) ) ≤∑∑1 i= 1 j= 1
定理3( 1) 的证明
设秩 B = r , 则存在 r ×n 阶矩阵 G, 使得 B= G′G ( 秩 G= r ) . 记
G′= ( gij ) n×r , A = ( aij ) n×n , B = ( bij ) n×n , X = ( x 1, x 2 , …, x n) ′,