《等差数列求和公式》教案

等差数列求和公式

教学目标

(知识目标 1

(1)掌握等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法;

(2)能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。

(能力目标 2

经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。

3(情感目标

通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

教学重点、难点

1(等差数列前n项和公式是重点。

2(获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

教学过程

复习回顾:

1(等差数列的定义;

2(等差数列的通项公式。

新课引入:

问题一:

介绍德国著名数学家高斯，相传高斯在10岁那年他的算术老师给他出了一道算术题:1+2+3+…+100=,。结果高斯很快就算出了答案，你知道高斯是怎么很快的算出结果的吗,

请同学起来回答，如何进行首尾配对求和:

100(1100)(299)...(5051)，，，，，===5050. S,，，，，

123...100()1100，,n2

师:非常好～这位同学和数学家高斯一样聪明～这里高斯的配对法就是采用的“首尾配对法”。师:这里1,2,3，…，100这是一个什么数列,生:等差数列。

123...100，，，，师:这里就是在求一个等差数列的和的问题。引出课

题:7.2.2等差数列求和。

一、数列的前n项和意义

一般地，设有数列aaaa,,,,,…,我们把叫做数列的aaaa，，，，{}a123n123nn 前n项和，记作(即( Saaaa,，，，，Snnn123

问题二:

(课件出示印度泰姬陵的图片)，介绍传说中的泰姬陵陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共21层。你知道镶饰这个图案一共花了多少宝石吗,

学生回答:即求。师:怎么求, S,，，，，1232121

生:仿照上面的方法，首尾配对(1+21)+(2+20)+…+(10+12)。师:这里一共配成了几对呢,生:10对，再加上中间一个数11，得到结果231。师:很好。我们用高斯的首尾配对法也能求出结果来。那么，有没有更简单一点的配对方法呢, 课件演示，在三角形红宝石图案旁添一个相同倒置三角形蓝宝石图案，将两个三角形拼成平行四边形。则

原三角形红宝石图案:， S,，，，，1232121

后添的三角形蓝宝石图案:， S,，，，，212019121

平行四边形图案所有宝石数:， 2(121)21S,，，21

(121)21，，所以，。 S,,231212

这种求和方法叫倒序相加法，与高斯的首尾相配法原理如出一辙。

师:上面我们求了，在这两个问题中，最后，这个和都可以写成首项SS,10021 ()aan，1n与末项的和乘以项数的一半。那么，是不是所有的等差数列都有这S,n2个求和公式呢,下面我们来证明这个公式。

二(等差数列的前n项和公式

设有等差数列:公差为d，前项和为，则 aaaa,,,,,{}aSnn123nn

; Saadadand,，，，，，，，,()(2)[(1)]n1111

. Saadadand,，,，,，，,,()(2)[(1)]nnnnn

将两式分别相加，得:， 2()Snaa,，nn1

由此得到等差数列的前项和的公式 {}ann

()aan，1n (公式一) S,n2

说明:这里一共有4个量，已知3个量就可以求出第4个量。

因为，所以上面的公式又可以写成 aand,，,(1)n1

nn(1), (公式二) Snad,，n12

例题:

例1:在等差数列中， {a}n

1(1)已知，求;(2)已知，求。 aa,,3,101SSad,,3,11010182

通过此例题，让学生体会在具体的问题中如何根据已知条件选择适当的求和公式。

例2:一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放120支。这个V形架上共放了多少支铅笔, 请学生回答。先归结为数学问题，然后选择适当的求和公式，代入求解。课堂小练:

135(21)，，，，,,n1(计算: 。

2(已知数列为等差数列， {a}n

(1)若，求; aa,,5,10S188

(2)若，求; aa,,5,10S128

(3)若，求; aa,,5,10S278

例3:已知等差数列,10，,6，,2，2，…，的前多少项和为54,

1315例4:在等差数列中，已知，求及。 daS,,,,{a}a,,nnnn1222

请学生思考，列出两个关于和的方程，再求解。 an1

说明:在等差数列的通项公式与前n项公式中，含有五个量，已adnaS,,,,1nn 知其中的3个量就可以求出余下的两个量。

课堂小结:

1(等差数列前n项和Sn公式的推导--倒序相加法;

2(等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用;

()aan，nn(1),1n(公式一); (公式二) S,Snad,，n1n22 3