人教版高三复习参数方程讲义

【新知识梳理与重难点点睛】

1．参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 是某个变数t 的函数：?????

x ＝f t ，

y ＝g t ，并

且对于t 的每一个允许值，由函数式????? x ＝f t ，y ＝g t 所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程?????

x ＝f t ，

y ＝g t

叫做

这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．

2．直线、圆、椭圆的参数方程

(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为?????

x ＝x 0＋t cos α，

y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．

(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为????

?

x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．

(3)椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为?

????

x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．

考点一 参数方程和普通方程的互化

1．将下列参数方程化为普通方程．

(1)???

x ＝3k 1＋k 2

，y ＝

6k

21＋k 2

；

(2)?

????

x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.

解：(1)两式相除，得k ＝y

2x ，

将其代入x ＝3k

1＋k 2得x ＝3·y 2x 1＋???

?y 2x 2，

化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．