第三章 正交试验设计(1)-正交试验及直观分析
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第三章-正交试验设计(5)-水平数不等的正交试验设计说明
22 212
5
31 212
6
32 121
7
41 221
8
42 112
K1 41 48 64 57 59 K2 24 63 47 54 52 K3 19 K4 27 k1 5.1 3.0 4.0 k2 3.0 3.9 2.9 k3 2.4 k4 3.4 R 2.7 0.9 1.1 R’ 3.4 2.6 3.1
ABCD
123 4 5 678
2．方差分析
L18（2×3 7），是一张不完全正交表，所以
ST S1 S2 S8 ,在进行方差分析时，S e 用ST减去各
因子的平方和得到，fe也用fT减去各因子的自由度得到， 所以空白列一般就不作计算。
表头设计 试验号 列号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
A
压力（公斤）
B
C
温度（℃ ） 时间（分 ）
1
8
95
9
2
10
90
12
3
11
4
12
该试验是由刚起步的小厂组织，无专门测胶压板性
能的仪器，找了四位有经验的专家来评测打分。
选用L8(4×24)，这是一个完全正交表
试验方案及结果表
因素 A B C
水平
1 2345
1
11 111
2Hale Waihona Puke 12 222321 121
4
T1
T2
T3 S
L18(2×37)的平方和计算表
E
A
B
C
D
12 3
4
5
67
11 1
1
1
正交试验设计和分析方法研究
正交试验设计和分析方法研究一、本文概述正交试验设计是一种高效、系统的试验设计方法，广泛应用于科学研究、工程实践以及社会调查等领域。
通过正交表的正交性、均匀分散性和整齐可比性，正交试验设计能够在众多试验因素中快速找出关键因素，优化试验方案，提高试验效率。
本文旨在深入研究正交试验设计的理论基础，探讨其在实际应用中的优化策略，分析正交试验设计的优缺点，并展望其未来发展趋势。
本文首先介绍正交试验设计的基本原理和常用正交表，然后详细阐述正交试验设计的步骤和方法，接着通过案例分析展示正交试验设计在不同领域的应用实践，最后对正交试验设计的未来发展进行展望，以期为相关领域的研究和实践提供有益的参考和借鉴。
二、正交试验设计基本原理正交试验设计是一种高效、系统的试验设计方法，其核心在于利用正交表来安排试验，通过对试验因素与水平进行全面、均匀的搭配，从而找出最佳的试验方案。
正交试验设计的基本原理主要包括以下几点：正交性原理：正交表具有正交性，即表中的每一行（或列）所代表的因素水平组合都是唯一的，且在整个表中均匀分布。
这种正交性保证了试验点在试验范围内均匀分布，从而能够全面反映试验因素与水平的变化情况。
代表性原理：正交表中的每一行都代表一组试验因素与水平的组合，这些组合在试验范围内具有代表性。
通过选择适当的正交表，可以在较少的试验次数下获得较为全面的试验结果。
综合可比性原理：正交表中的每一列都对应一个试验因素，不同列之间的因素是相互独立的。
这意味着每个因素在不同水平下的效果可以单独进行分析和比较，从而便于找出影响试验结果的主要因素及其最佳水平。
分析简便性原理：正交试验设计的结果分析简便易行，可以通过直观分析或方差分析等方法快速得出结论。
直观分析法可以直接从正交表中观察出各因素在不同水平下的效果，而方差分析法则可以进一步检验各因素对试验结果的影响程度。
正交试验设计通过合理利用正交表的性质，实现了试验的高效、系统和全面。
在实际应用中，只需根据试验需求选择合适的正交表，按照表中的安排进行试验，并对试验结果进行简便的分析，即可得出较为准确的结论。
正交试验设计及其结果的直观分析(单指标 双指标)
1. 综合平衡法 2. 综合评分法
综合平衡法
综合平衡法是，先对每个指标分别进行单指标的直观分析，得到 每个指标的影响因素主次顺序和最佳水平组合，然后根据理论知 识和实际经验，对各指标的分析结果进行综合比较和分析，得出 较优方案。
例 在用乙醇溶液提取葛根中有效成分的试验中，为了提高葛根 中有效成分的提取率，对提取工艺进行优化试验，需要考察三向 指标：提取物得率（为提取物质量与葛根质量之比）、提取物中 葛根总黄酮含量、总黄酮中葛根素含量，三个指标都是越大越好， 根据前期探索性试验，决定选取3个相对重要的因素：乙醇浓度、 液固比（乙醇溶液与葛根质量之比）和提取剂回流次数进行正交 试验，它们各有3个水平，具体数据如表6-9所示，不考虑因素间 的交互作用，是进行分析，找出较好的提取工艺条件。
综合评分法
综合评分法是根据各个指标的重要程度，对得出的实验结果进行分 析，给每一个实验评出一个分数，作为这个实验的总指标，然后根 据这个总指标（分数），利用单指标试验结果的直观分析法作进一 步的分析，确定较好的实验方案，显然，这个方法的关键是如何评 分，下面介绍几种评分方法：
1.对每好实验结果的各个指标统一权衡，综合评价，直接给出每一号 试验结果的综合分数（依靠试验者或专家的理论知识和实践经验）
度
隶属度
1
1 1 1 1 2.96 65.70
1.00
1
1.00
2
1 2 2 2 2.18 40.36
0
0
0
3
1 3 3 3 2.45 54.31
0.35
0.55 0.47
4
2 1 2 3 2.70 41,09
0.67
0.03 0.29
5
2 2 3 1 2.49 56.29
综合平衡法
综合平衡法是，先对每个指标分别进行单指标的直观分析，得到 每个指标的影响因素主次顺序和最佳水平组合，然后根据理论知 识和实际经验，对各指标的分析结果进行综合比较和分析，得出 较优方案。
例 在用乙醇溶液提取葛根中有效成分的试验中，为了提高葛根 中有效成分的提取率，对提取工艺进行优化试验，需要考察三向 指标：提取物得率（为提取物质量与葛根质量之比）、提取物中 葛根总黄酮含量、总黄酮中葛根素含量，三个指标都是越大越好， 根据前期探索性试验，决定选取3个相对重要的因素：乙醇浓度、 液固比（乙醇溶液与葛根质量之比）和提取剂回流次数进行正交 试验，它们各有3个水平，具体数据如表6-9所示，不考虑因素间 的交互作用，是进行分析，找出较好的提取工艺条件。
综合评分法
综合评分法是根据各个指标的重要程度，对得出的实验结果进行分 析，给每一个实验评出一个分数，作为这个实验的总指标，然后根 据这个总指标（分数），利用单指标试验结果的直观分析法作进一 步的分析，确定较好的实验方案，显然，这个方法的关键是如何评 分，下面介绍几种评分方法：
1.对每好实验结果的各个指标统一权衡，综合评价，直接给出每一号 试验结果的综合分数（依靠试验者或专家的理论知识和实践经验）
度
隶属度
1
1 1 1 1 2.96 65.70
1.00
1
1.00
2
1 2 2 2 2.18 40.36
0
0
0
3
1 3 3 3 2.45 54.31
0.35
0.55 0.47
4
2 1 2 3 2.70 41,09
0.67
0.03 0.29
5
2 2 3 1 2.49 56.29
第三章 正交试验设计
因素水平表
第三步选择正交表 可选择正交表L9（34）安排正交试验，将
A、B、C三个因素安排在前3列，见下表。
正交表L9（34）
第四步安排试验及试验结果
第五步试验结果分析
直观分析 极差分析 方差分析
直观分析
直观分析就是找正交表中安排的9次试验中 好的试验条件。本例试验目的是降低启动 压力，所以压力越小越好，即第3号试验的 试验条件在9次试验中是最好的。试验条件 是A1B3C3，压缩量为6%，粗糙度为0.8， 内径大小28。
二战后实验设计法在工业中得到推广和应用； 日本学者田口玄一首先将实验设计成功得应用于
新产品的开发。对于一些复杂的过程和产品，利 用实验设计法合理的选择适当的参数，可以大大 改善产品功能目标值的稳定性，即所谓稳健性设 计； 20世纪70年代初期，我国着名数学家华罗庚带 头在我国推广实验设计法。
三、实验设计法
设计质量管理——试验设计
质量管理中，经常会遇到多因素、有误差、 周期长之类试验，希望解决以下问题：
1. 对质量指标的影响，哪些因素较重要？ 2. 每个因素取什么水平为好？ 3. 各个因素按什么水平搭配较好？ 试验设计是处理这类试验问题的一种简便易
行、行之有效的方法。
产品开发的三个阶段
顾客 要求
系统设计 容差设计
第二节单指标正交试验设计
正交表 正交试验设计
一、正交表
正交表为试验设计表的一类，具有较强的 代表性。
正交表的符号表示为：L a(b c) 其中：L----正交试验表的代号 a----正交表的试验次数 b----正交试验的水平数 c---- 正交试验的因素数 N=bc--- 全因子试验次数（即全部的因素和
参数设计
稳定性好 的产品
正交试验设计水平数不等的正交试验设计(课堂PPT)
1（20） 1 （20） 2（25） 2 （25） 3 （30） 3 （30） 4（35） 4 （35）
4.97 4.72 4.63 5.22 2.49 2.36
2.32 2.61 0.29 0.185
1（81.5） 2 (84.1)
1（81.5） 2 (84.1)
1 （81.5） 2 (84.1)
1
2
32
23 1
3
2
31
23 2
1
3
12
23 3
2
1
23
2154.8 1340.2 1392.6 1632.8 1426.7
2149.3 1377.0 1468.7 1359.2 1478.2
1586.9 1442.8 1312.0 1399.2
1.7
5904.1 499.0 9997.3 536.1
列号 试验号
1 2 3 4 5 6 7 8
L8(4×24)正交表
1234567
1
1 11 1
1
2 22 2
2
1 12 2
2
2 21 1
3
1 21 2
3
2 12 1
4
1 22 14Fra bibliotek2 11 2
验证显，然它，仍新然的具表有L正8(4交×表24均)仍衡然分是散一、张整正齐交可表比，的不性难 质。
（1）任一列中各水平出现的次数相同（四水平列中， 各水平出现二次，二水平列各水平出现四次）。
T1
T2
T3 S
L18(2×37)的平方和计算表
E
A
B
C
D
12 3
4
5
67
11 1
正交实验设计
9
L4 (2 )
列号 试验号 1 2 3 1 1 1 2 2 1 2 1 3 1 2 2
3
4
2
2
1
10
L4 (2 3 ) 表称为正交表是因为它具有以下两个性质：
（1）整齐可比性 每一列中，不同的数字出现的次数相等。 （2）均衡搭配性 任意两列中，将同一横行的两个数字看成有序数对 时，每种数对出现的次数相等。这里有序数对共有四 种：（1，1），（1，2）（2，1），（2，2），且它 们各出现一次。 凡满足上述两个性质的表就称为正交表。
D2
600毫米汞柱
2
我们通常称影响试验指标的因素为因子， 用大写字母A，B，C，…表示； 可能处于的状态称为水平，用该字母加上足标 表示。 例如，A1 ，A2 …表示因子A的第一，第二，… 水平等。
我们把实验中需要考虑多个因子，而每个因子 又有多个水平有待考查的试验问题称为多因子 试验问题。 例1.1就是四个两水平的因子试验问题。
B 2 1
1 2 2 1 1 2 2
C 4 1
2 1 2 1 2 1 2
5 1 2 1 2 2 1 2 1
6 1 2 2 1 1 2 2 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D 7 1
2 2 1 2 1 1 2
12
在表3.1的各因子列中，在数字“1”和“2”中的位置 分别填上各该因子的1水平和2水平，就得到一张试验计 划表，如下：
6
下面介绍的正交试验设计方法就是一种研究多因子试 验问题的重要数学方法。它主要使用正交表这一工具 来进行整体设计、综合比较、统计分析。 它使用正交表从所有可能搭配中一下就挑出若 干必需的试验，然后再用统计分析方法对试验 结果进行综合处理，解决问题。目前试验设计 已在冶金、化工、橡胶、纺织、医药卫生等方 面得到了有效的应用。
L4 (2 )
列号 试验号 1 2 3 1 1 1 2 2 1 2 1 3 1 2 2
3
4
2
2
1
10
L4 (2 3 ) 表称为正交表是因为它具有以下两个性质：
（1）整齐可比性 每一列中，不同的数字出现的次数相等。 （2）均衡搭配性 任意两列中，将同一横行的两个数字看成有序数对 时，每种数对出现的次数相等。这里有序数对共有四 种：（1，1），（1，2）（2，1），（2，2），且它 们各出现一次。 凡满足上述两个性质的表就称为正交表。
D2
600毫米汞柱
2
我们通常称影响试验指标的因素为因子， 用大写字母A，B，C，…表示； 可能处于的状态称为水平，用该字母加上足标 表示。 例如，A1 ，A2 …表示因子A的第一，第二，… 水平等。
我们把实验中需要考虑多个因子，而每个因子 又有多个水平有待考查的试验问题称为多因子 试验问题。 例1.1就是四个两水平的因子试验问题。
B 2 1
1 2 2 1 1 2 2
C 4 1
2 1 2 1 2 1 2
5 1 2 1 2 2 1 2 1
6 1 2 2 1 1 2 2 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D 7 1
2 2 1 2 1 1 2
12
在表3.1的各因子列中，在数字“1”和“2”中的位置 分别填上各该因子的1水平和2水平，就得到一张试验计 划表，如下：
6
下面介绍的正交试验设计方法就是一种研究多因子试 验问题的重要数学方法。它主要使用正交表这一工具 来进行整体设计、综合比较、统计分析。 它使用正交表从所有可能搭配中一下就挑出若 干必需的试验，然后再用统计分析方法对试验 结果进行综合处理，解决问题。目前试验设计 已在冶金、化工、橡胶、纺织、医药卫生等方 面得到了有效的应用。
正交试验
正交试验一.无交互作用的正交试验：1.(1)直观分析表1直观分析计算表A B C D 时间1 1 1 1 1 1852 1 2 2 2 1803 1 3 3 3 1794 2 1 2 3 1835 2 2 3 1 1796 2 3 1 2 1827 3 1 3 2 1608 3 2 1 3 1659 3 3 2 1 150T1 544 528 532 514T2 544 524 513 5221563T475 511 518 5271T181.33 174.67 171 174173.672T158.3 170.33 172.67 175.673R 23 5.67 6.33 4.33从四个因子的极差可知A的影响最大，之后依次是因子C，B，D。
则为提高树脂的使用时间，比较各个因子在各水平下的均值，认为最佳组合为A1B1C1D3或A2B1C1D3。
(2)水平均值图图1水平均值图从水平均值图知，因子A的水平1,2相等，且与水平3差异较大，因子B,C,D中最高的水平分别为1,1,3,则认为最佳组合为A1B1C1D3或A2B1C1D32.(1)表 2直观分析计算表一水平 二水平 三水平 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 1 3 3 3 4 2 1 2 3 5 2 2 3 1 6 2 3 1 2 7 3 1 3 2 8 3 2 1 3 9 3 3 2 1 T 1 56.66667 70 65 68 T 2 66.66667 71.66667 72.33333 69 T 3 85.33333 67 71.33333 71.66667R28.666674.6666677.33333332248公斤，催化剂取已，可使试验提高效率。
图 2水平均值图(2)表 3方差分析表来源 平方和S 自由度f均方和MS F 比 因子A 1270.22 2 635.11 58.93 因子B 33.55 2 16.78 1.557 因子C 94.89 2 47.44 4.402 误差e 21.55 2 10.78 T1420.228F 0.95(2,2)=19.0由上表可知，因子A 在显著性水平0.05上是显著的，因子B 和因子C 是不显著的。
正交试验设计法课件人教新课标(1)
方法解决简单问题的过程．
3.会应用正交试验的思想和方法解决一些简单的
实际问题.
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新课标 ·数学 选修4-7
前自主导学
1．正交试验设计法的有关概念 (1)水平：因素在试验中所取的不同状态称为水平． (2)正交表符号含义：
当堂双基
堂互动探究
课时作
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新课标 ·数学 选修4-7
前自主导学 堂互动探究
课时作
试验只做一部分就能够选出好点．
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新课标 ·数学 选修4-7
前自主导学 2．通过正交试验选出各个因素好点的组合，是否一定是当堂双基 好点？为什么？
【提示】 不一定．因为试验部分实施代替全面试验，
可能会影响结果的判断．还有就是做试验的各因素之间可能
存在交互作用.
堂互动探究
课时作
菜单
新课标 ·数学 选修4-7
【自主解答】 首先，要找出适合试验要求的正交表．案
例有 2 个水平，自然应在 2 水平的正交表中选．又因为有 3 个 前自主导学 因素，而列数不小于因素个数的最小 2 水平正交表是当堂双基
L4(23)，如表 1 所示： 表1
列号
试验号
123
堂互动探究
1
111
课时作
2
122
3
212
4
221
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新课标 ·数学 选修4-7
C2)
菜单
新课标 ·数学 选修4-7
(2)可以借助 R 的大小来确定因素对试验结果影响的主
前自主导学次．
当堂双基
∵R2＝40＞R3＝27＞R1＝10 ∴各因素影响产量的因素中种植密度影响最大，其次是
施肥次数，施肥量再次之．
堂互动探究
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综合分析与撒细网
固定乙催化剂，适量提高 （ 固定乙催化剂，适量提高A（温 ），减少 减少B（加碱量）， ），找更为 度），减少 （加碱量），找更为 合适的因素水平组合。 合适的因素水平组合。
验证实验
对找到的A3B2C2或A3B1C2 进行验证实验 或 对找到的
… Continue
用正交表安排试验
选用正交表 L9（34）安排例3.1试验 安排例3.1试验 3.1
试验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
列号 因素
1 A
A1 A1 A1 A2 A2 A2 A3 A3 A3
2 B
B1 B2 B3 B1 B2 B3 B1 B2 B3
3 C
C1 C2 C3 C2 C3 C1 C3 C1 C2
A1 B1 C1
A2
B2
C2
A3
B3
C3
● 完全试验法
C1
A1
B1
C2 C3
27次 27次
A2
● ●
C1
B2
C2 C3 C1
A3
● ●
B3
C2 C3
完全试验法试验点空间分布 ● ● B3 ● ● B2 ● ● ● B1 ● A1 ● A2 ● ●C A3 1 ● ● ● ● ● ● ● C3 C2 ● ● ● ● ● ● ● ●
Ij IIj IIIj K Ij / K IIj / K IIIj / K 565 560 561 3 188.333 186.667 187 1.666 551 561 574 3 183.667 187 191.333 7.666 580 552 554 3 193.333 184 184.667 9.333 560 608 518 3 186.667 202.667 172.667 30
● 因素轮换法
C1 A1 B1 C2 A1 C3 B3 B1 A1 C2 B2 B3 C2 A2 A3
7 9次
因素轮换法试验点空间分布
● B3 ● B2 ● ● B1 ● A1 A2
●
●
C3 C2 A3 C1
● 正交试验法
用正交表来安排试验—L9（34）
列号
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
极差
计算分析结果：淬火温度 计算分析结果：淬火温度T1=840 ℃，回 火温度T2=450 ℃，回火时间 回火时间t=40min的 火温度 的 效果最好， 效果最好，指标硬度最高
极差分析表明因素对指标的影响程度依次是： 极差分析表明因素对指标的影响程度依次是： 回火时间 > 回火温度 > 淬火温度
反应温度
加碱量
催化剂
1 2 3
A1=80 A2=85 A3=90
B1=35 B2=48 B3=55
C1=甲 C1=甲 C2=乙 C2=乙 C3=丙 C3=丙
试验安排及结果
试验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
1(80) 1(80) 1(80) 2(85) 2(85) 2(85) 3(90) 3(90) 3(90)
1 A
1 1 1 2 2 2 3 3 3
2 B
1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 C
1 2 3 2 3 1 3 1 2
4
1 2 3 3 1 2 2 3 1
正交性
【均衡分散性】：每一列中所有数字出现 均衡分散性】 的次数是相等的 整体可比性】 【整体可比性】：任意两列间横向组合的 数字对搭配次数也是相等的
运用Minitab和正交助手对 运用Minitab和正交助手对 正交试验数据进行直观分析
例3.2：某化工工厂生产一种化工产品，现对采收率进行正 ：某化工工厂生产一种化工产品， 试验设计优化设计。需要考虑的因素及各因素水平如下表： 试验设计优化设计。需要考虑的因素及各因素水平如下表： 因素水平表 水平
硬度
yj 190 200 175 165 183 212 196 178 187
1 2 3 4 5 6 7 8 9
正交试验数据 直观分析
直接观察：淬火温度 直接观察：淬火温度T1=850 ℃，回火温 回火时间t=60min的效果 度T2=410 ℃，回火时间 的效果 最好， 最好，指标硬度最高
计算的最好条件组合： 计算的最好条件组合：
指标: 硬度指标, 指标: 硬度指标, 记作 y. 因素: 因素: A B C
水平
符号
1 2 3
淬火温度 (℃), (℃), 回火温度 (℃), 回火时间
因素
(分钟). 分钟).
回火温度 ℃ T2
410 430 450
淬火温度 ℃ T1
840 850 860
回火时间 min t
40 60 80
如何安排试验？ 如何安排试验？
Hubei Automotive Industries Institute
试验优化设计
主讲： 主讲：刘建永
材 料 工 程 系 Department of Materials Engineering
第三章 正交试验设计
一个实例3.1 一个实例
提高钢质工件硬度的基本生产过程为： 提高钢质工件硬度的基本生产过程为： 淬火 把840℃的工件投入某液态介质 提高 ℃的工件投入某液态介质,提高 其硬度 冷却后再把工件加温到430℃，并保持 回火 冷却后再把工件加温到 ℃ 1小时 再冷却 释放内应力 小时, 小时 再冷却, 释放内应力. 问如何改变工艺参数,以提高硬度指标 以提高硬度指标？ 问如何改变工艺参数 以提高硬度指标？
4
（空缺） 空缺） 1 2 3 3 1 2 2 3 1
正交试验结果
列号 试验号 因素 1 T1 840 840 840 850 850 850 860 860 860 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 T2 410 430 450 430 450 410 450 410 430
4
t 40 60 80 80 40 60 60 80 40
●
【整齐可比性】 整齐可比性】Βιβλιοθήκη 正交表表示方法 4） L9（3
一列中出现的数字个数(水平数 一列中出现的数字个数 水平数) 水平数 正交表行数（试验次数） 正交表行数（试验次数） 正交表的代号
常见正交表
各列水平均为2的常用正交表有： 各列水平均为 的常用正交表有： 的常用正交表有 L4（23）， （27）， （ ），L8（ ），L12（211）， （ L16（215）， （ ），L20（219）， （ ），L32（231） （ 各列水平数均为3的常用正交表有 的常用正交表有： 各列水平数均为 的常用正交表有： L9（34）， （ ），L27（313） （ 各列水平数均为4的常用正交表有 的常用正交表有： 各列水平数均为 的常用正交表有： L16（45） （
画趋势图
Main Effects Plot (data means) for Means
淬火温度 192 190 188 回火温度
Mean of Means
186 184 840 850 保温时间 860 410 430 450
192 190 188 186 184 40 60 80
验证实验
对因素淬火温度T1=840 ℃，回火温度 对因素淬火温度 T2=450 ℃， 回火时间 回火时间t=40min时进行实际生 时进行实际生 与原生产工艺对比， 产，与原生产工艺对比，看硬度是否有所提 高。
正交试验法试验点空间分布（正交性的直观解释） 正交试验法试验点空间分布（正交性的直观解释） ● ● B3 ● B2 ● B1 ● A1 A2 A3 C1 ● ● C3 C2
任何一组平行平面， 任何一组平行平面，其 他两因素等效出现
【均衡分散性】 均衡分散性】 ●
试验点在空间中的分布 达到最大的均匀度
B
1(35) 2(48) 3(55) 1 2 3 1 2 3
C
1(甲 1(甲) 2(乙 2(乙) 3(丙 3(丙) 2 3 1 3 1 2
采收率% 采收率%
51 71 58 82 69 59 77 85 84
成本分析
比较少投入13kg碱和减少 碱和减少 比较少投入 5%的采收率，哪一样获利更 的采收率， 的采收率 高?