现代控制理论第4章2

若(1 2x1 x2 ) 0,则v(x)是负定的。 因此2x1 x2 1是x1 和x2的限制条件。
（4）求出李氏函数
V
V1
V2
x1
2
x2
V1 V2 0
x2
x1
满足旋度方程条件，于是有
x1
x2
v(x) V1dx1 V2dx2
0
0
1 2
x12
x22
0
可见，李氏函数是正定 的。
下面主要讨论非线性系统稳定性分析的两种方法 1、克拉索夫斯基法 2、变量梯度法
定理4.7 非线性系统方程为
x f (x)
已知系统平衡状态为坐标原点xe = 0 ，即f(xe )=0,且f(x )对xi处是可微的，系统
的雅可比矩阵为
f1
F
(x)
f (x) xT
x1 f2
x1
fn
x1
6）确定在平衡点处的渐近稳定性范围。
注意：用这种方法不能构造出一个合适的李氏函数时，并不意味着平衡状态 是不稳定的。
例： 设非线性系统方程为
xx12
x1 x2
2x12
x2
利用变量梯度法构造李氏函数，并分析系统的稳定性。
解：（1）假定v (x)的梯度为
V
a11x1 a12 x2
a21x1 2x2
由于 V取(x为)正定，对于渐近稳定性， 要求为负定的V，( x因)此必须有：
V(x) x H Qx
式中 Q ( AH P PA) 为正定矩阵。
因此，对于式(4.3）的系统，其渐近稳定的充分条件是Q正定。
为了判断nn维矩阵的正定性，可采用赛尔维斯特准则，即矩阵为正定的充要条 件是矩阵的所有主子行列式均为正值。
V1
V2
（2）写出 v(的x)形式
v( x) (V )T x
V(x)
a11x1 a12 x2
a21x1
2x2
T
x1
2x12 x2 x2
V(x)
a11x1 a12 x2
a21x1
2x2
T
x1
2x12 x2 x2
(a11x1 a12x2 )(x1 2x12x2 ) (a21x1 2x2 )(x2 )
x, 1
,…
x2,和t
的
n 维向量函数。
xn
设系统的平衡状态是状态空间的原点，即xe=0,若要寻找的李氏函数为
v(x) =
vv((xx1),x2,…Vx1 ,xx1 n)
V x2
x2
V xn
xn
v(x) (V )T x
x
v(x) (V )T dx
0
李氏函数的求取变成求一个合适的梯度向量V。求取V利用了以 下两个条件：
在2xx 1的范围内，系统是渐近稳定的。
4.4 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析
考虑如下线性定常自治系统
x Ax
式中 x R。n , A R nn
假设A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态 易通Lyapunov第二法进行研究。
(4.3)
，其平衡状x态e 的稳0定性很容
对于式(4.3)的系统，选取如下二次型Lyapunov函数，即
在判别时 ，V方( x便)的方法，不是先指定一个正定矩阵P，然后检查Q是否也是正定
的，而是先指定一个正定的矩阵Q， 然后检查由
AH P PA Q
确定的P是否也是正定的。
这可归纳为如下定理。
定理4.9 线性定常系统
在平衡x点 Ax处渐近稳定的充要xe条件是0 ：
对于 ，Q 0，满足P如下L0yapunov方程
x1
Fn
x1
F1 x2 F2 x2
Fn x2
F1
xn F2
xn
Fn
xn
Fi Fj x j xi (i, j 1, , n)
n(n 1) / 2
4）变量梯度法求李氏函数
设非线性系统方程为
x f (x, t)
x n 式中 为 维状态向量， 是变量f ( x, t)
1）梯度的概念
一个多元函数 v(x1,x2,…,xn) 存在对 n 个变量 xi 的偏导数 。
v
在控制问题中，偏导数是指n维空间中的运动质点运动到达某一位 xi
置时沿各个坐标方向的变化率。
把反映运动质点沿各个坐标方向的变化率的各偏导数作为分量，构成一 个n维向量，称该向量为函数v(x1,x2,…,xn) 的梯度。习惯上用符号“V”表示。
2xT F(x)x
标量
说明：Fˆ (x)负定 F (x)负定
x 0时，F(x) 0，而且，其行列式除点 x 0外，处处不为零。
又
F ( x)
f (x) xT
显然，x 0, f (x) 0,
说明：在整个状态空间中，除x 0以外，没有其他平衡点。
V (x)
f
T (x) f (x)
0 正数
（2）使 Fˆ (为x)负定的必要条件是，F(x)主对角线上的所有元素不为零，即：
fi 0 xi
(i 1,2, , n)
（3）线性系统是非线性系统的特例，该定理也适应于线性定常系统。
即设 x A源自文库, 雅可比矩阵为
F (x) A, Fˆ (x) AT A
若A为非奇异，则当
为Fˆ负(定x)时，系统的平衡状态稳定。
F1dx1
Fndxn
L
0
0
3）旋度方程 如果一个向量的曲线积分与积分路径选择无关，则向量的旋度必为零。
rot(F ) 0。
由向量的旋度为零可得出由 阵必为对称矩阵。
Fi (i 1, , n所, 组j 成1的,雅可, n比) 矩 x j
F1
F(x) xT
x1 F2
(x 0) (x 0)
上式表明： Fˆ (x)负定时，V (x)正定
(2)
Fˆ (x)负定
V( x)负定
f(x) df (x) f (x) dx F (x)x F (x) f (x)
dt
x dt
V(x) fT (x) f (x) f T (x) f(x)
F (x) f (x)T f (x) f T (x)F (x) f (x)
变为 ，且LyapuxnoHvP方x程为 xT Px
AT P PA Q
(2) 如果 V( x沿) 任 一条x H轨Q迹x不恒等于零，
则Q可取正半定矩阵。
(3) 如果取任意的正定矩阵Q，或如果 沿任一轨迹不V( x恒) 等于零时取任意
的正半定矩阵Q，并求解矩阵方程
以确定P，则对于在平衡点
处的渐近稳定性，P为正定是充要条件。
V(x) x H Qx 0
这里P、Q均为Hermite矩阵或实对称矩阵。
此时，Lyapunov函数为
V (x) x H Px
V(x) x H Qx
特别地，当
AH P时，可PA取 (Q正半定)。
Q0
现对该定理作以下几点说明：
x (1) 如果系统只包含实状态向量 和实系统矩阵A，则Lyapunov函数
a11x1 a12 x2 a1n xn
V
a21x1 a22 x2
a2n
xn
an1x1 an2 x2
ann
xn
式中：aij(i,j=1,2,…,n)为待定系数,可以是常数，也可以是时间 t 的函数或状态变量 的函数，通常 aij 选为常数或 t 的函数。
2）由V写出 v( x，)即：
f T (x)FT (x) f (x) f T (x)F(x) f (x)
f T (x) F T (x) F (x) f (x)
f T (x)Fˆ (x) f (x)
可见，若Fˆ (x)负定，则V(x)负定。 V (x)是一个李亚普诺夫函数。原点是渐近稳定的。
若随着 x ，V (x) f T (x) f (x) , 则平衡状态xe是大范围渐近稳定的。
(a11x12 2a11x13x2 a12x1x2 2a12x12x22 ) (a21x1x2 2x22 )
a11x12 (2a11x12 a12 a21)x1x2 (2a12 x12 2)x22
令
a11 1,
a12 a21 0
v(x) x12 2x13x2 2x22 x12 (1 2x1 x2 ) 2x22
v(x) (V )T x
3）限定 v( x是)负定的或至少是负半定的，并用n(n-1)/2个旋度方程
Fi Fj x j xi
确定待定系数aij 。
(i, j 1, , n)
4）将得出的 v重( x新)校验负定性，因为旋度方程确定系数可能会使它改变。
5）由V 的线积分求出
，积v分( x路)径按式（4-44）给出。
1）由于V是一个向量，则n维广义旋度为0，故V必须满足以下旋度方程：
Fi Fj x j xi
(i, j 1, , n)
2）由V计算出来的v (x)和
必须v满(x足) 李氏函数稳定性的要求。
总结上述分析，如果非线性系统的平衡状态xe是渐近稳定，变量梯度法确定李 氏函数的步骤概括如下：
1）假定V是一个任意列向量，即：
xe 0
注意，如果正半定矩阵Q满足下列秩的条件
Q1/2
rank
Q1/ 2 A
n
PP Q
P Q1/2
Q1/
2
A
n1
则 V沿(t任) 意轨迹不恒等于零。
(4) 只要选择的矩阵Q为正定的（或根据情况选为正半定的），则最终的判定 结果将与矩阵Q的不同选择无关。
f1 x2 f2 x2
fn x2
f1
xn f2
xn
fn
(n n)
xn xxe
则系统在xe =0处是渐近稳定的充分条件是：下列矩阵
Fˆ (x) F T (x) F (x)
在所有x下都是负定的，而且
V (x) xT x f T (x) f (x)
是一个李亚普诺夫（Lyapunov）函数。
例：设系统的状态方程为
x1 3x1 x2 x2 x1 x2 x23
试用克拉索夫基法确定系统在平衡状态的 xe = 0 稳定性.
解：
f
(
x)
3x1 x2 x1 x2 x23
f1
F
(x)
x1 f2
x1
f1
x2 f2
1
3
x2
f (0) 0
1 1 3x22
Fˆ
(x)
4.3.3 线性系统与非线性系统的稳定性分析
线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含义完全不同。
在线性定常系统中，若平衡状态是局部渐近稳定的，则它是大范围渐近稳 定的。然而在非线性系统中，不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近 稳定的。
对于非线性系统的分析，基于Lyapunov第一法的分析方法永远不够，基于 Lyapunov第二法的方法非线性系统的分析方法——克拉索夫斯基法、 Schultz-Gibson变量梯度法、鲁里叶(Lure’)法以及波波夫法等。
V
V
x1 V
x2
V
V1
V2
Vn
xn
2）向量的曲线积分
变力做功问题：变力F沿着给定路径L所做的功可用曲线积分来计算。
A FdL
L
积分的结果与积分路径的选择无关。
x1 ( x2 x3 xn 0)
xn ( x1 x1 , , xn1 xn1 )
A FdL
李亚普诺夫函数为 V (x) xT x xT (AT A)x。
(4)克拉索夫斯基方法主要适用于针对可线性化表示的函数，即
（a）非线性特性可用解析表达式表示的单值函数；
（b）非线性函数 对 f (x) 是可xi微(i的；1,2, , n)
（c） fi (x) 0 xi
(i 1,2, , n)
变量梯度法
如果当 x 时，f T (x) f (x) ,则平衡状态是大范围渐近稳定的.
证明：(1) Fˆ (x)负定
V (x)正定
对任意n维状态向量x，有
xT Fˆ (x)x xT F T (x) F(x) x
xT FT (x)x xT F(x)x
xT F (x)x T xT F (x)x
V (x) f T (x) f (x) 3x1 x2
x1
x2
x23
3x1 x2
x1
x2
x23
（ 3x1 x2）2 （x1 x2 x23）2 ,
则平衡状态xe 0是大范围渐近稳定的。
关于定理的几点说明：
（1）该定理对非线性系统的一个平衡状态只给出了稳定的充分条件，若
不是负定的，则不能给Fˆ出(x任) 何结论。
V (x) x H Px x 式中P为正定Hermite矩阵（如果 是实向量，且A是实矩阵，则P可取
为正定的实对称矩阵）。
V (x) 沿任一轨迹的时间导数为
V(x) xH Px xH Px ( Ax)H Px xH PAx xH AH Px xH PAx xH (AH P PA)x
F
T
(
x)
F
(x)
1
3
1 1
T 3x22
1
3
1 1 3x22
Fˆ (x)
2
6
2 2 6x22
由塞尔维斯特准则有
1 6 0
6 2 2
2 2 6x22
36x22 8 0
可见，若Fˆ (x)负定，则V(x)负定。 V (x)是一个李亚普诺夫函数。原点是渐近稳定的。
若随着 x 时，