现代控制理论(浙大)第一章(A)
《现代控制理论》讲稿
贺廉云
第1章 控制系统的状态空间模型
要点：
1 理解状态空间表示法概念；
2 掌握状态空间图示法；
3 掌握连续系统的数学模型转换；
4 了解多变量系统的传递函数阵及其求法
难点：
连续系统的数学模型转换
C=[ 0 0 1]
三状态空间模型的图示法
1. 基本元件
(a) (b) (c)
试求其传递函数阵。
解：根据式（1-10），可得
G（s）=
=
=
=
2传递函数阵的状态空间模型的实现
（1） 可控标准形的实现
对于单输入单输出（SISO）系统，传递函数阵退化成传递函数。要把SISO系统式G(s)=的传递函数形式转换成能控标准性的状态空间模型，即
图1-3 状态结构基本元件
a-积分器 b-加法器 c-比例器
2． 一阶标量微分方程 的一阶系统状态结构图
u
图1-4 一阶系统状态结构
1 由状态空间模型转换成传递函数
系统的状态方程
L G（s）=
= (1-10)
是A阵的特征多项式 * 表示伴随矩阵
例2 已知某一单一输入输出系统的状态空间表达式为
（1-11）
A= b= (1-12)
上述A阵是nn方阵，它的维数正好是传递函数的阶数，它的最后一行元素正还是传递函数分母（即系统的特征方程）所对应的稀疏，只不过均相差一个负号,其次对角线的元素均为1，其余为零，而b阵是一个列向量，最后一个元素为1，其余为零。正是b阵中的唯一的1对应友阵A的形式，是的输入信号u能对系统的每一个状态进行控制，因此称其为能控标准行。为了得到A阵和b阵的这种形式，应按下列规律选择状态变量：,于是有
现代控制理论 第一章状态空间表达式的建立：实现的方法之一
大
大
大
大
大
大
大
大
学
Байду номын сангаас
学
学
学
学
学
学
学
M
M
M
M
M
M
M
M
C
O
M
O
大
学
国
中
C
O
O
O
C
M
国
大
学
中
O
O
C
M
国
大
学
中
M
学
国
大
中
M
学
国
大
中
M
学
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大
中
M
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
≤
M
O
大
学
国
O
O
C
M
国
大
学
中
()
中
C
O
M
O
大
学
国
1
O
O
C
M
学
国
大
中
M
学
M
学
国
大
中
O
C
C
C
C
C
C
C
C
+−1 −1 +⋯+1 +0
… −n−1
1
中
C
O
M
O
大
学
国
O
O
C
M
国
大
学
现代控制理论第1章
控制理论的研究对象是系统，所谓的控制是系 统的控制。 系统是由客观世界中实体与实体间的相互作用和 相互依赖的若干部分按一定规律组合而成的具有特定 功能的一个整体。 系统具有不同的属性如经济系统、社会系统、 生物系统、物理系统、 化学系统和工程系统等。 系统的分类方法是多种多样的。 动态系统 系统的模型可用微分部分或全部描述 系统
将线性系统更细致的进行分类，可以分为线性定常系统 与线性时变系统, 线性定常系统是描述系统状态的线性微分 或差分方程中的每个系数都是不随时间t 变化的。而线性时 变系统即系统的线性微分或差分方程的系数有随时间t 变化 的系数，不全是常数。
1.6 线性系统理论的主要任务
线性系统理论主要研究线性系统状态的运动规律和改 变这种运动规律的可能性和方法，建立和揭示系统结构、 参数、行为和性能间的确定的和定量的关系。通常，研究 系统运动规律的问题成为分析问题，研究改变运动规律的 可能性和方法的问题则为综合问题或设计。
（3）快速性与平稳性 系统的被控变量从一个值变到另一个值的过程称 为过渡过程。此时系统所表现出来的特性称为动态特 性。过渡过程的快速和平稳是人们所期望达到的又一 目标。控制系统受到外界的作用后，能否从一个平衡 状态迅速地达到另一个平衡状态，这就是系统的快速 性。只有当系统稳定时，才有快速性可言。
1.5 线性系统理论的研究对象
古典控制理论主要以传递函数为基础，以拉氏变 换为数学工具，主要研究单输入- 单输出一类自动控制 系统的分析和设计问题。 现代控制理论主要以线性代数和微分方程为数学 工具，以状态空间法为基础，分析与设计控制系统。 20 世纪70 年代以来控制理论在大系统理论和智 能控制理论方面有了新的突破，有人称之为第三代 控制理论。
前者属于认知系统，后者为改造系统。 (1) 建立系统数学模型
《现代控制理论》课后习题答案1.pdf
《现代控制理论》第一章习题解答1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？ 答：线性系统的状态空间模型为：xAx Bu y Cx Du=+=+线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A ，B ，C 和中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵D A ，B ，C 和中有时变的元素。
线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统，而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。
D 1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？ 答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下:传递函数模型（经典控制理论）状态空间模型（现代控制理论） 仅适用于线性定常系统 适用于线性、非线性和时变系统用于系统的外部描述 用于系统的内部描述基于频域分析基于时域分析1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。
对于阶传递函数n 1212101110()n n n n n n n b s b s b s b G s d s a s a s a −−−−−−++++=+++++""，分别有[]012101210100000100000101n n n xx ua a a a yb b b b x du−−−⎧⎡⎤⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎢⎥=+⎪⎢⎥⎨⎢⎥⎪⎢⎥⎪−−−−⎣⎦⎪=+⎪⎩"" ###%##"""⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⑴ 能控标准型：[]0011221100010********001n n n b a b a xa x ub a b y xdu −−−⎧−⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥−⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥=−+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪−⎣⎦⎣⎦⎪=+⎪⎩"" "######""⑵ 能观标准型：[]1212001001001n n p p x x up y c c c x du⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎪=+⎩"" ##%##""⑶ 对角线标准型： 式中的和可由下式给出，12,,,n p p p "12,,,n c c c "12121012111012()n n n n n n n n nb s b s b s bc c c G sd d s a s a s a s p s p s p −−−−−−++++=+=++++++−−−"""++能控标准型的特点：状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定，其余部分具有特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是1外，其余全为0。
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第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙阿令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
现代控制理论-第1章 基础知识
L[xt ] s2 X s sx0 x0
L[x(n) (t)] sn X (s) sn1x(0) sn2x' (0) sx(n2) (0) x(n1) (0)
（2）积分性质
设：L[x(t)] X (s) ，xi (0)
tr2
r2 !
k1r
e
p1t
n
k jepjt
j r 1
对象)
热电偶
恒温箱自动控制系统功能框图
反馈
反馈是指将输出信号部分或全部返回到输入端
反馈是控制系统的灵魂、思想和立足点
内在反馈、外部反馈、开环与闭环
反馈作用：减少给定环节与被控对象之间的偏差
组成：给定环节、比较环节、放大环节、执行环节、
被控对象、测量反馈环节
扰动
温度t
给定 信号
u1 u
函数X(s)可以展成如下形式：
X (s)
B(s) A(s)
(s
k11 p1)
(s
k 12 p1)
1
k1 k2 (s p1) s p2
kj s pi
kn s pn
k11
lim
s p1
s
p1 r
X
s
绪论
一、工程控制论的研究对象
工程控制论研究的是工程技术中的广义系统，在 一定的外界条件作用下，从系统的初态出发，所 经历的由其内部固有属性所决定的整个动态过程， 研究该过程中输入、输出与系统的关系。
1.广义系统：由相互联系、相互作用的若干部分 构成，达到一定目的或实现一定运动规律的一个 整体。可繁可简、可虚可实。
现代控制理论第一章
七、状态空间表达式的系统方块图
经典控制理论类似，可以用方块图表示系统信号
的传递关系． 将状态方程表示的系统动态方程用方块图表示为
如图所示。系统有两个前向通道和一个状态反馈回路 组成，其中D通道表示控制输入U到系统输出Y的直接 转移。
整理得：
写成矢量形式为： 这就是如图2-3所示RLC电网络的动态方程。
【例1-3】 多输入多输出系统（MIMO） 如图2-5所示机
械系统,质量 m 1 , m 2
位置的位移分别为
各受到
x1, x2
f 1 , f 2 的作用，其相对静平衡
。
解:根据牛顿定律，分别对 m 1 , m 2 进行受力分析，我
x1 0
x
2
0
1 0
积分器的输入端即 x 1 , x 2
从图可得系统状态方程：
取y为系统输出，输出方程为：y x1
写成矢量矩阵形式，我们得到系统动态方程：
• 二 . 从系统的机理 出发建立状态空间表达 式
•
•
一般控制系统可分为电气、机械、
机电、气压、热力等等。要研究它们，一
般先要建立其运动的数学模型〔微分方程
、传递函数、动态方程等〕。根据具体系
众所周知，n阶微分方程式要有唯一的解，必须 知道n个独立的初始条件，很明显，这个独立的初始 条件就是一组状态变量在初始时刻的值．
状态变量是既足以完全确定系统运动状态而个 数又是最小的一组变量，当其在t=to时刻的值已知， 则在给定t>=to时间的输入作用下，便能完全确定系 统在任何t>=to时间的行为．
现代控制理论(1-8讲第1-2章知识点)精品PPT课件
dia dt
Ke
I fD Coபைடு நூலகம்st
n f Const
nDJ , f
其中：Kf 为发电机增益常数；Ke 为电动机反电势常数。
(3).电动机力矩平衡方程：J
d
dt
f
Kmia
(Km
-电动机转矩常数)
以上三式可改写为：
d
dt
f J
Km J
ia
dia dt
Ke Ra
La
La
ia
Kf La
if
试写出其状态空间表达式。
解：选择相变量为系统的状态变量，有
•
•
•• •
x1 y x2 y x1 x3 y x2
故
即
•
x1 x2
•
x2 x3
•
x3
a0 a3
x1
a1 a3
x2
a2 a3
x3
1 a3
u
•
0
x 0
a0
a3
1 0 a1 a3
0
0
1 x 0 u
a2
1
a3 a3
a1 y a0 y
bnu (n)
b u (n1) n 1
b0u
(1)
分为两种情况讨论。
一、输入信号不含有导数项：
此时系统的运动方程为：
•
y(n)
a y(n1) n1
a1 y a0 y b u
故选
x1 y
•
x2 y
..
xn1
y(n2)
xn y(n1)
对左边各式求导一次，即有
18
24
2-3 化系统的频域描述为状态空间描述
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用矢量矩阵表示的状态空间表达式为：
n n 状态矩阵
n 1 维列向量
系统矩阵
系数矩阵
x Ax bu
d , y, u 为标量
n 1
控制矩阵 输入矩阵阵 输出矩阵
x x1
a11 a12 a 21 a22 A an1 an 2 a1n a2 n ann
可简写为
x Ax Bu
y Cx
0 A 1 L 1 C R L
式中,
0 B 1 L
C 1 0
•状态空间表达式：状态方程和输出方程合起来构成对 一个动态系统完整的描述，称为动态系统的状态空间 表达式。
图1所示电路, 若 uc (t ) 为输出,取 x1 (t ) uc (t ), x2 (t ) i(t ) 作为状态变量,则其状态空间表达式为
向量形式：
y(t ) g(x(t ),u(t ), t )
m 1 输出向量
R
例：建立如图所示的RCL 电路的状态方程和输出方 程。 解：
LCuc (t ) RC uc (t ) uc (t ) u (t )
U C ( s) 1 U ( s ) LCs 2 RCs 1
t0 时输入的时间函数 u(t )，那
•状态矢量：设 x1 (t ),, xn (t )是系统的一组状态变量， x 并将它们看做矢量 x(t ) 的分量， (t ) 就称为状态矢量， 记作：
x1 (t ) x2 (t ) x (t ) x (t ) n
uc 1 0 u 1 1 c i 0 C i C
P：非奇异矩阵
x Px
1 0 1 P 0 C
单输入单输出定常线性系统
其状态变量为 [ x1 , x2 ,, xn ]，则一般形式的状态 空间描述写作：
即
1 x1 (t ) x2 (t ) C 状态方程 1 R 1 状态空间 x2 (t ) x1 (t ) x2 (t ) u (t ) L L L
y x1 (t )
输出方程
表达式
写成矩阵相乘的形式
1 x1 (t ) x2 (t ) C 1 R 1 x2 (t ) x1 (t ) x2 (t ) u (t ) L L L
求解包括三方面：
1. 系统建模 用数学模型描述系统 2. 系统分析 定性：稳定性、能控能观性 定量：时域指标、频域指标 3. 系统设计 控制器设计、满足给定要求 结构设计 参数设计
二、控制理论发展史（三个时期） • 1．古典控制理论： （从30年代~50年代）
（1）建模，传递函数 （2）分析法(基于画图)，步骤特性，根轨迹， 描述建模，创造了许多经验模式。 分析法 状态空间 基于数字的精确分析。 几何法 （3）设计：带参数修正 1948年 美国数学家维纳《控制论》
2．现代控制理论： （50年代末~70年代初）
现代控制理论是以状态空间法为基础，研究 MIMO，时变参数结构，非线性、高精度、高 性能控制系统的分析与设计的领域。 现代控制理论发展的主要标志 (1)卡尔曼：状态空间法； (2)卡尔曼：能控性与能观性； (3)庞特里雅金：极大值原理；
现代控制理论的主要特点
• 从状态空间表达式求传递函数阵
系统描述中常用的基本概念
• 系统的外部描述
• 系统的内部描述
传递函数
状态空间描述
1.1 状态变量及状态空间表达式 •状态：是完全地描述动态系统运动状况的信息，系 统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的 一组信息表征，定义系统运动信息的集合为状态。 •状态变量：是指足以完全描述系统运动状态的最小 个数的一组变量。
x2 x n
T
b1 b b 2 C [c1 c2 cn ] bn
d是标量，反映输出与输入的直接关联。
多输入多输出定常线性系统 x Ax bu x Ax Bu 写成矩阵形式有： y C x Du y Cx du T x x1 x2 xn , n 1维状态向量 T u u1 u2 ur , r 1维输入向量
4、控制理论发展趋势
• 企业：资源共享、因特网、信息集成、 信息技术+控制技术 (集成控制技术) • 网络控制技术 • 计算机集成制造CIMS：（工厂自动化）
三、现代控制理论与古典控制理论的对比
• 共同 对象－系统 主要内容 分析：研究系统的原理和性能 设计：改变系统的可能性（综合性能） 研究对象：单入单出（SIS0）系统，线性定常 工具：传递函数(结构图)，已有初始条件为零时才适用 试探法解决问题 ： PID串联、超前、滞后、反馈 研究对象：多入多出（MIMO）系统、 线性定常、非线性、时变、 工具：状态空间法、研究系统内部、 输入－状态（内部）－输出 改善系统的方法：状态反馈 、输出反馈
• 研究对象: 线性系统、非线性系统、时变系统、 多变量系统、连续与离散系统
• 数学上：状态空间法 • 方法上：研究系统输入/输出特性和内部性能 • 内容上：线性系统理论、系统辩识、最优控制、 自适应控制等
3.智能控制理论 （60年代末至今）
• 1970——1980 大系统理论 控制管理综合 • 1980——1990 智能控制理论 智能自动化 • 1990—— 集成控制理论 网络控制自动化 (1) 专家系统；(2)模糊控制，人工智能 (3) 神经网络，人脑模型；(4)遗传算法 控制理论与计算机技术相结合→计算机控制技术
y x1 (t )
x1 (t ) 0 x (t ) 1 2 L 1 x1 (t ) 0 C 1 u (t ) R x2 (t ) L L
x1 (t ) y 1 0 x2 (t )
古典
• 区别
现代
现代控制理论预览
建立
建模
可控性 可观性 稳定性
状态空间 表达式
求解 转换
分析
状态反馈
设计
状态观测器 最优控制
第一章
控制系统的状态空间表达式
主要内容： • 状态变量及状态空间表达式 • 状态变量及状态空间表达式的系统结构图 • 状态变量及状态空间表达式的建立 • 状态矢量的线性变换
L + uc(t) _
输出
+ u(t)
输入
+ y _
i(t)
图1
_
微分方程
传递函数
只反映外部情况，无法获知内部联系
定义状态变量
x1 (t ) uc (t )
x2 (t ) i(t )
二阶微分方程，选择两个状态变量 状态向量
x(t ) [ x1 (t ), x2 (t )]T
定义输出变量
duc (t) 1 i(t) dt C di(t) 1 R 1 uc (t ) i (t ) u (t ) dt L L L
选 x1 uc , x2 uc，则得到一阶微分方程组： x1 x2 2 1 x1 R x2 1 u x LC LC LC 即：
1 0 x1 x1 0 C 1 1u R x2 x2 L L L x1 y 1 0 x 2
状态变量选择不同，状态方程也不同。 若按照如下所示的微分方程：
么，系统在 t t0的任何瞬间的行为 x1 (t ),, xn (t )就完 全确定了。
最小个数：意味着这组变量是互相独立的。一个用 n 阶微分方程描述的含有 n 个独立变量的系统，当求 得 n 个独立变量随时间变化的规律时，系统状态可 完全确定。若变量数目多于 n ，必有变量不独立； 若少于 n ，又不足以描述系统状态。
或
x T (t ) [ x1 (t )
x2 (t ) xn (t )]
•状态空间：以状态变量 x1 (t ),, xn (t ) 为坐标轴所构成 的 n 维空间。
在某一特定时刻 t ，状态向量 x(t ) 是状态空间的一个点。
•状态轨迹：以 x(t ) x(t0 ) 为起点，随着时间的推移， 状态矢量的端点在状态空间不断的移动，所绘出的一 条轨迹。
x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1u x2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2u xn an1 x1 an 2 x2 ann xn bnu
y c1 x1 c2 x2 cn xn
向量形式：
n 1 状态向量
x(t ) f (x(t ), u(t ), t )
r 1 输入向量
•输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态 变量间的 m 个代数方程，称为系统的输出方程。
y1 (t ) g1 ( x1 , x2 ,, xn , u1 , u2 , ur , t ) y2 (t ) g 2 ( x1 , x2 , , xn , u1 , u2 , ur , t ) ym (t ) g m ( x1 , x2 , , xn , u1 , u2 ,ur , t )
•状态方程：描述系统状态变量与系统输入变量间关系 的 n个一阶微分方程组(连续系统)或一阶差分方程组 （离散系统）。
x1 (t ) f1 ( x1 , x2 , , xn , u1 , u2 , ur , t ) x2 (t ) f 2 ( x1 , x2 , , xn , u1 , u2 ,ur , t ) xn (t ) f n ( x1 , x2 ,, xn , u1 , u2 ,ur , t )
完全描述：如果给定了t t0 时刻这组变量值