现代控制理论第一章01
现代控制理论状态空间法
根据系统微分方程建立状态空间表达式.
1.输入项中不含输入导数项的线性系统空间状态 表达式
• 系统描述为:
y (n ) a1 y (n1) an1 y an y u
(1)
讨论:状态如何选择
y(t) C (t)x(t) D(t)u(t)
2)线性时不变系统: x Ax Bu y Cx Du
在通常情况下，大多数还是研究线性时不变 系 统，即线性定常系统，因此本课程的主要研究对 象是线性定常系统。
4.状态空间描述的结构图(或称状态变量图)
• 例:根据上例画出结构图. • 解:先将例子写成下述形式
现代控制理论
第一章 状态空间法
控制系统的状态空间描述
一.问题的引出 1 --古典控制理论的局限性 1、仅适用于SISO的线性定常系统(外部描述，
时不变系统) 2、古典控制理论本质上是复频域的方法.(理论) 3、设计是建立在试探的基础上的.(应用) 4、系统在初始条件为零,或初始松驰条件下,才
能采用传递函数.
定义2.状态变量
状态变量是确定系统状态的最小一组变量,如果以最
少的n个变量 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 可以完全描述系
统的行为 (即当t≥ 时输入和
t0
在t= t0初始状态给定后,系统的状态完全可以确定),那 么
x1 (t ), x2 (t ), 是一, xn组(t )状态变量.
(2)状态变量选取不唯一,有时选取状态变量仅为数 学描述所需,而非明确的物理意义。
(3)状态变量是系统的内部变量,一般情况下输出是 状态的函数,但输出总是希望可量测的。
(4)仅讨论有限个状态变量的系统。 (5)有限个数的状态变量的集合,称为状态向量。 (6)状态向量的取值空间称为状态空间。
现代控制理论知识点汇总
现代控制理论知识点汇总Revised at 2 pm on December 25, 2020.第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式 n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
现代控制理论第一章01
态系统的输出取决于系统当前及过去的输入信息的 影响的叠加
如，电阻的电流直接等于当前的电压输入与电阻值
之比，而电容两端的电压是通过电容的当前及过去 的电流的积分值与电容值之比
• 在进行动态系统的分析和综合时，首先应建立该 系统的数学模型
在系统和控制科学领域内，数学模型是指能描述动态 系统的动态特性的数学表达式，
du C (t ) 1 i (t ) dt C
该方程描述了电路的状态变量 和输入量之间的关系，称为该 电路的状态方程，这是一个矩 阵微分方程。
i(t ) uC (t ) 0 1 u ( t ) C
如果将电容上的电压作为电路的输出量，则 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程， 称为该电路的输出方程或观测方程。这是一 个矩阵代数方程。
1 f 1 ( x1 , x 2 , , x n , u1 , u 2 , , u r , t ) x x 2 f 2 ( x1 , x 2 , , x n , u1 , u 2 , , u r , t ) (t ) f ( x(t ), u (t ), t ) x x n f n ( x1 , x 2 , , x n , u1 , u 2 , , u r , t )
对前面引入的状态空间模型的意义,有如下讨论:
状态方程描述的是系统动态特性， 其决定系统状态变量的动态变化。 输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。 系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况, 它主要决定系统的动态特性。 输入矩阵B又称为控制矩阵, 它表示输入对状态变量变化的影响。 输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系。 直接传输矩阵D则表示了输入对输出的直接影响,许多系统 不存在这种直联关系,即矩阵D=0。
现代控制理论(刘豹)第一章
状态变量
状态向量
状态空间
状态方程
状态：表征 系统运动的信 息和行为 状态变量： 能完全表示系 统运动状态的 最小个数的一 组变量
由状态变量 构成的向量 x1(t) x2(t) : xn(t)
以各状态变量 x1(t),x2(t),…… xn(t)为坐标轴 组成的几维空 间。
S nY ( s ) + an −1S n −1Y ( s ) + ... + a0Y ( s ) = bm S mu ( s ) + ... + b0Y ( s )
(bm S m + bm −1S m −1 + ... + b0 ) Y ( s ) Z ( s ) G ( s) = Y ( s) / U ( s) = = ⋅ n n −1 ( S + an −1S + ... + a0 ) Z ( s) U ( s)
& x3 x3
x2 x1
机电工程系
∫
∫
∫
习题2 习题
已知离散系统的差分方程为
y (k + 2) + 3 y (k + 1) + 2 y (k ) = 2u (k + 1) + 3u (k )
试求系统的状态空间表达式，并画出其模拟结构图。
解：假设初始条件为零，系统微分方程的 Z 变换为：
z 2Y ( z ) + 3 zY ( z ) + 2Y ( z ) = 2sU ( z ) + 3U ( z )
S n Z ( s ) + an −1S n −1Z ( s ) + ... + a0 Z ( s ) = U ( s ) Y ( s ) = bn −1S
现代控制理论
第一章 绪 论
(2) 以MIMO线性、非线性、时变与非时变系 统为主要研究对象。 (3) 以线性代数和微分方程为工具，以状态
空间法为基础。
1.1.3 上世纪80年代以来出现了新的控制思想
和控制理论
(1) 多变量频率域控制理论。
(2) 模糊控制理论。
第一章 绪 论
1.2 现代控制理论的主要内容
⑶ 以拉氏变换为工具，以传递函数为基础在
频率域中分析与设计。
⑷ 经典控制理论的局限性
① 难以有效地应用于时变系统、多变量系统
② 难以有效地应用于非线性系统。
1.1.2 现代控制理论
⑴ 现代控制理论的形成和发展
第一章 绪 论 ① 在20世纪50年代形成
动态规划法
极大值原理
卡尔曼滤波 ② 上世纪60年代末至80年代迅速发展。 非线性系统 大系统 智能系统
第一章 绪 论
钱学森
钱学森，男，汉族，浙江省杭州市 人。中国共产党优秀党员、忠诚的共 产主义战士、享誉海内外的杰出科学 家和中国航天事业的奠基人，中国两 弹一星功勋奖章获得者之一。曾任美 国麻省理工学院教授、加州理工学院 教授，曾担任中国人民政治协商会议 第六、七、八届全国委员会副主席、 中国科学技术协会名誉主席、全国政 协副主席等重要职务。
第一章 绪 论
贝尔曼
美国数学家，美国全国科学院院士， 动态规划的创始人。1920年8月26 日生于美国纽约。1984年3月19日 逝世。1941年在布鲁克林学院毕业， 获理学士学位，1943年在威斯康星 大学获理学硕士学位，1946年在普 林斯顿大学获博士学位。1946～ 1948年在普林斯顿大学任助理教 授,1948～1952年在斯坦福大学任 副教授,1953～1956年在美国兰德 公司任研究员，1956年后在南加利 福尼亚大学任数学教授、电气工程 教授和医学教授。
现代控制理论-第1章
i，得到二阶微分方程为：
（5） 其相应的传递函数为：
（6） 回到式（5）或式（6）的二阶系统，若改选 和 作为两个状态变量，
即令
则一阶微分方程为：
（7）
关于状态变量的选取： 理论上，不要求物理上一定可测； 工程上，以选取易测的量为宜，因为有时需要反馈状态变量。
简记为：
设系统2为：
简记为：
1．并联连接
所谓并联连接，是指各子系统在相同输入下，组合系统的输出是各子系
统输出的代数和，结构简图如下图所示。
由式(72)和式(73)，并考虑 间表达式：
得系统的状态空
从而系统的传递函数阵为：
故子系统并联时，系统传递函数阵等于子系统传递函数阵的代数和。
2．串联连接
串联连接下如图所示。读者可自己证明，其串联连接传递函数阵为：
其中各元素
都是标量函数，它表征第 个输入对第 个输出的传递关系。
当
时 ，意味着不同标号的插入与输出有相互关联，称为有耦合关系，
这正是多变量系统的特点。
式(69)还可以表示为：
可以看出，
的分母，就是系统矩阵A的特征多项式，
的分子是
一个多项式矩阵。
应当指出，同一系统，尽管其状态空间表达式可以作各种非奇异变换而
（66） 式中， 为r×1输入列矢量； 为m×1输出列矢量；B为n×r控制矩阵；
C为m×n输出矩阵；D为m×r直接传递阵；X，A为同单变量系统。
同前，对式(66)作拉氏变换并认为初始条件为零，得：
（67）
故
间的传递函数为
（68）
它是一个 n×r 矩阵函数。 故 间的传递函数为： （69） 它是一个m×r矩阵函数，即
《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案(最完整版)
第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：uKK x KK x KK x X K x K x x x x J Kx J x J K x J Kx x J K x x x ppppn pb 1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙65432116543211111111265432100000100000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x xx x K K K K K K J K J J K J KJ K x x x x x xp p pp n pb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x Cx Cx x L x L R x uL x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000010111010x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
现代控制理论(1-8讲第1-2章知识点)精品PPT课件
dia dt
Ke
I fD Coபைடு நூலகம்st
n f Const
nDJ , f
其中：Kf 为发电机增益常数；Ke 为电动机反电势常数。
(3).电动机力矩平衡方程：J
d
dt
f
Kmia
(Km
-电动机转矩常数)
以上三式可改写为：
d
dt
f J
Km J
ia
dia dt
Ke Ra
La
La
ia
Kf La
if
试写出其状态空间表达式。
解：选择相变量为系统的状态变量，有
•
•
•• •
x1 y x2 y x1 x3 y x2
故
即
•
x1 x2
•
x2 x3
•
x3
a0 a3
x1
a1 a3
x2
a2 a3
x3
1 a3
u
•
0
x 0
a0
a3
1 0 a1 a3
0
0
1 x 0 u
a2
1
a3 a3
a1 y a0 y
bnu (n)
b u (n1) n 1
b0u
(1)
分为两种情况讨论。
一、输入信号不含有导数项：
此时系统的运动方程为：
•
y(n)
a y(n1) n1
a1 y a0 y b u
故选
x1 y
•
x2 y
..
xn1
y(n2)
xn y(n1)
对左边各式求导一次，即有
18
24
2-3 化系统的频域描述为状态空间描述
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a. x t t t x (t 0 ) 表示系统在 t 0时刻的状态
0
b.
若初值x t 0 给定，t t 0时的u t 给定，则状态变量完全 确定系统在t t 0时的行为.
注：状态变量的选取不唯一。
状态变量不一定在物理上可量测。 尽可能选取易量测的量作为状态变量。
数值型和逻辑型 线性和非线性 时变和定常的 连续时间型和离散时间型 集中参数和分布参数等
这种描述系统动态特性的数学表达式称为系统的动态 方程
建立数学模型的主要方法有
机理分析建模 实验建模（系统辨识）
动态系统数学描述的基本方法
外部描述－输入输出描述 内部描述－状态空间描述
7、输出方程
描述系统输出变量和系统状态变量、输入变量之间关系的 代数方程。 一般形式：
y(t ) g ( x(t ), u(t ), t ) y (tk 1 ) g ( x(tk ), u (tk ), tk )
8、状态空间表达式
状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统完整的描述， 称为动态系统的状态空间表达式。（2）及ຫໍສະໝຸດ RL y ucn RL R0
(3)
在已知输入u的情况下，解方程式（2）、式（3）,不仅可求出输出响应y， 而且能得知系统内部电容上电压随时间变化的动态过程信息。因此,式（2）、 式(3)是图所示电网络系统的一种完全描述。
4、因果性
系统在t时刻的输出取决于t时刻和t时刻之前的输入， 和t时刻之后的输入无关，则称系统具有因果性。
静态系统的输出取决于当前系统的瞬时输入，而动
态系统的输出取决于系统当前及过去的输入信息的 影响的叠加
如，电阻的电流直接等于当前的电压输入与电阻值
之比，而电容两端的电压是通过电容的当前及过去 的电流的积分值与电容值之比
• 在进行动态系统的分析和综合时，首先应建立该 系统的数学模型
在系统和控制科学领域内，数学模型是指能描述动态 系统的动态特性的数学表达式，
本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系统 设计，都是基于系统的数学模型来进行的。因此，本章首先介绍控 制系统的数学模型。
本章主要内容为：
1、状态和状态空间表达式
2、系统状态空间模型的建立 3、状态空间描述和传递函数矩阵 4、线性变换 5、组合系统的数学描述 6、离散系统的数学模型 线性连续时间 系统为主
(t ) f ( x(t ), u (t ), t ) x y (t ) g ( x(t ), u (t ), t )
或
x(tk 1 ) f ( x(tk ), u (tk ), tk ) y (tk 1 ) g ( x(tk ), u (tk ), tk )
5、线性
当对于任何输入u1和u2及任何实数a，均有 可加性： H(u1+u2)=H(u1)+H(u2) 齐次性: H(au1)=aH(u1) 则称系统是线性的，否则为非线性。
1.2 系统状态空间描述中的基本概念
1、状态 表征系统运动的信息和行为 2、状态变量 完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量。 表示符号：x1(t),x2(t),…,xn(t)
• 控制理论主要是研究动态系统的系统分析、 优化和综合等问题
动态系统（动力学系统）指能储存输入信息 （或能量）的系统。
含有电感和电容等储能元件的电网络系统 含有弹簧和质量体等通过位移运动来储存机械能的
刚体力学系统 存在热量和物料信息平衡关系的化工热力学系统等
这类系统与静力学系统的区别在于：
x2
x(t0)
x ( t 1) x ( t 2) x(t) x1
图 二维空间的状态轨线
6、状态方程
描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程 组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）。
一般形式： x (t ) f ( x(t ), u(t ), t )
x(t k 1 ) f ( x(t k ), u (t k ), t k )
系统数学描述的两种基本方法
被控过程 执行器 被控对象 控制器 x 观测y
控制u
传感器
反馈控制
控制输入
典型控制系统方框图
u1 u2 up
被 控 过 程
y1
x1 , x2 ,xn
y2 yq
1.1 系统描述中的基本概念
1、系统 一些相互制约的部分构成的且具有一定功能的整体 2、输入和输出 u1 y1 y2 u2 输入：环境对系统的作用 x1, x2, …,xn yq up 输出：系统对环境的作用 系统的方块图表示 3、系统数学描述的类型 （1）系统的外部描述 传递函数 （2）系统的内部描述 状态空间表达式
1.2 系统状态空间描述中的基本概念
3、状态向量
把系统的n个状态变量构成一个列向量x(t)，称x(t)为n维状 态向量。
x1 (t ) x (t ) x n (t )
4、状态空间
以n个状态变量为坐标轴所构成的n维空间，称为状态空间。
5、状态轨线
状态向量的端点在状态空间中 的位置,代表系统在某一时刻的运 动状态。 随着时间的推移，系统状态 在变化，并在状态空间描绘出 一条轨迹。这种系统状态向量 在状态空间中随时间变化的轨 迹称为状态轨线。
例:考察下图所示的n级RC网络。图中虚线框内 为具有放大器隔离的n级RC电路,设放大器的输入阻 抗为无穷大，输出阻抗为零，放大倍数为1。
图1 n级RC网络
系统以输入u、输出y作为变量的外部描 述为高阶线性常系数微分方程,即
y ( n ) a1 y ( n 1) a n 1 y (1) a n y bu
（1）
重新考察以上电网络，利用电路知识容易得到如下一阶微分方程组
1 1 du c1 u u c1 dt R1C1 R1C1 du c 2 1 1 uc2 u c1 R2 C 2 R2 C 2 dt 1 1 du cn u u c ( n 1) cn dt Rn C n Rn C n