数值分析矩阵的三角分解
研究生数值分析(8)直接三角分解法
三角分解法也是直接法，基本思想是： 将系数矩阵A分解为两个三角形矩阵L和U的 乘积A=LU ，将方程组AX=b的求解问题归结为 两个三角形方程组 LY=b与UX=Y的求解问题。
即：先由LY=b求出Y ，然后由UX=Y求出X ， 从而获得AX=b的解。
(1) A为一般稠密（零元素占很小比例）矩阵 的杜利特尔(Doolittlr)和克劳特(Crout)分解法；
1 0 0
3
7
2
2 2
1 12
7 6
1
0
0
16
3
等价的三角方程组为
12
3 3 2
3 7
2
x1
x2
15
15
2
16
x3
16
an1
bn1
cn1
xn1
fn1
an bn xn fn
其中方程组AX=f 的系数矩阵A的元素满足条件：
b1 c1 0
bi ai ci
bn
an
0
（1） 且 aici 0
(i 2,3, , n 1)
由以上推导过程知，方程组AX=f 有唯一解
由（3）式可得计算 i 的递推公式
1i
c1 ci
/ b1 /(bi
ai i1)
(i 2,3,
（4）
数值分析课程课件 直接三角分解方法
u22
u11
u2n
l n1 l n2
1
unn
即
a11 a12 a 21 a22
a1n
a2n
u11 l21u11
u12 l21u12 u22
u1n
l21u1n
u2n
a n1 a n2
ann
ln1u 11
由（5.3.1）- （5.3.4）求得L和U后，解方程组Ax=b 化为求解LUx=b，若记Ux=y，则有Ly=b。于是可分两部解 方程组LUx=b，只要逐次向前代入的方法即可求得y。第
二步求解Ux=y，只要逐次用向后回代的方法即可求得x。 设 x=（x1 ，x2， ···xn) T, y=（y1, y2, ···yn) T,
n
i1
lniuin
unn
第四章方程组的直接解法
由A的第1行和第1列可计算出U的第1行和L的第1列，即
u1 j a1 j , j 1, 2, , n,
（5.3.1）
lk1
ak1 u11
,k
2, 3,
, n.
（5.3.2）
如果U的第1至k-1列和L的第1至k-1列已经算出，则由
解 设 A=LU，即
l11 a11 1, l21 a21 2, l31 a31 0
u12
a12 l11
2, u13
a13 l11
1,
l22 a22 l21u12 3, l32 a32 l31u12 1
矩阵的三角分解法
矩阵的三角分解法矩阵的三角分解法是一种用于将一个矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的方法。
这种分解方法可以帮助我们更好地理解和解决矩阵相关的问题。
下面我将按要求逐段解释这个问题。
1. 什么是三角分解法三角分解法是一种将矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的方法。
在三角分解中，我们将原始矩阵分解为两个三角矩阵，一个是上三角矩阵，另一个是下三角矩阵。
上三角矩阵的主对角线以下的元素全为零，而下三角矩阵的主对角线以上的元素全为零。
这种分解法在解线性方程组、计算矩阵的行列式和求逆等问题中非常有用。
2. 如何进行三角分解三角分解的具体过程是通过一系列的行变换将原始矩阵转化为上三角矩阵或下三角矩阵。
这些行变换包括行交换、行缩放和行替换等操作。
首先，我们选择一个主元素，通常是第一行第一列的元素。
如果主元素为零，则需要进行行交换，将一个非零元素移动到主元素的位置。
然后，我们使用行缩放操作，将主元素所在列的其他元素变为零。
具体操作是将主元素所在行的每个元素除以主元素的值，然后将结果乘以其他行的主元素所在列的元素，并将其减去相应的行。
重复以上步骤，直到得到上三角矩阵或下三角矩阵。
最后，我们可以将得到的上三角矩阵和下三角矩阵合并为一个新的上三角矩阵或下三角矩阵。
3. 三角分解的应用领域有哪些三角分解法在数值计算和线性代数中有广泛的应用。
它可以用于求解线性方程组、计算矩阵的行列式和求逆等问题。
在求解线性方程组时，我们可以将系数矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵，然后使用回代法或前代法来求解方程组。
这样可以简化计算过程，提高求解的精度和效率。
在计算矩阵的行列式时，我们可以通过三角分解将矩阵转化为上三角矩阵或下三角矩阵，然后将主对角线上的元素相乘即可得到行列式的值。
这种方法比直接计算行列式的方法更简单、高效。
在求解矩阵的逆时，我们可以将矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵，然后通过对分解得到的上三角矩阵和下三角矩阵进行反向的行变换，得到原始矩阵的逆矩阵。
数值计算_矩阵的三角分解算法
数值计算_矩阵的三角分解算法矩阵的三角分解是一种将矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵的方法。
三角分解在数学和计算机科学中都有广泛的应用，特别是在线性代数、数值计算和优化问题中。
在本篇文章中，我们将介绍几种常见的矩阵三角分解算法。
一、LU分解LU分解是矩阵三角分解中最常见的一种方法。
它将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，使得原始矩阵A可以表示为A=LU。
其中，L矩阵的主对角线元素全为1，而U矩阵的主对角线元素是A矩阵的主对角线元素。
实际上，LU分解可以看作是高斯消元法的矩阵形式。
在进行LU分解时，我们可以通过对原始矩阵A进行一系列的行变换来得到上三角矩阵U。
同时，我们可以记录每一次行变换的乘积以及主元元素的倒数，从而得到下三角矩阵L。
因此，LU分解可以通过高斯消元法来直接实现。
二、Cholesky分解Cholesky分解是一种仅适用于对称正定矩阵的三角分解方法。
它将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵L和其转置矩阵的乘积，即A=LL^T。
Cholesky分解非常有效率，尤其适用于解线性方程组和进行矩阵的逆运算。
由于分解结果是一个下三角矩阵，因此Cholesky分解可以减少计算量并提高计算速度。
三、QR分解QR分解是一种将矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的方法，即A=QR。
其中，Q矩阵是正交矩阵，其列向量是正交的，而R矩阵是上三角矩阵。
QR分解可以看作是对矩阵A进行一系列的正交变换，使其变为上三角形式。
其中，每一次正交变换可以通过Givens旋转来实现，即通过矩阵的乘积来实现矩阵的旋转。
QR分解在多元线性回归分析、奇异值分解和特征值分解等领域有广泛的应用。
四、LUP分解LUP分解是LU分解的一个变种，并增加了行交换的步骤。
LUP分解将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L、一个上三角矩阵U和一个置换矩阵P，使得PA=LU。
其中，L和U的构造方式与LU分解相同，而置换矩阵P是一个与单位矩阵相似的矩阵，用于记录行交换的信息。
33 矩阵的三角分解法
2 ai(2 ) li 2 ( 2 ) a22
(i 3,4,..., n)
(1 a12) (2 a22)
(1 a13) (2 a23) (3 a33)
... ... ... ... ...
左乘A( 2 )，即有 : L2 A( 2 )
0 ... 0
...
( an3) 3
( a11) n ( 2) a2 n ( 3) ( a3 3 ) A n ... (3 ann)
兰州交通大学数理与软件工程学院
以此类推可得
(1 a11) 0 Ln 1 Ln 2 ... L2 L1 A 0 ... 0 (1 a12) (2 a22) (1 a13) (2 a23) (3 a33)
t 1 k 1
兰州交通大学数理与软件工程学院
Doolittle分解
计算lk 1k ,..., lnk
由于i k，于是由
u1k u kk k 1 aik [li1..., lik 1 ,1,0... 0] lit utk lik u kk 0 t 1 0 得 lik ( aik lit utk ) / u kk （i k 1,...n）
兰州交通大学数理与软件工程学院
Doolittle分解,..., n), b (i 1,2,..., n) (1) 输入：a (i, j 1,2
ij i
( 2)分解A LU 1) a i1 l i1 a i1 / a11 (i 2,3,..., n)； 2) 对k 2,3,...n做 a kj u kj a kj l kt u tj ( j k , k 1,...n)；
矩阵的三角分解法
矩阵的三角分解法矩阵的三角分解法，是一种重要的矩阵分解方法之一。
它可以将一个矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积，这样的分解在许多数值计算和线性代数问题中都有广泛的应用。
首先，我们来介绍一下矩阵的基本概念。
矩阵是由数个数按照矩阵的规则排列形成的矩形阵列。
矩阵可以表示线性变换，用于解线性方程组，并在数据科学、图像处理等领域中有广泛应用。
矩阵由m行和n列组成，形式为m×n.。
在进行矩阵运算时，我们经常需要对矩阵进行分解，以便更好的进行计算和处理。
接下来，让我们具体了解一下矩阵的三角分解法。
矩阵的三角分解法，是一种将一个矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的方法。
具体来说，对于一个n×n的矩阵A，可以找到一个上三角矩阵U和一个下三角矩阵L，使得A=LU。
其中，U的主对角线元素全为1，而L的副对角线元素全为0。
这样的分解称为LU分解。
矩阵的三角分解法具有以下的重要性和指导意义。
首先，矩阵的三角分解法可以简化矩阵计算。
在进行矩阵乘法、求逆、解线性方程组等计算时，三角分解法能够将原始矩阵转化为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积形式，从而简化了计算过程。
这极大地提高了计算的效率，并降低了计算的复杂性。
其次，矩阵的三角分解法对于解线性方程组非常有用。
对于一个线性方程组Ax=b，我们可以将矩阵A进行三角分解为LU形式，然后通过前代和回代的方法，可以快速地求解出x的值。
这种方法称为三角分解解法，它在求解大型线性方程组时具有较高的效率和稳定性。
此外，矩阵的三角分解法在数学理论研究中也发挥着重要作用。
矩阵的三角分解法能够将一个矩阵A分解为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积形式，这种分解方式是独一无二的。
同时，矩阵的三角分解法还能够帮助我们理解和证明线性代数的一些基本定理，如矩阵的秩、可逆性等。
它为我们研究和深入理解矩阵及其性质提供了重要的工具和思路。
综上所述，矩阵的三角分解法是一种重要的矩阵分解方法，它可以将一个矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积形式。
矩阵三角分解
第2章 线性代数方程组数值解法I ：直接法1. 矩阵事实上，顺序Gauss 消去过程对应一个矩阵的三角分解，即对b Ax =的顺序Gauss 消去过程的结果，把矩阵A 分解成两个三角矩阵L 与U 的乘积：LU A = 下面来证实这一点.依次取第 k 步消元的乘法)()(/k kkk ik ik a a l = ),,2,1(n k k i ++= 则直接验证可知,第k 步消元()()()1(k kjik k ij k ij a l a a -=+)的结果等价于对k A 左乘k L : )()1(k k k A L A =+于是 ,经过1-n 步消元,应有U A L L L n =-121 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332322131211u u u u u u U (2.3.1) 这里U 为上三角矩阵，另外，又容易直接验证k L 有下列两个基本性质：(1) k L 的逆阵存在，且有=-1k L ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 nk k k l l ,11+1 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤1 (2.3.2)(2) 逆阵1-k L 的乘积11-L 12-L 11--n L =⎢⎢⎢⎢⎣⎡1211n l l 11n l ⎥⎥⎥⎥⎦⎤1=L （单位下三角矩阵）（2.3.3）从而对(2.3.1)式两端依次左乘11--n L ,12-L ,1-k L 可得 =A 11-L 12-L 11--n L U =LU L 就是(2.3.3)式所示的单位下三角矩阵。
这就是矩阵的三角分解或称LU分解。
LU A = 称为A 的doolittle 分解-==U LD LU A =--U L 称为A 的克劳特分解LDU A = 称为 A 的LDU 分解对于于有选主元和换行步骤的Gauss 消去过程，也可证明它对应于“A 左乘排列矩阵P 的LU 分解”，即有PA=LU 。
例 2.3.1 用直接三角分解法解方程组（2.1节中的实例）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----7 10 4 1 3 2 2 12 3 2 321x x x 解 把解法分为3个步骤：①令A=LU ，用Doolittle 分解，即令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----332322131211323121u u u u u u 1 l 14 1 3 2 2 12 3 2 l l l 考虑A 的第1行，对比右边两矩阵的乘积，有⎪⎩⎪⎨⎧-=→⨯=--=→⨯=-=→⨯=2123 13212 131312121111u u u u u u 此结果即U 的第1行与A 的第1行全同，这对一般情形也是适用的，因此，在分解计算中，此结果也可直接写出。
列主元三角分解法分解三阶矩阵
列主元三角分解法分解三阶矩阵1.引言1.1 概述列主元三角分解法是一种经典的数值计算方法，用于将一个三阶矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。
这种分解方法可以帮助我们解决线性方程组和求逆矩阵等数值计算问题。
在实际问题中，我们经常会遇到需要求解线性方程组的情况。
而列主元三角分解法的主要作用就是将线性方程组的求解转化为两个步骤：矩阵分解和回代求解。
通过将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式，我们可以简化线性方程组的求解过程，提高计算效率。
列主元三角分解法的步骤包括：选取列主元、消元和回代。
其中，选取列主元的过程是为了减小计算误差，保证数值计算的稳定性。
消元过程则是通过逐行操作，将原始矩阵逐步转化为下三角和上三角矩阵的乘积形式。
回代过程是求解三角方程组，得到线性方程组的解。
在本篇文章中，我们将详细介绍列主元三角分解法的原理和步骤。
我们将首先讲解列主元三角分解法的原理，包括选取列主元的方法和消元过程的具体操作。
然后，我们将详细介绍回代过程，以及列主元三角分解法的优点和应用。
通过本文的学习，读者将能够了解到列主元三角分解法的基本原理和操作步骤，掌握如何应用列主元三角分解法求解线性方程组和求逆矩阵。
同时，读者还能够了解到列主元三角分解法在实际问题中的重要性和广泛应用，为进一步深入学习数值计算提供基础知识和思路。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构来进行阐述列主元三角分解法分解三阶矩阵的原理、步骤以及应用。
第一部分，引言，将对列主元三角分解法进行概述。
首先介绍三阶矩阵的基本概念和性质，然后引出列主元三角分解法的出发点和主要思想。
通过对该方法的简要介绍，读者将能够掌握本文所要介绍的内容。
第二部分，正文，将详细介绍列主元三角分解法的原理和步骤。
首先，我们将解释列主元三角分解法的原理，包括如何选择主元元素和使用主元消去的思想。
接着，我们将逐步阐述列主元三角分解法的具体步骤，包括将矩阵转化为上三角矩阵和求解最终的解向量。
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1 0 0 = 2 1 0
1 1 1
0 0 1 0 1 1
数值分析
数值分析
记 A A(1) a1M(11)
... O
a1M(1n)
1(1)
,
(1) 2
,
...,
(1) n
an(11)
...
a(1) nn
第一步：设a1(11) 0, 取mi1 aa（（1i1111））, i 2, ..., n
j
0
L
010L
0
M
ln j
数值分析
数值分析
1
Lj
I
l jeTj
O 1 1 l j1 j 1
M
O
ln j
1 0 0 0
L2
0 0
0
1 l3,2 l4,2
0 1 0
0 0
I
l 2e2T
1
1
数值分析
数值分析
Gauss变换阵的性质：
1
O
1
1. Lj1 I l jeTj
m21
M
mn1
1 O
a(1) 11 M
... O
1
a(1) n1
...
a1M(1n)
a(1) nn
a1(11)
L1 A(1)
a(1) 12
L
a(2) 22
L
MO
a(2) n2
L
a(1) 1n
a(2) 2n
M
A( 2 )
1(
2
)
,
(2 2
)
,
...,
(2) n
0
3
0
1
9
0
数值分析
数值分析
二、矩阵的三角分解 1. 顺序高斯消元与LU分解的等价性
顺序高斯消元的基本思想：将矩阵A的下三角部分 消为零，即
a(1) 11
a(1) 21
a(1) 12
a(1) 22
L L
L L L
a(1) n1
a(1) n2
L
a(1) 1n
a(1) 2n
L
a(1) nn
数值分析
第五节 高斯变换阵与矩阵的三角分解
一、Gauss变换阵
设向量 l j 0,...0, l j1, j , l j2, j ,..., ln, j T Rn
e j 0,...0,1,0,...,0T Rn
( j)
定义Gauss变换阵为
0
M
0
Lj
I l jeTj
I
l
j
1
定义消元乘数 m ij xi x j ,(i j 1, j 2, ..., n)
1
O
Lj I l jeTj
1
1 m j1, j
M mn, j
1 O
0
M
其中
0
lj
m
j
1,
j
M
1
mn, j
于是有
Lj x y ( x1 , x2 , ..., x j , 0, ..., 0)T
1
对A(1)的第一列
(1) 1
构
造L1 , 使L11(1) a11 , 0, ..., 0 T .
L1
m21
M
1
O
mn1
1
1
L1 A(1)
m21
M
mn1
1 O
1
a1M(11) an(11)
... O ...
a1M(1n)
a(1) nn
数值分析
数值分析
1
L1 A(1)
a(1) 11
a(1) 12
L
a(2) 22
L
O
a(1) 1n
a(2) 2n
M
a(n) nn
数值分析
数值分析
例1 用Gauss消元法将矩阵A
化为上三角矩阵
1 2 3 A= 2 3 4
1 3 2
解：n 3, a11 1 0
m21 a21 / a11 2 / 1 2
m31 a31 / a11 1 / 1 1
数值分析
数值分析
1 0 0 1 0 0
L1 L2
l21
1
0 0
1
0
l31 0 1 0 l32 1
1 0 0
l21
1
0
l31 l32 1
L2 L1
数值分析
数值分析
Gauss变换阵的作用：
1. x ( x1 , x2 , ..., x j , x j1, ..., xn )T 0,且x j 0
0
0
1
a13
a23
a33
数值分析
数值分析
例：设 x (1, 3, 6, 9)T , 求一Gauss变换阵L2使 L2 x (1, 3, 0, 0)T .
1 0 0 0
解：L2
0 0
1 2
0 0 1 0
0 3 0 1
1 0 0 0 1 1
L2
x
0 0
1 2
0
0
3
3
1 0 6 0
1 2 3 0 1 2
0 0 3
数值分析
数值分析 1 2 3
例2
求矩阵A=
2
3
4的LU分解.
1 3 2
解：A(3) L2 A(2) L2 L1 A
A L11L21U
1 2 3 0 1 2 =U
0 0 3
1 0 0
L1
=
2
1
0
1 0 1
1 0 0
L2
=
0
1
0
0 1 1
令：L L11L21 1 0 0 1
以下各行进行初等行变换。
3. 用Lj右乘矩阵A,只改变A的第j列
a11 a12 a13 1 0
例：AL1
a21
a22
a23
m21
1
a31 a32 a33 m31 0
a11 a12m21 a13m31 a12
a21
a22m21
a23m31
a22
a31 a32m21 a33m31 a32
数值分析
数值分析
例：x ( x1 , x2 , x3 )T ，x1 0
1 0
L1
m2，1
1
m3，1 0
0
0，m 1
i1
xi
x1
,(i
2，3)
10
L1 x
x2
x1
1
x3
x1
0
0
x1
x1
0
x2
0
x3 0
1
数值分析
数值分析
2. 用Lj左乘矩阵A, Lj A相当于对A
1
l21
1
l31 M
l32 M
1
O
M M
1
ln1 ln2 ln3 ... ln,n1 1
数值分析
数值分析
3.
L
1 1
L
1 2
...
L
1 n1
(I
l 1e1T
)( I
l 2e2T
)...( I
l
eT
n1 n1
)
1
l21
1
l31 M
l32 M
1
O
M M
1
ln1 ln2 ln3 ... ln,n1 1
1
l j1, j 1
M O
ln, j
1
证：L j Lj1 ( I l jeTj )( I l jeTj ) I l jeTj l jeTj l jeTj l jeTj I Lj1Lj
数值分析
数值分析
2. L1 L 2 ...L n1
(I
l 1e1T
)( I
l
2e2T
)...( I
1
L1
=
2
1
1
1
L1 A完成第一步消元, 得 :
1 2 3 A(2) L1 A 0 1 2
0 1 1
a (2) 22
1
0
m32
a (2) 32
/
a (2) 22
1 /(1)
1
1
L2
=
1
,L2
A(
2
)
L2 L1 A
1 1
完成第二步消元, 得
A(3) L2 A(2) L2 L1 A