矩阵的三角分解56页PPT
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高斯变换与矩阵三角分解 ppt课件
A(3)
mi 2
a(2) i2
a(2) 22
,
a (3) ij
a (2) ij
mi2a2 j(2) ,
i, j 3, ,n
ppt课件
数值分析 17
数值分析
进行到第k步消元时
a(1) 11
a(1) 12
a(2) 22
a(1) 13
a(2) 23
a(3) 33
a(2) 2n
A( 2 )
1(
2)
,
(2) 2
,
...,
(2) n
a(2) nn
a (2) ij
a (1) ij
mi1a1 j(1)
i 2, ,n, j 2, ,n
ppt课件
数值分析 15
数值分析
第二步：设a2(22)
0，取mi 2
a(2) i2
L1
=
2
1
0
1 0 1
1 0 0
L2
=
0
1
0
0 1 1
令：L L11 L21
1 0 0 1
=
2
1
0 0
1 0 1 0
1 0 0 = 2 1 0
1 1 1
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0 0 1 0 1 1
定义消元乘数 m ij xi x j ,(i j 1, j 2, ..., n)
1 Lj I l jeTj
1 1
m j1, j 1
5.3 矩阵的三角分解法
8
解： (1)分解A LU，令 2 5 6 1 4 13 19 l 21 6 3 6 l31 0 1 l32 0 u11 0 1 u12 u22 u13 u23 u33
24
由A L( DLT ) 1 l 21 l31 ... l n1 1 l32 ... ln 2 1 ... ... lnn 1 1 d1 ... d1l21 d2 ... d1l31 d 2 l32 d3 ... ... ... ... d1 l n1 d 2 ln2 d 3 ln 3 dn
25
由 i j时aij = l ik d k l jk l ij d j , 知
k =1
j -1
L, D元素计算公式
lij =
aij lik d k l jk
k =1
j -1
dj
j -1
( j 1, 2, ,i 1)
2 d i =aii l ik d k ( i 1, 2, , n) k =1
y1 b1 i -1 y y b l i ij i j j 1
i 2, 3, , n
( i n 1, , 1)
7
或 用 Doolittle 分解法
例:用矩阵的直接三角分解法解方程组
5 6 x1 10 2 4 13 19 x 19 2 6 3 6 30 x3
27
d1 a11
改进平方根法解方程组
1. 分解计算A=LDLT ,
d1 a11 对于i 2, 3, ..., n j 1 c a cik l jk ij ij k 1 cij ( j 1, 2, ..., i 1) lij dj i 1 d i aii cik l ik k 1
4.2 三角分解
故得A的Doolittle分解的紧凑计算格式为: r1 j a1 j , j 1, 2, , n, li1 ai1 , i 2, 3, , n, r11 k 1 r a l r , j k , k 1, , n ; k 2, , n , kj kj kt tj t 1 k 1 1 lik r aik lit rtk , i k 1, k 2, , n; k 2, t 1 kk
§4.2 矩阵的三角分解
一、矩阵的三角分解 1. 定义 定义1
设A C
n n
, 如果存在下三角矩阵L C 和上三角 A LR
n n
矩阵R Cnn , 使得 则称上述分解为A的三角分解, 或称A可作三角分解.
例如
0 0 A 1 2
0 01 0 1 2
证
设A Cnn是正定的Hermite矩阵, 则A的顺序主子 式 k 0, k 1, 2, , n, 由定理4知，
A LDR, 其中L是单位下三角矩阵，R是单位上三角矩阵， d1 D i 1, 2, d2 是对角矩阵，且d 0, i dn
, n.
因AH A, 所以 A AH R H DLH ,
由LDR分解的唯一性知，L R H , 所以 A LDLH d1 L GG H , d2 d1 dn d2 H L dn
设A的n个顺序主子式全不为零.
当n 1时，A1 a11 1 a11 , 结论成立.
设对n k结论成立，即Ak Lk Rk ,其中Lk 和Rk 分别是下三角矩阵和上三角矩阵，且由
k det Ak det Lk det Rk 0知,Lk 与Rk 均可逆.
矩阵理论课件 (5)
AP (1, ,r ,r1, ,n )
其中，1,2, ,r 线性无关
(r1, ,n ) (1, ,r ) C
AP (1, ,r )Er
C
U
R 0
E
r
C
U
R 0
RC 0
B R
RC
C rn r
B R RC L 0V1
A
U
R 0
RC 0
P
1
U
（L
0
0）V1 0
P1
（L U （0
0）V1 0）V1
A12
A22
A11 A12
A21
A22
L11 L21
0
L22
R%11 0
R%12 R%22
LL1211RR%%1111
L11R%12 L21R%12 L22
R%22
A11 L11R%11
K | A11 || L11 || R%11 | | L11 |
l11l22 lkk 0
An11
1
L1 R%11
0
ann
An11
R%1 0
R%1 An11
1
~
LR
唯一性：设A L1 R%1 L2 R%2
L11L2 R%1R%21
L11L2 R%1R%21 E
L1 L2, R%1 R%2
(ii) (i) A LR%且lii 0(i)
A
A11 A21
P1
U
L 0
0 0
V1
P
1
U
L 0
00V ,其中 V V1P 1.
A RT R
定理 2：设 ACnnn, 用L表示下三角复矩阵， L~是单位下三角复矩阵 , R是上三角复矩阵，
矩阵理论第十讲矩阵的三角分解
矩阵理论第⼗讲矩阵的三⾓分解第⼗讲矩阵的三⾓分解⼀、 Gauss消元法的矩阵形式n元线性⽅程组设,设A的k阶顺序主⼦式为，若，可以令并构造Frobenius矩阵计算可得该初等变换不改变⾏列式，故，若，则，⼜可定义，并构造Frobenius矩阵依此类推，进⾏到第(r-1)步，则可得到（r＝2,3,,n-1）则A的r阶顺序主⼦式，若，则可定义，并构造Frobenius矩阵（r＝2,3,,n-1）直到第（n－1）步，得到则完成了消元的过程⽽消元法能进⾏下去的条件是（r＝1,2,,n-1）⼆、 LU分解与LDU分解容易求出为下三⾓矩阵令为上三⾓矩阵，则（L: lower U: upper L: left R: right）以上将A分解成⼀个单位下三⾓矩阵与上三⾓矩阵的乘积，就称为LU分解或LR分解。
两个三⾓⽅程回代即可LU分解不唯⼀，显然，令D为对⾓元素不为零的n阶对⾓阵，则可以采⽤如下的⽅法将分解完全确定，即要求1. L为单位下三⾓矩阵2. U为单位上三⾓矩阵3. 将A分解为LDU，其中L、U分别为单位下三⾓、单位上三⾓矩阵，D为对⾓阵D＝diag[]，⽽（k=1,2,…n）,。
n阶⾮奇异矩阵A有三⾓分解LU或LDU的冲要条件是A的顺序主⼦式（r=1,2，,n）n个顺序主⼦式全不为零的条件实际上是⽐较严格的，特别是在数值计算中，很⼩时可能会带来⼤的计算误差。
因此，有必要采取选主元的消元⽅法，这可以是列主元（在，，…中选取模最⼤者作为新的）、⾏主元（在，，…中选取模最⼤者作为新的）全主元（在所有（）中选模最⼤者作为新的）。
之所以这样做，其理论基础在于对于任何可逆矩阵A，存在置换矩阵P使得PA的所有顺序主⼦式全不为零。
列主元素法：在矩阵的某列中选取模值最⼤者作为新的对⾓元素，选取范围为对⾓线元素以下的各元素。
⽐如第⼀步：找第⼀个未知数前的系数最⼤的⼀个，将其所在的⽅程作为第⼀个⽅程，即交换矩阵的两⾏，⾃由项也相应变换；第⼆步变换时，找中最⼤的⼀个，然后按照第⼀步的⽅法继续。
解线性方程组的矩阵三角分解法 共16页PPT资料
3
计算 LU 分解
利用矩阵乘法直接计算 LU 分解
1 l21 ln1
u11 u121 源自u22 ln,n1 1
u1n a11 a12 u2na21 a22
unn an1 an2
a1n a2n
ann
LU =A
比较等式两边的第一行得：u1j = a1j ( j = 1,…, n )U 的第一行
1 AL D L T l21 1
d1
d2
ln 1
ln,n1 1
1l21 1 dn
ln 1 ln2
1
计算公式
n
j1
aij likdkljk likdkljklijdjljj
k1
k1
aij likdkljk likdkljklijdjljj
n
j1
aij likljk likljkljjlij
k1
k1
a1n a2n
ann
9
Cholesky 分解算法
算法 ：(Cholesky 分解 )
for j = 1 to n
1
l jj
ajj
j1
l
2 jk
2
,
k1
j1
lij aij likljk ljj ,
8
计算 Cholesky 分解
Cholesky 分解的计算
直接比较等式两边的元素
l11 l21 ln1
l11 l21
l22
l22
ln,n1 lnn
计算公式
ln1 a11 a12 ln2a21 a22
计算 LU 分解
利用矩阵乘法直接计算 LU 分解
1 l21 ln1
u11 u121 源自u22 ln,n1 1
u1n a11 a12 u2na21 a22
unn an1 an2
a1n a2n
ann
LU =A
比较等式两边的第一行得：u1j = a1j ( j = 1,…, n )U 的第一行
1 AL D L T l21 1
d1
d2
ln 1
ln,n1 1
1l21 1 dn
ln 1 ln2
1
计算公式
n
j1
aij likdkljk likdkljklijdjljj
k1
k1
aij likdkljk likdkljklijdjljj
n
j1
aij likljk likljkljjlij
k1
k1
a1n a2n
ann
9
Cholesky 分解算法
算法 ：(Cholesky 分解 )
for j = 1 to n
1
l jj
ajj
j1
l
2 jk
2
,
k1
j1
lij aij likljk ljj ,
8
计算 Cholesky 分解
Cholesky 分解的计算
直接比较等式两边的元素
l11 l21 ln1
l11 l21
l22
l22
ln,n1 lnn
计算公式
ln1 a11 a12 ln2a21 a22
5.4矩阵三角分解法
同,样 解三角形 L y方 b时 ,有 程如 组下特 求出y1后b1的存储位置即不再需要
求出yi后bi(i 2)的存储位置即不再需要 因y此 i的存储可 bi(i 以 1)空 使出 用的存储
b i yi ,i1 ,2 , ,n
直接三角分解的Doolittle法可以用以下过程表示:
a11 a21
a31 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a15 a25
a35 a45
a11
a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
k 1
urr
2 10 0 3 10
r
2
3 2 1
11 3
12 3
2 11
17 2 4
20
2
2
6 11
9
13 7
2 10 0 3 10
r
3
3 2 1
2
2
11 3
u 11 u 11 1 u 23
u 22
u 11
u 2n u 22
1
u n1,n
u
n 1,n 1
1
D di(u a 1,1 u g 2,2 ,u n)n[di(au1g ,1 u2,2 , un)n2]
11
U DU0 D2 D2U0
u11 u12 u13 u1n
求出yi后bi(i 2)的存储位置即不再需要 因y此 i的存储可 bi(i 以 1)空 使出 用的存储
b i yi ,i1 ,2 , ,n
直接三角分解的Doolittle法可以用以下过程表示:
a11 a21
a31 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a15 a25
a35 a45
a11
a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
k 1
urr
2 10 0 3 10
r
2
3 2 1
11 3
12 3
2 11
17 2 4
20
2
2
6 11
9
13 7
2 10 0 3 10
r
3
3 2 1
2
2
11 3
u 11 u 11 1 u 23
u 22
u 11
u 2n u 22
1
u n1,n
u
n 1,n 1
1
D di(u a 1,1 u g 2,2 ,u n)n[di(au1g ,1 u2,2 , un)n2]
11
U DU0 D2 D2U0
u11 u12 u13 u1n
矩阵分解ppt课件
2 1 6 5 1 2 2 8
1 0 0 01 0 0 01 0 2 1
1 2
1 1
0 1
0 0 0 0
2 0
0 1
0 0 0 0
1 0
1 1
2 L~DU~ 1
1
2 1
2
1
0
0
0
5 0
0
0
1
Department of Mathematics
Department of Mathematics
7
思 路
通过比较法直接导出 L ~和 U 的计算公式。
a11 a12 a1n 1
u11 u12 u1n
Aa21
a22
a2nl21
1
u22 u2n
an1 an2 ann ln1 1
L 为一般下三角阵而 U~为单位上三角阵的分解称
为L ~C为rou单t 位分下解三。角阵而 U为一般上三角阵的分解
称为Doolittle分解
证明: AL~U 设: AL ~U
L ~ (li) jn n ,(lij 0 ,ij)
U (u i) jn n ,(u ij 0 ,ij)
1 2 4 5l21 l22 0 00 1 u23 u24
2 1 6 5 1 2 2 8
ll43
1 1
l32 l42
l33 l43
00 l440
0 0
1 0
u134
Department of Mathematics
10
由此: l11 1, l21 1, l31 2, l41 1
2 1 6 5 2 1 1 00 0 1 1 1 2 2 8 1 2 2 50 0 0 1
1 0 0 01 0 0 01 0 2 1
1 2
1 1
0 1
0 0 0 0
2 0
0 1
0 0 0 0
1 0
1 1
2 L~DU~ 1
1
2 1
2
1
0
0
0
5 0
0
0
1
Department of Mathematics
Department of Mathematics
7
思 路
通过比较法直接导出 L ~和 U 的计算公式。
a11 a12 a1n 1
u11 u12 u1n
Aa21
a22
a2nl21
1
u22 u2n
an1 an2 ann ln1 1
L 为一般下三角阵而 U~为单位上三角阵的分解称
为L ~C为rou单t 位分下解三。角阵而 U为一般上三角阵的分解
称为Doolittle分解
证明: AL~U 设: AL ~U
L ~ (li) jn n ,(lij 0 ,ij)
U (u i) jn n ,(u ij 0 ,ij)
1 2 4 5l21 l22 0 00 1 u23 u24
2 1 6 5 1 2 2 8
ll43
1 1
l32 l42
l33 l43
00 l440
0 0
1 0
u134
Department of Mathematics
10
由此: l11 1, l21 1, l31 2, l41 1
2 1 6 5 2 1 1 00 0 1 1 1 2 2 8 1 2 2 50 0 0 1