人教版高中数学必修5第三章 基本不等式 同步教案

基本不等式辅导教案

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课时：2课时 教学课题 人教版 必修5 第三章 基本不等式 同步教案

教学目标 知识目标：学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义

能力目标：培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用

情感态度价值观：通过本节的学习，体会教学来源于生活，提高学习的兴趣

教学重点

与难点

①基本不等式及其推导 ②基本不等式的应用 ③基本不等式等号成立的条件

教学过程 （一）基本不等式

知识梳理

1、算术平均数、几何平均数：

设a 、b 是两个正数，则2

a b ab +≤称为正数a 、b 的算术平均数，ab 称为正数a 、b 的几何平均数．

2、基本不等式： 若0a >，0b >，则2

a b ab +≤．（当且仅当a=b 时取“=”号）． 3、常用的重要不等式：①

② （当且仅当a=b 时取“=”号）

4、基本不等式的两种变形形式：

（1）.若0a >，则12a a

+≥ (当且仅当1a =时取“=”）; 若0a <，则12a a

+≤- (当且仅当1a =-时取“=”） 若0a ≠，则11122-2a a a a a a

+≥+≥+≤即或 (当且仅当1=a 时取“=”） （2）.若0>ab ，则2≥+a

b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则

22-2a b a b a b b a b a b a

+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）

5、极值定理：设x 、y 都为正数，则有

()

222,a b ab a b R +≥∈

巩固训练

1. 设a,b 为不相等的正数,那么式子ab 、2b a +、2

2

2b a +、b a ab +2中最小者与最大者分别是( ) A. b a ab +2与2b a + B.b a ab +2与222b a + C.ab 与2b a + D.ab 与2

2

2b a + 2. 已知ab R ab ∈≠,0,则下列式子总能成立的是（ ）

A.2≥+b a a b

B.2-≥+b a a b

C.2-≤+b

a a

b D.2≥+b a a b 3.已知54x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值是 。 4.当

时，求(82)y x x =-的最大值 。 5.函数2710(1)1

x x y x x ++=>-+的值域是 。 6.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

（1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33

y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈

【题型三、利用均值定理解应用题】

【例3】 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速

度v （千米/小时）之间的函数关系为：2920(0)31600

v y v v v =

>++． （1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？

（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

【方法技巧】1.利用均值不等式求最值时，你注意到：“一正；二定；三相等”这三个条件吗； 2，如何构造定值条件？

①添项 ② 拆项 ③ 统一变元 ④ 整体代换 ⑤平方法等

3.把实际问题转换为基本不等式的形式，再求最值

【题型四、基本不等式与恒成立问题】 【例4】 已知0,0x y >>且

191x y

+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

【方法技巧】求解不等式恒成立问题的常用思想方法：

1.分离参数法：通过分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题求解。

2.函数思想：转化为求含参数的最值问题求解。

3.数形结合思想：转化为两熟悉函数图象间的上、下关系求解。

课后作业

【基础巩固】

1.在下列结论中,错用重要不等式作依据的是( )

A ,,,+

∈R z y x 则3≥++x z z y y x B 21222≥++x x C 210log lg ≥+x x D 4)11)(1(,≥++∈+a

a R a 2.已知,,22,,xy c y x R y x ==+∈+

那么c 的最大值为( ) A 1 B 21 C 22 D 4

1 3.设b a ,为实数且,3=+b a 则b a 22+的最小值是( )

A 6

B 24

C 22

D 62

4.设,,,+∈R c b a 且,1=++c b a 若)11)(11)(11(---=c

b a M ,则必有( ) A 810<≤M B 18

1<≤M C 81<≤M D 8≥M

5.下列结论正确的是 （ ）

A ．当

且时， ； B ．当时， C ．当

时， 的最小值是2； D ．当

时， 无最大值。 6.当1>x 时,求1

1222-+-=x x x y 的最小值.

7.设实数,x y 满足2210x xy +-=，则x y +的取值范围是 。

8.用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应为 .

9.某商品进货每件50元,据市场调查,当销售价格为每件x 元(5080x ≤≤)时,每天售出的件数为

5

2

10(40)p x =-,若想获得最大利润,销售价格应定为多少元?