考研数学历年真题试卷.docx

2011 年

二、单项选择题（ 2’ *10=20 ’）

21. 设 f (x)

arccos x 2 , 则 f '( x) ( ).

（A ）

1

（ B ）

2x

x 2

x 2

1

1

（C ）

1

（ D ）

2x

x 4

x 4

1

1

22. 不定积分

x 1 x 2 dx

( ).

（A ） 1 x 2

C

（B ）

1 (1 x

2 )

3 C

3

（C ） x 1 x

2

C

（ D ）

1

x (1 x 2 )3 C

3

23. 函数 f ( x)

x 3 6x 2 9x, 那么（

） .

（ A ） x 1 为 f ( x) 的极大值点 （B ） x 1 为 f (x) 的极小值点

（ C ） x

0 为 f (x) 的极大值点

（ D ） x

0 为 f (x) 的极小值点

24. 设函数 f (x) 在开区间 (a,b)内有 f '( x) 0, 且 f ''(x)

0, 则 y

f ( x) 在 (a, b) 内（ ）.

（ A ）单调增加，图像上凸 （ B ）单调增加，图像下凸

（ C ）单调减少，图像上凸

（ D ）单调减少，图像下凸

25. 设函数 y

f ( x) 在区间 [0, a] 上有连续的导数，则定积分

a xf '(x)dx 在几何上表示

（ ）.

（ A ）曲边梯形的面积

（B ）梯形的面积

（ C ）曲边三角形的面积 （D ）三角形的面积

26. 设 A 和 B 均为 n 阶矩阵 (n 1),m 是大于

1 的整数，则必有（ ） .

（ A ） ( AB)T A T B T

（ B ） ( AB) m

A m

B m

（C ） |AB T | |A T | |B T |

（D ）|A B| |A| |B|

27. 设线性无关的向量组

1,

2, 3,

4 可由向量组

1 ,

2 ,L , s 线性表示，则必有（ ）

（ A ） 1,

2 ,L ,

s 线性相关

（B ） 1, 2 ,L

, s 线性无关

（ C ） s

4

（ D ） s

4

28. 若线性方程组 x 1

2x 2 3x 3 1,

无解，则 k

( ).

2x 1 4x 2 kx 3 3,

（A ）6

（ B ）4

（C ）3

（D ）2

29. 设随机变量 X

服从参数为

的指数分布，若 E( X 2 )

72, 则参数

( ).

（A ）6

（ B ）3

（C ）

1

（D ）

1

3

6

0,

x

30. 设随机变量 X 的分布函数 F ( x)

1 , 0 x 1,则P{X

1} ( ).

2

1 e x , x 1

（A ）0

（B ）

1

（C ）

1

e 1

（ D ） 1 e 1

2

2

三、数学计算题（ 9题共 50 分）

31. 求函数 f ( x) ( x 1)2 (x 1)2 的单调区间的极值 .

32. 1

dx .

计算定积分

x 2 5x 6

33. 设 f '( x) cos x 2x, 且 f (0) 2, 求 f ( x).

34. 设 z z( x, y) 是由方程 x

y xyz

0 确定的隐函数，求

z 和 z .

x

y

35.

已知某产品的需求函数为 P 10

Q

, 成本函数为 C

50 2Q, 求产量为多少时利润

最大 .

5

36. 设随机变量 X 的分布函数 F (x)

1 (1 x)e x x 0 , 求随机变量 X 的密度函数 .

0, x 0

37. 设随机变量 X 服从正态分布 N (1,2), Y 服从泊松分布

P(2), 求期望 E(2 X Y 3).

x 1 2x 2 x 3 x 4 0,

38. 求齐次线性方程组

3x 1 6x 2 x 3 3x 4

0, 的全部解（要求用基础解系表示）.

5x 1 10 x 2 x 3

5x 4

0,

1 0 0 39. 确定为 k 何值时，矩阵 A

1 k 0 可逆，并求逆矩阵

A 1.

1

1

2012 年

二、单项选择题（ 2’ *10=20 ’）

21. 函数 f ( x)

ln x ln(1 x) 的定义域是（

） .

（A ） ( 1,

)

（ B ） (0,

)

（C ） (1,

)

（ D ） (0,1)

22. 极限 lim( x sin

1

1

sin x) ( ).

x

x x

1

（A ）1

（B ）0

（ C ）

（ D ）不存在

23. 设 f ( x)

arcsin x 2 , 则 f '(x) ( ).

（ A ）

1

（ B ）

2x （C ）

1 2x

1 x 2

1 x 2

1 x 4

（ D ）

1 x 4

24.

x 0 是函数 f ( x)

e x 2

x 的（

）.

（ A ）零点

（ B ）驻点

（ C ）极值点

（ D ）非极值点

25. 不定积分

sin x cos xdx 不等于（ ） .

（ A ） 1

sin 2

x

C

（ B ）

1

sin 2 2x C

2 1 cos2x

2 1 cos 2 x

（ C ）

C

（D ）

C

4

2

26. 设 I

4

ln(sin x)dx, J

4 ln(cos x)dx, 则 I , J 的大小关系是（

） .

（A ） I J

（B ） I

J （C ） I J （D ） I

J

27. 设矩阵 A

2 1 , E 为单位矩阵， BA

B 2E

则B ( ). 1 2

（ A ）

1 1

1 1

1 1

（ B ）

1

1

（ C ）

1

1

1 1

1 1

（ D ）

1

1

28. 设向量组

1 ,

2 ,

3 线性无关，

1,

2,

4 线性相关，则（

）.

（A ） 1 可以由 2 ,

3 ,

4 线性表出

（B ） 2 可以由 1 ,

3 ,

4 线性表出

（C ） 3 可以由 1,

2 ,

4 线性表出

（D ） 4 可以由

1 ,

2 ,

3 线性表出

29. 设随机变量 X ,Y 服从正态分布， X ~ N( ,16),Y ~ N( ,25), 记 P 1 P{ X 4},

P 2 P{Y

5}, 则（

） .

（A ）只有

的个别值，才有 P 1 P 2

（B ）对任意实数 都有 P 1 P 2

（C ）对任意实数 都有 P 1 P 2

（D ）对任意实数

都有 P 1 P 2

30. 设随机变量 X 服从参数为 泊松分布，若 E[( X

1)(X

2)] 1,则参数( ).

（A ）3 （B ） 1

（ C ）1

（D ）2

三、数学计算题（ 9题共 50 分）

31. 求极限 lim

e x

e x 2 .

x 0

1 cos x 32. e 1 ln x

求定积分

x

dx.

1

33. 已知函数 f ( x) x x 1 x 2 , 求 f ''(x).

34.

求函数 f (x)

2x 3 3x 2 12 x 1 的极值 .

35. 求由方程 xyz

arctan( x y z) 确定的隐函数 z

z(x, y) 的 z 和 z .

xy

1 2 0 36. 求矩阵 A

3 4 0 的伴随矩阵 A * .

0 0 5

x 1 x 2 4x 3 4,

37. 求线性方程组

x x

2x

4, 的通解

1

2

3

x 1 4x 2 x 3 16,

38. 设三次独立试验中事件 A 在每一次试验中发生的概率均为

p, 已知 A 至少发生一次的

概

率为

19

, 求 p.

27

0, x 0 39. 设连续型随机变量

X 的分布函数 F ( x)Ax 2 , 0 x 1, 求

1,

x 1

（ 1）常数 A; （ 2） X 的概率密度 f (x); （3）

2013 年

P{

1

x

1

}.

5 3

二、单项选择题（ 2’ *10=20 ’）

21. 设函数 f ( x) 在点 x x 0 处可导，则 f '(x 0 ) ( ).

（ A ） lim

f ( x 0 )

x 0

（ C ） lim

f ( x 0

x 0

22. 已知 x 1 是函数 y

f ( x 0 x)

（ B ） lim f ( x 0

x) f ( x 0 )

x

x

x

2 x) f ( x 0 )

（ D ） lim f ( x 0

2 x)

f (x 0 x)

x x 0

x

x 3 ax 2 的驻点，则常数 a

( ).

（A ）0

（B ）1

（ C ）

3

3

2 （ D ）

2

23. 函数 y ln(1

2x 2 ) 则 dy x 0

( ).

（A ）0 （B ）1

（ C ） dx

（ D ） 2dx

24. 设 sin x 是 f (x) 的一个原函数，则

xf '(x)dx ( ).

（ A ） x cos x sin x （ B ） xcosx

sin x C

（ C ） x sin x

cos x

（ D ） xsin x cosx C

25.

x sin t 则 F '(0)

( ).

设

F (x)

t

dt,

（A ）0

（B ）1

（C ）2

（D ）3

26. 设 f ( x) e

x

x

3

1

1

f ( x)dx (

).

f ( x)dx, 则 0

（A ）0

（ B ） 4

( e 1)

（C ） 4

（ D ） e

3

3

27. n 阶矩阵 A 可逆的充要条件是（

）.

（ A ） A 的任意行向量都是非零向量 （ B ）线性方程组 Ax

有解

（ C ） A 的任意列向量都是非零向量

（ D ）线性方程组

Ax 0 仅有零解

28. 设 1 , 2 是线性方程组 Ax

的两个不同解，

1 ,

2 是导出组 Ax 0 的一个基础解系，

C 1, C 2 是两个任意常数，则 Ax

的通解是（

） .

（A ）

C 1 1 C 2( 1

2 )

1

2

（B ） C 1 1

C 2 (

12 )

1

2

2

2

（C ） C 1 1

C 2( 1

2 )

1 2

（D ） C 1 1

C 2( 1

2 )

1 2

2

2

29. 设 X 为连续型随机变量， F (x) 为 X 的分布函数， 则 F (x) 在其定义域内一定为 （

）.

（ A ）非二阶间断函数 （ B ）阶梯函数

（ C ）可导函数

（ D ）连续但不一定可导函数

30. 设随机变量服从参数为

2 的泊松分布， Z 3X 2, 则随机变量 Z 的期望和方差为 （ ）.

（ A ）

1 , 9 （ B ）

1 , 3 （ C ） 4,18

（ D ） 4,6

2 4

2 4

三、数学计算题（ 5’ *10=50 分）

31. 求极限 lim[

1

1 ].

x 0

x

ln(1 x)

32. 求函数 y

ln

1

x

的导数 .

1

x

33. 求定积分

8

dx .

1

3

x

34.

求函数 y

x 4 2x 3 1的单调区间和极值点 .

35. 求二元函数 z e xy f ( x 2

y), 其中 f (u) 是一个可导函数，求偏导数

z 和 z .

x

y

设 f ( x)

x

2 dt, 求

1

36. e t

f (x)dx.

1

37. 求 t 为何值时，向量组

1

(t, 2,1)T , 2 (2, t,0) T , 3

(1, 1,1)T 线性相关，并在线性

相关时将其中一个向量用其余向量线性表出

.

0 1 0

38. 求矩阵 A0

0 1 ,

0 0 0

（ 1） A n ( n 为正整数）；（ 2） E

A 的逆矩阵（ E 为三阶单位矩阵） .

C

| x | 1

随机变量 X 的密度函数为

( x)

,

39. 1 x 2

, 求：

0, | x |

1

（1）常数 C ；（2） P{

1

x

1

}.

2

2

40. 随机变量 X 服从正态分布 N (2,

2

), 且 P{2 x 4} 0.3, 求 P{ x 0}.

2014 年二、单项选择题（2’ *10=20 ’）