第一章第七节

第七节 算术基本定理
定理1
设a是任一大于1的整数, 则a的除1外最小正因数q是一质数, 并且当a是合数时, q ≤ a .
证明 : 假设q不是质数,由定义, q除1及本身外还有一正因数q1 ,因而1 < q1 < q, 但q a , 所以q1 a , 这与q是a的除1以外的最小正因数矛盾, 故q是质数. 当a是合数时, 则a = a1q, 且a1 > 1, 否则a是质数,由于q是a的除1外的最小正因数, 所以q ≤ a1 , q ≤ qa1 = a, 故q ≤ a .
1 2
其中γ i = min{α i , βi }, δ i = max{α i , βi }, i = 1, 2,
注:相关结论
已知a =
α1 α 2 p p
1 2
pn 是a的标准分解式, (1 + α n ).
αn
则a的不同的正约数的个数等于 (1 + α1 )(1 + α 2 )
例题
• 例1 写出51480的标准分解式.
γi
⎧α i , α i = max{α i , βi } a , a1 = . 令a2 = ∏ pi , γ i = ⎨ a2 ⎩0, 其它 i =1 k ⎧ βi , βi = max{α i , βi } ≠ α i b δi b2 = ∏ pi , δ i = ⎨ , b1 = . b2 ⎩0, 其它 i =1 则a1 , a2 , b1 , b2 , 使得a = a1a2 , b = b1b2 , (a2 , b2 ) = 1, 并且[a, b] = a2b2 .
定理4(算术基本定理)
α α 任何大于1的整数a可以唯一地表示成a = p1 1 p2 2 α pn n , (1)
其中p1 , p2 ,
, pn是素数, p1 < p2 <
< pn , α1 , α 2 ,
, α n是正整数.
证明 :由定理3知, 任何大于1的整数可表示成(1)的形式, 因此, 只需证明(1)式的唯一性. 假设pi (1 ≤ i ≤ n)与qi (1 ≤ i ≤ k )都是素数, p1 < p2 < 且a = p1 p2 ∵ p1 a = q1q2 又p1 < p2 < ∴ 可知p1 = q1. 从而重复上述这一过程, 得到n = k , pi = qi , 所以结论成立. < pn , q1 < q2 < pn = q1q2 qk , < qk .
4.解 : 设( x, y ) = d , 即x = dx1 , y = dy1 , 则( x1 , y1 ) = 1,
2 得x1
+
2 y1
=
2 2 ax1 y1 ,因此x1 | y1 , y1 | x1 ,
即x1 | y1且y1 | x1 , 得x1 = y1 , 故x1 = y1 = 1, 于是a = 2.
2
定理2
• 若p是一质数,a是任一整数,则a能被p整除或 p与a互质.
证明 : 因为( p, a) p , ( p, a) > 0, 由质数的定义( p, a) = 1, 或( p, a) = p, 则( p, a) = 1或p a.
推论
设a1 , a2 , 若p a1a2 , an是n个整数, p是质数, an , 则p一定能整除某一个ai .
设a是一个大于1的整数, 且a = p1 p2
α1 α2
pn , α i (i = 1, 2,
αn
, n)是正整数,
β1 β2
则a的正因数d 可以表示成d = p1 p2
pn ,
βn
α i ≥ βi , i = 1, 2, , n的形式.
证明 : 若d a , 则a = dq, 又a的标准分解式是唯一的, 故d的标准分解式中出现的质数 都在p j (1 ≤ j ≤ n)中出现, 且p j 在d的标准分解式中出现的指数β j ≤ α j . 反过来, 当β j ≤ α j时, 显然d 整除a.
qk , 则必有某个q j , 使得p1 q j , 从而p1 = q j . < pn , q1 < q2 < < qk ,
同理, 又有某个pi , 使得q1 pi , 所以q1 = pi .
定义及推论
使用定理4中的记号, a = p1 p2 是a的标准分解式.
α1 α2
pn ,
αn
推论4.1
μi
i =1
∴ (a, b)[a, b] = ∏ piλi + μi = ∏ pimin{αi ,βi }+ max{αi ,βi } = ab.
i =1 i =1
k
k
3证明 : 设a = ∏ pi , b = ∏ pi ,
αi βi
i =1 i =1
k
k
其中p1 , p2 ,
k
, pk 是互不相同的素数, α i , βi ≥ 0.
(k + 1)(2m + k ) 5.k + 1个相邻正整数m, m + 1, , m + k 之和为 , 2 (k + 1)(2m + k ) 设n = m + (m + 1) + + (m + k ) = . 2 若k ≥ 2, 显见n是合数, 这就证明了必要性. 若奇数n > 1是合数, 则n = n1n2 , n1 ≥ n2 ≥ 3, n2 − 1 可取m0 = n1 , k0 = n2 -1, 得 2 n = m0 + (m0 + 1) + + (m0 + k0 ), n可表示为三个或三个以上相邻正整数之和, 这就证明了充分性.
2 设a, b是整数, 证明 : (a, b)[a, b] = ab.
3 设a, b是正整数, 证明 : 存在a1 , a2 , b1 , b2 , 使得 a = a1a2 , b = b1b2 , (a2 , b2 ) = 1, 并且[a, b] = a2b2 .
• 4.假设 x + y = axy 有正整数解x,y,试求a. • 5.设奇数n>1,证明:n是素数的充要条件是n 不能表为三个或三个以上的相邻正整数之 和.
推论4.2
设a, b是任意两个正整数, 且a = b = p1 p2 则(a, b) =
β1 β2
1
α1 α 2 p p
1 2
pn , , n. pn , , n.
δn
αn
pn , α i ≥ 0, βi ≥ 0, i = 1, 2,
2
βn
γ1 γ 2 p p
pn ,[a, b] =
λn
δ1 δ 2 p p
n q p p −1
−t
p−2
+t
p −3
−
+ 1),
(其中2q = t ), 2q + 1是2n + 1的真约数, 可知2n + 1不是素数, 矛盾, 当2n + 1时素数时, 必有n = 2m.
思考问题
• 1求 (84,4900),[84,4900],(945,245,5775),[ 945, 245,5775].
3 2 2
2证明 : 设a = ∏ piαi , b = ∏ piβi ,
i =1 i =1
k
k
其中p1 , p2 ,
k i =1 k
, pk 是互不相同的素数, α i , βi ≥ 0.
(a, b) = ∏ piλi , λi = min{α i , βi },1 ≤ i ≤ k , [a, b] = ∏ pi , μi = max{α i , βi },1 ≤ i ≤ k ,
2 2
1解 : 因为84 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7, 4900 = 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ,
2 2 2 2
所以(84, 4900) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 28,
2 0 0 1
[84, 4900] = 22 ⋅ 3 ⋅ 52 ⋅ 7 2 = 14700. 又因为945 = 33 ⋅ 5 ⋅ 7, 245 = 5 ⋅ 7 2 ,5775 = 3 ⋅ 52 ⋅ 7 ⋅11, 所以(945, 245,5775) = 30 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅110 = 35, [945, 245,5775] = 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅11 = 363825.
证明 : 当a是素数时, 定理成立. 当a是合数时, 则必存在素数p1 , 且1 < p1 ≤ a ,∴ a = p1a1 , (1 < a1 < a ). 若a1是素数, 则可知定理成立; 若a1是合数,同理, 则必有素数p2以及适合1 < a2 < a1的正整数a2 , 使a = p1 p2 a2成立. 由于a是有限的, 所以有限次地重复上述过程可得a = p1 p2 其中p1 , p2 , , pn均为素数. pn ,
• 例3 证明:(a,[b,c])=[(a,b),(a,c)].
证明 : 设a = ∏ piαi , b = ∏ piβi , c = ∏ piγ i ,
i =1 i =1 i =1
k
k
k
其中p1 , p2 ,
k
, pk 是互不相同的素数, α i , βi , γ i ≥ 0.
λi
k i =1 i =1源自(a,[b, c]) = ∏ pi ,[(a, b), (a, c)] =∏ piμi ,1 ≤ i ≤ k ,
λi = min{α i , max{βi , γ i }}, μi = max{min{α i , βi }, min{α i , γ i }}, 不妨设βi ≤ γ i , 则λi = min{α i , γ i }, 又 min{α i , βi } ≤ min{α i , γ i }, ∴ μi = min{α i , γ i } = λi ,∴ (a,[b, c]) = [(a, b), (a, c)].