工程结构可靠性理论与应用(习题及答案)

《工程结构可靠性理论与应用》习题

4.1某地区年最大风压实测值见教材表3-3。

（1）用K -S 检验法对年最大风压分布进行假设检验，证明该地区年最大风压可用极值I 型来拟合，并写出相应的分布函数；

（2）试求该地区设计基准期T ＝50年的最大风压的统计特征（统计参数和分布函数）。

解：

（1）列出年最大风压实测值表，见表1。

表1 某地年最大标准风压（kgf/m 2

）实测值（25年） 年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 风压 11.14 13.81 14.31 43.67 32.29 37.44 21.42 21.42 23.96 年份 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 风压 22.25 31.44 21.83 19.80 16.04 14.82 13.81 20.42 20.20

年份 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 风压

19.80

11.89

19.80

16.04

12.67

7.98

10.12

（2）对荷载进行统计分析，依据该地区25年实测最大风压力绘制计统计频率分布直方图，为偏态，所以初步判断年最大风压力服从极值I 型分布，试用极值I 型分布拟合。已知极值I 型分布函数

()exp exp I x F x a μ?-?

??=--???????

? （3）参数估计 子样平均数：)(2512521X X X X ++==1

(11.1413.8110.12)19.9325

+++=

子样标准差：

12

22

2111.1419.9913.8119.9910.1219.998.6224??-+-++-????

〔（）（）（）〕＝ 在)(X M ，)(X σ，未知情况下，分别用上述估计值)(?x M

＝19.93、)(?X σ＝8.62来近似代替，计算未知参数u a ,的估计值。

()0.5772M x a μ=+

a x 2826.1)(=σ

?()8.621

? 1.2826 1.28260.15

X a

σ

=≈＝ 1

?垐()0.577219.930.577216.080.15

M

X a μ=-=-?≈ 于是可以得到该地区年最大风压可以用[]{}

1()exp exp 0.15(16.08)F x x =---来拟合。

（4）假设检验

假设H 0：该地区年最大风压服从极值I 型分布，即其分布函数为

[]{}()exp exp 0.15(16.08)I F x x =---

其中15

.01

=

a ，16.08μ=。 2）将X 的经验分布函数)(x F n （统计量）与假设的X 的分布函数)(x F 进行比较，使用统计量n n

n

()()()max max x x D F x F x D x -∞<<∞-∞<<∞

=

-=，其中n n

()()()D x F x F x -＝，来度量

抽得的子样与要检验的假设之间的差异，数量大就表示差异大。

为便于计算n D 的观测值n D *

，列表计算n ()D x 。见表2。

表2 子样检验差异表

风压值

i x

频数

i v

累计频数

∑i

v

假设分布值

)(i x F

经验分布值

n ()i F x

n ()i D x

7.98 1 1 0.0344 0.04 0.0056 10.12 1 2 0.0867 0.08 0.0067 11.14 1 3 0.1227 0.12 0.0027 11.89 1 4 0.1534 0.16 0.0066 12.67 1 5 0.1887 0.20 0.0113 13.81 2 7 0.2452 0.28 0.0348 14.31 1 8 0.2714 0.32 0.0486 14.82 1 9 0.2988 0.36 0.0612 16.04 2 11 0.3657 0.44 0.0743 19.8 4 15 0.5642 0.60 0.0358 20.2 1 16 0.5833 0.64 0.0567 20.4 1 17 0.5927 0.68 0.0873 21.42 1 18 0.6383 0.72 0.0817 21.83 1 19 0.6557 0.76 0.1043 22.25 1 20 0.6728 0.80 0.1272 23.69 1 21 0.7266 0.84 0.1134 31.44

1

22

0.9050

0.88

0.0250

35.29 1 23 0.9455 0.92 0.0255 37.44 1 24 0.9602 0.96 0.0002 43.67

1

25

0.9842

1.00

0.0158

表中 []{}

()exp exp 0.15(16.08)i F x x =--- n 1

()()i i F x v n

=

∑ n n ()()()i i D x F x F x -＝

从表2可见：n n

1()()max i

i

i n

D F x F x *

≤≤=

-=0.1272

3）给显著水平05.0=a ，求出临界值n,0.05D 。当n

n 的分布近似于)(λQ 。给定05.0=a ，临界值n,0.05D 即满足

n n,0.05)0.05P D >=

?n n,0.05n,0.05)0.95()P D Q D <==

查教材附表Ⅲ n ,0.05D ＝

1.36

n

*

＝0.645

[]{}()exp exp 0.15(16.08)I F x x =---

15

.01

=

a ，16.08u = （5）求该地区设计基准期T ＝50年，最大风压的统计特征值。 不考虑风向时：

50

K K

WT WT K K 0.359 1.012()[()]exp[exp()]exp[exp()]

0.1670.167m x W x W F x F x W W ??--''==--=--????

由此得到：WT

K 1.11W μ'=，WT 0.19δ'= 考虑风向时：

WT WT ()[()]m

F x F x =＝

50

K K 0.323exp[exp()]0.151x W W ??---?

???

＝

K

K

0.910exp[exp()]0.150x W W ---

由此得到：

WT K 0.998W μ=，WT 0.19δ=

由于WT K 0.998W μ=K W ≈所以规范规定的风荷载标准值K W 即相当于设计基准使用为

50年的考虑了风作用方向的最大风荷载T

W '概率分布的平均值。 4.2 求钢筋混凝土轴心受压构件的抗力统计参数。

已知 C30混凝土 2ck 17.5N/mm f =，fc k 1.41μ=，c f 0.19δ= 20MnSi 钢筋 2yk 340N/mm f =，fy k 1.14μ=，y

f 0.07δ= 截面尺寸k 300mm b =，k 500mm h =，b h k k 1.0μμ==，b h 0.02δδ==

配筋率ρ＝0.015，稳定系数0.1=?，抗力表达式P c y S

R f bh f A '=+ 钢筋截面积：As'k 1.0μ=，As'0.03δ= 计算模式：P k 1.0μ=，P k 0.05δ=

解：

计算公式为：P P P a g

g ()R K R K R bh R A ''=?=+，统计参数为： RP Ra b h Rg Ag μμμμμμ''=??+?

＝1.41?17.5?300?500?+1.14?340?0.015?1?300?500

＝4573350 N

令 R g g K R a a K 1.14340

0.0150.2

361.4117.5

k R C k R μ

''??==?=?? 2

2222222222Ra b h Rg

Ag 2RP

2

2

()0.190.020.020.236(0.070.03)

(1)(10.236)C C δδδδδδ

''++++++++=

=

++＝0.0248

得：

R R

KP RP

K

K

K R R μμμ?=

=

=

1.35

R δ4.3 已知极限状态方程Z =g (R ,S )=R -S =0，R μ=100，S μ=50，＝R δ0.12，＝S δ0.15，试求下列情况下β。

（1）R 、S 均服从正态分布；

（2）R 服从对数正态分布，S 服从极值I 型分布。

解：

（1）当R 、S 均服从正态分布时：

R μ=100，S μ=50，＝R δ0.12，＝S δ0.15

R R R u σδ?＝=12，S S S u σδ?＝＝7.5

得

z

z u βσ=＝＝3.53

（2）R 服从对数正态分布，S 服从极值I 型分布时：

1）由于R 服从对数正态分布，首先对抗力R 进行当量正态化： 令*

R 的初值为其平均值，

R lnR 1ln R R u μ**'-+＝（）＝1ln R R *

*+（）

=100(1+4.59802153-4.60517019)

＝99.285

R ln R R R σσ*'=＝＝100)12.01ln(2

+＝11.95713

2）S 服从极值I 型分布，对荷载S 当量化： 令*

S 的初始值为其平均值

S /a π=＝π/5.76?＝5.848 s 0.577u u a =-＝50-0.577?5.848＝46.6257

848

.51)(1=-=

*u S a y （50-46.6257）＝0.57701 S ()exp[exp()]exp[exp(0.57701)]exp[0.561575]0.5703F S y *--=-=-=＝

S 1

1

()exp()exp[exp()]exp(0.57703)exp[exp(0.57703)]5.848

S y y a ?*=---=

--- ＝

5703.0561575.0848

.51

??＝0.054765 {}1S S S ()/()F S S σ??-**Φ＝〔〕＝{}054765.0/5703.01

〕〔

-Φ?＝054765

.0177.0）

（?

＝054765

.03927417.0054765.0212177.02

=-e

＝7.17140

1S S S [()]S F S μσ*-*'-Φ＝＝'1S S S [()]u F S σ-*-Φ?＝50-0.177?7.1714＝48.73066

以R '的统计参数R μ'、R σ'代替R 的统计参数R μ、R σ；并以S 的统计参数S σ、S μ代替S u 、S σ，计算得可靠度为

z z u βσ=＝＝

2217140

.795713.1173066

.48285.99+-＝3.626 4.4 已知极限状态方程R -G -L =0

R ——抗力，对数正态分布，R k 1.13R μ=，R δ＝0.1 G ——恒载，正态分布，G k 1.06G μ=，G δ＝0.07 L ——活载，极值I 型，L k 0.7L μ=，L δ＝0.288 设K

K

0.1L G ρ=＝

及2，目标可靠度指标β＝3.5，试求相应的设计分项系数。 解：

（1）

R R R u σδ=?=0.113K R ，G G G u σδ=?=0.0742K G ，L L L u σδ=?=0.2016K L

β＝3.5，1-f (3.5)P =Φ=0.9997674

（2） 极限状态方程为g =R -G -L =0，

1g R ?=?，1g G ?=-?，1g L

?=-? （3） R 为对数正态分布： 2

R l n (1)k δ=+＝

0.00995

R β-

＝2.9820

G 为正态分布：

G 3.5β+

＝ L 为极值Ⅰ型分布：L {ln[ln(0.9997674)]0.5772}

6.0731.2825

β+

-+=-

＝

（4） R

R 2.9820

0.13.5

u σ'=??＝0.0852R μ G G G u σδ=?=0.0742K G

（5） 当K

K

0.1L G ρ=＝

时 L

K 6.073

0.020163.5

G σ'=??＝0.03498K G 由 β＝

得 K K 1.52R G =

R cos θ'

G 0.0742

cos 0.440.1678θ=

=

L 0.03498

cos 0.210.1678θ'==

得 *

R ＝1.13K R -3.5?0.8723?0.0852?1.13K R ＝0.836K R

*G ＝1.06K G +3.5?0.4423?0.0742K G ＝1.175K G *L ＝0.7K L +3.5?0.2085?0.3498K L ＝0.9553K L

因此，当K

K

0.1L G ρ=＝

时 K /G G G γ*＝＝1.18 L K /L L γ*＝＝0.96

R K /R R γ*＝＝1.20

（6） 当K

K

2L G ρ=＝

时 L

K 6.073

0.40323.5

G σ'=??=0.6996K G 由 β＝

得 K K 3.744R G =

R cos θ'

=-0.46

G 0.0742

cos 0.090.7905θ=

=

L 0.6996

cos 0.890.7905θ'==

得 *

R ＝1.13K R -3.5?0.4560?0.0852?1.13K R ＝0.976K R

*G ＝1.06K G +3.5?0.093866?0.0742K G ＝1.084K G *L ＝0.7K L +3.5?0.88502?0.3498K L ＝1.78353K L

因此，当K

K

2L G ρ=＝

时 G K /G G γ*＝＝1.18 L K / 1.78L L γ*=＝ R K /R R γ*＝＝1.02

4.5 已知极限状态方程G Q 0R S S --=，设计表达式为

G Gk Q Qk k R

1

S S R γγγ+=

G 1.2γ=，Q 1.4γ=，且目标可靠度ρ＝3.7

k G 8.0S =，S G

k 1.06μ=，G S 0.07δ= （正态分布）

k Q 2.0S =，S Q k 0.70μ=，Q S 0.29δ= （极值Ⅰ型分布）

R

k 1.33μ=，R 0.17δ= （对数正态分布）

试求R μ及R γ。 解：

k G S 服从正态分布：

G

S k

G

S k G 1.068.08.48S μμ==?=，G

G

G

S S S 8.480.070.59σμδ==?=

k Q S 服从极值Ⅰ型分布：

Q

S k

Q

S k Q 0.698 2.0 1.40S μμ==?=，Q Q Q S S S 1.3960.2880.40σμδ==?=

k R 服从对数正态分布：

k

R k k k 1.33R

R R μμ==，k

R R R R 0.17σμδμ==

极限状态方程为： G Q 0R S S --=

假定初值 G Q *

0S S 8.48 1.3969.88R μμ=+=+=

k0G *G S 8.48S μ==，k0Q *Q S 1.40S μ==

利用以下公式进行迭代： 对活荷载S Q 当量正态化：

Q

S /απ=，Q S 0.5772u μα=-

Q 1

()y S u α

*=

-

Q *S Q ()exp{exp[]}F S y =--

Q

Q **S Q S Q 1

()exp()()S y F S ?α

=

-

Q

Q

Q

'

1**S S Q S Q {[()]}/()F S S σ??-=Φ

Q

Q

Q

Q

Q

'*1*'

S S S S S

[()]S F S μσ-=-Φ

'

R R σ=

'

R cos θ=

G S cos σθ=

Q 'S

S cos σθ=

G G G *G S S S cos S μσβθ=+

Q Q

Q *''

Q S S S cos S μσβθ=+ *

1G Q R S S **=+ *01||R R ε*

=-

经过6次迭代，精度为45.7510ε-=?，得 *

10.87R = 则

'

R R

σ=

由 *''

R R R cos R μσβθ=+

将'R μ 代入

'

**R (1l n )

R R μ=-+ 得

R 19.59μ=

*R k k 19.59

14.731.33

R

R μμ=

== 由G 1.2γ=，Q 1.4γ=可得

k k k G G Q Q 1.28.0 1.4 2.012.4S S S γγ=+=?+?=

则 *

k R k 14.73

1.19

12.4

R S γ===