高三数学上学期期中考试卷附答案
甘肃省武威市民勤县第一中学2025届高三上学期11月期中考试数学试卷(含答案)
民勤一中2023-2024学年高三级第一学期期中学业质量检测卷数学（本卷满分150分，考试时间120分钟）第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知等差数列，的前项和分别为和，且，则（）A．B．C．D．2．若数列满足：，而数列的前项和最大时，的值为（）A．6B．7C．8D．93.方程的解所在的区间是( )A. B. C. D.4.函数的图象大致为( )A. B.C. D.5.函数是A. 奇函数且上单调递增B. 奇函数且上单调递增在在{}na{}n b n n S n T521nnS nT n+=-76ab= 67121118251621{}na()*1119,3n na a a n+==-∈N{}n a n n 2log5x x=-()1,2()2,3()3,4()4,52()1xf xx=+()()sin cos sin cosy x x x x=+-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 偶函数且在上单调减增D. 偶函数且在上单调递增6.设函数，则满足的x 的取值范围是 A. B. C. D. 7．已知函数，设，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）ABC ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.函数在一个周期内的图象如图所示,则( )A. 该函数的解析式为B. 该函数的对称中心为C.该函数的单调递增区间是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()1x2,x 12f x 1log x,x 1-≤⎧=->⎨⎩()f x 2≤()[]1,2-[]0,2[)1,∞+[)0,∞+()cos xf x e x =+()10.3a f -=()0.32b f -=()2log0.2c f =c b a<<c a b<<b a c <<b c a<<()y f x =[0,2x π∈'()cos ()sin 0f x x f x x +>'()f x ()f x ()(34f ππ-<()()34f ππ-<-(0)()4f π>-()()63f ππ<()()sin 0,0,0y A x A ωϕωϕπ=+>><<2π2sin 33y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππ,0,3k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z 5ππ3π,3π,44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZD. 把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,可得到该函数图象10．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设抛物线：()的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为( )。
上海市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(含答案)
上海市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题2024.11一、填空题(本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分.满分54分)1.已知集合，则______________2.设复数，则______________3.函数的最小正周期为______________4.角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则______________5.若实数x 、y 满足，则的最小值为______________6.已知，则在方向上的投影为______________7.方程的解集为______________8.若函数在区间[0，a ]上是严格减函数，则实数的最大值为______________9.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析几何函数论》中给出一个定理，如果函数满足条件：①在闭区间[a ，b ]上是连续不断的；②在区间（a ，b ）上都有导数.则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日”中值.函数在区间的“拉格朗日”中值______________10.如图，正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点A 、B 在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是______________11.如图，互不相同的点和分别在角的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设，若，则数列的通项公式______________(0,4),[2,5]A B ==A B ⋂=(1i)2i z -=||z =π()tan 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭αx (3,4)-sin(π)α+=1xy =223x y +(2,3),(1,0)a b =-= a b|21||22|3x x ++-=cos sin y x x =-a ()y f x =(,)a b t ()()()()f b f a f t b a '-=-t sin y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦t =O M O O MA MB ⋅12n A A A 、、、、12n B B B 、、、、O n n A B 11n n n n A B B A ++n n OA a =121,2a a =={}n a n a =12.设函数是奇函数，当时，.若对任意的，不等式都成立，则实数的取值范围为______________二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分.13.已知，则“”是“”的（ ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要14.若函数在处的导数等于，则的值为（ ）A.0B.C. D.2a15.已知函数，实数，下列选项中正确的是（ ）A.若，函数关于直线对称B.若，函数在上是增函数C.若函数在上最大值为1，则D.若，则函数的最小正周期是16.已知，集合，.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合表示的平面图形的面积不大于.（ ）()y f x =0x ≥()2221()232f x x a x a a =-+--x ∈R (1)()f x f x -≤a x ∈R 1x >21x >()y f x =0x x =a ()()0002limx f x x f x x∆→+∆-∆12a aπ(),()2sin 6y f x f x x ω⎛⎫==+⎪⎝⎭0ω>2ω=()y f x =5π12x =12ω=()y f x =[0,π]()y f x =[π,0]-43ω≤1ω=|()|y f x =2π()sin f x x =ππ,,{(,)2()()0,,}22D x y f x f y x y D ⎡⎤=-Γ=+=∈⎢⎥⎣⎦∣{(,)2()()0,,}x y f x f y x y D Ω=+≥∈∣ΓΩ25π12A.①真命题，②假命题B.①假命题，②真命题C.①真命题，②真命题D.①假命题，②假命题三、解答题（本大题满分76分）17.已知，且.（1）求向量与的夹角大小；（2）求.18.设常数.（1）若是奇函数，求实数的值；（2）设中，内角的对边分别为若，求的面积.19.已知递增的等差数列的首项，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足为数列的前项和，求.20.为了助力企业发展，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的，经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案.（1）已知某企业纳税额为4万元，计算该企业将获得的补助款；（2）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；（3）求同时满足条件①、②的参数的取值范围.21.已知.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数存在两个不同的极值点，求证：；（3）若，数列满足.求证：当时，.||1,||2a b == ()(2)6a b a b +⋅-=-a b|2|a b +2,()cos cos ,k f x k x x x x ∈=+∈R R ()f x k 1.k ABC = A B C 、、a b c 、、，()1,f A a ==3b =ABCS {}n a 11a =124a a a 、、{}n a n a {}n b 2(1),n a n n n n b a T =+-{}n b n 2n T ()f x x x 50%()44x bf x x=-+b 12b =b ()ln 1f x a x ax =---0a =()y f x =(1,1)P ()y f x =12x x 、()()120f x f x +>1,()()a g x f x x ==+{}n a ()11(0,1),n n a a g a +∈=2n ≥212n n n a a a +++>2024学年第一学期高三年级数学期中考试参考答案一、填空题（本大题共12题，第题每题4分，第题每题5分.满分54分）1.3.4. 5.6. 7. 8.9. 10.[2，3]12.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分.13.A14.D15.C16.A三、解答题（本大题满分76分）17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解（1）；（218.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.解（1）；（2）.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解（1）由题可知，且，即，可得（2）.20.（本题满分16分）本题共有3小题，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题8分.解（1）（2）因为当时，，所以当时不满足条件②.（3）由条件①可知，在[3，6]上单调递增，在恒成立，在恒成立，所以1~67~12[2,4)π245(2,0)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3π42arccos π⎡⎢⎣2π30k =S =10,1d a >=2142a a a ⋅=()()21113a a d a d ⋅+=+2*111,1,(1),n a d d a d a a n d n n N ===∴=+-⋅=∈()12222(1),222[1234(21)2]nnnn n b n T n n =+-=++++-+-+---+ ()2212122212n n n n +-=+=+--(4)54bf =-12b =33(3)42f =<12b =()44x bf x x=-+22214()044b x b f x x x '+⇒=+=≥[3,6]x ∈24x b ⇒≥-[3,6]x ∈94b ≥-由条件②可知，，即不等式在[3，6]上恒成立，等价于，当时，取最小值，所以综上，参数的取值范围是.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解（1）当时，所以曲线在点处的切线方程为…………………………………………4分（2）由，令，则原方程可化为：①，则是方程①的两个不同的根所以，解得………………………………………………………3分所以因为，所以，所以 (6)分（3）由题意，，所以当时，，所以函数在区间上严格减，当时，，所以函数在区间上严格增，………………3分因为，所以，以此类推，当时，，………………………………………………4分()2x f x ≥44x bx+≤22114(8)1644b x x x ≤-+=--+3x =21(8)164y x =--+394394b ≤b 939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0a =()(1)1f x f ''==()y f x =(1,1)P y x =()0f x '=0aa x--=t=0t >20at t a -+=12t t ==214010a a⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩102a <<()()()()1212122ln ln 2f x f x a x x a x x +=+-+-+-()()()222212121212ln 222t t a t t a t t a a=+--+-=+-102a <<12220a a+->->()()120f x f x +>()ln 1g x x =--()g x '=(0,1)x ∈()0g x '<()y g x =(0,1)(1,)x ∈+∞()0g x '>()y g x =(1,)+∞101a <<()()2132(1)1,(1)1a g a g a g a g =>==>=2n ≥()1(1)1n n a g a g +=>=又，所以函数在区间上严格减，当时，，所以，.....................................7分所以，即，故. (8)分2131124()2102f x x x'⎫---⎪⎝⎭=⨯--=<()y f x =(0,)+∞2n ≥()()(1)0n n n f a g a a f =-<=1n n a a +<()()1n n f a f a +>211n n n n a a a a +++->-212n n n a a a +++>。
天津市部分区2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案
天津市部分区2024~2025学年度第一学期期中练习高三数学（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，练习用时120分钟。
使用答题卡的地区，将答案写在答题卡上：不使用答题卡的地区，将答案写在练习卷上。
第Ⅰ卷（共45分）注意事项：本卷共9小题，每小题5分，共45分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}0,3M =，{}3,4N =，则()U M N = ð（）A ．{}0,2,3,5B ．{}0,1,3,4C ．{}0,1,2,3,5D ．{}0,2,3,4,52．已知()1,2a =- ，()1,1b = ，则a b -=（）A B ．1C ．D ．53．若x ，y ∈R ，则“22x y =是“33xy=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若918S =，则28a a +=（）A ．4B ．3C ．2D ．15．函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．()()e e sin x xf x x -=-B ．()()e e cos x xf x x -=-C ．()()e e sin xx f x x--=D ．()()e e cos xx f x x--=6．已知cos cos sin ααα=+，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．1-B ．12-C ．1D ．1-7．已知0.13a =，b =，3log 1.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．c a b<<D ．a c b<<8．已知函数()()2ln 1f x x a x =+-有极值点，则实数a 的取值范围为（）A ．(],0-∞B ．(),0-∞C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且在区间()0,π上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为（）A ．47,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．47,33⎛⎤⎥⎝⎦C ．4,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．4,23⎛⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷注意事项：本卷共11小题，共105分。
数学丨黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2025届高三上学期11月期中考试数学试卷及答案
哈师大附中2024—2025学年度高三上学期期中考试数学试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷(选择题,共58分)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|230A x x x =-+≤，(){}2ln 2B x y x==-，则A B = （）A ．()13，B．3⎡-⎣C．⎡⎤⎣⎦D．(⎤⎦2．复数2025z=2025i -在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.函数()2cos f x x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A.2πB .2C.6π+ D.13π+4．已知a 是单位向量，则“||||1a b b +-= 是“a b∥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知函数()()e 1x a xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,0-上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[)0,+∞B ．[)2,-+∞C ．(],0-∞D ．(],2-∞-6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3614S S =，则1236SS S =+（）A.43B.8C.9D.167.菱形ABCD 边长为2，P 为平面ABCD 内一动点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为()A.0B.2- C.2D.4-8.已知函数()f x 为偶函数，且满足(13)(13)f x f x -=+，当(0,1)x ∈，()31xf x =-，则323(log )f 的值为（）A.31B.5932C.4932D.21132二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数()2sin(1)3f x x πωω=+≤的图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A ．1ω=B ．函数的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将()y f x =向左平移3π个单位长度，得到函数()2cos(6g x x π=+D ．若方程(2)f x m =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不相等的实数根，则m的取值范围是2⎤⎦10．设正实数,m n 满足1m n +=，则（）A ．1m nm+的最小值为3B+C的最小值为12D ．33m n +的最小值为1411.已知函数1()(0)xf x x x =>,则下列说法中正确的是（）A.方程1()(f x f x=有一个解B.若()()g x f x m =-有两个零点，则10em e<<C.若21()(log ())2a h x x f x =-存在极小值和极大值，则(1,e)a ∈D.若()0f xb -=有两个不同零点，2(())()0f x b x cx d --+≤恒成立，则2ln b c <<第Ⅱ卷(非选择题,共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．12.中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为π36的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为π81的圆锥，则该圆锥的高度为.13．已知某种科技产品的利润率为P ，预计5年内与时间(t 月)满足函数关系式(t P ab =其中a b 、为非零常数).若经过12个月，利润率为10%，经过24个月，利润率为20%，那么当利润率达到50%以上，至少需要经过________________个月(用整数作答，参考数据：lg 20.3010)≈14.已知b 为单位向量，,a c 满足42a b c b ⋅=-= ，则12a c -的最小值为四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题13分）在△ABC 中，a b c 、、分别为角A B C 、、所对的边，且22()b a a c c -=-(1)求角B .(2)若b =△ABC 周长的最大值.16.（本小题15分）已知数列{}n a 满足*3212122,N 22n n a a a n a n -++++=∈ (1)求{}n a 的通项公式；(2)在n a 和1n a +之间插入n 个数，使得这2n +个数依次构成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．17．（本小题15分）行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如11122122a a a a 的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：1112112212212122a a a a a a a a =-，设函数22sin sin ()()π26cos()x xf x x x =∈+R ．(1)求()f x 的对称轴方程及在[0,]π上的单调递增区间；(2)在锐角ABC ∆中，已知()32f A =-,2133AD AB AC =+，cos B =，求tan BAD ∠18.（本小题17分）已知数列}{n a 满足111,,333,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数（*∈N n ）.(1)记232-=n n a b （*∈N n ），证明：数列}{n b 为等比数列，并求}{n b 的通项公式；(2)求数列}{n a 的前n 2项和n S 2；(3)设12121--=+n n n b b c （*∈N n ），且数列}{n c 的前n 项和为n T ，求证：1133ln --<-n n n n T （*∈N n ）.19.（本小题17分）已知函数ln ()sin ,(0,)x a f x e x x -=-∈+∞.(1)当a e =时，求()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；(2)若32(())(())ln(1())0f x f x f x -++≥恒成立，求a 的范围；(3)若()f x 在(0,)π内有两个不同零点12,x x ，求证：122x x ππ<+<2024—2025学年度上学期高三学年期中考试数学答案一、单选题1.D 2.D 3.A 4.A 5.D 6.B7.D8.C二、多选题9.AC 10.ABD 11.ACD 三、填空题12.213.4014.1四、解答题15.（1）22()b a a c c -=-即222b a c ac =+-∵2222cos b a c ac B =+-∴1cos 2B =，又(0,)B π∈∴3B π=（2）由sin sin a c AC =可得，2sin a A =，2sin c C=2sin 2sin l a b c A C =++=+∵2+3A C π=∴23C Ap =-∴22sin 2sin()3l a b c A A π=++=+-3sin A A =)6A π=+∵203A π<<∴l的最大值为16.(1)321212222nn na a a a -++++= 当2n ≥时，312122)2222(1n n a a a n a --++++=- 两式相减，得122nn a -=，即2n n a =.又当1n =时，12a =符合题意，所以2n n a =.(2)由（1）得2n n a =，所以11222111n n nn n n b b d n n n ++--===+++，则112nn n d +=，所以()123111123412222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12341111112341222222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得：()()112111111111113342211112222222212n n n nn n n T n n ++++⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅++⋅⋅⋅+-+=+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，所以332n nn T +=-．17.（1）221()2sin cos()2sin 2sin (cos sin )2sin 226f x x x x x x x xπ=+-=--23323sin sin 2(1cos 2)sin(2)22232x x x x x π=---+-，由22,32x k k πππ+=+∈Z ，得,12x k k ππ=+∈Z ，所以()f x 的对称轴为ππ()122kx k =+∈Z .由222,232k x k k πππππ-+<+<+∈Z ，[]0,x π∈，所以单调递增区间为701212πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，（2）由（1）知，33())322f A A π=+-=-，则πsin(2)03A +=，由02A π<<，得ππ4π2333A <+<，则π23A π+=，解得π3A =，因为ABC V中，cos B =，则B 为锐角，所以sin 3B ===，因为π3A =，πA B C ++=，所以2π3C B =-，所以2π2π2π11sin sin sin cos cos sin 333232326C B B B ⎛⎫=-=-=⨯+⨯=+⎪⎝⎭，设BADθ∠=，则π3 CADθ∠=-，在ABD△和ACD中，由正弦定理得sin sinBD ADBθ==πsinsin3CD ADCθ=⎛⎫-⎪⎝⎭因为2CD BD=(π3sin3θθ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，(1cos sin3sin22θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2sinθθ=+，所以tan tanBADθ∠==18.（1）证明：2123123)1231(231212221-+=-++=-=++++nanaabnnnnnnnnbaanna31)23(312131212)6(31222=-=-=-+-=，又212313123121=-+=-=aab，所以，数列}{nb为以21为首项，31为公比的等比数列.（2）由（1）可知13121-⎪⎭⎫⎝⎛=nnb，又232-=nnab，23312112+⎪⎭⎫⎝⎛=∴-nna.设nnaaaP242++=，则nnPnnn233143432331131121+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=，设1231-++=nnaaaQ ，1231122-+=-naann，2312)121(31nQnnQPnnn+=-+⋅+=∴，233nPQnn-=∴，故21223631334nnnPQPSnnnnn-+⎪⎭⎫⎝⎛-=-=+=-.（3）nnnnnnnc321132113331311311-<--=--=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=-，n n n n n n n T 311311()313131(22+-=--=+++-<∴ ，所以欲证1133ln --<-n n n n T ，只需证)311ln(313ln 133ln 31n n n n n n --=--=-<，即证n n 31311ln(-<-.设)0,1(),1ln()(-∈+-=x x x x f ，01)(<+='∴x xx f ，故)(x f 在)0,1(-上单调递减，0)0()(=>f x f ，)0,1(-∈∴x 时，)1ln(x x +>.)0,31[31-∈-n ，n n 31311ln(-<-∴得证.19.1) =s =K1−sins 0=−1,n =K1−coss n 0=−1−1∴−−1=−1−12）3−2+ln 1+≥0.令=s 3−2+ln 1+≥0(1)t >-令=3−2+ln 1+,n =32−2+1r1=33+2−2r1r1，当≥0,'≥0∴在0,+∞单调递增，当()32322(0,1),ln 1(1)0t t t t t t t t t t ∈+++<++=++<∴≥0解集为≥0∴≥0>0,sins1≥sin=ℎ. ℎ' = cosKsin =, ∴ 在 单调递增, (4,54)单调递减,当>54时,ℎ<154∴ℎ=224∴1≥224,0<≤243）ℎ=sin ∴sin=1有两个根1,2。
2025届昆明市五华区高三数学上学期期中考试卷附答案解析
2025届昆明市五华区高三数学上学期期中考试卷本卷满分150分，考试时间120分钟2024.10一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 在复平面内对应的点为(),Z x y ，若11z -=，则（）A.()2211x y -+= B.()2211x y ++= C.()2211x y +-= D.()2211x y ++=2.已知1e ，2e 都为单位向量，若1e 在2e 上的投影向量为212e，则12e e += （）A.B.C.2D.33.在正方体1111ABCD A B C D -中，下列说法错误的是（）A.11AD AC ⊥ B.1AD 与BD 所成角为π3C.1//AD 平面1BDCD.1AD 与平面1ACC 所成角为π34.在践行“乡村振兴”战略的过程中，某地大力发展特色花卉种植业．某农户种植一种观赏花㚏，为了解花卉的长势，随机测量了100枝花的高度（单位：cm ），得到花枝高度的频率分布直方图，如图所示，则（）A.样本花卉高度的极差不超过20cmB.样本花卉高度的中位数不小于众数C.样本花的高度的平均数不小于中位数D.样本花升高度小于60cm 的占比不超过70%5.设等比数列{}n a 公比为q ，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件6.已知圆台的母线长为4，体积为，则圆台的侧面积为（）A.48πB.24πC.20πD.10π7.已知A 、B 为直线l 上的两个定点，2AB =，P 为l 上的动点．在平面直角坐标系中，()13,0F -、()23,0F ，以1F 为圆心，PA 为半径作圆1F ；以2F 为圆心，PB 为半径作圆2F ，则两圆公共点的轨迹方程为（）A.2218y x -= B.2218x y -= C.22198x y += D.22110x y +=8.已知函数()ln f x x =和两点(1,0)A ，()e ,mB m ，设曲线()y f x =过原点的切线为l ，且l AB ∥，则m 所在的大致区间为（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()sin cos (0)f x x a x ωωω=+>）A.1ω=B.函数π4y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭为偶函数C.()y f x =在[0,]m 上有4个零点，则13π17π44m ≤<D.当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()cos f x y x=的值域为(-10.已知函数3()2()f x x ax a =-+∈R ，则（）A.(2)(2)4f f -+= B.若0a >，则()f x 的极大值点为x =C.若()f x 至少有两个零点，则3a ≥ D.()f x 在区间(,1)a -∞--上单调递增11.抛物线C ：24y x =的准线为l ，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足分别为A '，B '，记AA F ' ，A B F ''△，BB F ' 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则（）A.A B F '' 为锐角三角形B.2S 的最小值为4C.1S ，212S ，3S 成等差数列 D.1S ，212S ，3S 成等比数列三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知1sin 23cos 25αα+=，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．13.在正项数列{}n a 中，1ln ln 2n n a a +=+，且613e a a =，则n a =______．14.甲口袋中有标号为1、2、3的三张卡片，乙口袋中有标号为4、5、6、7的四张卡片，从两个口袋中不放回地随机抽出三张卡片，每个口袋至少抽一张，则抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法共有______种（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且cos cos a B b A c b -=-．（1）求角A ；（2）已知A 的角平分线交BC 于点D ，若2c =，4AB AC ⋅=，求AD ．16.如图，在多面体111ABC A B C -中，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求二面角11A B C C --的正弦值．17.一项没有平局的对抗赛分为两个阶段，参赛者在第一阶段中共参加2场比赛，若至少有一场获胜，则进入第二阶段比赛，否则被淘汰，比赛结束；进入第二阶段比赛的参赛者共参加3场比赛．在两个阶段的每场比赛中，获胜方记1分，负方记0分，参赛者参赛总分是两个阶段得分的总和，若甲在第一阶段比赛中每场获胜的概率都为()01p p <<，在第二阶段比赛中每场获胜的概率都为13，每场比赛是否获胜相互独立．已知甲参赛总分为2分的概率为827．（1）求p ；（2）求甲参赛总分X 的分布列和数学期望．18.设椭圆()222:11x C y a a+=>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知11OF OA AF e +=，下中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（1）求C 的方程；（2）设点P 为C 上一动点，过P 作不与坐标轴垂直的直线l ．①若l 与C 交于另一点T ，E 为PT 中点，记l 斜率为k ，OE 斜率为0k ，证明：0k k ⋅为定值；②若l 与C 相切，且与直线2x =相交于点Q ，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若否，请说明理由．19.行列式最早起源于对线性方程组的研究，起初是一种速记的表达式，发展到现在已经成为一种非常有用的数学工具．已知a b c d 表示二阶行列式，规定a b ad bc c d=-；123123123a a ab b bc c c 表示三分行列式，规定123232323123111232323123a a ab b a a a a b b b a bc c c c c b b c c c =-+．设03()3011xxf x xx=---．（1）求()f x ；（2）以()(),n n n A x f x 为切点，作直线1n l +交()f x 的图象于异于n A 的另一点()()111,n n n A x f x +++，其中n ∈N ．若00x =，当1n ≥时，设点n A 的横坐标n x 构成数列．①求的通项公式；②证明：12111ln 1ln 1ln 11111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．2025届昆明市五华区高三数学上学期期中考试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 在复平面内对应的点为(),Z x y ，若11z -=，则（）A.()2211x y -+= B.()2211x y ++=C.()2211x y +-= D.()2211x y ++=【答案】A 【解析】【分析】利用复数的几何意义可得出i z x y =+，再利用复数的减法以及复数的模长公式化简可得结果.【详解】由复数的几何意义可得i z x y =+，所以，()11i 1z x y -=-+=，化简可得()2211x y -+=.故选：A.2.已知1e ，2e 都为单位向量，若1e 在2e 上的投影向量为212e，则12e e += （）A.B.C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合投影向量可得1212e e ⋅= ，平方结合数量积的运算律分析求解.【详解】由题意可知：121==e e ，因为1e 在2e 上的投影向量为()12212222212e e e e e e e e ⎛⎫⋅ ⎪=⋅= ⎪⎝⎭u r u ru r u r u r u r u r u r ，可得1212e e ⋅= ，又因为()2112212221122132e e e e e e +=⋅+=+⨯++=u r u r u r u u r u r r，所以12e e += .故选：B.3.在正方体1111ABCD A B C D -中，下列说法错误的是（）A.11AD AC ⊥ B.1AD 与BD 所成角为π3C.1//AD 平面1BDCD.1AD 与平面1ACC 所成角为π3【答案】D 【解析】【分析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A 、()1,1,0B 、()0,1,0C 、()0,0,0D 、()11,0,1A 、()11,1,1B 、()10,1,1C 、()10,0,1D ，对于A 选项，()11,0,1AD =- ，()11,1,1AC =--，则111010AD AC ⋅=+-=，所以，11AD AC ⊥，A 对；对于B 选项，()1,1,0DB =，则1111cos ,2AD DB AD DB AD DB⋅==-⋅，所以，1AD 与BD 所成角的大小为π3，B 对；对于C 选项，设平面1BDC 的法向量为()111,,m x y z = ，()10,1,1DC =，则1111100m DB x y m DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11y =-，则()1,1,1m =- ，则11010AD m ⋅=-++= ，所以，1AD m ⊥ ，又因为1AD ⊄平面1BDC ，所以，1//AD 平面1BDC ，C 对；对于D 选项，设平面1ACC 的法向量为()222,,x n y z = ，()10,0,1CC = ，()1,1,0CA =-，则12220n CC z n CA x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取21x =，则()1,1,0n =r ，所以，1111cos ,2AD n AD n AD n⋅==-⋅，所以，1AD 与平面1ACC 所成角为为π6，D 错.故选：D.4.在践行“乡村振兴”战略的过程中，某地大力发展特色花卉种植业．某农户种植一种观赏花㚏，为了解花卉的长势，随机测量了100枝花的高度（单位：cm ），得到花枝高度的频率分布直方图，如图所示，则（）A.样本花卉高度的极差不超过20cmB.样本花卉高度的中位数不小于众数C.样本花的高度的平均数不小于中位数D.样本花升高度小于60cm 的占比不超过70%【答案】D 【解析】【分析】利用极差的定义可判断A 选项；利用中位数和众数的定义可判断B 选项；利用平均数公式求出样本花卉高度的平均数，可判断C 选项；计算出样本花升高度小于60cm 的占比，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，由频率分布直方图可知，样本花卉高度的极差为()704030cm -=，A 错；对于B 选项，样本花卉高度的众数为()556057.5cm 2+=，设样本花卉高度的中位数为cm a ，前三个矩形的面积和为()0.0120.0280.03650.38++⨯=，前四个矩形的面积和为0.380.05650.66+⨯=，故()55,60a ∈，由中位数的定义可得()0.38550.0560.5a +-⨯=，解得()57.14cm a ≈，则57.5a <，所以，样本花卉高度的中位数小于众数，B 错；对于C 选项，由频率分布直方图可知，样本花卉高度的平均数为()42.50.0647.50.1452.50.1857.50.2862.50.2467.50.156.5cm x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，且x a <，所以，样本花的高度的平均数小于中位数，C 错；对于D 选项，由B 选项可知，样本花升高度小于60cm 的占比为66%，D 对.故选：D.5.设等比数列{}n a 公比为q ，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】要判断“1q >”与“等比数列{}n a 为递增数列”之间的条件关系.需要分别从充分性和必要性两方面进行分析，即看“1q >”能否推出“等比数列{}n a 为递增数列”，以及“等比数列{}n a 为递增数列”能否推出“1q >”.【详解】假设1q >.对于等比数列{}n a ，其通项公式为11n n a a q -=.当2q =，12a =-时，根据通项公式可得21224a a q ==-⨯=-.此时21a a <，等比数列{}n a 不是递增数列.这说明仅仅1q >不能保证等比数列{}n a 一定是递增数列，所以“1q >”不是“等比数列{}n a 为递增数列”的充分条件.假设等比数列{}n a 为递增数列，那么1n n a a +>.由通项公式可得11n n a a q-=，11n n a a q +=，所以111n n a q a q->.当10a <时，不等式两边同时除以11n a q -（因为10a <，10n q ->，不等号方向改变），得到1n n q q -<.例如当2n =时，2q q <，解得01q <<.这说明等比数列{}n a 为递增数列时，不一定有1q >，所以“1q >”不是“等比数列{}n a 为递增数列”的必要条件.则“1q >”是“为递增数列”的既不充分又不必要条件.故选：D.6.已知圆台的母线长为4，体积为，则圆台的侧面积为（）A.48πB.24πC.20πD.10π【答案】C 【解析】【分析】利用母线长和高，求出上底面半径和下底面半径的等式关系，然后利用体积求出上底面半径和下底面半径的另一个等式关系，然后求出上下底面半径，再用侧面积公式即可求解.【详解】如下图所示，设圆台上底面半径为r ，下底面半径为R ，则R r >，设AC 为圆台的一条母线，连接OA 、1O C ，则四边形1OO CA 为直角梯形，过点C 在平面1OO CA 内作CB OA ⊥，垂足为点B ，根据题意，4AC =，1OO =，1O C r =，OA R =，因为1//O C OA ，1OO OA ⊥，BC OA ⊥，则四边形1OO CB 为矩形，所以，1BC OO ==1OB O C r ==，则AB OA OB R r =-=-，由勾股定理可得222AB BC AC +=，即()2716R r -+=，可得3R r -=，①又因为圆台的体积为()2213V R Rr r =⨯++=2221R Rr r ++=，②所以，22321R r R Rr r R r-=⎧⎪++=⎨⎪>⎩，解得41R r =⎧⎨=⎩，所以，圆台的侧面积为()12π44π520π2S R r =⨯⨯+⨯=⨯=.故选：C.7.已知A 、B 为直线l 上的两个定点，2AB =，P 为l 上的动点．在平面直角坐标系中，()13,0F -、()23,0F ，以1F 为圆心，PA 为半径作圆1F ；以2F 为圆心，PB 为半径作圆2F ，则两圆公共点的轨迹方程为（）A.2218y x -= B.2218x y -= C.22198x y += D.22110x y +=【答案】A 【解析】【分析】作出图形，分析可知，点P 不在线段AB （不包括端点）上，对点P 的位置关系进行分类讨论，结合双曲线的定义可求得动点的轨迹方程.【详解】如下图所示：设圆1F 、圆2F 的半径分别为r 、R ，则r PA =，R PB =，设两圆的一个公共点为M ，由题意可知，点P 不能与点A 或点B 重合，若点P 在线段AB （不包括端点）上运动时，则122MF MF r R PA PB AB +=+=+==，事实上，12126MF MF F F +≥=，此时点M 不存在；当点P 在以点A 为端点以BA的方向为方向的射线上时，此时，212MF MF R r PB PA AB -=-=-==；当点P 在以点B 为端点且以AB的方向为方向的射线上时，此时，122MF MF r R PA PB AB -=-=-==.综上，121226MF MF F F -=<=，所以，动点M 的轨迹是以点1F 、2F 为焦点的双曲线，设该双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>，焦距为2c ，则2226a c c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，可得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩因此，两圆公共点的轨迹方程为2218y x -=.故选：A.8.已知函数()ln f x x =和两点(1,0)A ，()e ,mB m ，设曲线()y f x =过原点的切线为l ，且l AB ∥，则m 所在的大致区间为（）A.(1,0)-B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【答案】C 【解析】【分析】求导，利用导数求得切线l 的斜率1ek =，根据直线平行可得e e 10m m --=，构建()e e 1m g m m =--，可知m 为()g m 的非零零点，求导，利用导数判断其单调性结合零点存在性定理分析判断.【详解】由题意可知：()y f x =的定义域为()0,∞+，且1()f x x'=，设切点坐标为()00,ln x x ，则切线l 的斜率001()k f x x '==，则切线l 的方程为()0001ln y x x x x -=-，若切线过原点，则()0001ln 1x x x -=-=-，解得0e x =，可在切线l 的1ek =，若l AB ∥，且直线AB 的斜率()0e 1AB mmk m =≠-，则AB k k =，即1e 1emm =-，整理可得e e 10m m --=，构建()e e 1mg m m =--，则()e e mg m '=-，可知m 为()g m 的非零零点，令()0g m '>，解得1m >；令()0g m '<，解得1m <；可知()g m 在(),1-∞内单调递减，在()1,+∞内单调递增，则()g m 分别在(),1-∞、()1,+∞内至多一个零点且()()()200,110,2e 2e 10g g g ==-<=-->，又因为0m ≠，所以m 所在的大致区间为()1,2.故选：C.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()sin cos (0)f x x a x ωωω=+>）A.1ω=B.函数π4y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭为偶函数C.()y f x =在[0,]m 上有4个零点，则13π17π44m ≤<D.当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()cos f x y x=的值域为(-【答案】ABC【解析】【分析】对于A ：根据函数周期分析判断；对于B ：根据函数最值分析判断；对于C ：令()0f x =，可得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，以π4x -为整体，结合正弦函数性质分析判断；对于D ：整理可得()tan 1cos f x x x =-，结合正切函数分析求解.【详解】对于选项A ：因为()()sin cos f x x a x x ωωωϕ=+=+，由图象可知：函数()y f x =的最小正周期5ππ22π44T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且0ω>，则2π2πω=，解得1ω=，可得()sin cos f x x a x =+，故A 正确；对于选项B ：由图可知：当π5π3π4424x +==时，函数()y f x =取到最大值，则()3π3π3πsin cos 104442f a a ⎛⎫=+=-=⎪⎝⎭，整理可得()3π3π3πsin cos 104442f a a ⎛⎫=+=-=⎪⎝⎭，解得1a =-，则π()sin cos sin 4f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所有ππ42y f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，故B 正确；对于选项C ：令π()04f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为[0,]x m ∈，则πππ,444x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，若()y f x =在[0,]m 上有4个零点，则π3π4π4m ≤-<，解得13π17π44m ≤<，故C 正确；对于选项D ：因为()sin cos tan 1cos cos f x x xy x x x-===-，又因为π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则(tan x ∈，可得()tan 11,1x -∈-，所以函数()cos f x y x=的值域为()1-，故D 错误；故选：ABC.10.已知函数3()2()f x x ax a =-+∈R ，则（）A.(2)(2)4f f -+= B.若0a >，则()f x 的极大值点为x =C.若()f x 至少有两个零点，则3a ≥ D.()f x 在区间(,1)a -∞--上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：根据函数解析式运算求解即可；对于B ：求导，利用导数分析函数单调性和极值；对于CD ：分0a ≤和0a >两种情况，结合导数分析单调性和零点.【详解】对于选项A ：因为3()2f x x ax =-+，则()()()()33()224f x f x x ax x a x ⎡⎤+-=-++---+=⎣⎦，所以(2)(2)4f f -+=，故A 正确；对于选项B ：因为2()3f x x a '=-，且0a >，令()0f x '>，解得x <x >()0f x '<，解得x <<可知()f x 在,⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭内单调递增，在⎛ ⎝内单调递减，所以()f x 的极大值点为x =B 错误；对于选项C ：若()f x 至少有两个零点，当0a ≤时，则2()30f x x a '=-≥，可知()f x 在R 内单调递增，至多有一个零点，不合题意；当0a >时，结合选项B 可知：0f f ⎛≤≤ ⎝，即202≤≤，解得3a ≥；综上所述：3a ≥，故C 正确；对于选项D ：因为2()3f x x a '=-，当0a ≤，可知()f x 在R 内单调递增，符合题意；当0a >，则10a --<，对于(,1)x a ∞∈---，可得()()22()131353f x f a a a a a ''>--=---=++，此时2536110∆=-=-<，则2()3530f x a a '>++>，所以()f x 在区间(,1)a -∞--上单调递增；综上所述：()f x 在区间(,1)a -∞--上单调递增，故D 正确；故选：ACD.11.抛物线C ：24y x =的准线为l ，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足分别为A '，B '，记AA F ' ，A B F ''△，BB F ' 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则（）A.A B F '' 为锐角三角形B.2S 的最小值为4C.1S ，212S ，3S 成等差数列 D.1S ，212S ，3S 成等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】设:1AB x my =+，1,1,2,2，联立方程可得韦达定理.对于A ：根据直线垂直的斜率关系分析判断；对于B ：根据面积关系结合韦达定理分析判断；对于CD ：根据面积结合等差、等比数列性质分析判断.【详解】由题意可知：焦点1,0，准线:1l x =-，直线AB 的斜率不为0，且与抛物线必相交，设:1AB x my =+，1,1,2,2，则()()121,,1,A y B y --''，可得112212,12A F x my B F x my =+=+=+='+'，联立方程=B +12=4，消去x 可得2440y my --=，则12124,4y y m y y +=⋅=-，对于选项A ：因为12,22A F B F y y k k ''=-=-，可得1214A FB F y yk k ''⋅==-，可知A F B F ''⊥，所以A B F '' 为直角三角形，故A 错误；对于选项B ：因为12y y -===，可得2121242S y y =-⨯=≥，当且仅当0m =时，等号成立，所以2S 的最小值为4，故B 正确；对于选项CD ：因为()()111322112,222S y my S y my =+=+，则()()()21311221212121112224224S S y my y my y y m y y m y y ⎡⎤=+⨯+=+++⎣⎦()()222221144844142m m m S ⎛⎫=⨯-++=+= ⎪⎝⎭，即213212S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，显然1231,,2S S S 不恒相等，且不为0，所以1S ，212S ，3S 成等比数列，不成等差数列，故C 错误，D 正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；（2）面积问题常采用12S =⨯ 底⨯高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知1sin 23cos 25αα+=，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】35##0.6【解析】【分析】利用二倍角公式、弦化切以及两角和的正切公式化简可得结果.【详解】因为()()()22222cos sin 1sin 2cos 2sin cos sin cos 2cos sin cos sin cos sin αααααααααααααα++++==-+-πtan tancos sin tan 1π34tan πcos sin 1tan 451tan tan 4ααααααααα+++⎛⎫====+= ⎪--⎝⎭-.故答案为：35.13.在正项数列{}n a 中，1ln ln 2n n a a +=+，且613e a a =，则n a =______．【答案】21e n -【解析】【分析】推导出数列{}n a 是等比数列，利用等比中项的性质求出2a 的值，再利用等比数列的通项公式可求得n a 的表达式.【详解】在正项数列{}n a 中，1ln ln 2n n a a +=+，则11ln ln ln 2n n n na a a a ++-==，可得21e n n a a +=，所以，数列{}n a 是公比为2e 的等比数列，因为26132e a a a ==，且20a >，则32e a =，因为()22324212e e e e n n n n a a ---=⋅=⋅=.故答案为：21e n -.14.甲口袋中有标号为1、2、3的三张卡片，乙口袋中有标号为4、5、6、7的四张卡片，从两个口袋中不放回地随机抽出三张卡片，每个口袋至少抽一张，则抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法共有______种（用数字作答）【答案】26【解析】【分析】计算出从甲、乙两个口袋中，每个口袋至少抽一张卡片，共抽取三张卡片的抽法种数，以及抽取的三张卡片都是奇数的抽法种数，利用间接法可得结果.【详解】从甲、乙两个口袋中，每个口袋至少抽一张卡片，共抽取三张卡片，不同的抽法种数为12213434C C C C 181230+=+=，其中，抽取的三张卡片都是奇数的抽法种数为34C 4=，因此，抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法种数为30426-=.故答案为：26.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且cos cos a B b A c b -=-．（1）求角A ；（2）已知A 的角平分线交BC 于点D ，若2c =，4AB AC ⋅=，求AD ．【答案】（1）π3A =（2）433AD =【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值；（2）利用平面向量数量积的定义可求出b 的值，再利用ABC ABD ACD S S S =+ 结合三角形的面积公式可求得AD 的长.【小问1详解】解：因为cos cos a B b A c b -=-，由正弦定理可得sin cos sin cos sin sin A B B A C B -=-，即()sin cos sin cos sin sin sin cos cos sin sin A B B A A B B A B A B B -=+-=+-，所以，2cos sin sin 0A B B -=，因为A 、()0,πB ∈，则sin 0B >，可得2cos 10A -=，则1cos 2A =，故π3A =.【小问2详解】解：因为π1cos 432AB AC AB AC bc b ⋅=⋅=== ，因为ABC ABD ACD S S S =+ ，即1π1π1πsin sin sin 232626bc c AD b AD =⋅+⋅，整理可得63AD b c ===+.16.如图，在多面体111ABC A B C -中，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求二面角11A B C C --的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）4【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，找到点的坐标，得出直线方向向量和平面内任意向量，得到向量垂直，从而得到线线垂直，即可证明线面垂直；（2）由空间直角坐标系求出面的法向量，由面的法向量求出二面角的余弦值的绝对值，由三角恒等变换得到角的正弦值.【小问1详解】过点B 在平面ABC 内作一条直线与BC 垂直，则以B 为原点，BC 为x 轴，BC 的垂直为y 轴，1BB 为z 轴如图建立空间直角坐标系，∴()0,0,0B ，()2,0,0C ∵120ABC ∠=︒∴()A -∴()14A -，()10,0,2B ，()12,0,1C ，∴()11,2AB = ，()112,0,1B C =-，()112B A =- ∵1111112201340AB B C AB B A ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，∴111AB B C ⊥，111AB B A ⊥又∵11111B C B A B = ，11B C ⊂平面111A B C ，11B A ⊂平面111A B C ∴1AB ⊥平面111A B C 【小问2详解】由（1）可知：()11,2AB =，()13,AC = ，()12,0,2B C =- ，()10,0,1C C =，设平面11AB C 的一个法向量为()1111,,n x y z =，设平面11CB C 的一个法向量为()2222,,n x y z =，∴111100AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，121200B C n C C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111112030x z x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，2222200x z z -=⎧⎨=⎩则可取1115x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，222010x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩即1n = ，()20,1,0n =设二面角11A B C C --为θ，则1212cos n n n n θ⋅==⋅∴sin 4θ==17.一项没有平局的对抗赛分为两个阶段，参赛者在第一阶段中共参加2场比赛，若至少有一场获胜，则进入第二阶段比赛，否则被淘汰，比赛结束；进入第二阶段比赛的参赛者共参加3场比赛．在两个阶段的每场比赛中，获胜方记1分，负方记0分，参赛者参赛总分是两个阶段得分的总和，若甲在第一阶段比赛中每场获胜的概率都为()01p p <<，在第二阶段比赛中每场获胜的概率都为13，每场比赛是否获胜相互独立．已知甲参赛总分为2分的概率为827．（1）求p ；（2）求甲参赛总分X 的分布列和数学期望．【答案】（1）12p =（2）分布列见解析，数学期望为74.【解析】【分析】（1）利用独立事件概率的乘法公式来求解，要根据甲参赛总分为2分的情况进行分析，求p 的值，（2）需要考虑X 所有可能的取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据分布列求数学期望.【小问1详解】甲参赛总分为2分有两种情况：第一种情况是在第一阶段两场比赛一胜一负（概率为12C (1)p p -），然后在第二阶段三场比赛一胜两负（概率为12311C (1)33⨯⨯-）.第二种情况是在第一阶段两场比赛全胜（概率为2p ），然后在第二阶段三场比赛全负（概率为31(13-）.根据甲参赛总分为2分的概率为827，可列出方程：11223231118C (1)C (1)(1)33327p p p -⨯⨯⨯-+⨯-=先计算组合数122!C 21!(21)!==-，133!C 31!(31)!==-.方程变为214882(1)3392727p p p -⨯⨯⨯+⨯=.化简得2888(1)92727p p p -+=.即2321p p -=.因式分解得(21)(1)0p p --=.解得12p =或1p =，因为01p <<，所以12p =.【小问2详解】甲参赛总分X 的可能取值为0，1，2，3，4，5.X 0=包括：在第一阶段两场全输，概率为2211(1)(1)24p -=-=.1X =包括：在第一阶段一胜一负（概率为12111C (1)2222p p -=⨯⨯=），然后在第二阶段三场全输（概率为318(1327-=），所以184(1)22727P X ==⨯=.2X =：前面已求出为827.3X =包括：在第一阶段两场全胜（概率为214p =），然后在第二阶段一胜两负（概率为123114C (1)339⨯⨯-=），此时1141499P =⨯=.也包括在第一阶段一胜一负（概率为12111C (1)2222p p -=⨯⨯=），然后在第二阶段两胜一负（概率为223112C ((1339⨯⨯-=）.此时2121299P =⨯=.则112(3)999P X ==+=.4X =包括：在第一阶段两场全胜（概率为214p =），在第二阶段两胜一负（概率为223112C ()(1)339⨯⨯-=），此时31214918P =⨯=.也包括在第一阶段一胜一负（概率为12111C (1)2222p p -=⨯⨯=），然后在第二阶段三场全胜（概率为311()327=），此时411122754P =⨯=.则112(4)185427P X ==+=.5X =包括：在第一阶段两场全胜（概率为214p =），然后在第二阶段三场全胜（概率为311()327=），所以111(5)427108P X ==⨯=.所以X 的分布列为：X12345P14427827292271108根据数学期望公式，1482211897()012345427279271081084E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==18.设椭圆()222:11x C y a a+=>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知11OF OA AF e +=，下中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（1）求C 的方程；（2）设点P 为C 上一动点，过P 作不与坐标轴垂直的直线l ．①若l 与C 交于另一点T ，E 为PT 中点，记l 斜率为k ，OE 斜率为0k ，证明：0k k ⋅为定值；②若l 与C 相切，且与直线2x =相交于点Q ，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若否，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=（2）①证明见解析；②是，且定点坐标为1,0【解析】【分析】（1）根据11OF OA AF e +=可得出221e =，可得出关于a 的方程，解出a 的值，即可得出椭圆C 的方程；（2）①设点()11,P x y 、()22,T x y ，则点1212,22x x y y E ++⎛⎫⎪⎝⎭，利用点差法可证得结论成立；②设()00,P x y ，证明出椭圆2212x y +=在点P 处的切线方程为0012x x y y +=，将切线方程与直线2x =的方程联立，求出点Q 的坐标，由对称性知，以PQ 为直径的圆过定点(),0M m ，由0PM QM ⋅=求出m 的值，即可得出结论.【小问1详解】解：因为椭圆()222:11x C y a a+=>的右焦点为F ，右顶点为A ，则OF c =，OA a =，AF a c =-，因为11OF OA AF e +=，即11e c a a c+=-，即a c a c e c a --+=，整理可得1e e e -=，可得221e =，即()22222121a c a a-==，解得a =所以，椭圆C 的方程为2212x y +=.【小问2详解】解：①设点()11,P x y 、()22,T x y ，则点1212,22x x y y E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为直线1l 不与坐标轴垂直，则2212x x ≠，2212y y ≠，所以，1212y y k x x -=-，1212012120202y y y y k x x x x +-+==++-，因为221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，这两个等式作差可得2222121202x x y y -+-=，所以，2212121202212121212y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==--+-；②设()00,P x y ，先证明出椭圆2212x y +=在点P 处的切线方程为0012x x y y +=，联立00221212x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得2222000122y x x x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，整理可得22001102x x x y -+-=，即220011022x x x x -+=，即()200x x -=，解得0x x =，所以，椭圆2212x y +=在点P 处的切线方程为0012x x y y +=，因为直线0012x xy y +=与直线2x =交于点Q ，则00y ≠，联立00122x xy y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可得001x y y -=，即点0012,x Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由对称性可知，以PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(),0M m ，则PM QM ⊥，且()00,PM m x y =-- ，0012,x QM m y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，则()()()()()200021110PM QM m x m x m x m ⋅=----=-+-= ，所以，()21010m m -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1m =，因此，以PQ 为直径的圆过定点()1,0M .【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．19.行列式最早起源于对线性方程组的研究，起初是一种速记的表达式，发展到现在已经成为一种非常有用的数学工具．已知a b c d 表示二阶行列式，规定a b ad bc c d=-；123123123a a ab b bc c c 表示三分行列式，规定123232323123111232323123a a ab b a a a a b b b a bc c c c c b b c c c =-+．设03()3011xxf x xx=---．（1）求()f x ；（2）以()(),n n n A x f x 为切点，作直线1n l +交()f x 的图象于异于n A 的另一点()()111,n n n A x f x +++，其中n ∈N ．若00x =，当1n ≥时，设点n A 的横坐标n x 构成数列．①求的通项公式；②证明：12111ln 1ln 1ln 11111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）32()39f x x x x =+-（2）①()21nn a =--；②证明见详解【解析】【分析】（1）根据行列式的定义运算求解即可；（2）①根据所给的规则求出切点为()32,39n n n n n A x x x x +-的切线方程，再进一步求得1n x +，结合等比数列的定义得出结果；②当0x >时，先证明()ln 1x x +<成立，得出()1111ln 11122n n n n a a ⎛⎫+<== ⎪ ⎪++-⎝⎭，再结合等比数列求和得出结果.【小问1详解】由题意可得：()()232030303()30033339111111x xx x f x x x x x x x x xx x x x x--=-=-+=+-+=+-------.【小问2详解】①由（1）可知：()3239f x x x x =+-，()2369f x x x '=+-，则切点()32,39n n n n n A x x x x +-，切线斜率：()2369n n n k f x x x =+'=-，故切线方程为：()()23236939n n nn n n y x x x x xx x =+--++-，联立()3239f x x x x =+-得：()()232323693939n n nnn n x x x x xx x x x x +--++-=+-，化简得：()32232336230n n n n x x x x x x x +-+++=，因式分解得：()()2230n n x x x x -++=，故123n n x x +=--，上式亦满足由0A 作切线而得到的1A 的横坐标1x ，故13x =-，()1121n n x x ++=-+，则{}1n x +是以2-为首项，以2-为公比的等比数列,故()12nn x +=-，故()21nn x =--，即()21nn a =--；②构造()()ln 1g x x x =+-，()0x >则()11011x g x x x-=-=+'<+，故()g x 在()0,∞+上单调递减，故()()00g x g <=，可得当0x >时，()ln 1x x +<，则()1111ln 11122n n n n a a ⎛⎫+<== ⎪ ⎪++-⎝⎭，即1111ln 112a ⎛⎫+< ⎪⎪+⎝⎭，2211ln 112a ⎛⎫+< ⎪ ⎪+⎝⎭，……，将上式累加可得12121111111ln 11111112222n n n a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+++=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，故12111ln 1111111n a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【点睛】方法点睛：利用导数证明数列不等式问题:常根据已知的函数不等式或者构造函数不等式进行证明，用关于正整数n 的不等式替代函数不等式中的自变量，通过求和达到证明的目的.。
江苏省宿迁市2024-2025学年高三上学期11月期中考试 数学(含答案)
2025届高三年级上学期期中考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则( )A. B. C. D. 2.已知，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知，，，则( )A. B. C. D. 4.若，，，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. B. C. D. 5.若，则( )A. B.C. D. 6.函数的图象大致是( )7.设函数，则不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．8.在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图像如图所示，已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为，则( )A. 函数的最大值为B. 函数的最小值为C. 函数的最大值为D. 函数的最小值为{|11}A x x =-<<2{|20}B x x x =-+…A B ⋂=(1,0]-(1,1)-(1,2]-[0,1),a b R ∈11((22a b <22a b >2log 5a =5log 2b =32log c =c a b <<b c a <<a b c <<a c b <<0.40.3a =0.30.4b =823c log =c a b <<b a c <<a b c <<a c b <<3cos()45πα-=sin 2α=725-15-1572521sin 2ln(1)y x x =⋅+()f x x x =()()332log 3log 0f x f x +-<1,2727⎛⎫ ⎪⎝⎭10,27⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,27()27,+∞()y f x =()y f x ='(0,1)()x y f x e =⋅1()x y f x e =⋅1()xf x y e =1()x f x y e =1二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9．若函数的图象过第一，三，四象限，则（ ）A ．B ．C ．D ．10.把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则( )A. 的最小正周期为B.C. 在上单调递增D. 关于直线对称11.已知函数，则( )A.的图象关于点对称B. ，仅有一个极值点C. 当时，图象的一条切线的方程为D. 当时，有唯一的零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2025届海南省临高县高三数学上学期期中考试卷及答案解析
临高县新盈中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题考试时间：120分钟 满分：150分班级：姓名：得分：一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N = （ ）A. {}2,1,0,1--B. {}0,1,2C. {}2- D. {}2【答案】C 【解析】【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N = {}2-．故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N = {}2-．故选：C ．2. 已知a ，R b ∈，则“1a >，1b >”是“222a b +>”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】由a ，R b ∈，1a >，1b >，得221,1a b >>，于是222a b +>，由a ，R b ∈，取1,2a b ==，满足222a b +>，显然“1a >，1b >”不成立，所以“1a >，1b >”是“222a b +>”的充分不必要条件.故选：A3. 已知实数0x >，0y >，32x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A. 3B. 1+C. 2D. 2+【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式计算可得答案.【详解】因为0,0x y >>，且32x y +=，所以()1134221111322⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x y y x y y x当且仅当3y xx y =，即y =，1x =-时取等号，故选：D.4. 已知不等式 210ax bx +->的解集为1123xx ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭∣, 则不等式20x bx a --≥的解集为 （ ）A. {3xx ≤-∣或2}x ≥-B. {}32x x -≤≤-∣C. {}23xx ≤≤∣D. {2xx ≤∣或3}x ≥【答案】A 【解析】【分析】根据给定的解集求出,a b 值，再代入角一元二次不等式即可.【详解】因为不等式 210ax bx +->的解集为1123xx ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭∣,因此 210ax bx +-=的两根为11,23--, 且0a <，即112311123b a a⎧⎛⎫-+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨-⎛⎫⎪-⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩, 解得6,5a b =-=-，所以不等式 20x bx a --≥化为2560x x ++≥, 其解集为{3xx ≤-∣或2}x ≥-.故选： A 5. 函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令()()33cos ,,22xxf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos xx x x f x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x xx -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A.6. 已知函数f(x)＝22,011,0x x x x x⎧-⎪⎨+>⎪⎩…则函数y ＝f(x)＋3x 的零点个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】y ＝f(x)＋3x 的零点个数就是y ＝f(x)与y ＝－3x 两个函数图象的交点个数，列方程可得有2个解，即原函数有2个零点.【详解】函数y ＝f(x)＋3x 的零点个数就是y ＝f(x)与y ＝－3x 两个函数图象的交点个数，当0x >时，11y x=+与y ＝－3x 无交点当0x ≤时，令222300-=-⇒+=⇒=x x x x x x 或1x =-时， 有2个交点，所以函数()3y f x x =+有2个零点故选：C【点睛】本题考查了函数的零点个数问题，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.7. 已知定义域为R 的函数()f x 的导数为()f x '，且满足()2f x x '<，()23f =，则不等式()21>-f x x 的解集是（ ）A. (),1-∞-B. ()1,-+∞C. ()2,∞+D. (),2∞-【答案】D 【解析】【分析】先由()2f x x '<，知函数()()2g x f x x =-为R 上的减函数，再将()23f =化为()21g =-，将所解不等式化为()()2g x g >，最后利用单调性解不等式即可.【详解】令()()2g x f x x =-，则()()20g x f x x ''=-<，即函数()g x 在R 上单调递减.又不等式()21>-f x x 可化为()21->-f x x ，而()()2222341=-=-=-g f ，所以不等式可化为()()2g x g >，故不等式的解集为(),2∞-.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题.8. 函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（ ）A. ππ22-，B. 3ππ22-， C. ππ222-+， D. 3ππ222-+，【答案】D 【解析】【分析】利用导数求得()f x 的单调区间，从而判断出()f x 在区间[]0,2π上的最小值和最大值.【详解】()()()sin sin 1cos 1cos f x x x x x x x '=-+++=+，所以()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '>，即()f x 单调递增；在区间π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，即()f x 单调递减，又()()02π2f f ==，ππ222f ⎛⎫=+⎪⎝⎭，3π3π3π11222f ⎛⎫⎛⎫=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[]0,2π上的最小值为3π2-，最大值为π22+.故选：D二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分值，有选错的得0分．9. 已知函数24312x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A. 定义域为RB. 值域为(]0,2C. 在[)2,-+∞上单调递增D. 在[)2,-+∞上单调递减【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数的解析式可判断A ；求出243y x x =++的值域再利用指数函数的单调性可判断B ；根据复合函数的单调性可判断CD.【详解】对于A ，函数24312x x y ++⎛⎫=⎪⎝⎭的定义域为R ，故A 正确；对于B ，因为()2243211x x x ++=+-≥-，所以2432102++⎛⎫<≤⎪⎝⎭x x ，故函数24312x x y ++⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为(]0,2，故B 正确；对于CD ，因为12uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数，()224321u x x x =++=+-在(),2-∞-上是减函数，在[)2,-+∞上是增函数，所以函数24312x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭在[)2,-+∞上单调递减，C 错误，D 正确.故选：ABD.10. 已知()f x 是定义在R 上的函数，()()0f x f x --=，且满足()1f x +为奇函数，当[)0,1x ∈时，()πcos2xf x =-，下列结论正确的是（ ）A. ()10f = B. ()f x 的周期为2C. ()f x 的图象关于点()1,0中心对称D. 20232f ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】由()1f x +为奇函数可得()()11f x f x -+=-+，取0x =可求，()1f 判断A ，举反例判断B ，由奇函数的性质结合图象变换判断C ，由条件判断其周期，结合周期性性质判断D.【详解】因为()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，所以()()0101f f -+=-+，所以()10f =，A 正确；因为当[)0,1x ∈时，()πcos2xf x =-，所以()0cos 01f =-=-，因为()()11f x f x -+=-+，所以()()201f f =-=，故()()20f f ≠，所以2不是()f x 的周期，故B 错误；因为()1f x +为奇函数，所以函数()1f x +的图象关于原点对称，所以()f x 的图象关于点()1,0中心对称，C 正确；由()()11f x f x -+=-+，()()0f x f x --=，可得()()()()211f x f x f x f x +=---+=--=-，所以()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=，所以函数()f x 为周期函数，周期为4，所以202311142532222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又当[)0,1x ∈时，()πcos 2xf x =-，所以2023πcos 24f ⎛⎫=-=⎪⎝⎭D 正确；故选：ACD.11. 已知e 是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（ ）A. 2ln 2e > B. 3ln 3e<C. πln πe>D.ln 33ln ππ<【答案】ACD 【解析】【分析】通过构造函数法，结合导数来判断出正确答案.【详解】构造函数()()ln 0exf x x x =->，()'11e e e x f x x x-=-=，所以()f x 在区间()()()'0,e ,0,fx f x >递增；在区间()()()'e,,0,f x f x +∞<递减，所以()()max e ln e 10f x f ==-=，故()0f x ≤，当且仅当e x =时等号成立.即ln 0,ln e ex xx x -≤≤，当且仅当e x =时等号成立.所以2πln 2,ln πe e <<，AC 选项错误，3ln 3e<，B 选项正确.构造函数()()ln 0xg x x x=>，()'21ln xg x x -=，所以()g x 在区间()()()'0,e ,0,g x g x >递增；在区间()()()'e,,0,g x g x +∞<递减，所以()()3πg g >，ln 3ln πln 333πln ππ>⇒>，D 选项错误.故选：ACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若函数y ＝|3x －1|在(－∞，k]上单调递减，则k 的取值范围为________．【答案】(－∞，0].【解析】【分析】根据题意，根据函数的平移与翻折，即可得到函数的图象，结合函数的单调性，由此分析可得答案．【详解】函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k 的取值范围是(－∞，0]．故答案为(],0-∞.【点睛】本题考查指数函数的单调性，解答本题的关键是正确的画出函数的图象.13. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()220f =，且()f x 的导函数()f x '满足()262f x x >'+，则不等式()322f x x x >+的解集为___________【答案】()2,+∞【解析】【分析】令()()322g x f x x x =--，结合导数可得函数()g x 在R 上单调递增，进而由()20g =将原不等式等价于()()2g x g >，进而结合单调性求解即可.【详解】令()()322g x f x x x =--，则()()2620g x f x x =--'>'，所以函数()g x 在R 上单调递增，因为()()3222222201640g f =-⨯-⨯=--=，故原不等式等价于()()2g x g >，所以2x >，所以不等式()322f x x x >+的解集为()2,+∞.故答案为：()2,+∞.14. 已知函数()()ln f x x x ax =-在区间()0,∞+上有两个极值，则实数a 的取值范围是__________．【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】求得()ln 12f x x ax '=+-，根据题意转化为ln 12x a x+=在(0,)+∞上有两个不等的实数根，转化为()ln 1x g x x +=和2y a =的图象有两个交点，求得()2ln x g x x -'=，求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】()1ln ln 12f x x ax x a x ax x ⎛⎫'=-+-=+- ⎪⎝⎭，由题意知ln 120x ax +-=在()0,∞+上有两个不相等的实根，将其变形为ln 12x a x +=，设()ln 1x g x x+=，则()221ln 1ln x x g x x x --'==-.当01x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，∴()g x 的极大值为()11g =.画出函数()g x 的大致图象如图，易知当x →+∞时，()0g x →；当0x →时，()g x →-∞，∴021a <<，即102a <<.故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数()32f x x ax x =-+的一个极值点为1.（1）求a ；（2）若过原点作直线与曲线()y f x =相切，求切线方程.【答案】（1）2a = （2）答案见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数()f x '，由(1)0f '=求出a 值，再验证作答；（2）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，结合已知求出切点坐标作答.【小问1详解】因为()32f x x ax x =-+，所以()2321f x x ax '=-+.因为()f x 的一个极值点为1，所以()13210f a =-+='，所以2a =.因为()()()2341131f x x x x x '=-+=--，当113x <<时，()0f x '<；当13x <或1x >时，()0f x '>，所以()f x 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()1,,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 的极小值点为1，符合题意.【小问2详解】设切点为()()00,x f x ，则()()32200000002,341f x x x x f x x x =-+='-+，所以切线方程为()()()3220000002341y x x x x x x x --+=-+-.将点()0,0代入得()()()3220000002341x x x x x x --+=-+-，整理得()20010x x -=，所以00x =或01x =.当00x =时，切线方程为y x =；当01x =时，切线方程为0y =.16. 已知函数2()141xaf x =-+奇函数．（1）求实数a 的值并判断函数单调性（无需证明）；（2）若不等式()()412250xxf f t ++-⋅+<在R 上恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）1a =，减函数 （2）5t >-【解析】【分析】（1）先根据奇偶性求出a ，再根据复合函数单调性可判定单调性；（2）利用奇偶性和单调性进行转化，再结合换元法可求答案.【小问1详解】因为2()141xaf x =-+是奇函数，所以(0)0f =，解得1a =；当1a =时，214()14141xx xf x -=-=++，定义域为R ，又1441()41)4(1x x x x f x x f ---+-==-+=-符合题意.所以1a =，因为41x y =+为增函数，所以()f x 为减函数.【小问2详解】()()412250x x f f t ++-⋅+<等价于()()41225x x f f t +<--⋅+，即()()41225xxf f t +<-+⋅-；因为()f x 为减函数，所以41225x x t +>-+⋅-，即4226x x t ⋅+->-；令20x m =>，则上式化为226m m t ⋅+->-，即()215m t -+>-；所以5t >-.是17. 设函数()()0e kxxf x k =≠.（1）求曲线()y f x =点()()0,0f 切线方程；（2）求函数f (x )的单调区间;【答案】（1）y x = （2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线的斜率，进而得切线方程；（2）根据导函数的符号判断函数的单调性即可.【小问1详解】由题意知()2e 1e ekx kx kx kx kxe kx f x --=='，所以()01f '=，()00f =，故所求切线方程为00y x -=-，化简得y x =.小问2详解】由（1）知()1ekxkxf x -'=，当0k >，1x k<时，f ′(x )>0，()f x 单调递增，x >1k 时，f ′(x )<0，()f x 单调递减；当0k <，1x k<时，f ′(x )<0，()f x 单调递减，x >1k 时，f ′(x )>0，()f x 单调递增，所以当0k >时，()f x 的单调递增区间是1,k ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当0k <时，()f x 单调递减区间是1,k ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.18. 已知函数()2ln f x x a x =+.（1）讨论()f x 的单调性;（2）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析 （2）[]2e,0-在【的【解析】【分析】（1）求导，分0a ≥和0a <两种情况，解不等式，求出函数的单调性；（2）在（1）的基础上，考虑0a >，0a =和0a <三种情况，结合函数单调性和最值，得到不等式，求出答案.【小问1详解】因为()2af x x x='+，0x >，①若0a ≥，则f ′(x )=2x +ax >0恒成立，()f x 在(0,+∞)上单调递增，②若0a <，令()0f x '=，得x =当x ⎛∈ ⎝时，f ′(x )<0，()f x 单调递减；当x ∞⎫∈+⎪⎪⎭时，f ′(x )>0，()f x 单调递增.综上所述，当0a ≥时，()f x 在(0,+∞)上单调递增；当0a <时，()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增；【小问2详解】由（1）知()2af x x x='+，0x >，当0a >时，f ′(x )>0，所以()f x 单调递增，又x 趋向于0时， ()f x 趋向于-∞，故()0f x ≥不恒成立；当0a =时，f (x )=x 2>0，符合题意；当0a <时，()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增；所以()min2a f x f a ==-+，由()0f x ≥恒成立，可得02a a -+≥，因为0a <，所以102-+≤，解得[)2e,0a ∈-综上，a 的取值范围为[]2e,0-.19. 已知函数()()2ln f x x a x a =+∈R ，()e xg x x =-（其中e 为自然对数底数）、（1）若函数()f x 的图象与x 轴相切，求a 的值；（2）设0a >，1x ∀、[]()2122,4x x x ∈≠，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2a e =- （2）(20,2e 6⎤-⎦【解析】【分析】（1）分析可知，0a ≠，设()0,0x ，由()()0000f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩可求得实数a 的值；（2）利用导数分析函数()f x 、()g x 在[]2,4上的单调性，令()()()h x f x g x =-，分析可知函数()h x 在[]2,4上为减函数，可知()0h x '≤对任意的[]2,4x ∈恒成立，利用参变量分离法可得出e 3x a x x ≤-，利用导数求出函数()e 3xp x x x =-在区间[]2,4上的最小值，结合0a >可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：因为()()2ln f x x a x a =+∈R ，则()2a f x x'=+，若0a =，则函数()2f x x =，不合乎题意，所以，0a ≠，设切点坐标为()0,0x ，则()0020af x x '=+=，解得02a x =-，且ln 022a a f a a ⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得ln 12a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得e 2a -=，解得2a e =-．【小问2详解】解：因为0a >，则()20af x x'=+>对任意的[]2,4x ∈恒成立，所以，函数()f x 在[]2,4上单调递增，的因为()e xg x x =-，则()e 10xg x '=->对任意的[]2,4x ∈恒成立，则函数()g x 在[]2,4上单调递增，不妨设12x x <，由()()()()1212f x f x g x g x -<-可得()()()()2121f x f x g x g x -<-，即()()()()2211f x g x f x g x -<-．记()()()3ln e xh x f x g x x a x =-=+-，则()()12h x h x >，则函数()h x 在[]2,4上为减函数，()3e 0xa h x x'=+-≤在[]2,4恒成立，则对任意的[]2,4x ∈，则e 3x a x x ≤-，令()e 3xp x x x =-，其中[]2,4x ∈，则()()1e 3xp x x '=+-，令()()1e 3xq x x =+-，其中[]2,4x ∈，则()()2e 0xq x x '=+>对任意的[]2,4x ∈恒成立，所以，函数()p x '在区间[]2,4上为增函数，则()()223e 30p x p ''≥=->，所以，函数()p x 在[]2,4上为增函数，则()()2min 22e 6a p x p ≤==-，又因为0a >，则实数a 的取值范围是(20,2e 6⎤-⎦.【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立；（2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立；（3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立；（5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.。
广东省梅县东山中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(解析)
广东梅县东山中学2024-2025学年度第一学期高三中段考试试卷（数学科）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1. 已知集合(){}ln 10A x x =-³，集合{}230B x x x =-<，则A B =U （）A. (]0,2 B. [)2,3 C. ()0,¥+ D. [)2,+¥【答案】C 【解析】【分析】先求出集合,A B ，由并集的定义求解即可.【详解】由()ln 10x -³可得：2x ³，所以[)2,A ¥=+，由230x x -<可得：03x <<，所以()0,3B =，所以A B =U (0,+∞).故选：C .2. 若12x -££是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）．A. 2a ³ B. 2a >C. 2a £ D. 2a <【答案】B 【解析】【分析】利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系求解即得.【详解】由12x -££是2x a -<<的充分不必要条件，得{|12}x x -££ {|2}x x a -<<，则2a >，所以实数a 的取值范围是2a >.故选：B.3. 若复数z 满足(13i)3i z -=-（i 为虚数单位），则z 的模z =（ ）A.35B. 1C.D. 5【答案】B 【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式求解即可.【详解】由(13i)3i z -=-，得()()()()223i 13i 3i 39i i 3i 68i 34i 13i 13i 13i 19i 1055z -+-+--+=====+--+-，1=故选：B.4. 已知0.43a =，0.5log 4b =，πcos 18c æö=-ç÷èø，则（ ）A. c b a >> B. b a c>> C. c a b>> D. a c b>>【答案】D 【解析】【分析】结合指数函数，对数函数、余弦函数的性质比较大小即可.【详解】由0.40331a =>=，0.50.5log 4log 10b =<=，ππcos cos 1818c æö=-=ç÷èø，由于ππ0182<<，所以01c <<，所以a c b >>.故选：D.5. 若数列{}n a 满足()()()11112,2n n n a n a n a --=+³=，则4a =（ ）A. 2 B. 6C. 12D. 20【答案】D 【解析】【分析】由已知条件变形可得111n n a n a n -+=-，然后累乘法可得n a ，即可求出4a 【详解】由()()111n n n a n a --=+得111n n a n a n -+=-，32112134512(1)1231n n n a a a n a a n n a a a n -+\=××´´=´´´´´=+-L L (2)n ³，.44(41)20a \=+=.故选：D6. 如图所示，在ABC V 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点，2AG GM =uuu r uuuu r，过点G 的直线分别交直线AB ，AC 于P ，Q 两点．设(0)AB xAP x =>uuu r uuu r ，(0)AC y AQ y >=uuu r uuu r ，则4121x y +++的最小值为（ ）A.34B.32C. 3D. 6【答案】B 【解析】分析】由中点和三等分点得到1()3AG AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，结合(0)AB xAP x =>uuu r uuu r，(0)AC y AQ y >=uuu r uuu r ，得到33x y AG AP AQ =+uuu r uuu r uuu r ，由三点共线得到3x y +=，利用均值不等式中“1的代换”求得4121x y +++的最小值.【详解】因为M 为线段BC 的中点，所以1()2AM AB AC =+uuuu r uuu r uuu r ，又因为2AG GM =uuu r uuuu r，所以21()33AG AM AB AC ==+uuu r uuuu r uuu r uuu r ，又(0)AB xAP x =>uuu r uuu r，()0AC y AQ y =>uuu r uuu r ，则33x y AG AP AQ =+uuu r uuu r uuu r ，而P ，G ，Q 三点共线，所以133x y+=，即3x y +=，则()()()414114112121415216216126y x x y x y x y y x ééù+æö+éù+=++++=+++³+=êêúç÷ëû++++++èøëûë，【当且仅当24(1)12x y y x ++=++，即2x =，1y =时取等号．故选：B ．7. 若直线y kx b =+是曲线e 1x y =-和1e x y -=的公切线，则实数k 的值是（ ）A. 1e - B. eC. 0D. 1【答案】D 【解析】【分析】设直线y kx b =+与曲线e 1x y =-、1e x y -=分别相切于点11(,e 1)xA x -、212(,e)x B x -，利用导数求出曲线e 1x y =-在点A 处的切线方程，以及曲线1e x y -=在点B 处的切线方程，可得出关于1x 、2x 的方程组，解出这两个量的值，即可求得k 的值．【详解】设直线y kx b =+与曲线e 1x y =-、1e x y -=分别相切于点11(,e 1)xA x -、212(,)x B x e -，对函数e 1x y =-求导得e x y ¢=，则1e x k =，曲线e 1x y =-在点A 处的切线方程为111e 1e ()xxy x x -+=-，即111e (1)e 1x xy x x =+--，对函数1e x y -=求导得1e x y -¢=，则21e x k -=，曲线1e x y -=在点B 处的切线方程为22112ee ()x x y x x ---=-，即22112e (1)e x x y x x --=+-，所以，12121112e e (1)e 1(1)e x x x x k b x x --ì==í=--=-î，化简可得12110x x k b =ìï=ïí=ïï=î．故选：D.8. 已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，若()21y f x =+的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是（ ）①13044f f æöæö+=ç÷ç÷èøèø②13022f f æöæö+=ç÷ç÷èøèø③()f x 的一个对称中心为(1,0) ④()f x 的一条对称轴为12x =A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】【分析】根据条件得出周期，结合周期性、对称性可得答案.【详解】因为()21y f x =+的最小正周期为1，所以()()()21121f x f x ++=+；即()()2321f x f x +=+，所以2是()f x 的周期；因为()f x 为奇函数，所以131102222f f f f æöæöæöæö+=+-=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø，②正确；131515444444f f f f f f æöæöæöæöæöæö+=+-=-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøèø，不一定为零，①不正确；因为()2()()f x f x f x +==--，所以()f x 的一个对称中心为(1,0)，③正确；通过题目条件无法得出()f x 的一条对称轴为12x =，④不正确；故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. u ()1,2a =r，(),1b m =-r ，则（ ）A. 当2m =时，a b r r ∥B. 当3m =时，()5a a b^-r r rC. 当3m =-时，a r在b r 上的投影向量为12b -r D. 当2m <时，a r，b r 的夹角为钝角【答案】BC 【解析】【分析】由题意，根据向量a r 、b r 的坐标，利用平面向量的坐标运算法则、投影向量的概念，对各选项逐一加以分析，即可得到本题的答案．【详解】对于A ，若2m =，则(2,1)b =-r ，则()112250´--´=-¹，则,a b rr 不平行，故A 不正确；对于B ，若3m =，则5(1a b -=rr,2)5(3-,1)(14-=-,7)，可得(5)14270a a b ×-=-+´=r r r ，所以(5)a a b ^-r r r，故B 正确；对于C ，若3m =-，则325a b ×=--=-r r ，向量a r在b r 上的投影向量为21(2a b b b b×=-r r r r r ，故C 正确；对于D ，若12m =-，即1(,1)2b =--r ,此时12a b =-r r ，可知,a b rr 的夹角为π，不是钝角，故D 错误．故选：BC ．10. 已知函数()π3πsin cos 22f x x x æöæö=+-+ç÷ç÷èøèø，则下列说法正确的是（ ）A. ()f x 的图像可由y x =的图像向左平移π4个单位得到B. ()f x 图像关于点π,04æöç÷èø对称C. ()f x 在区间π0,2éùêúëû上单调递减D. 若π,02a æöÎ-ç÷èø，()5cos 2f a a =，则7cos 225a =【答案】BCD 【解析】【分析】根据三角恒等变换，化简函数()f x ，根据图像平移判断A ；利用整体代入法可判断B 和C ；利用同角三角函数关系与二倍角公式转化即可求cos 2a 的值，从而判断D 选项【详解】()π3ππsin cos cos sin 224f x x x x x x æöæöæö=+-+=-=+ç÷ç÷ç÷èøèøèø，将y x =的图象向左平移π4个单位所得图象对应函数为()πcos sin 4y x x x f x æö=+=+¹ç÷èø，故A 错；因为ππ042f æö==ç÷èø，所以()f x 图像关于点π,04æöç÷èø对称，故B 对；令π2π2ππ,Z 4k x k k <+<+Î，所以π3π2π2π,Z 44k x k k -<<+Î，所以()π4f x x æö=+ç÷èø的递减区间是π3π2π,2πZ 44k k k éù-+Îêúëû，令0k =，所以π3π,44éù-êúëû是()π4f x x æö=+ç÷èø的一个递减区间，又ππ3π0,,244éùéùÍ-êúêúëûëû，所以()f x 在区间π0,2éùêúëû上单调递减，故C 对；()()()()22cos sin 5cos 25cos sin 5cos sin cos sin f a a a a a a a a a a =-==-=-+，因为π,02a æöÎ-ç÷èø，所以cos sin 0a a ->，则()5cos sin 1a a +=，即1cos sin 5a a +=，平方得221cossin 2cos sin 25a a a a ++=g ，则242cos sin 25a a =-g ，所以()2222449cos sin cos sin 2cos ·sin 12525a a a a a a -=+-=+=，则7cos sin 5a a -=，所以()()22177cos 2cos sin cos sin cos sin 5525a a a a a a a =-=-+=´=，故D 对；故选：BCD11. [x ]表示不超过x 的最大整数，例如，[0.5]1-=-，[]1.11=，已知函数()[]f x x =，下列结论正确的有（ ）A. 若()0,1x Î，则()()1144f x f x éù-+<-+êúëûB. ()()()f x y f x f y +<+C. 设()()220x g x f f æö=+ç÷èø，则()201401k g k ==åD. 所有满足()()14,0,3f m f n m n æöéù=Îç÷êúëûèø的点(),m n 组成的区域的面积和为409【答案】AD 【解析】分析】A ，由题目信息计算()f x ，()f x -即可得答案；B ，通过举特例可判断选项正误；C2.236»结合题目信息可判断选项正误；D ，由信息画出(),m n 所在坐标系区域即可判断选项正误.【。
山东省济宁市2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案
2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题（答案在最后）2024.11本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{P x y ==，{Q y y ==，则()R P Q =ð（）A.∅B.[)1,+∞C.(),0-∞ D.(],1-∞-2.若复数12i=-z （i 为虚数单位），则z =（）A.21i 55- B.21i 55+ C.33i 55- D.33i 55+3.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()1,2--，则tan 2α=（）A.34B.43C.34-D.43-4.已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()2024f x y f x f y +-+=⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是（）A.()f x 是偶函数B.()f x 是奇函数C.()2024f x +是奇函数D.()2024f x +是偶函数5.向量()1,2a = ，()1,1b =- ，则a 在b上的投影向量是（）A.2-B.5-C.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D.12,55⎛⎫--⎪⎝⎭6.已知函数()21,11,11x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩，则()()3f f =（）A.8B.34-C.109-D.127.已知πcos 5a =，πsin 4b =，3log 2c =，则（）A.b a c<< B.b c a<< C.c a b<< D.c b a<<8.如图，在ABC V中，AC =，AB =，90A ∠=︒，若PQ 为圆心为A 的单位圆的一条动直径，则BP CQ ⋅的最大值是（）A.2B.4C.D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定形式是“x ∃∈R ，210x x ++≤”B.当()0,πx ∈时，4sin sin y x x=+的最小值为4C.tan 25tan 20tan 25tan 201︒+︒+︒︒=D.“ππ4k θ=±（k ∈Z ）”是“π4k θ=（k ∈Z ）”的必要不充分条件10.已知函数()cos f x x x =+，则（）A.函数()f x 在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.函数()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()f x 的图象向左平移m （0m >）个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π3D.若实数m 使得方程()f x m =在[]0,2π上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1238π3x x x ++=11.设数列{}n a 前n 项和为n S ，满足()()214100n n a S -=-，*N n ∈且10a >，10n n a a -+≠（2n ≥），则下列选项正确的是（）A.223n a n =-B.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列C .当10n =时，n S 有最大值D.设12n n n n b a a a ++=，则当8n =或10n =时，数列{}n b 的前n 项和取最大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知a ，b 都是正数，且230a b ab +-=，则a b +的最小值为______．13.已知函数()21ln 22xf x x ax =-+在区间()2,+∞上没有零点，则实数a 的取值范围是______．14.已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()(1)2g x f x =-+，则()g x 的对称中心为______；若12321()()()()n n a g g g g n n n n-=+++⋅⋅⋅+（*n ∈N ），则数列{}n a 的通项公式为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知在ABC V 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c，)2cos cos cos b B a C c A =+．（1）求角B ；（2）过点A 作AD BC ∥，连接CD ，使A ，B ，C ，D 四点组成四边形ABCD ，若AB =，2AC =，CD =，求AD 的长．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n a S =+，（*n ∈N ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2log n n c a =，数列n n c a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若关于n 的不等式()()221n n n T n λ+-≤+恒成立，求实数λ的取值范围．17.已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩（1）请在网格纸中画出()f x 的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；（2）定义函数()()2241,2012,022f x x x xg x x x ⎧--+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩在定义域内的0x ，若满足()00g x x =，则称0x 为函数()g x 的一阶不动点，简称不动点；若满足()()00g g x x =，则称0x 为函数()g x 的二阶不动点，简称稳定点.①求函数()g x 的不动点；②求函数()g x 的稳定点.18.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要24min．（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求t 为何值时高度差h 最大．（参考公式：sin sin 2cossin 22θϕθϕθϕ+--=，cos cos 2sin sin 22θϕϕθθϕ+--=）19.已知a ∈R ，函数()ln af x x x=+，()ln 2g x ax x =--.（1）当()f x 与()g x 都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值；（2）若()()()12122f x f x x x ==≠，求证：12112x x a+>.2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题2024.11本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AC 【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】13+【13题答案】【答案】[)2,-+∞【14题答案】【答案】①.(1,2)②.42n a n =-四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π6B =（2）1AD =或2．【16题答案】【答案】（1）2n n a =（2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【17题答案】【答案】（1）作图见解析，单增区间为[]1,0-，()0,∞+，()f x 的单减区间为(],1-∞-（2）①23-；②32-，23-和1.【18题答案】【答案】（1）π5545cos12H t=-，[]0,24t∈．（2）π2π45cos123h t⎛⎫=-⎪⎝⎭，[]0,24t∈；8mint=或20mint=【19题答案】【答案】（1）1（2）证明见解析。
上海市七宝中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(含答案)
七宝中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．函数的定义域为______．2．计算______．3．已知是1与9的等比中项，则正实数______．4．在的展开式中，的系数为______（用数字作答）．5．在复平面内，复数对应的点位于第______象限。
6．已知，则______．7．已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为______．8．已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为______（从中选择作答）．9．已知函数．在中，，且，则______．10．如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为______．11．抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段y =(4log =a a =4(x -2x 2ii-π1sin 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πcos 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭{}22,,A a a x y x y ==+∈N ,x y A ()f x '()f x ()f x y e '=()f x ,,,a b c d ()22cos 2xf x x =+ABC △()()f A f B =a b ≠C ∠=,AD BC O ,,,AB AD BC CD {}1,3,5,,90x ABO DCO ∠=∠=︒x 24y x =F ,,l A B π3AFB ∠=AB的中点在准线上的投影为，则的最大值是______．12．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为______．二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D14．已知直线，动直线，则下列结论正确的为（）A ．不存在，使得的倾斜角为B ．对任意的与都不垂直C ．存在，使得与重合D ．对任意的与都有公共点15．一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．816．若，有限数列的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得是等差数列；②对于任意的，都不是等比数列．则（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．如图，为正方体，动点在对角线上（不包含端点），记．M l N MNAB(0,1)λλλ>≠,,a b c 1,2,1a c b a b ===⋅=1122c a c b ++-a 1a a>2211a a a a+≥+12a a+>-≥-1:10l x y --=()()2:10l k x ky k k +-+=∈R k 2l π21,k l 2l k 1l 2l 1,k l 2l 3n ≥12,,,n a a a k k S 1k k S S +>11k n ≤≤-3n ≥12,,,n a a a 3n ≥12,,,n a a a 1111ABCD A B C D -P 1BD 11D PD Bλ=（1）求证：；（2）若异面直线与所成角为，求的值．18．已知点是坐标原点．（1）若，求的值：（2）若实数满足，求的最大值．19．英语学习中学生喜爱用背单词"神器"提升自己的英文水平，为了解上海中学生和大学生对背单词“神器”的使用情况，随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款背单词“神器”，结果如下：百词斩扇贝单词秒词邦沪江开心词场中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对背单词“神器”的喜爱互不影响．（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用“百词斩”的概率；（2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人．记X 为这3人中最喜爱使用“扇贝单词”的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款背单词“神器”的频率依次为，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款背单词“神器”的频率依次为，其方差为的方差为．写出的大小关系．（结论不要求证明）20．在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，设不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，焦点到直线的距离为．（1）求该粗圆的离心率；（2）若直线经过坐标原点，求面积的最大值；（3）如果直线的斜率依次成等差数列，求的取值范围．21．若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为．已知曲线1AP B C ⊥AP 11D B π3λ()())1,1,1,1,,A B CO θθ-BC BA -=sin2θ,m n π,0,2mOA nOB OC θ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭22(3)m n ++1234,,,x x x x 21s 1234,,,y y y y 2212341234;,,,,,,,s x x x x y y y y 23s 222123,,s s s 12,F F 22143x y +=1F l ,A B 2F l d l 2F AB △11,,AF l BF d k 12,l l ():C y f x =12,l l C C 12,l l 12,l l C C k ()d k．（1）判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由；（2）若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由．（3）对于任意的正实数，函数是否都存在"双夹线"？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由．2025届七宝中学高三（上）期中考试参考答案一、填空题1、； 2、； 3、3； 4．18； 5、四；6．；7、； 8、a ； 9、；10、4；11、1； 12、10、【答案】412、【答案】二、选择题13～16、BDBC三、解答题17、（1）证明：如图，连接．由已知可得，平面平面，所以，又是正方形，所以，又平面平面，所以平面，又动点在对角线上，所以平面，所以平面，所以．():sin C f x mx n x =+0,1m n ==C 1,1m n ==-1:1l y x =+2:1l y x =-()y f x =()d k ,m n ()y f x =()d k ()1,+∞3412{}0,1,2,4π311,BC AD AB ⊥111,BCC B B C ⊂11BCC B 1AB B C ⊥11BCC B 11B C BC ⊥1BC ⊂11,ABC D AB ⊂111,ABC D AB BC B = 1B C ⊥11ABC D P 1BD P ∈11ABC D AP ⊂11ABC D 1AP B C ⊥（2）以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，设，则，则．由已知，可得，设点，则，所以，所以，即，所以，．又异面直线与所成角为，所以，即，解得或0，因为，所以满足条件．18、【答案】（1）； （2）16．19、【答案】（1）； （2）； （3）20．【答案】（1）； （2 （3）．21、【答案】（1）存在；（2）是，3）是，C 1CD CB CC 、、x y z 、、1CD =()()()()()()()1110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1,0C D B C D B A ()11111,1,0,D B D B =-=11D PD Bλ=11D P D B λ= ()000,,P x y z ()10001,,1D P x y z =-- 00011x y z λλλ-=-⎧⎪=⎨⎪-=-⎩00011x y z λλλ=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩()1,,1P λλλ-+-+(),1,1AP λλλ=---+AP ==AP 11D B π311π1cos ,cos 42AP D B 〈==〉 11cos ,2AP D 1λ=01λ<<45λ=12-320[]34E X =222231s s s <<12()d k =()0)d k n =>。
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一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给处的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合{1,2,3,4,5},{1,3,5},{2,3,5},U A B ===则()
u C A B 等于
A ．{1,2,4}
B ．{4}
C ．{3,5}
D ．φ
2．设0.9
14y =，0.48
1.52318,()2y y -==，则它们的大小关系是
A ．312y y >>
B ．213y y y >>
C ．123y y y >>
D ．132
y y y >>
3．关于x 的不等式2
043x a
x x +>++的解集是{|31x x -<<-或2x >}，则
实数a 的值是 A ．
12-
B ．2-
C ．12
D ．2
4．函数2
1(0)y x x =+<的反函数是
A ．1(1)y x x =-≥
B ．1(1)y x x =+≥-
C ．1(1)y x x =-
-≥
D ．1(1)y x x =-+≥-
5．已知函数()y f x =的定义域为[-1，5]，则在同一坐标系下，函
数()f x 的图像与直线1x =的交点个数为 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．0个或1
个
6．已知函数2log (0)()3(0)x
x x f x x >⎧⎨≤⎩，则
1[()]
4f f 的值是
A ．19
B ．9
C ．-9
D ．
1
9-
7．已知图①中的图像对应的函数为()y f x =，则在下列给出的四
式中，图②中的图像对应的函数只可能是 A ．(||)y f x = B ．|()|y f x =
C ．(||)y f x =
-
D ．(||)y f x =-
8．定义在R 上的函数
()
f x 对任意两个不等实数,a b 总有
()()
f a f b a b ->-成立，则必有
A ．函数()f x 是奇函数
B ．函数()f x 是偶函数
C ．函数()f x 在R 上市增函数
D ．函数()f x 在R 上是减
函数 9．如果函数
2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上是减函数，那么实
数a 的取值范围是
A ．3a ≥-
B ．3a ≤-
C ．5a ≤
D ．3a ≥
10．若函数()f x 的倒数为'()3f x x =-，则此函数图像在(4,(4))f 点处的切线的倾斜角是
A ．6π
B ．3π
C ．4π
D ．34
π
11．函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是
A ．0a ≥
B ．0a >
C ．0a ≤
D ．34
π
12．已知函数()y f x =与5log y x =图像的交点个数为
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6
个
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数32395
=--+的单调递减区间是。
y x x x
14．已知2
f x x x
=-+，在闭区间[0,]m上有最大值3，最小值2，()23
则m的取值范围是。
15．关于x的方程2|43|
-+a x
x x
-=有3个不相等的实数根，则实数a的值是。
16．一班有学员63人，二班有学员51人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出一部分人参加一个4×4方队进行军事表演，则一班和二班分别被抽取的人数是。
三、解答题：（本大题共6个小题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分）
17．已知函数22
++在点0x处取得极大值5，其导函数
f x ax bx cx
()
=的图像经过点(1,0),(2,0)，如下图所示，求
y f x
'()
（1）0x的值
（2）求,,a b c的值。
18．已知函数2
()
f x x bx c
=++满足条件(1)(1)
f x f x
+=-，且方程()
f x x
=有相等的实根。
（1）求()
f x的解析式。
（2）当[1,)
x∈-+∞时，
1
()2(1)
4
f x a x a
≥-++恒成立，求a的取值
范围。
19．用长为18m的钢条围城一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各位多少时，其体积最大？最大体积是多少？
20．已知函数
()
f x 满足
1()
2
f x +=
212
9
log ()
4x -，函数
()
g x 满足
12
()log (1)
g x x =-
（1）求函数()f x 的表达式
（2）若()()f x g x >，求x 的取值范围。
21．已知函数2()log (1)f x x =+，将()y f x =的图像向左平移1个单
位再将图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不
变），得到函数()
y g x
=的图像。
（1）求()
y g x
=得解析式及定义域
（2）求函数()()()
F x f x g x
=-的最大值
22．某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元。
市场对此产品的需求量为500台，销售的收入函数为
2 ()5
2
x R x x
=-
（万元）（05
x
≤≤），其中x是产品售出的数量（单位：百台）（1）把利润表示为年产量的函数
（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？。