第四章 时变电磁场
作业06_第四章时变电磁场
作业06_第四章时变电磁场-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII第四章 时变电磁场1. 在无源的自由空间中，已知磁场强度597.210cos(31010)A/m y H t z e -=⨯⨯-，求位移电流密度。
2. 在电导率310S/m γ=、介电常数06εε=的导电媒质中，已知电场强度58210sin(10)x E t e -=⨯π，计算在92.510s t -=⨯时刻，媒质中的传导电流密度c J 和位移电流密度d J 。
3. 在无源区域，已知电磁场的电场强度90.1cos(6.281020.9)V/m x E t z e =⨯-，求空间任一点的磁场强度H 和磁感应强度B 。
4. 一个同轴圆柱型电容器，其内、外半径分别为11cm r =、24cm r =，长度0.5m l =，极板间介质介电常数为04ε，极板间接交流电源，电压为V u t =π。
求极板间任意点的位移电流密度。
5.一个球形电容器的内、外半径分别为a 和b ，内、外导体间材料的介电常数为ε，电导率为γ，在内、外导体间加低频电压sin m u U t ω=。
求内、外导体间的全电流。
6. 已知自由空间中电磁波的两个场量表达式为 20002)V/m x E =t z e ωβ-， 5.32sin()A/m y H =t z e ωβ-式中，20MHz f =，0.42rad/m β==。
求(1)瞬时坡印亭矢量；(2)平均坡印亭矢量；(3)流入图示的平行六面体（长为2m ，横截面积为0.5m 2）中的净瞬时功率。
7. 一个平行板电容器的极板为圆形，极板面积为S ，极板间距离为d ，介质的介电常数和电导率分别为ε，γ，试问：(1). 当极板间电压为直流电压U 时，求电容器内任一点的坡印亭矢量；(2). 如果电容器极板间的电压为工频交流电压cos314u t =，求电容器内任一点的坡印亭矢量及电容器的有功功率和无功功率。
电磁场与电磁波教材
电磁场与电磁波摘要:电磁场与电磁波课程与电气专业息息相关，是我们电气专业学生必须学习的，这学期我们进行了电磁场与电磁波的学习。
主要讲解了矢量分析，电磁场的基本定律，时变电磁场，简述了静态电磁场极其边值问题的解。
第一章:矢量分析是研究电磁场在空间分布和变化规律的基本数学工具之一。
第二章以大学物理（电磁学）为基础，介绍电磁场的基本物理量和基本规律，第三章分别介绍了静电场、恒定电场和恒定磁场的分析方法。
第四章主要讨论时变电磁场的普遍规律。
一、矢量分析电磁场是是分布在三维空间的矢量场，矢量分析是研究电磁场在空间的分布和变化规律的基本教学工具之一。
1：标量和矢量(1) 标量：一个只用大小描述的物理量。
矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。
矢量一旦被赋予“物理单位”，则成为一个具有物理意义的矢量，如：电场强度矢量E 、磁场强度矢量H 、作用力矢量F 、速度矢量v 等。
(2) 两个矢量A 与B 相加，其和是另一个矢量D 。
矢量D=A+B 可按平行四边形法则得到：从同一点画出矢量A 与B ，构成一个平行四边形，其对角线矢量即为矢量D 。
两个矢量A 与B 的点积是一个标量，定义为矢量A 与B 的与它们之间较小的夹角的余弦之积。
(3) 两个矢量A 与B 的叉积是一个矢量，它垂直于包含矢量A 和B 的平面，大小定义为矢量A 与B 的与它们之间较小的夹角的正弦之积，方向为当右手四个手指从矢量A 到B 旋转时大拇指的方向。
2：标量场的梯度（1）等值面: 标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面，形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。
对任意给定的常数C ，方程C z y x u ),,(就是等值方程。
（2）梯度的概念：标量场u 在点M 处的梯度是一个矢量，它的方向沿场量u 变化率最大的方向，大小等于其最大变化率，并记作grad u,即 grad u= e l |max直角坐标系中梯度的表达式为grad u=,标量场u 的梯度可用哈密顿算符表示为grad u=()．u =（3）标量场的梯度具有以下特性：①标量场u 的梯度是一个矢量场，通常称▽u为标量场u 所产生的梯度场；②标量场u （M ）中，再给定点沿任意方向l 的方向导数等于梯度在该方向上的投影；③标量场u （M ）中每一点M 处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向u （M ）增加的方向。
电磁场与电磁波第四章 时变电磁场优秀课件
J
)
t
同样
D
D
E、E
A
t
( A )
t
A
0
t
2 2
t 2
2
A
2 A t 2
J
说明
2
2
t 2
应用洛仑兹条件的特点：① 位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易求解；② 解的物理意义非常清楚，明确地 反映出电磁场具有有限的传递速度；③ 矢量位只决定于J，标
量位只决定于ρ，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需
解出 就可得到待求的电场和磁场。
电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应
用不同的规范条件，矢量位A和标量位 的解也不相同，但最终
得到的电磁场矢量是相同的。
问题 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程? 具有什么特点?
4.3 电磁能量守恒定律 讨论内容
t0
t1
t2
t3
t4
t5
0
vt1
vt2
vt3
vt4 vt5 z
不同时刻波形最大值出现的位置
沿z方向传播
t=0，zmax=0； t=t1 ＞0，zmax= vt1＞0；
zmax vt1 vt2 v
t
t1 t2
… … t=t2 ＞t1，zmax= vt2＞vt1＞0；图形移动速度，即电磁波速度
相速度，即等相位面的传播速度
H Ε
J
D
t
B
A
t
为任意可微函数
A ( A ) A
即
A t
(
t
)
t
(
A
)
A t
也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。
电磁场与电磁波第四章时变电磁场
第 4 章 时变电磁场
电磁场与电磁波第四章时变电磁 场..
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
2
4.1 电磁场波动方程
麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。
波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。
麦克斯韦方程组
波动方程。
无源区域中电磁场波动方程
时变电磁场唯一性定理
在以闭曲面S为边界的有界区域V 中，
V
如果给定t＝0 时刻的电场强度和磁场强度 S
的初始值，并且当t 0 时，给定边界面S
上的电场强度或者磁场强度的切向分量已知，那么，在 t > 0 的
任何时刻，区域V 中的电磁场都由麦克斯韦方程组唯一确定。
唯一性定理指出了获得唯一解所必须给定的边界条件。
第 4 章 时变电磁场
17
4.5.1 简谐电磁场的复数表示
简谐场量的复数表示形式
设 A(r,t)是一个以角频率 随时间t 作余弦变化的场量，它
可以是电场或磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，
它与时间的变化关系可以表示为：
A ( r ,t) A 0 c o s [t ( r ) ]
实数表示法 或称瞬时表示法
只要把微分算子 用 j 代替，就可把麦克斯韦方程转换为
t
简谐电磁场复矢量之间的关系，而得到简谐场的麦克斯韦方程。
H
J D t
E
B t
B 0
D
Hm
Jm
j D m
Em
j B m
Bm 0
D m m
H J j D
E j B
D
式中A0代表振幅、 ( r )为与坐标有关的相位因子。
电磁场与电磁波及其应用 第四章
在线性、 各向同性媒质中， 当参数不随时间变化时，
于是得到 再利用矢量恒等式
可得到 (4.3.4)
在体积V上， 对式（4.3.4）两端积分， 并应用散度定理即 可得到
(4.3.５)
由于E和H也是相互垂直的， 因此S、 E、 H三者是相互 垂直的， 且构成右旋关系， 如图4.3-1 所示。
第四章 时变电磁场
4.1 波动方程 4.2 时变场的位函数 4.3 时变电磁场的能量与能流 4.4 时谐电磁场 4.5 左手媒质 4.6 时变电磁场的应用
4.1 波 动 方 程
在无源空间中， 电流密度和电荷密度处处为零， 即 ρ=0、 J=0。 在线性、 各向同性的均匀媒质中， E和H满足 麦克斯韦方程
图4.3-1 能流密度矢量与电场及磁场的方向关系
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a、 外导体半径为b， 其 间均匀充填理想介质。 设内外导体间电压为U， 导体中流过 的电流为 I。 （1） 在导体为理想导体的情况下， 计算同轴线 中传输的功率； （2） 当导体的电导率σ为有限值时， 计算通 过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。
磁场仍为 内导体表面外侧的坡印廷矢量为
由此可见内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量， 也 有径向分量， 如图4.3-3所示。
图4.3-3 同轴线中电场、 磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况）
进入每单位长度内导体的功率为
式中
是单位长度内导体的电阻。 由此可见，
进入内导体中的功率等于这段导体的焦耳损耗功率。
利用复数取实部表示方法， 可将式（4.5.1）写成
式中
(4.4.2)
称为复振幅， 或称为u(r, t)的复数形式。 为了区别复数形 式与实数形式， 这里用打“•”的符号表示复数形式。
第4章 时变电磁场 1PPT课件
电的磁磁场H 感都应J能定产律D 生：t 电麦场克lH 。斯d 韦l第二S(方J 程，D t)表d明S电全荷电和流定变律化
磁通连E续性原B理：表E明d磁l 场是无B 源场dS, 磁电力磁线感总应是定律闭
合曲线。 t
l
S t
：旋表的明形B 电式 荷 产0以 生发 电散 场的)。方SB式d产S生电0场 (变磁化通的连磁续场性以原涡理
2 t A
（2）
定义A 的散度 A 洛仑兹条件
t
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第四章
2 A
2A t 2
J
2
2
t 2
时变电磁场
达朗贝尔方程 (Dalangbaier Equation)
说明 确定了 A的值，与 BA共同确定 A；
简化了动态位与场源之间的关系;
若场量不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程
2AJ
2/
洛仑兹条件是电流连续性原理的体现。
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第四章
时变电磁场
若激励源是时变电流源时
A(x,y,z,t)
J(x,y,z,tr) vdV （无反射）
4πV
r
达朗贝尔方程解的形式表明：t 时刻的响应取
决于 (tr/v) 时刻的激励源。又称 A， 为滞后
位（Retarded Potential）。
电磁波是以有限速度 v 1 传播的， 光
也是一种电磁波。
当场源不随时间变化时， A， 蜕变为恒定
场中的位函数（拉普拉斯方程或泊松方程）。
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第四章
时变电磁场
4.4 坡印廷定理和坡印廷矢量
Poynting Theorem and Poynting Vector
《电磁场与电磁波》复习纲要(含答案)
S
第二类边值问题（纽曼问题） 已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即 第三类边值问题（混合边值问题） 知位函数的法向导数值，即
|S f 2 ( S ) n
已知场域一部分边界面上的位函数值，而其余边界面上则已
|S1 f1 ( S1 )、 | f (S ) S 2 2 n 2
线处有无限长的线电流 I，圆柱外是空气（µ0 ），试求圆柱内 外的 B 、 H 和 M 的分布。 解：应用安培环路定理，得 H C dl 2 H I I H e 0 磁场强度 2π I e 0 a 2 π 磁感应强度 B I e 0 a 2 π 0 I B e 2π M H 磁化强度 0 0 0
C
F dl F dS
S
5、无旋场和无散场概念。 旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。 矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称该场为无旋场（或保守场） 散度表示场中各点的场量与通量源的关系。 矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称该场为无散场（或管形场） 。 6、理解格林定理和亥姆霍兹定理的物理意义 格林定理反映了两种标量场 （区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系） 之间满足的关系。 因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布 在无界空间，矢量场由其散度及旋度唯一确定 在有界空间，矢量场由其散度、旋度及其边界条件唯一确定。 第二章 电磁现象的普遍规律 1、 电流连续性方程的微分形式。
D H J t B E t B 0 D
D ) dS C H dl S ( J t B E dl dS S t C SB dS 0 D dS ρdV V S
北工大_电磁场理论选填答案
第二章电磁场根本规律一 选择题： 1．所谓点电荷是指可以忽略掉电荷本身的〔 C 〕A ．质量B ．重量C ．体积D ．面积2．电流密度的单位为〔 B 〕A ．安/米3B ．安/米2C ．安/米D ．安3．体电流密度等于体电荷密度乘以〔 C 〕A ．面积B ．体积C ．速度D ．时间4．单位时间通过某面积S 的电荷量，定义为穿过该面积的〔 B 〕。
A ．通量B ．电流C ．电阻D ．环流5．静电场中两点电荷之间的作用力与它们之间的距离〔 C 〕A ．成正比B ．平方成正比C ．平方成反比D ．成反比6．电场强度的方向与正试验电荷的受力方向〔 A 〕A ．一样B ．相反C ．不确定D ．无关7．两点电荷所带电量大小不等，放在同一电场中，那么电量大者所受作用力〔A 〕A ．更大B ．更小C ．与电量小者相等D ．大小不定8.静电场中试验电荷受到的作用力与试验电荷电量成( A )关系。
A.正比B.反比C.平方D.平方根9．在静电场中，D 矢量，求电荷密度的公式是〔 B 〕A ．ρ=×DB ．ρ=·DC ．ρ=D D ．ρ=2D10．一样场源条件下，均匀电介质中的电场强度值为真空中电场强度值的〔 D〕 A ．ε倍 B ．εr 倍C ．倍ε1D ．倍r1ε11.导体在静电平衡下，其部电场强度( B )A.为常数B.为零C.不为零D.不确定12.真空中介电常数的数值为( D )×10-9×10-10F/m×10-11×10-12F/m13.极化强度与电场强度成正比的电介质称为( C )介质。
A.均匀B.各向同性C.线性D.可极化14. 静电场中以D表示的高斯通量定理，其积分式中的总电荷应该是包括( C )。
A. 整个场域中的自由电荷B. 整个场域中的自由电荷和极化电荷C. 仅由闭合面所包的自由电荷D. 仅由闭合面所包的自由电荷和极化电荷15．电位移矢量D=0 E+P，在真空中P值为〔 D 〕A．正B．负C．不确定D．零16．真空中电极化强度矢量P为〔 D 〕。
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式中
式（4.1.15）和式（4.1.16）的复数场量的上边仍 然用打点标记，实际上瞬时值形式与复数形式有 明显的区别，今后只要是能区分出复数形式，就 不再使用打点标记了。 例4.4.1 把下面的场量的瞬时值转变成复数形 式或复数形式转变成瞬时值。
例4.4.2 已知在空气中 求H· 并写出其瞬时值。 解: E写成复数形式为 由式（4.4.12）可得
式中
按照复数的运算法则
式中
同理，可以得Ey和Ez的复数形式 电场强度E的复数形式为
由式（4.62）可知E· 是一一对应的关系，但是引 和E· 入复数表示法却使运算大大简化。因为E（x,y,z,t）是 空间坐标（x,y,z）和时间坐标t四维矢量函数，而E （x,y,t）只是空间坐标（x,y,z）的三维矢量函数。
4.5时变电磁场的能量和能量流
电磁场是一种物质并具有能量，这种能量称为电磁 能量。电磁能量按照一定的分布形式储存于空间，并随 着时变电磁场的运动变化在空间传输，形成电磁波。电 磁波的传播即空间各点电磁能量密度的改变形成电磁能 流。 可以举出许许多多的例子能够说明这一点，如人们 日常生活中使用微波炉正是利用微波携带的能量给食品 加热的； 人们使用的手机也是利用电磁波来发送和接收 信息的。
方向为沿线框所在平面向里。
导电线框产生的感应电动势为
上式中，
所以得
例4.1.2 如图4.1.3所示，在一个圆形区域上磁感 应强度的大小相同，方向沿纸面向里，磁感应强 度大小的变化率为常数且大于0，求空间任意 一点产生的感应电场。 解: 由对称性可知，在距离圆心为r的圆周上任意 一点产生的感应电场都是相同的，则根据
第四章
时变电磁场
本章内容 4.1麦克斯韦的两个假设 4.2麦克斯韦方程组与波动方程 4.3时变电磁场的边界条件 4.4时间简谐场 4.5时变电磁场的能量和能流 4.6动态矢量位和标量位
4.1麦克斯韦的两个假设
1. 感应电场假设 感应电场的概念 经典电磁场感应电场的产生原因有两种: （1）恒定磁场的运动回路 在恒定磁场中，当导体回路的某一部分以速度v 运动时，运动导体产生的感应电场为 回路中产生的感应电动势为
通过内、外导体间任一横截面的功率为
3. 时谐场的复坡印廷矢量 坡印廷失量表示的是瞬时电磁功率流密度。在时谐场 中，计算瞬时电磁功率流密度更有实际意义。 下面是对于时谐场通过玻印廷矢量的瞬时值计算其时 间平均值。 坡印廷矢量的瞬时值为S（t）=E（t）×H（t），对于 时谐场，场矢量可以用实数表示，按照式（4.4.10）的 定义方程
因为所研究的是交变电磁场，所以可取积分常数C 为零，于是得
例4.2.2 将麦克斯韦方程的微分形式分别在直 角坐标系中和在圆柱坐标系中写成八个标量方程。 解: 在直角坐标系中
在圆柱坐标系中
2. 电场E在无源区域的波动方程:
(1)
磁场H在无源区域的波动方程
(2)
例4.2.3 已知在空气中有 利用波动方程求出β。
图4.3.1
求H的边界条件
H的边界条件为 H1t-H2t=Js
矢量形式 （2） E的边界条件 E的边界条件 矢量形式 （3） D的边界条件 D的边界条件 D1n-D2n=ρs 矢量形式 en· 1-D2）=ρs （D （4） B的边界条件 B的边界条件 矢量形式 B1n-B2n=0 en· 1-B2）=0 （B E1t-E2t=0 en×（E1-E2）=0 en×（H1-H2）=Js
这种感应电动势是由于导体回路的某一部分运动而 产生的，所以也称为动生电动势。
（2） 时变场的静止回路 一般情况下，讨论静止的媒质，即v=0，得
写成微分形式 例4.1.1 如图4.1.2所示，无限长直导线通以电流 i(t)=Imsinωt，导电线框以v速度向右运动。当线框运动到 图示位置时，求此时的感应电动势。 解： 在通电直导线的右侧空间一点P； 到通电直导线的 距离为r，则该点的磁感应强度的大小为
1. 坡印廷定理 时变电磁场能量守恒与转换的关系是英国物理学 家坡印廷最早提出的，被称为坡印廷定理，它可 以由麦克斯韦方程直接导出。 利用麦克斯韦第一、第二方程式，现重写如下
进行推导得
上式整理并利用散度定理得
式（4.5.2）就是适合一般介质的坡印廷定理。 下面来看坡印廷定理的物理意义： 式（4.5.2）的右边第一项是体积V内电磁能量随时间 的增加率，第二项是体积V内转变为焦耳热的功率。 那么体积V内这个电磁能量每秒的增加量和转变为焦 耳热的功率是从哪里来的呢？根据能量守恒原理，它 是从包围体积V的闭合曲面S外流入的。 所以-∮S（E×H）· dS是通过闭合曲面S流入体积V 的功率。
2. 坡印廷矢量
定义S=E×H为坡印廷矢量，它是代表电磁能流密度矢量， 代表在闭合曲面上任意一点单位面积通过的功率，也称为时变电 磁场的功率流密度。S的单位是W/m2（瓦/米2）。E和H都是瞬时 值，因此坡印廷矢量也为瞬时值S（t）。 坡印廷矢量是时变电磁场中一个重要的物理量。只要知道空 间任一点的E和H，就可以知道该点的电磁能量流的大小和方向。
解: 波动方程式（1）可以表示为Ex、Ey和Ez三个标量 方程的形式，E只有Ey分量，只需将Ey代入Ey的波动方程 中
得
4.3时变电磁场的边界条件
（1） H的边界条件 如图4.3.1所示，设介质1和介质2中界面附近的磁 场强度在纸面所在的平面上，H1和H2与法向en的夹角 分别为θ1和θ2，在分界面上均匀流过面电流，面电流密 度Js，其大小为Js，方向垂直于纸面向里。
以上得出了时变电磁场的一般形式，在研究电磁 场问题时，经常会遇到以下两种特殊情况。 （1） 两种理想介质的分界面 两种理想介质的分界面的边界条件：
（2） 理想介质和理想导体的分界面 边界条件
例4.3.1 如图4.3.3所示，在理想导电壁x=0和x=a限定的 区域（0≤x≤a）中存在如下电磁场
（1） 判断该电磁场是否满足边界条件； （2） 导电壁上的面电流密度是多少？
例4.1.3
某个空间不存在传导电流，在空间上的磁场为
求相应的位移电流密度。 解: 由于不存在传导电流，即J=0，所以
例4.1.4 圆形电容器构成的平行板电容器如图4.1.5所示， 其间充满介质，其电导率为σ，介电常数为ε，磁导率为 μ。假定边缘效应可以忽略，平行板间的电场是均匀的， 且所加的电压为u=Umsinωt。试求电容器中任一点的磁 感应强度B。 解: 忽略边缘效应，两极板间 可以看做均匀电场E=u/d,所以有
麦克斯韦方程组相应的微分形式为
以上的麦克斯韦方程组的积分形式或微分形 式适用于任何媒质，但还是求不出场的最后解答， 还需要给出场和介质的关系
对于各向同性介质，上述关系是线性的，有
例4.2.1
在直角坐标系中，已知磁场Hx=0， ，式中k′、k为常数，求磁 场的Hz分量。 解: 本题求解方法很多，其中一种方法是可以直接 由麦克斯韦第四方程式求解。
然后再把恒等式
代入上式，得
要建立关于A的微分方程，但是式（4.6.3）中不仅包 含A，还包含动态标量位φ。由式（4.6.1）和式 （4.6.2）可知，满足这两个关系式的A和φ并不是唯 一的，那么就可以找到既可以满足式（4.6.1）和式 （4.6.2），也可以使式（4.6.3）简化的一个特殊关 系式，即
在x=a表面，法线方向en=-ex，所以
4.4时间简谐场
随时间作简谐变化的电磁场称为时间简谐场，或 简称为时谐场。当场源电荷、电流随时间作简谐变化 时，由它们产生的电场、磁场也随时间作简谐变化。 简谐变化的电磁场是一个很普遍的情况，因此有 必要对麦克斯韦方程组在时间简谐场进行简化和求解。 如果不是简谐变化的电磁场，也可以把它们分解 为基波和高次谐波的叠加，然后分别作简谐处理。 1. 时间简谐场量的复数表示法 利用时间简谐变化量的复数形式，将给运算带来很大 的简化。 设电场强度E作正弦变化，在直角坐标系可表示为 E=exEx+eyEy+ezEz（4.4.1）
图 4.1.5
由对称性可知，距离圆形电容器中轴线为r的P点的磁感 应强度的大小处处相等，磁感应强度的方向为圆周切线 方向且与位移电流构成右手关系，如图4.1.5所示。
应用全电流定律 公式中l选取以r为半径的周周，S是l为边界构成的 平面，则有
所以得
4.2麦克斯韦方程组与波动方程
1. 麦克斯韦方程组的积分形式：
从而可得坡印廷矢量的瞬时值为
对S（t）在一个周期T=2π/ω求平均值
定义S· 为复坡印廷矢量
式（4.5.5）中Sav称为平均坡印廷矢量
为了书写简便，今后的应用都去掉“.9）是按照复数的有 效值方法定义出来的，如果按照最大值的定义方 法，应该再乘以1/2.
例4.12已知在无源自由空间中，时谐电磁场的电场强度 复矢量为
图4.3.3
例4.3.1用图
解（1）如果题中给出的电磁场在边界上满足式（4.1.3） 则满足边界条件，对于x=0的表面，切向场有
法向场有 所以 可见，x=0的表面满足理想介质与理想导体的边界条件 对于x=a的表面： 切向场有
法向场有 所以x=a的表面也满足理想介质与理想导体的边界条件。 （2） 由式（4.3.13），H的边界条件的矢量形式为 在x=0表面，法线方向en=ex
动态矢量位A有时也简称为矢量位，单位是Wb/m （韦伯/米）。把式（4.78）代入麦克斯韦第二方 程中，得
大家知道，一个无旋的矢量可以用一个标量函数的梯 度来表示，因此可以引入动态标量位φ，有
即
动态标量位φ有时也简称为标量位，单位是V （伏）。那么如果建立关于动态矢量位A和动态标 量位φ的方程求出A和φ，根据时变场的位与场的关 系式（4.6.1）和式（4.6.2），就可以求出B和E。 2. 位函数的微分方程 把式（4.6.1）和式（4.6.2）代入到麦克斯韦第一 方程式，得
2. 麦克斯韦方程的复数形式 采用复数运算法则，可以从麦克斯韦方程得出它们 的复数形式，其微分表达式如下