2009级硕士研究生《数值分析》试卷(A)

合肥工业大学2009级硕士研究生《数值分析》试卷(A)

班级 姓名 学号 成绩

一、判断题 (下列各题，你认为正确的，请在题后的括号内打“√”，错误的打“×”，每题2分，共10分)

1. 若53()23f x x x =-+，则[0,1,2,3,4,5]5!

f =. ( )

2. 若0

()d ()n

b

i i a

i f x x A f x =≈∑⎰是插值型求积公式，则它的代数精度正好是n . ( )

3. 若n 阶方阵A 是严格对角占优的，则解方程组A =x b 的Jacobi 迭代法收敛。

( ) 4. 设*x 是方程0)(=x f 的根，则求*x 的Newton 迭代法至少是平方收敛的。 ( ) 5. 解常微分方程初值问题的二阶Runge-Kutta 方法的局部截断误差是3()O h ，其中h 是步长. ( )

二、填空题 (每空2分，共20分)

1. 近似数* 3.120x =关于准确值 3.12065x =有 位有效数字，相对误差是 .

2. 设(0,1,

,)i x i n =是互异的节点，()i l x 是Lagrange 插值基函数，则

()n

i i l x ==∑ ， 0

()n

k i i

i x

l x ==∑ (0,1,,k n =) .

3. 设函数(2.6)13.4673,(2.7)1

4.8797,(2.8)16.4446f f f ===, 用三点数值微分公式计算(2.7)f '= , (2.7)f ''= .

4. 设2543A -⎡⎤

=⎢⎥

-⎣⎦，则1A = ，A ∞= ，1Cond()A = . 5. 设二元函数(,)f x y 在区域D 上关于y 满足Lipschitz 条件是指：

.

三(本题满分10分) 已知列表函数

用差商法求满足上述插值条件的Newton 插值多项式（要求写出差商表）。

四(本题满分10分) 求01,c c 和1x ，使下列求积公式

10110

()d (0)()f x x c f c f x ≈+⎰

具有尽可能高的代数精度。

五(本题满分10分) 对于下列方程组

1231231

23422,

2633,245,

x x x x x x x x x -+=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩ 建立Gauss –Seidel 迭代公式，写出相应的迭代矩阵，并用迭代矩阵的范数判断

所建立的Gauss –Seidel 迭代公式是否收敛。

六(本题满分10分) 分别用两点古典Gauss 公式及Simpson 公式计算

10s i n d 1x I x x

=+⎰的近似值。

七(本题满分10分) 已知方程10x xe -=在00.5x =附近有一个实根*x .

(1) 取初值00.5x =，用Newton 迭代法求*x （只迭代两次）。 (2) 取初值010.5,0.6x x ==，用弦截法求*x （只迭代两次）。

八(本题满分10分) 分别用Euler 方法及改进的Euler 方法求下列初值问题（取步长5.0=h ）

d 2,01,d (0) 1.y x y x x y y ⎧=-<≤⎪⎨

⎪=⎩

九(本题满分10分) 设()s x 是[0,2]上的三次自然样条：

3

032

1()234,01,()()(1)(1)(1)3,1 2.

s x x x x s x s x a x b x c x x ⎧=-+≤<⎪=⎨=-+-+-+≤≤⎪⎩ 求,,a b c .