山西省大同市2020届高三下学期3月模拟考试数学(理)试卷 含答案
区间是（ ）
A．
2k
−
6
, 2k
+
6
(k
Z)
B．
2k
−
3
,
2k
+
2 3
(k
Z)
C．
2k
−
2 3
,
2k
+
3
(k
Z
)
D．
2k
−
6
, 2k
+
5 6
(k
Z)
11．已知 M
为双曲线
C
:
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b 0) 的右支上一点， A,
F 分别为双曲线 C
的
左顶点和右焦点，线段 FA 的垂直平分线过点 M ，MFA = 60 ，则 C 的离心率为（ ）
） D．a>c>b
4．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三
角形的数，如 1，3，6，10，15， …．我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记
载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图所示，顶
上一层 1 个球，下一层 3 个球，再下一层 6 个球， …）．若一“落一形”三角锥垛有 10 层，
A．6
B．4
C．3
D．2
12．设定义在 R 上的函数 满足
，且当 ［-1，0）时，
．若
对任意
，不等式 f (x) 3 恒成立，则实数 的最小值是（
）
4
A． −17 8
B． − 9 4
C． − 11 4
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
D． − 23 8
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知数列 是等差数列， 是其前 n 项和．若
，
，则 _____
14．已知 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，且函数 y = f (x −1) 为偶函数，当 0 ≤ x ≤1 时，
f
(x)
=
x3
，则
f
5 2
=
．
2
15．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（当一人先赢 3 局时获胜，比赛结束）．棋
则该堆垛总共球的个数为（ ）
A．55
B．220
C．285
D．385
5．下列图象中，不可能是函数
的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图 1 所示．金
元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中
各项的系数．所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即
A．-50
B．-60
（） C．-72
D．60
8．已知单位向量 a，b 的夹角为 ，且
，若向量 m a-3b，则|m （ ）
A．
B．
C．
D． 或
9．已知(2x+a)
的展开式中 的系数是 42，则常数 a，b 应当满足的条件是
（）
A． R，
B． R，
C． R，
D． ， R
10．已知函数 f (x) = 3 sinx − cosx ( 0) 的最小正周期为 2 ，则 f (x) 的单调递增
2 次）获得决赛资格．每次预赛通过摸球的方法决定赛道，规则如下：裁判员从装有 n 个红
球
和 2 个白球的口袋中不放回地依次摸出 2 球，若 2 球的颜色不同，则甲在第一赛
道，否则乙在第一赛道（每次赛道确定后，再将取出的两个球放回袋中）．假设甲获得决赛
资格的概率为 7 ，每次预赛结果互相独立，且无相同成绩． 27
B1
B
如图，三棱柱 ABC − A1B1C1 中，
C1
C
AB = AC = AA1 = BC1 = 2, A1CA = 30, BC = 6 ．
（1）求证：平面 ABC1 ⊥ 平面 AA1C1C ；
A1
A
（2）求二面角 B1 − AC1 − C 的余弦值．
19．（本小题满分 12 分）甲、乙两名运动员共参加 3 次百米赛跑预赛，赢 2 次以上者（包含
局以红棋与黑棋对阵，两人执色轮流交换，执红棋者先走．假设甲执红棋时取胜的概率为 2 ， 3
执黑棋时取胜的概率为 1 ，各局比赛结果相互独立，且没有和局．若比赛开始，甲执红棋 2
开局，则甲以 3：2 获胜的概率为________．
16．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中记述：羡除，隧道也，其形体上面
平而下面斜，一面与地面垂直，并用“分割法”加以剖分求其体积．如图所示的五
面体 ABCDEF 是一个羡除，两个梯形侧面 ABCD 与 CDEF 相互垂直，
．若
，
，
，梯形 ABCD 与 CDEF 的高分别为
和
，则该羡除的体积 ________；由此归纳出求羡除体积的一般
公式为 ________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分）
在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，且 sin Asin B = cos2 C ， 2
(c − 3b)sin C = (a + b)(sin A − sin B) ．
（1）求 A 和 B 的大小；
（2）若△ABC 的面积为 3 ，求 BC 边上中线 AM 的长．
18．（本小题满分 12 分）
山西省大同市 2020 届高三下学期 3 月模拟考试
数学（理）试卷
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目log2 (x −1) 1}, B = {x | x − a 2} ，若 A B ，则实数 a 的取值范围
“设 x 为某某”．如图 2 所示的天元式表示方程
，其中 ，
， ， ， 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次
1
项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂．
试根据上述数学史料，判断图 3 所示的天元式表示的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．执行如图所示的程序框图，输出结果
为（ ）
A． (1,3)
2．若复数 z 满足
B． [1, 3]
C．[1, +)
D． (−,3]
（ 为虚数单位），则复数|z|的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
3．已知 a
=
tan
2 5
0.1
，b
=
log3
2，c
=
log2
cos
3 7
，则（
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>a>b
D． 3 +1
（Ⅰ）当口袋中放入红球的个数 n 为多少时，3 次比赛中甲恰有 2 次在第一赛道的概率最大; （Ⅱ）若在 3 次比赛中，运动员每赢一次记 1 分，否则记-1 分，求甲得分 X 的分布列和数学
山西省大同市华严中学2020年高三数学理模拟试题含解析
山西省大同市华严中学2020年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4}，B＝{3，4，5}，则下图中的阴影部分表示的集合为A、{4}B、{5}C、{1，2}D、{3，5}参考答案：D2. 将函数的图象向左平移个长度单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．参考答案：A略3. 在[﹣1，2]内任取一个数a，则点（1，a）位于x轴下方的概率为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：在[﹣1，2]内任取一个数a，则点（1，a）位于x轴下方的概率为=，故选：C．4. 《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日所织尺数为（）A．6 B．9 C．12 D．15参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】设此数列为{a n}，由题意可知为等差数列，公差为d．利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．【解答】解：设此数列为{a n}，由题意可知为等差数列，公差为d．则S7=21，a2+a5+a8=15，则7a1+d=21，3a1+12d=15，解得a1=﹣3，d=2．∴a10=﹣3+9×2=15．故选：D．5.设复数z1＝1＋i，z2＝z＋2i(z∈R)，若z1z2为纯虚数，则x＝( )A．－2 B．－1 C．1 D．2参考答案：答案：D6. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＋a8＝15－a5，则S9等于()A．18 B．36 C．60 D．45参考答案：D7. 设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）A．B．C．D．参考答案：C8. 已知函数,,设函数，且函数的零点均在区间内，则的最小值为（）A、11B、10C、9D、8参考答案：B略9. 如果复数的实部和虚部互为相反数，则的值等于A．0 B．1 C．2 D ．3参考答案：A略10. 设i为虚数单位，则复数的虚部为(A)1 (B)i (C)-1 (D)-i参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量，满足条件，，与的夹角为60°，则．参考答案：12. 当输入的实数时，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于103的概率是。
2020年3月山西省大同市普通高中2020届高三毕业班高考模拟数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前山西省大同市普通高中2020届高三毕业班下学期高考模拟考试数学(理)试题 (解析版)2020年3月一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()(){}220|A x x x =-+≤，{}221|6B y x y =+=，则A B = （ ）A. []3,3-B. []22-,C. []4,4-D. ∅【答案】B 【解析】 【分析】先分别求得集合A ,集合B ,再根据集合的交集运算可得选项.【详解】由题意,得{}22A x x =-≤≤,{}44B y y =-≤≤,所以{}22A B x x ⋂=-≤≤.故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题.2.如图,在复平面内,复数1z ,2z 对应的向量分别是OA ,OB ,若12z zz =,则z 的共复数z =（ ）A. 1322i +B. 1322i -C. 1322i -+D.1322i -- 【答案】A 【解析】 【分析】如图,先判断出12,z z 对应的复数,然后根据复数除法计算出z 的值,即可求解出z 的值. 【详解】由图可知：1212,1z i z i=+=-+,所以()()()()1212112131112i i z i i z z i i i +--+-====-+-+--, 所以1322z i =+. 故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义、复数除法运算、共轭复数的求解,难度较易.注意互为共轭复数的两个复数的实部相同虚部互为相反数. 3.某次射击比赛中,某选手射击一次击中10环的概率是45,连续两次均击中10环的概率是12,已知某次击中10环,则随后一次击中10环的概率是（ ） A. 25B. 58C. 34D. 45【答案】B 【解析】根据条件概率计算公式()()()B |A P AB P P A =,得所求概率为152485=,故选B.4.已知正项数列{}n a 满足221120n n n na a a a ++--=,{}n a 的前n 项和为n S ,则53S a =（ ）。
2020届山西省大同四中联盟体高三下学期3月模拟考试数学(理)试卷及解析
2020届山西省大同四中联盟体高三下学期3月模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)第I 卷（选择题,共60分）一、选择题（本题共12小题,每小题5分,共60分）1.已知集合2{|560}A x x x =--<,{|31,}B x x k k Z ==+∈,则A B 等于（ ）A. {2,3,4}B. {1,2,3}C. {2,5}D. {1,4}【答案】D【解析】对集合,A B 进行化简,分别得到两个集合表示的内容,然后取交集【详解】集合A 中：2560x x --<,解得16x -<<,集合B 中：31,x k k Z =+∈,即...5,2,1,4,7,10...x =--所以{}1,4A B ⋂=故选D 项2.已知复数z 满足：（2＋i ）z ＝1－i ,其中i 是虚数单位,则z 的共轭复数为（） A. 15－35i B. 15＋35i C. 13i - D. 13i +【答案】B【解析】把等式变形,根据复数的运算先求出z ,再根据共轭复数的定义得出答案.【详解】由（2＋i ）z ＝1－i ,得z ＝12i i -+＝(1)(2)(2)(2)i ii i --+-＝15－35i ∴z ＝15＋35i .故选：B.3.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数为（ ）A. f (x )＝cos ,022x x x x ππ⎛⎫-<<≠ ⎪⎝⎭B. f (x )＝2121x x -+C. f (x )＝||x xD. f (x )＝x 2ln(x 2＋1)【答案】B【解析】模拟执行程序框图可得其功能是输出的函数为奇函数,并且此函数存在零点,一一验证即可.【详解】由程序框图知该程序输出的是存在零点的奇函数,选项A 、C 中的函数虽然是奇函数,但在给定区间上不存在零点,故排除A 、C.选项D 中的函数是偶函数,故排除D.故选：B.4.数列{}n a 中,22a =,60a =,且数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列,则4a 等于（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 16【答案】A 【解析】根据11n a +为等差数列可得4261112111a a a =++++,由此求得4a 的值. 【详解】由于11n a +为等差数列,故4261112111a a a =++++,即411421133a =+=+,解得412a =. 【点睛】本小题考查等差数列的基本性质：若{}n a 为等差数列,且m n p q +=+,则有m n p q a a a a +=+,利用这个性质,列方程,可求得4a 的值.。
山西省大同市2020届高三数学下学期3月模拟考试试题理含解析
山西省大同市2020届高三数学下学期3月模拟考试试题 理（含解析）一、选择题1.已知集合{}2|log (1)1,{|||2}A x x B x x a =-<=-<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A. (1,3) B. [1,3]C. [1,)+∞D. (,3]-∞【答案】B 【解析】 【分析】求解对数不等式和绝对值不等式，根据集合间的关系，即可求得参数的范围. 【详解】{}2|log (1)1{|012}{|13}A x x x x x x =-<=<-<=<<{|||2}{|22}{|22}B x x a x x a x a x a =-<=-<-<=-<<+，因为A B ⊆，所以2123a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得13a ≤≤． 故选：B.【点睛】本题考查由集合之间的关系求参数的范围，涉及对数不等式的求解，属综合基础题. 2.若复数z满足||1(z i i =为虚数单位)，则|z |的最大值为（ ） A. 1 B. 2C. 31【答案】C 【解析】 【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，根据已有条件求得圆的方程，之后将模转化为圆上的点到直线的距离，之后求解即可.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，()||11z i a b i -=-==即(()2211a b +-=，则点(),a b 的轨迹是以)为圆心，半径为1的圆，则z =所以max 13z ==故选：C【点睛】本题考查复数的相关性质与模的计算，将模转化为距离的思想是本题要点. 3.已知0.12(tan ),5a π=b =log 32，c =log 2(cos 3π7)，则（ ） A. a >b >c B. b >a >cC. c >a >bD. a >c >b【答案】A 【解析】 【分析】根据函数单调性进而确定函数值的范围再进行比较即可.【详解】对于a ，因为tan x 在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，2452πππ<< 即0.10.12(tan)(tan )54ππ>1a ⇒> 对于b ，因3log x 在定义域内单调递增，即33log 2log 311b b =<=⇒< 对于c ，因为cos x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，3472πππ<<则33coscoscos 0cos 127472ππππ<<⇒<<< 则223log coslog 1007c π⎛⎫<=⇒< ⎪⎝⎭综上，a b c >> 故选：A【点睛】本题较易。
2020年山西省大同市高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(A卷) (含答案解析)
2020年山西省大同市高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(A卷)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x(x−2)⩽0}，B={−1,0,1,2,3}，则A∩B=()A. {−1,0,3}B. {0,1}C. {0,1,2}D. {0,2,3}2.已知复数z=−1i−1，则它的共轭复数z−在复平面内对应的点的坐标为()A. (−1,−1)B. (−1,1)C. (1,2)D. (1,−2)3.据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19.现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为()A. 0.19B. 335C. 1135D. 674.数列{a n}满足a n+1+a n=2n−3，则a8−a4=()A. 7B. 6C. 5D. 45.函数f(x)=(x+1)ln(|x−1|)的图象大致为()A. B.C. D.6.已知θ为第一象限的角，sinθ−2cosθ=−25，则sinθ+cosθ等于()A. 95B. 85C. 75D. 657.甲、乙、丙三家公司承包6项工程，甲承包3项，乙承包2项，丙承包1项．不同的承包方案有()A. 720种B. 127种C. 60种D. 24种8.已知一个圆柱的侧面积等于表面积的23，且其轴截面的周长是16，则该圆柱的体积()A. 54πB. 36πC. 27πD. 16π9. 如图，在ΔABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE 与CD 交于点F ，过点F作直线QP ，分别交AB ，AC 于点Q ，P ，若AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的最小值为( )A. 85 B. 95 C. 2 D. 11510. 函数f(x)=2sin (2x +φ)(|φ|<π2)向左平移π3个单位后图象关于y 轴对称，则f(x)在[0,π2]上的最小值为( )A. −1B. 1C. −√3D. √311. 如图，O 是坐标原点，过E(p,0)的直线交抛物线y 2=2px(p >0)于A ，B 两点，直线BO 与过点A 平行于x 轴的直线相交于点M ，过点M 与此抛物线相切的直线与直线x =p 相交于点N.则|ME|2−|NE|2等于 ( )A. 2pB. p 2C. 2p 2D. 4p 212. 已知函数f(x)={x +2,x >ax 2+5x +2,x ≤a，若函数g(x)=f(x)−2x 恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A. [−1,1)B. [−1,2)C. [−2,2)D. [0,2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (x 2−ax +2y)5的展开式中x 5y 2的系数为240，则实数a 的值为______14. 过抛物线y 2=4x 的焦点，且倾斜角为3π4的直线交抛物线于P 、Q 两点，O 是坐标原点，则△OPQ的面积为________．15.一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．16.设S n为等差数列{a n}的前n项和，S17=170，a20=20，则S28=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在四边形ABCD中，AB=4，AD=2√3，E为BD的中点，AE=√13．(1)求BD；(2)若C=π，求△BCD面积的最大值．618.如图，在几何体ADE−BCF中，平面CDEF⊥平面ABCD，P为棱FC上的点，2FP=PC，四边形ABCD是边长为4的菱形，，在梯形CDEF中，CD//EF，，DE=3，EF=2．(Ⅰ)求证：平面ACE⊥平面BDE；(Ⅱ)求二面角P−BD−F的余弦值．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．20.为了实现绿色发展，避免能源浪费，某市计划对居民用电实行阶梯收费.阶梯电价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用电量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯电量第二阶梯电量第三阶梯电量月用电量范围(单位：kW⋅ℎ)(0,200](200,400]从本市随机抽取了100户，统计了今年6月份的用电量，这100户中用电量为第一阶梯的有20户，第二阶梯的有60户，第三阶梯的有20户．(1)现从这100户中任意选取2户，求至少1户用电量为第二阶梯的概率；(2)以这100户作为样本估计全市居民的用电情况，从全市随机抽取3户，X表示用电量为第二阶梯的户数，求X的概率分布列和数学期望．21.已知函数f(x)=ln(ax+b)−x(a,b∈R)．(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−2x+1，求a，b的值；(2)已知当a>0时，f(x)≤0恒成立，求ab的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知函数f(x)=|x−1|+|x−m|．(Ⅰ)当m=3时，求不等式f(x)≥5的解集；(Ⅱ)若不等式f(x)≥2m−1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查集合的交集运算与一元二次不等式的解法，属基础题．解：集合A={x(x−2)⩽0}={x|0≤x≤2}，B={−1,0,1,2,3}，则A∩B={0,1,2}．故选C．2.答案：A解析：根据复数的运算，化简得z=−1+i，根据共轭复数的概念，即可求解．本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的求解，其中解答中熟记复数的运算法则，以及共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．解：z=−1i−1=−1+i，z−=−1−i，对应点的坐标为(−1,−1)，故选：A．3.答案：D解析：本题考查了对立事件的概率及条件概率，属简单题．设事件A为48h发病，事件B为72h发病，则可知P(A),P(B)，则可求，结合条件概率公式可求结果解：设事件A为48h发病，事件B为72h发病，由题意可知：P(A)=0.055,P(B)=0.19，则P(A)=0.945,P(B)=0.81，由条件概率公式可得：P(B|A)=P(A B)P(A)=P(B)P(A)=0.810.945=67故选D．4.答案：D解析：本题考查数列的递推关系，属于基础题．由a n+1+a n =2n −3得到a n+2−a n =2，从而求出答案，属基础题． 解：依题意得(a n+2+a n+1)−(a n+1+a n )=[2(n +1)−3]−(2n −3)， 即a n+2−a n =2，所以a 8−a 4=(a 8−a 6)+(a 6−a 4)=2+2=4． 故选D ．5.答案：B解析：本题主要考查利用函数的解析式研究函数的图象，属于基础题．可从对数的运算性质和函数的单调性取特值(或范围)入手用排除法解此题． 解：当x >2时，x +1>3，ln(x −1)>0， 则f(x)=(x +1)ln(|x −1|)=(x +1)ln(x −1)>0， 且随着x →+∞时，f(x)→+∞，故排除A 、C ； 当x <−1时，，x +1<0，|x −1|>2，ln|x −1|>0， 则f(x)=(x +1)ln(|x −1|)<0，故排除D ． 故选B ．6.答案：C解析：解：∵sinθ−2cosθ=−25，则(2cosθ−25)2+cos 2θ=1， ∴5cos 2θ−85cosθ−2125=0，即(cosθ−35)(5cosθ+75)=0， 又∵θ为第一象限的角，∴cosθ=35，sinθ=45，从而sinθ+cosθ=75． 故选：C ．由已知等式移项，平方，整理可得5cos 2θ−85cosθ−2125=0，结合θ为第一象限的角，即可求cosθ的值，由同角三角函数基本关系式即可求sinθ的值，即可得解sinθ+cosθ的值． 本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．7.答案：C解析：本题考查计数原理的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．分三步进行，第一步从6项工程中选3项给甲有C 63种方法，再从剩下的3项工程中选2项给乙有C 32种方法，最后剩下的1项工程给丙，即可求解．解：∵甲、乙、丙三家公司承包6项工程，甲承包3项，乙承包2项，丙承包1项，∴甲承包3项，有C 63种方法；剩下3项工程，乙承包2项，有C 32种方法，剩下1项工程，丙承包1项，有1种方法，∴不同的承包方案有C 63C 32=60种．故选C ．8.答案：D解析：本题考查了圆柱的侧面积和体积求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．设圆柱的底面圆的半径为r ，高为ℎ.由题意可得2πr⋅ℎ2πr⋅ℎ+2πr 2=23，2(2r +ℎ)=16，解出r 、h 进而得出． 解：设圆柱的底面圆的半径为r ，高为h ．由题意可得2πr⋅ℎ2πr⋅ℎ+2πr 2=23，2(2r +ℎ)=16， 解得r =2，ℎ=4， 则该圆柱的体积．故选D ．9.答案：A解析：本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．选取AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底向量，利用三点共线和平面向量基本定理以及基本不等式可得． 解：∵D ，F ，C 三点共线，∴可设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2t 3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， ∴2t312=1−t12，解得t =35，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵Q ，F ，P 三点共线，所以可设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xλAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 根据平面向量基本定理可得：{xλ=25(1−x)μ=25，消去x 得1λ+1μ=52且λ>0，μ>0，λ+μ=(λ+μ)⋅2(1+1)=25(1+1+λμ+μλ)≥25(2+2√λμ⋅μλ)=85，当且仅当λ=μ=45时，等号成立． 所以λ+μ的最小值为85． 故选A ．10.答案：A解析：本题考查三角函数图象的变换及性质，熟练掌握三角函数图象的变换及三角函数的性质是解决此类问题的关键． 由函数图象平移得到，再由函数为偶函数及φ的范围得到2π3+φ=kπ+π2,k ∈Z ，求出φ的值，则函数f(x)解析式可求，再由x 的范围求得函数f(x)在[0,π2]上的最小值．解：函数的图象向左平移个单位后为，由它的图象关于y 轴对称有2π3+φ=kπ+π2,k ∈Z ，又，所以， 故，由有，所以当， 即时．故选A ．11.答案：C解析：本题考查了直线和抛物线位置关系，以及直线和直线的交点坐标问题，属于难题． 过E(p,0)的直线分别交抛物线y 2=2px(p >0)于A 、B 两点，不妨设直线AB 为x =p ，分别求出M ，N 的坐标，即可求出答案．解：过E(p,0)的直线分别交抛物线y 2=2px(p >0)于A 、B ，两点为任意的，不妨设直线AB 为x =p ，由{y 2=2px x =p，解得y =±√2p ， 则A(p,−√2p)，B(p,√2p)，∵直线BM 的方程为y =√2x ，直线AM 的方程为y =−√2x ， 解得M(−p,−√2p)，∴|ME|2=(2p)2+2p 2=6p 2，设过点M 与此抛物线相切的直线为y +√2p =k(x +p)，由{y 2=2px y +√2p =k (x +p )，消x 整理可得ky 2−2py −2√2p +2p 2k =0， ∴△=4p 2−4k(−2√2p +2p 2k)=0，解得k =2+√22，∴过点M 与此抛物线相切的直线为y +√2p =2+√22(x +p)，由{x =py +√2p =2+√22(x +p )，解得N(p,2p)， ∴|NE|2=4p 2，∴|ME|2−|NE|2=6p 2−4p 2=2p 2，故选：C ．12.答案：B解析：本题考查函数的图象的应用，函数的零点个数的判断，考查数形结合以及计算能力，属于基础题目．利用函数的零点，转化为两个函数的图象的交点个数，利用数形结合转化求解即可．解：函数f(x)={x +2,x >a x 2+5x +2,x ≤a， x 2+5x +2=2x ，可得x 2+3x +2=0，解得x=−1，x=−2.y=x+2与y=2x的交点为：x=2，y=4，函数y=f(x)与y=2x的图象如图：函数g(x)=f(x)−2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是：−1≤a<2．故选：B．13.答案：−2解析：本题考查了二项式定理的应用，是中档题．化(x2−ax+2y)5=[(x2−ax)+2y]5，利用二项展开式的通项公式求得展开式中x5y2的系数，列方程求出a的值．解：(x2−ax+2y)5=[(x2−ax)+2y]5，其展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅(x2−ax)5−r⋅(2y)r，令r=2，得T3=C52⋅(x2−ax)3⋅4y2=40x3⋅(x−a)3⋅y2=40x3y2(x3−3ax2+3a2x−a3)，∴展开式中x5y2的系数为40⋅(−3a)=240，解得a=−2．故答案为−2．14.答案：2√2解析：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，设出点P，Q坐标，由面积公式以及韦达定理即可求解．|OF|⋅|y1−y2|.解：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则S=12直线为x+y−1=0，即x=1−y代入y2=4x得：y2=4(1−y)，即y2+4y−4=0，∴y1+y2=−4，y1y2=−4，∴|y1−y2|=√(y1+y2)2−4y1y2=√16+16=4√2，∴S=12|OF|⋅|y1−y2|=12×4√2=2√2．故答案为2√2.15.答案：4√3π解析：本题考查空间几何体的三视图以及空间想象力能力及转化思想，根据条件可知该几何体外接球的体积与原正方体的外接球体积相等，由此得解，属于中档题．解：由题意知，该几何体外接球的体积与原正方体的外接球体积相等，设外接球的半径为R，则(2R)2=22+22+22=12，所以R=√3，所以V=43π·(√3)3=4√3π，故答案为4√3π．16.答案：420解析：本题考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，属于基础题．通过S17=170可得a9=10，从而有a1+a28=a9+a20=30，则S28=14(a1+a28)=420．解：由题意可知，S17=17(a1+a17)2=17a9=170，故a9=10，则a1+a28=a9+a20=30，S28=28(a1+a28)2=14(a1+a28)=420．故答案为：420．17.答案：解：(1)设BE=x(x>0)，则BD=2x，由余弦定理，得cos∠ABD=AB2+BE2−AE22AB⋅BE =AB2+BD2−AD22AB⋅BD，即16+x2−138x =16+4x2−1216x，解得x=1，所以BD=2．(2)在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2−2BC⋅CDcosC，即4=BC2+CD2−√3BC⋅CD≥2BC⋅CD−√3BC⋅CD=(2−√3)BC⋅CD，所以BC⋅CD≤2−√3=4(2+√3)，当且仅当BC=CD=√6+√2时，等号成立．可得S△BCD=12BC⋅CD⋅sinC=14BC⋅CD≤2+√3，所以△BCD面积的最大值为2+√3．解析：本题主要考查余弦定理解三角形的方法，三角形面积公式的应用，均值不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．属于中档题．(1)由题意结合余弦定理得到关于BE长度的方程，解方程由BE的长度即可确定BD的长度．(2)由余弦定理和均值不等式首先确定BC⋅CD的最大值，然后结合三角形面积公式可得三角形面积的最大值．18.答案：(Ⅰ)证明：由题意，，所以ED⊥DC，∵平面CDEF⊥平面ABCD ，平面CDEF∩平面ABCD=DC，ED⊂平面CDEF，∴ED⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴ED⊥AC，又∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又BD∩DE=D，BD、DE⊂平面BDE，∴AC⊥平面BDE，∵AC⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面BDE ；(Ⅱ)解：取AB中点H，，∴DH⊥AB，以DH 、DC 、DE 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图，由题意可得H(2√3,0，0)，B(2√3,2，0)，C(0,4，0)，E(0,0，3)，F(0,2，3)，∵2FP =PC ，∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴P(0,83,2)， ∴DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,83,2)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2，0)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，3)，设平面BDP 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则{m ⃗⃗⃗ ·DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =83y 1+2z 1=0m ⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x 1+2y 1=0, 令y 1=−3，则x 1=√3，z 1=4，故m ⃗⃗⃗ =(√3,−3,4)，设平面BDF 的法向量n⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 则{n ⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y 2+3z 2=0n ⃗ ·DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x 2+2y 2=0， 令y 2=−3，则x 2=√3，z 2=2，故n ⃗ =(√3,−3,2)，∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=28×16=5√714， 故二面角P −BD −F 的余弦值为5√714．解析：本题考查面面垂直的证明，利用空间向量求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属于中档题．(Ⅰ)由题意，证明AC ⊥平面BDE ，然后由面面垂直的判定定理可得；(Ⅱ)取AB 中点H ，以DH 、DC 、DE 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面BDP 和平面BDF 的法向量，即可得解．19.答案：解：(Ⅰ)由题意得a =2，e =c a =√32，所以c =√3． 因为a 2=b 2+c 2，所以b =1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)若四边形PAMN 是平行四边形，则 PA//MN ，且|PA|=|MN|．所以 直线PA 的方程为y =k(x −2)，所以 P(3,k)，|PA| =2+1．设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2).由{y =kx +√3x 2+4y 2=4得 (4k 2+1)x 2+8√3kx +8=0，由Δ>0，得 k 2>12，且x 1+x 2=−8√3k 4k 2+1，x 1x 2=84k 2+1． 所以|MN|=√(k 2+1)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(k 2+1)64k −32(4k 2+1)2．因为|PA|=|MN|，所以 √(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2=√k 2+1．整理得 16k 4−56k 2+33=0，解得 k =±√32，或 k =±√112． 经检验均符合Δ>0，但k =− √32时不满足PAMN 是平行四边形，舍去． 所以 k =√32，或 k =±√112．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用已知条件求出a ，b ，即可得到椭圆的方程；(Ⅱ)直线PA 的方程为y =k(x −2)，得到 P(3,k)，求出|PA| =√k 2+1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可．20.答案：解：(1)从这100户中任意选取2户，基本事件总数n =C 1002=4950，至少1户用电量为第二阶梯的概率：p =1−C 402C 1002=139165．(2)从全市任取1户，抽到用电量为第二阶梯的概率P =610=35，所以X ～B(3,35)，P(X =k)=C 3k (35)k (25)3−k ,k =0,1,2,3， X 的分布列为E(X)=3×35=95．解析：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查排列组合、古典概型，属于中档题．(1)基本事件总数n =C 1002=4950，利用对立事件概率计算公式能求出至少1户用电量为第二阶梯的概率．(2)X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布列和数学期望E(X)．21.答案：解：(1)函数f(x)=ln(ax+b)−x的导数为f′(x)=aax+b−1，可得y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为aa+b−1，切线方程为y=−2x+1，可得ln(a+b)−1=−1，aa+b−1=−2，解得a=−1，b=2；(2)由y=ln(x+1)−x的导数为y′=1x+1−1=−xx+1，当x>0时，函数y递减；当−1<x<0时，函数y递增；可得y的最大值为0，即ln(x+1)≤x，当a>0时，f(x)≤0恒成立，即x≥ln(ax+b)恒成立，只要ln(ax+b)≤ln(x+1)恒成立，即a=1，b≤1，可得ab≤1，即ab的最大值为1．解析：(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程可得a，b的值；(2)由y=ln(x+1)−x求得导数和单调性、最值，可得ln(x+1)≤x，由题意可得ln(ax+b)≤ln(x+ 1)恒成立，即有a，b的范围，进而得到ab的最大值．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、最值，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于中档题．22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程{x=−1+2cosφy=2sinφ，消去参数φ，得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．由曲线l1的极坐标方程ρ=2sin (θ+π4)，得ρsinθ+ρcosθ=1，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l 2的参数方程为{x =tcos π4y =1+tsin π4,(t 为参数)， 即{x =√22t y =1+√22t ,(t 为参数)， 代入(x +1)2+y 2=4中，化简、整理得t 2+2√2t −2=0，设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，则由韦达定理得t 1·t 2=−2，又线段PQ 为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)当m =3时，原不等式可化为|x −1|+|x −3|≥5．若x ≤1，则1−x +3−x ≥5，即4−2x ≥5，解得x ≤−12；若1<x <3，则原不等式等价于2≥5，不成立；若x ≥3，则x −1+x −3≥5，解得x ≥92．综上所述，原不等式的解集为：{x|x ≤−12或x ≥92}．(Ⅱ)由不等式的性质可知f(x)=|x −1|+|x −m|≥|m −1|，所以要使不等式f(x)≥2m −1恒成立，则|m −1|≥2m −1，当2m −1≤0时，m ≤12，成立，当2m −1>0时，m >12，m −1≤1−2m 或m −1≥2m −1，解得12<m ≤23，所以实数m 的取值范围是{m|m ≤23}．解析：本题考查函数恒成立，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．(Ⅰ)当m =3时，化简不等式为|x −1|+|x −3|≥5，去掉绝对值符号，求解不等式即可； (Ⅱ)利用绝对值不等式的几何意义，要使不等式f(x)≥2m −1恒成立，推出|m −1|≥2m −1，求解即可．。
2020年山西省大同市东沙河中学高三数学理模拟试题含解析
2020年山西省大同市东沙河中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. )的图象的一部分图形如图所示，则函数的解析式为( )A．y=sin(x+)B．y=sin(x-)C．y=sin(2x+)D．y=sin(2x-)参考答案：C略2. 执行如下图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. B. C. D. 4参考答案：B【分析】执行框图，写出每次循环得到的和i的值，得到取值的周期，当i=2019时，退出循环，输出即可得答案。
【详解】开始=4，i=1，执行第一次循环，=，i=2，执行第二次循环，=，i=3，执行第三次循环，=4，i=4故的取值周期为3，由于2019=6733，可得当i=2019时，退出循环，此时输出的值为，故选B【点睛】本题考查循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的和i的值，根据循环的周期，得到退出循环时的的值，属基础题。
3. 函数的最大值与最小值之差为A B. 4 C. 3 D.参考答案：A4. 设全集，，，A. B. C. D.参考答案：D5. 一个边为的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖方盒，当无盖方盒的容积最大时，的值应为（）A. B.C. D.参考答案：C试题分析：因无盖方盒的底面边长为,高为,其容积,则,当时,,函数单调递增; 当时,,函数单调递减.故当时, 无盖方盒的容积最大,故应选C.考点：棱柱的体积与导数在实际生活中的运用.【易错点晴】本题以现实生活中的一个最为常见的无盖方盒的做法为背景,考查的是导函数与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何选取变量建立函数关系,最后再运用导数进行求解.解答时,设无盖方盒的,高为,底面边长为,进而求该无盖方盒的容积,然后运用导数求得当时, 无盖方盒的容积最大,从而使得问题最终获解.6. 甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为、，则A. ，B. ，C. ，D. ，参考答案：C【分析】通过读图可知甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故.【详解】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故.故选.【点睛】本题考查平均数及标准差的实际意义，是基础题.7. 函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（）A．n（n∈Z） B．2n（n∈Z）C．2n或（n∈Z）D．n或（n∈Z）参考答案：C【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的图象与图象变化；偶函数．【分析】首先求出直线y=x+a与函数y=f（x）在区间[0，2）上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或，又因为对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），所以要求的实数a的值为2n或2n﹣．【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，设x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，于是f（x）=（﹣x）2=x2．设x∈[1，2]，则（x﹣2）∈[﹣1，0]．于是，f（x）=f（x﹣2）=（x﹣2）2．①当a=0时，联立，解之得，即当a=0时，即直线y=x+a与函数y=f （x）的图象有两个不同的公共点．②当﹣2＜a＜0时，只有当直线y=x+a与函数f（x）=x2在区间[0，1）上相切，且与函数f（x）=（x﹣2）2在x∈[1，2）上仅有一个交点时才满足条件．由f′（x）=2x=1，解得x=，∴y==，故其切点为，∴；由（1≤x＜2）解之得．综上①②可知：直线y=x+a与函数y=f（x）在区间[0，2）上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或．又函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），实数a的值为2n或2n﹣，（n∈Z）．故应选C．8. 已知函数的图象在点（1，）处的切线方程是的值是A． B．1 C． D．2参考答案：D略9. 若，的最大值是3，则的值是（）A．1 B．-－1 C．0 D．2参考答案：A略10. 设集合A. B. C. D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 己知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，时，，的值是____.参考答案：【分析】根据题意，由函数的奇偶性与周期性分析可得f（﹣）＝f（﹣）＝﹣f（），结合解析式求出f（）的值，又因为f（2019）＝f（1+2×1009）＝f（1）＝0；据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则f（﹣）＝f（﹣）＝﹣f（），f（2019）＝f（1+2×1009）＝f（1），又由函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则有f（1）＝f（﹣1）且f（1）＝﹣f （﹣1），故f（1）＝0，则f（2019）＝0，又由0＜x＜l时，f（x）＝4x，则f（）＝＝2，则f（﹣）＝﹣f（）＝﹣2；则＝﹣2；故答案为﹣2【点睛】本题考查函数的周期性与函数值的计算，属于基础题．12. 如图是一个算法流程图，则输出的k的值是．参考答案：17【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的k的值，当k=17时满足条件k＞9，退出循环，输出k的值为17．【解答】解：模拟执行程序，可得k=0不满足条件k＞9，k=1不满足条件k＞9，k=3不满足条件k＞9，k=17满足条件k＞9，退出循环，输出k的值为17．故答案为：17．13. 已知向量的模为2，向量为单位向量，，则向量与的夹角大小为．参考答案：14. 已知两条直线和互相平行，则等于 .参考答案：或略15. 设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，则= ．参考答案：【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用函数的周期性先把转化成f（），再利用函数f（x）是定义在R上的偶函数转化成f（），代入已知求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=f（+2）=f（），又∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（）=f（），又∵当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，∴f（）=+1=，则=．故答案为：．16. 已知双曲线C：的一条渐近线l 的倾斜角为，且C 的一个焦点到l 的距离为，则C 的方程为_______．参考答案：2，【知识点】双曲线【试题解析】由题知：所以，所以因为双曲线的焦点到渐近线的距离为b，所以b=2，所以所以的方程为：故答案为： 2，17. 等差数列中，若，，则=______.参考答案：9三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年3月2020届山西省同煤二中联盟体2017级高三3月模拟考试数学(理)试卷及答案
2020年3月2020届同煤二中联盟体2017级高三3月模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★时间:120分钟满分:150分一、选择题(每小题5分,共12小题60分)1、集合,,则( )A. B. C. D.2、已知复数（是虚数单位），，则（）A. B. C. D.3、已知曲线,直线,则是直线与曲线相切的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、已知数列的前项和为，某三角形三边之比为，则该三角形最大角为( )A. B. C. D.5、若，且，则等于（）A. B. C. D.6、中国古代近似计算方法源远流长,早在八世纪,我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法:若函数在处的函数值分别为为,则在区间上可以用二次函数来近似代替:,其中,若令,请依据上述算法,估算的值是( )A. B. C. D.7、已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则的值为（）A. B. C. D.8、执行如右图所示的程序框图，则输出的值是（）A.10B.11C.12D.139、已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.10、由这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于的个数为（）A. B. C. D.11、圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线可称为“等宽曲线”. 事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯（Reuleaux）命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线. 它的画法：画一个等边三角形，分别以，，为圆心，边长为半径，作圆弧，，，这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形（如图1）.它的宽度等于原来等边三角形的边长. 等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）.在图2中的正方形内随机取一点，则这一点落在鲁列斯曲边三角形内的概率为（）A. B. C. D.12、过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题(每小题5分,共4小题20分)13、已知向量，向量．若向量在向量方向上的投影为，则实数__________．14、已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，为抛物线的焦点，若，为坐标原点，则的面积是__________.15、若在的展开式中二项式系数的和为128，则展开式中有理项的个数为__________．16、若在有恒成立，则的取值范围为__________三、解答题(第17题~第21题，每小12分,第22题10分,共6小题70分)17、已知分别为三个内角的对边，， .（1）求；（2）若是的中点，，求的面积.18、已知函数.（1）求函数的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.19、如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是边长为的正三角形，（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）设是棱上的点，当平面时，求二面角的余弦值.20、已知椭圆过点,两个焦点为,,为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)直线过点,且与椭圆相交于、两点,求三角形面积的最大值.21、某中学根据2002—2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.（1）求与的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修学分分数的分布列及期望.22、在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若是曲线上的任意一点，是曲线上的任意一点，求线段的最小值.2020年3月2020届同煤二中联盟体2017级高三3月模拟考试数学（理）答案解析第1题答案B第1题解析或,或,或.第2题答案B第2题解析由题意可知：，因此，化简得，，则，由可知，仅有满足.第3题答案A第3题解析,直线过定点,且曲线也过点,若直线与曲线相切,设切点横坐标为,则切线为,则,解之或,所以是直线与曲线相切的充分不必要条件.第4题答案D第4题解析因为，∴，，，∴，∴.第5题答案A第5题解析由，则，所以，又由三角函数的基本关系式，且，解得，所以，故选A.第6题答案C第6题解析设,则有,则,由,可得,故选C.第7题答案D第7题解析因为，所以，所以的图像在点处的切线斜率．因为切线与直线垂直，所以，即，，所以，所以，所以，故应选．第8题答案B，即，，所以输出的值为11.第9题答案B第9题解析如图，这是三棱锥的三视图，平面平面，尺寸见三视图，，，，，所以，所以表面积．故选B．第10题答案C第10题解析分两种情况：（）个位与百位填入与，则有个；（）个位与百位填入与，则有个．则共有个..．第11题答案D第11题解析设鲁列斯曲边三角形的宽度为，则该鲁列斯曲边三角形的面积为，所以所求概率.C第12题解析由可知点为的中点．为右焦点. 连结，可得且，.又，∴.在三角形中．，∴.故选C.第13题答案第13题解析根据投影的定义可知．第14题答案第14题解析抛物线的准线方程为，设，过点作准线的垂线，如图，由抛物线的定义可知，，，，设直线的方程为，由，得，，的面积.第15题答案4第15题解析因为的展开式中二项式系数的和为128，所以，即，所以的展开式的通项为，当时，为自然数，所以有理项的个数为4.第16题答案第16题解析采用分离常数法求解，恒成立即在上恒成立，令，则，∴在递增，在上递减，，，故在上，∴...第17题答案(1) ;(2) .第17题解析（1）由可得，………………………………………… 1分即有，……………………………………………………………………………………………… 3分因为，∴，∴，∴. ………………………… 4分（2）设，则，由，可推出①，……………………………… 6分因为，所以，………………………… 7分由可推出②，………………………………… 9分联立①②得，故，…………………………………………………………………11分因此．……………………………………………………… 12分第18题答案（1）（2）第18题解析（1）函数的定义域为，，……………………………………… 1分在上递减，在上递增，………………………………………………………………3分所以当时，取最小值且为………………………………………… 4分（2）问题等价于：对恒成立，……………………………………………… 5分令，则，………………………………………………………………… 7分因为，所以，.......................................................................................... 9分所以在上单调递增， (11)分所以，所以……………………………………………………… 12分第19题答案见解答第19题解析（Ⅰ）取的中点，连接，∵是边长为的正三角形，∴①…………………………… 1分又，∴，且，于是，从而，②……………………………………… 2分由①②得平面，……………………………………………………………………………………… 3分而平面，∴平面平面. ……………………………………………… 4分（Ⅱ）连结，设，则为的中点，连结，当平面时，，所以是的中点. ………………………………………… 5分由（Ⅰ）知，、、两两垂直，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图，则∴得，从而，…………………………………………… 6分设是平面的一个法向量，则由取，得，……………………………………………………………… 8分易知平面的一个法向量是， (9)分∴……………………………………………………………… 11分由图可知，二面角的平面角为钝角，故所求余弦值为. ………………………………………………………………………………………… 12分第20题答案见解析第20题解析由题意,,设椭圆方程为,因为在椭圆上,所以, …………………………………………………………………… 2分解得,(舍去), 所以椭圆方程为, ……………………………………… 4分设直线为:,,,则, ……………… 6分所以, ………………………………………………………… 8分令,则,所以, …………………………………………………… 10分而在上单调递增,所以.当时取等号,即当时,的面积最大值为. ………………………………… 12分第21题答案（1）；（2）分布列见解析，.第21题解析（1）依题，，解得. ……………………………………… 4分（2）由题令该新同学社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量，则的值可以为0,1,2,3,4,5,6而；；；；；；；这样的分布列为0 1 2 3 4 5 6………………………………………… 11分于是.………………………………………… 12分第22题答案（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）.第22题解析（1）由，消去参数，得曲线的普通方程为. …………………………… 2分将代入到中，得，即曲线的直角坐标方程为. ……………………………………………………………… 5分（2）因为是曲线上的任意一点，是曲线上的任意一点，所以可设点，线段的最小值即点到直线的距离的最小值，…………………………………………… 7分所以，…………………………………………………… 9分当时，，即. ………………………………………………… 10分2020年3月2020届同煤二中联盟体2017级高三3月模拟考试数学（理）试卷。
2020山西高考理科数学模拟试题含答案
2020年高三年级模拟试题（三）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|320,|230A x x x B x x =-+<=->，则R A C B =I （ ） A ．31,2⎛⎫--⎪⎝⎭ B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 若()125i z i -+=-，则z 的值为（ ）A ． 3B ．5CD 3. “221a b +=”是“sin cos 1a b θθ+≤”恒成立的（ ） A ． 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ． 既不充分也不必要条件4. 若01a b <<<，则1,,log ,log b a b aa b a b 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>>C. 1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>>5. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数n 除以正整数m 后的余数为r ，则记为()mod n r m =，例如()112mod3=.现将该问题设计一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．21B ． 22 C. 23 D ．246. 已知()()611x ax -+展开式中2x 的系数为0，则正实数a =（ ） A ．1 B ．25 C. 23D ．2 7. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，若1111,3n n a S a +==，则7a =（ ） A ．74 B ．534⨯ C. 634⨯ D ．641+8. 如图是正四面体的平面展开图，,,,G H M N 分别是,,,DE BE EF EC 的中点，在这个正四面体中：①DE 与MN 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ． 1B ． 2 C. 3 D ．49. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于,M N两点，若3PF MF =u u u r u u u r，则MN =（ ）A ．163B ．8 C. 16 D 8310. 已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点()0,1B -，且在,183ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，同时()f x 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当12172,,123x x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ） A ．3- B ． -1 C. 1 D ．211. 下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．514π B ．412πC. 41π D ．31π 12. 设函数()f x 满足()()()2232,28xe xf x x f x e f '+==，则2x ≥时，()f x 的最小值为（ ）A ． 22eB ．232e C. 24e D ．28e二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.由曲线y x =y x =所围成的图形的面积是 ．14.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为16，左焦点为,F M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM MF ⊥，O 为坐标原点，若16OMF S ∆=，则双曲线C 的离心率为 ．15.要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有 种（用数字作答）.16.已知数列{}n a 与{}n b 满足()()()1*113121,2n nn n n n n b a b a b n N -+++-+=-+=∈，且12a =，则2n a = ．三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知ABC ∆的内切圆面积为π，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2cos cos b c A a C -=.（1）求角A ；（2）当AB AC u u u r u u u rg 的值最小时，求ABC ∆的面积.18. 如图，在梯形ABCD 中，0//,120AB CD BCD ∠=，四边形ACFE 为矩形，CF ⊥平面,ABCD AD CD BC CF ===，点M 是线段EF 的中点. （1）求证：EF ⊥平面BCF ；（2）求平面MAB 与平面FCB 所成的锐二面角的余弦值.19.按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表投保类型浮动因素浮动比率1A上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10%某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： （1）某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记X 为该车在第四年续保时的费用，求X 的分布列；（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有2辆事故车的概率；②假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故盈利8000元，若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求其获得利润的期望值.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，.不过原点的直线l 与椭圆C 相交于,M N 两点，设直线OM ，直线l ，直线ON 的斜率分别为12,,k k k ，且12,,k k k 成等比数列. （1）求12k k g的值； （2）若点D 在椭圆C 上，满足()221,0OD OM ON λμλμλμ=++=≠u u u r u u u u r u u u r g 的直线l 是否存在？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21.已知函数()()()ln 20f x x a ax a =+->的最大值为()M a .（1）若关于a 的方程()M a m =的两个实数根为12,a a ，求证：1241a a <；（2）当2a >时，证明函数()()g x f x x =+在函数()f x 的最小零点0x 处取得极小值. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为3cos 33sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的普通方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭:6OM πθ5=与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()21f x x x =++-.（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值范围；（2）若关于x 的不等式()10f x ax +->的解集为R ，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CDADC 6-10: BBCAB 11、12：CD 二、填空题13. 16142n -三、解答题17.解：（1）由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=， ∴2sin cos sin cos sin cos sin B A C A A C B =+=， ∵sinB 0≠，∴2cos 1A =，∴3A π=；（2）由余弦定理得222a b c bc =+-， 由题意可知ABC ∆的内切圆半径为1，如图，设圆I 为三角形ABC 的内切圆，,D E 为切点， 可得2,3AI AD AE ===， 则23b c a +-= 于是(2223b c b c bc +-=+-，化简得()43348bc b c bc =+≥ 所以12bc ≥或43bc ≤， 又3,3b c >>，所以12bc ≥，即[)16,2AB AC bc =∈+∞u u u r u u u r g ，当且仅当b c =时，AB AC u u u r u u u rg 的最小值为6，此时三角形ABC 的面积11sin 12sin 33223bc A π==⨯⨯=18.解：（1）在梯形中ABCD ，∵0//,,120AB CD AD BC BCD =∠=， ∴0060,120DAB ABC ADC ∠=∠=∠=， 又∵AD CD =，∴030DAC ∠=，∴030CAB ∠=，∴090ACB ∠=， 即BC AC ⊥. ∵CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC CF ⊥，而CF BC C =I ， ∴AC ⊥平面BCF ，∵//EF AC ，∴EF ⊥平面BCF ； （2）建立如图所示空间直角坐标系，设1AD CD BC CF ====， 则())()30,0,0,3,0,0,0,1,0,C AB M ⎫⎪⎪⎝⎭，∴()33,1,0,1,1AB BM ⎫==-⎪⎪⎝⎭u u u r u u u u r ，设()1,,n x y z =u r为平面MAB 的一个法向量，由110n AB n BM⎧=⎪⎨⎪⎩u r u u u r g u r u u u u r g 得3030x y y z ⎧+=-+=， 取1x =，则133,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u r ， ∵()21,0,0n =u u r是平面FCB 的一个法向量，∴1212219cos 3134n n n n θ===++u r u u r g u r u u r g . 19.解：（1）由题意可知X 的可能取值为0.9,0.8,0.7,,1.1,1.3a a a a a a ，由统计数据可知：()()()()()()1111310.9,0.8,0.7,, 1.1, 1.348841616P X a P X a P X a P X a P X a P X a ============，所以X 的分布列为X 0.9a0.8a0.7aa 1.1a1.3aP14181814316116（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为14，三辆车中至少有2辆事故车的概率为321311351144432P C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为4000,8000-. 所以的分布列为：所以()40008000500044E Y =-⨯+⨯=，所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为()10050E Y ⨯=万元.20.解：（1）由已知得c c e a ===224,1a b ==， 故椭圆C 的方程为2214x y +=； 设直线l 的方程为()()()11220,,,,y kx m m M x y N x y =+≠，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()()222148410,0k x kmx m +++-=∆>， 则()2121222418,1414m kmx x x x k k -+=-=++， 由已知()()()21212221212121212kx m kx m km x x m y y k k k k x x x x x x ++++====+， 则()2120km x x m ++=，即22222810,144k m m k k -+==+， 所以21214k k k ==； （2）假设存在直线l 满足题设条件，且设()00,D x y ，由OD OM ON λμ=+u u u r u u u u r u u u r，得012012,x x x y y y λμλμ=+=+，代入椭圆方程得：()()22121214x x y y λμλμ+++=，即2222221212121221442x x x x y y y y λμλμλμ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则121240x x y y +=，即()()121240x x kx m kx m +++=， 则()()22121214440k x x km x x m ++++=，所以()()2222222413214401414m k m k m k k-+-+=++g ， 化简得：22214m k =+，而214k =，则1m =±， 此时，点,M N 中有一点在椭圆的上顶点（或下顶点处），与12,k,k k 成等比数列相矛盾，故这样的直线不存在.21.解：（1）()()121,2,022a x a a f x a x a a x ax a⎛⎫-+-⎪⎝⎭'=-=>->++，由()0f x '>，得122a x a a -<<-；由()0f x '<，得12x a a>-； 所以，()f x 的增区间为12,2a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，减区间为12,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 所以()21221ln M a f a a a a ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭， 不妨设12a a <，∴22112221ln 21ln a a a a --=--，∴()222212112ln ln lna a a a a a -=-=， ∴22212121212ln a a aa a a a a -=g ，∴2121212142ln a a a a a a a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭g ，∴211221122ln4a a a a a a a a =⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设()()12ln 1h t t t t t =-->，则()22121110h t t t t ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，所以，()h t 在()1,+∞上单调递增，()()10h t h >=，则12ln 0t t t->>， 因211a a >，故2212121121122ln2ln 0,1a a a a a a a a a a a a ->><-，所以1241a a <； （2）由（1）可知，()f x 在区间12,2a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，又2x a →-时，()f x →-∞， 易知，()21221ln f a M a a a a ⎛⎫-==-- ⎪⎝⎭在()2,+∞递增，()()27ln 20M a M >=->， ∴0122a x a a -<<-，且02a x x -<<时，()0f x <；012x x a a<<-时，()0f x >， 当122a x a a -<<-时，()()()()()()001ln 2,21ln 21,2a x x a a x x g x x a a x x x a a ⎧+-+-<<⎪=⎨⎛⎫+--<<- ⎪⎪⎝⎭⎩， 于是02a x x -<<时，()()()0111122g x a a x a x a'=+-<+-++， 所以，若证明0121x a a <-+，则证明()01102a x a +-<+， 记()()211221ln 111H a f a a a a a ⎛⎫=-=+--+ ⎪++⎝⎭， 则()()211411H a a a a '=--++，∵2a >，∴()118093H a '>-->， ∴()H a 在()2,+∞内单调递增，∴()()222ln 203H a H >=->， ∵11221a a a a-<-+， ∴()f x 在112,22,21a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+-⊆-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭内单调递增， ∴012,21x a a a ⎛⎫∈-- ⎪+⎝⎭，于是02a x x -<<时， 22.解：（1）圆C 的参数方程为3cos 33sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩，（ϕ为参数），∴圆C 的普通方程为()2239x y +-=；（2）化圆C 的普通方程为极坐标方程6sin ρθ=， 设()11,P ρθ，则由6sin 6ρθπθ=⎧⎪5⎨=⎪⎩解得1153,6πρθ==， 设()22,Q ρθ，则由2sin 656πρθπθ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得2254,6πρθ==， ∴211PQ ρρ=-=.23.解：（1）∵函数()()21213f x x x x x =++-≥+--=，故函数()21f x x x =++-的最小值为3，此时21x -≤≤；（2）当不等式()10f x ax +->的解集为R ，函数()1f x ax >-+恒成立， 即()f x 的图象恒位于直线1y ax =-+的上方，函数()21,2213,2121,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪+>⎩，而函数1y ax =-+表示过点()0,1，斜率为a -的一条直线，如图所示：当直线1y ax =-+过点()1,3A 时，31a =-+，∴2a =-，当直线1y ax =-+过点()2,3B -时，321a =+，∴1a =，数形结合可得a 的取值范围为()2,1-.。
山西省2020版高考数学三模试卷(理科)A卷
山西省2020版高考数学三模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2014·福建理) 复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A . ﹣2﹣3iB . ﹣2+3iC . 2﹣3iD . 2+3i2. （2分）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A . [0，1]B . （0，1]C . [0，1）D . （﹣∞，1]3. （2分） (2017高二下·黑龙江期末) 函数f(x)=sin( －x)的一个单调增区间为（）A . ( , )B . (－ , )C . (－ , )D . (－ , )4. （2分） (2018高二下·集宁期末) 已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则a的值为（）X4a9P0.50.1bA . 5B . 6C . 7D . 85. （2分）已知命题，则的否定形式为（）A .B .C .D .6. （2分）一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A .B .C .D . 17. （2分） ""是""的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分） (2020高一下·开封期末) 若直线与圆相切，则（）A . 1B . -1C . -1或3D . -3或19. （2分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A . (1，1＋)B . (1+，＋∞)C . (1，3)D . (3，＋∞)10. （2分） (2019高一上·江阴期中) 函数的零点所在区间为（）A . （-1,0）B . （0,1）C . （1,2）D . （2,3）二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2015高二下·东台期中) 在的展开式中，常数项是________．（用数字作答）12. （1分） (2017高一下·徐州期末) 执行如图所示的流程图，则输出的k的值为________．13. （1分） (2016高二下·黑龙江开学考) 向量 =（m﹣2，m+3）， =（2m+1，m﹣2），若与的夹角为锐角，则m的取值范围是________．14. （1分） (2015高三上·来宾期末) 已知双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px （p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则该抛物线的标准方程是________．15. （1分） (2018高二下·齐齐哈尔月考) 已知命题 .若是真命题，则实数的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共60分)16. （10分）(2017·泉州模拟) 已知函数．（1）作出函数y=f（x）在一个周期内的图象，并写出其单调递减区间；（2）当时，求f（x）的最大值与最小值．17. （15分） (2019高二上·宁都月考) 将两块三角板按图甲方式拼好，其中，，，，现将三角板沿折起，使D在平面上的射影O恰好在上，如图乙．（1）求证：；（2）求证：O为线段中点；（3）求二面角的大小的正弦值．18. （10分） (2019高三上·长春期末) 已知数列的前n项和满足，且（1）求数列的通项公式；（2）记，为的前项和，求使成立的的最小值.19. （5分） (2018高三上·永春期中) 在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．Ⅰ 求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；Ⅱ 求该选手至多进入第三轮考核的概率；Ⅲ 该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X的分布列和期望．20. （10分） (2020高三下·南开月考) 已知函数， .（1）若，求证:当时，；（2）若对任意恒成立，求t的取值范围.21. （10分） (2017·孝义模拟) 设椭圆的左顶点为（﹣2，0），且椭圆C与直线相切，（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（0，1）的动直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数λ，使得？请说明理由．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共60分)16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、。
山西省同煤二中联盟体2020届高三3月模拟考试数学试题(理)(解析版)
山西省同煤二中联盟体2020届高三3月模拟考试数学试题（理）一、选择题（每小题5分，共12小题60分） 1.集合{}22|540,|1A x x x B x x ⎧⎫=-+>=<⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A. (,1)(2,)-∞⋃+∞ B. (,0)(4,)-∞+∞C. (2,4)D. (4,)+∞『答案』B 『解析』{}2|540{|1A x x x x x =-+>=<或4}x >，2|1={|0B x x x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭或2}x >，{|0A B x x ∴⋂=<或4}x >故选：B.2.已知复数()1z ai a R =+∈（i 是虚数单位），3455z i z =-+，则a =（ ） A. 2 B. 2- C.2±D.12『答案』B『解析』由题意可得，即，，.故选B ．3.已知曲线C ：()33f x x x =-，直线l：y ax =，则6a =是直线l 与曲线C 相切的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件『答案』A『解析』()2'33f x x =-，直线:l y ax =-过定点)，且曲线C也过点)..若直线l 与曲线C 相切，设切点横坐标为o x ，则切线为()2300332y x x x =--，则2030332x a x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解之06x a ⎧=⎪⎨=⎪⎩0234x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以6a =是直线l 与曲线C 相切的充分不必要条件. 故选：A.4.已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角为（ ） A. 60 B. 84 C. 90 D.120『答案』D『解析』2n S n =2213324433,5,7a S S a S S a S S ∴=-==-==-=925491cos 1202352θθ+-∴==-∴=⨯⨯5.若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5cos 24παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan α等于（ ） A. 43-B. 13-C. 34-D. 3-『答案』A『解析』由5cos 2,4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭则225(cos sin )cos sin αααα-=-，所以1cos sin 5αα+=，又由三角函数的基本关系式22cos sin 1αα+=，且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得43cos ,sin 55αα==-，所以sin 4tan cos 3ααα==-，故选A.6.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法:若函数()y f x =在123,,x x x x x x ===()123x x x <<处的函数值分别为()()()112233,,y f x y f x y f x ===，则在区间[]13,x x 上()f x 可以用二次函数来近似代替:()()()11121f x y k x x k x x =+-+-()2x x -，其中3221112213231,,y y y y k k k k k x x x x x x ---===---.若令120,2x x π==，3x π=，请依据上述算法，估算sin 5π的值是( ) A. 1425B.35C.1625D.1725『答案』C『解析』设()sin y f x x ==，120,2x x π==，3x π=，则有1230,1,0y y y ===，则11022k ππ-==-，0122k πππ-==--，224k π=-，由()()()()2111212244f x y k x x k x x x x x x ππ≈+-+--=-+，可得2244sin x x x ππ≈-+16sin525π≈，答案选C 7.已知函数的图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2017S 的值为（ ）A.20142015B.20152016 C. 20162017D.20172018『答案』D 『解析』因为，所以，所以的图像在点处的切线斜率．因为切线与直线320x y ++=垂直，所以，即，，所以，所以，所以，故应选．8. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是（ ）A. 10B. 11C. 12D. 13『答案』A『解析』第1次执行循环体后，S=2，k=2，不满足退出循环的条件，第2次执行循环体后，S=6，k=3，不满足退出循环的条件，第3次执行循环体后，S=14，k=4，不满足退出循环的条件，第4次执行循环体后，S=30，k=5，不满足退出循环的条件，第5次执行循环体后，S=62，k=6，不满足退出循环的条件，第6次执行循环体后，S=126，k=7，不满足退出循环的条件，第7次执行循环体后，S=510，k=8，不满足退出循环的条件，第8次执行循环体后，S=1022，k=9，不满足退出循环的条件，第9次执行循环体后，S=2046，k=10，满足退出循环的条件，故输出的k值为10，故选A.9.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.4+ B. 6C. 2+D. 2+『答案』B『解析』如图，这是三棱锥A BCD -的三视图，平面ABC ⊥平面BCD ，尺寸见三视图，Δ12ABC S =⨯=，Δ122BCD S =⨯=，2AD AC DC ===，所以1222ABD ADC S S ∆∆==⨯=，所以2226表S =++=．故选B ．10.由0,1,2,3,,9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（ ） A. 180 B. 196 C. 210 D. 224『答案』C『解析』分两种情况：（1）个位与百位填入0与8，则有2228A A 个； （2）个位与百位填入1与9，则有722711A A A 个. 则共有2221128277210A A A A A +=个. 故选：C.11.圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线叫做“等宽曲线”．事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯（Reuleaux ）命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线.它的画法（如图1）：画一个等边三角形,,,ABC A B C 分别以为圆心，边长为半径，作圆弧,,BC CA AB ,这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形.它的宽度等于原来等边三角形的边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）.在图2中的正方形内随机取一点，则这点落在鲁列斯曲边三角形内的概率是（ ）A.2π- B.24π-C. 2π- D.8π 『答案』A『解析』设正方形的边长为1，则正方形的面积为1，鲁列斯曲边三角形的面积为122π-=，故选A. 12.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OF OP =，则双曲线的离心率为A.B.C.D.『答案』A『解析』设双曲线的右焦点为，由于，，因此是的中点，由于是的中点，，由双曲线的定义得，得，在，得，，故答案为A.二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13.已知向量()a 1,3=，()b 3,m .=若向量b 在a 方向上的投影为3，则实数m =______．『解析』根据投影的概念：a b 33mb cos a,b 3a ⋅+===；m ∴=．14.已知抛物线28y x =，过点(1,0)M 的直线交抛物线于,A B 两点，F 为抛物线的焦点，若||6AF =，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积是__________.『答案』52『解析』抛物线28y x =的准线方程为2x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，过点A 作准线的垂线AH ，如图，由抛物线的定义可知，||||6AF AH ==， ∴126x +=，∴114,x y ==， 设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，由2(1)8y k x y x=-⎧⎨=⎩，得()2222280k x k x k -++=， ∴1221111,4x x x x ===，∴2y = ∴OAB ∆的面积12111112222OAB AOM BOM S S S y y ∆∆∆=+=⨯+⨯=⨯=.故答案为：215.若在32nx ⎛⎝的展开式中二项式系数的和为128，则展开式中有理项的个数为__________. 『答案』4『解析』因为32nx ⎛- ⎝的展开式中二项式系数的和为128，所以2128n =，即7n =，所以32nx ⎛- ⎝的展开式的通项为()721737217722(1)rr r r r r r r T C x C x---+⎛==- ⎝， 当0,2,4,6r =时，7212r -为自然数， 所以有理项的个数为4. 故答案：416.若3()22f x ax x =-+在[2,4]有()0f x ≤恒成立，则a 的取值范围为__________ 『答案』(,0]-∞『解析』()0f x ≤恒成立即23112a x x≤-在[2,4]上恒成立，令2311()2g x x x =-， 则344133()x g x x x x-'=-+=， ∴()g x 在(2,3)递增，在(3,4)上递减，11111(2)0,(4)88326464g g =-==-=，故在[2,4]上min ()(2)0g x g ==， ∴0a ≤.故答案为：(,0]-∞三、解答题（第17题~第21题，每小12分，第22题10分，共6小题70分）17.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，2sin cos b B b A =+，4c =.（1）求A ；（2）若D 是BC 的中点，AD =ABC ∆的面积.解：（1）由2sin cos b B b A =+可得2cos A A =+，即有sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0A π<<， ∴7666A πππ<+<， ∴62A ππ+=，∴3A π=.（2）设BD CD x ==，则2BC x =， 由()221621cos 82b x A b+-==， 可推出224416x b b =-+ ①，因为0180ADB ADC ∠=-∠，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，222+=可推出2222x b =+ ②， 联立①②得24120b b +-=，故2b =，因此11sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯= 18.已知函数()12ln f x x x=+. （1）求函数()f x 的最小值；（2）若()12f x t x≤-对任意的[]1,x e ∈恒成立，求实数t 的取值范围. 解：（1）函数的定义域为()0,+∞，()222121'x f x x x x -=-=，()f x 在110,+22⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上递减，在（，）上递增， 所以当12x =时，()f x 取最小值且为122ln22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）问题等价于： 1ln t x x≥+对[]1,x e ∀∈恒成立， 令()1ln g x x x =+，则()21'x g x x-=，因为[]1,x e ∈，所以()0g x '>， 所以()g x []1,e 上单调递增，所以()()max 11g x g e e ==+，所以11t e≥+ 19.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，侧面PAD 是边长为2的正三角形， AB BD ==3PB =.（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）设Q 是棱PC 上的点，当PA 平面BDQ 时，求二面角A BD Q --的余弦值.（Ⅰ）证明：取AD 中点O ，连结OP ，OB ，∵△P AD 是边长为2的正三角形，∴OP =OP ⊥AD ，又AB ＝AD =OB ⊥AD ，且OB ==于是OB 2+OP 2＝9＝PB 2，从而OP ⊥OB ．所以OP ⊥面ABCD ，而OP ⊂面P AD ，所以面P AD ⊥面ABCD ．（Ⅱ）解：连结AC 交BD 于E ，则E 为AC 的中点，连结EQ ，当P A ∥面BDQ 时，P A ∥EQ ，所以Q 是BC 中点．由（1）知OA ，OB ，OP 两两垂直，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则B （0，0），C （﹣2，0），D （﹣1，0，0），P （0，0，Q （﹣1，22，）， ()1DB =，，0DQ ⎛= ⎝⎭．设面BDQ 的法向量为()n x y z =，，，由0602n DB x n DQ y⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，取(61n =-，． 面ABD 的法向量是()001m =，，，∴cos 2m n =-＜，＞． ∵二面角A ﹣BD ﹣Q 是钝角，∴二面角A ﹣BD ﹣Q 的余弦值为3-．20.已知椭圆C 过点M （1，32），两个焦点为A （﹣1，0），B （1，0），O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过点A （﹣1，0），且与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△BPQ 面积的最大值． 解：（1）∵椭圆C 的两个焦点为A （﹣1，0），B （1，0），故c ＝1，且椭圆的坐标在x 轴上设椭圆C 的方程为：222211x y b b+=+ ∵椭圆C 过点M （1，32）， ∴2219114b b+=+ 解得b 2＝3，或b 234=-∴椭圆C 的方程为：22143x y += （2）设直线l 的方程为：x ＝ky ﹣1，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则 由221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：（4+3k 2）y 2﹣6ky ﹣9＝0 则y 1+y 22634k k =+，y 1•y 22934k -=+ ∴S 12=•2c •|y 1﹣y 2|234k =+ 令t =（t ≥1）则S 1213t t=+，∵y 13t t =+在『1，+∞）上单调递增，故当t ＝1时，y 取最小值，此时S 取最大值3， 当t=1时取等号，即当k=0时，△BPQ 的面积最大值为3.21.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m 、13、n ，己知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m n >.（1）求m 与n 的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．解：（1）依题()()1132413111134mn m n m n ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫----=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，解得1214m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为i X ，获得本选修课学分分数不低于4分为事件A ，则()4121123412P X =⨯⨯=；()5111123424P X =⨯⨯=；()6111123424P X =⨯⨯=. 故()11111224246P A =++=. 22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24,4x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos 2sin 40(0)ρθρθρ++=≥. （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）若A 是曲线1C 上的任意一点，B 是曲线2C 上的任意一点，求线段AB 的最小值. 解：（1）由24,4x t y t=⎧⎨=⎩，消去参数t ，得曲线1C 的普通方程为24x y =. 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入到cos 2sin 40(0)ρθρθρ++=≥中，得240x y ++=， 即曲线2C 的直角坐标方程为240x y ++=.（2）因为A 是曲线1C 上的任意一点，B 是曲线2C 上的任意一点，所以可设点()24,4A t t ，线段AB 的最小值即点A 到直线2C 的距离d 的最小值，所以d==，当14t=-时，mind=，即min||AB=.。