第八章 位移法习题解答

8-2、清华8-2c 试用位移法计算图示结构，并作内力图。

题8-2c (a )

方法一：列位移法典型方程

解：（1）D 处定向支座与AD 段不平行，视为固定端。AB 段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来，DA 杆D 端支座与杆轴线不平行，视为固定端。结构只有一个转角位移法基本未知量。基本结构如图(b)。

（2）建立典型方程：

11110P k z R ?+=

（3）画基本结构的P M 、1M 的弯矩图：如图(c) 、(d) 所示。 （4）利用结点的力矩平的平衡求系数：

1110;

k i =

1P R P l =-?

（5)将系数，自由项代入典型方程得z 1。110P l

z i

?=

|

（6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：11P M M M z =+?

30.3()1040.4()

20.2()101030.3()

10AC AD DA AE

P l

M i Pl i P l P l

M i Pl M i Pl i i

P l M i Pl i

?=+?=??=+?==+?

=?=+?=左拉上拉下拉右拉

方法二：转角位移法

(c)

M

AB

(d)

(b)(e)

Q AB

F Q

解：（1）确定结构的基本未知量。有一个角位移z1，如图所示（b）。

（2）列杆端的转角位移方程：AB段剪力和弯矩静定，DA杆D端支座与杆轴线不平行，视为固定端。

C1111

,,3,3,4,2 F

AB AB A AE AD DA

M Pl M Pl M i z M i z M i z M i z =-=-=?=?=?=?

（3）根据刚结点的力矩平衡，列位移方程，求未知量z1：

1111

003430

10

AB AC AD AE

Pl M M M M M Pl i z i z i z z

i =→+++=→-+?+?+?=→=

∑

（4）将所求位移代回转角位移方程求各杆端力，并作结构的弯矩图，如图(c)所示。

（

C11

11

,,

330.3,330.3,

1010

440.4,220.2

1010

F

AB AB

A AE

AD DA

M Pl M Pl

Pl Pl

M i z i Pl M i z i Pl

i i

Pl Pl

M i z i Pl M i z i Pl

i i

=-=-

=?=?==?=?=

=?=?==?=?=

讨论；本题将D处的滑动支座改为与杆轴线平行。

(b)(e)

(d)

M

AB

(c)

Q AB

F Q

解：（1）确定结构的基本未知量。有一个线位移z1，如图所示（b）。

（2）列杆端的转角位移方程：AB段剪力和弯矩静定。

C 1111,,3,3,,F AB AB A AE A

D DA M Pl M Pl M i z M i z M i z M i z =-=-=?=?=?=-?

（3）根据刚结点的力矩平衡，列位移方程，求未知量z 1：

1111003307AB AC AD AE Pl

M M M M M Pl i z i z i z z i

=→+++=→-+?+?+?=→=

∑ （4）将所求位移代回转角位移方程求各杆端力，并作结构的弯矩图，如图(c)所示。

C 1111,,

3333,33,777711

,7777

F AB AB A AE AD

DA M Pl M Pl Pl Pl M i z i Pl M i z i Pl i i Pl Pl M i z i Pl M i z i Pl

i i =-=-=?=?==?=?==?=?==-?=-?=- -

类8-2 d 、试用位移法典型方程计算图示结构，并作内力图。

4q =20k N /m

q =20k N /m

解：1)基本结构如图(b)，有两个位移法未知量。

2)列典型方程：

111122*********

P P k z k z R k z k z R ?+?+=??

?+?+=? 3)画基本结构在下述情况的弯矩图：

荷载单独作用下的P M 图、只让刚臂1单独转过正的单位转角的1M 图以及只让刚臂2发生正的单位转角的2M 图，如图(c) 、(d) 、 (e)。

4）利用结点的力矩平衡，和横梁力的平衡求系数： (c)：1225;0P P R R =-?=kN m ；

(d)：11125;

2k i k i ==

）

(e)：21222;

11k i k i ==

5)将系数，自由项代入典型方程得z 1、z 2。

12275

50

5151z z i

i

-=

=

6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：2211z M z M M M P ?+?+=

27550

150217()()515127550

150411.1()

()515150

003 2.9()

()5127550

15248.1()

()515127550

154234.6()

()

5151AB BA BC BD DB DE M i kN m i i M i kN m i i M i kN m i M i i kN m i i M i i kN m i i

M -=-+?

+?=-?-=++?+?=?-=++?=-?-=-+?+?=-?-=++?+?=?左拉左拉上拉左拉左拉275

5.4()()

51275

5.4()()

51ED i kN m i M i kN m i =?=?=-?=-?下拉下拉 3、清华5-3a 试用位移法典型方程计算图示结构，并作内力图。

4i

清华 题5-3（a ）

解：（1）DE 段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来。结构有两个位移法基本未知量。基本结构如图(b)。

（2）建立典型方程：

111122*********

P P k z k z R k z k z R ?+?+=??

?+?+=?

'

(3)画基本结构在下述情况的弯矩图：

荷载单独作用下的P M 图、只让刚臂1单独转过正的单位转角的1M 图以及只让附加连杆2发生正

的单位线位移的2M 图，如图(c) 、(d) 、 (e)。

(4）利用结点的力矩平衡，和横梁力的平衡求系数：

1230;0P P R R =-?=kN m ；

1122122121567;;i i

k i k k k l l

==

==-

(5)将系数，自由项代入典型方程得z 1、z 2。

1215060;2323l

Z Z i i

=

= (6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：2211z M z M M M P ?+?+=

15066002 2.61()()23231506600410.43()()

2323150

30310.43()()2320()()360007.83()()

23AC CA CD DC DE BD i l

M i kN m i l i i l

M i kN m i l i M i kN m i

M kN m M i l

M kN m l i

=+?-?=-?=+?-?=?=-+?=-?=?=-=+-

?=-?左拉左拉上拉上拉左拉

8-3c 、试用位移法典型方程计算图示刚架，并做弯矩图，EI =常量。

·

解：（1）外伸段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来。结构有两个位移法基本未知

量。基本结构如图(b)。

（2）建立典型方程：

1111221211222200P P

k z k z R k z k z R ?+?+=???+?+=?

BA （d ）

（b ）

l

V （a ）

(3)画基本结构在下述情况的弯矩图：

荷载单独作用下的P M 图、只让刚臂1单独转过正的单位转角的1M 图以及只让附加连杆2发生正的单位转角的2M 图，如图(c) 、(d) 、 (e)。

(4）利用结点的力矩平衡，和横梁力的平衡求系数：

12353104

()30;

1026.875248

P P c R R ??=?=-?--=-?：kN m kN m ；

1111k i =（d ）

22122122

624() 1.875;344i i e k i k k i =

+===-

…

(5)将系数，自由项代入典型方程得z 1、z 2。

11111221122112222122 2.097011330003 1.87526.875017.688

P P Z k z k z R i z i z i

k z k z R i z i z Z i ?=??+?+=?-?+=???→→?

???+?+=-?+?-=???=??

(6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：2211z M z M M M P ?+?+=

2.097617.688

17.5044.03()()

42.09717.688

303036.29()

()

AB CB

i M kN m i i M i kN m i i

=-+?-?=-?=+?-?=?左拉上拉

2.0971217.6880836.29()()

42.0971217.688

0444.68()

()

4CD DC

i M i kN m i i i M i kN m i i

=+?-?=-?=+?-?=-?右拉左拉

讨论：试用力法典型方程计算图示刚架，并做弯矩图，EI =常量。

图15-15（a ）（d ）x

（e ）

（b ）（c ）

解：（1）外伸段段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来。结构有两个力法基本未知量。基本结构如图(b)。

（2）建立典型方程：

111122*********

P P z z z z δδδδ?+?+?=??

?+?+?=?

{

（3)画基本结构在下述情况的弯矩图：

画荷载单独作用下的P M 图、两单位力分别单独的单位弯矩1M 图和2M 图，如图(c) 、(d) 、 (e)。 4）图乘求系数：

12112215412111254570

(204)6323311111330(408)(12541)22211482331181412033P P EI EI EI EI EI EI EI

EI EI

EI EI EI δδ?????=-

-???+=?=???+???=

??=?=

????=+=

；

5)将系数，自由项代入典型方程得x 1、x 2。

1211112211211222221

28

25700044.03233022033036.2903P P x x x x x EI EI EI

x x x x x EI

EI EI δδδδ??+?+=??+?+?==-???→→?

???+?+?==-????+?+=?? 6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：1212P M M M x M x =+?+?

01(44.032)0(36.29)44.03()()5()

()00(44.032)1(36.29)36.29()()00(44.032)1(36.29)36.29()()1251(44.032)1(36.29)44.68()

()

AB BA CB CD DC M kN m M kN m M kN m M kN m M kN m =+?-+?-=-?=?=+?--?-=?=+?-+?-=-?=--?--?-=-?左拉左拉上拉右拉左拉

8-4c 、试用位移法典型方程计算图示结构，并作内力图。

(a )

l

(c )

(b )

(e )

(f )

(各值均要乘Pl )

4(d )

、

解：（1）结构有两个位移法基本未知量。基本结构如图(b)。

（2）建立典型方程：

111122*********

0P P

k z k z R k z k z R ?+?+=???+?+=?

(3)画基本结构在下述情况的弯矩图：

荷载单独作用下的P M 图、只让刚臂1单独转过正的单位转角的1M 图以及只让连杆2发生正的单位线位移的2M 图，如图(c) 、(d) 、 (e)。

(4）利用结点的力矩平衡，和横梁力的平衡求系数：

120;P P R R P ==-（c ）；11():11d k i =

221221222123156():,i i i i

e k k k l l l l

=

+===-

(5)将系数，自由项代入典型方程得z 1、z 2。

,

1122

12

22661100129615110129Pl i z i z z i l

i i Pl

z z P z l l i ??=?-?+=????→????-?+?-==????

(6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：2211z M z M M M P ?+?+=

2

2

6611020.419()1291296611040.326()129129660.27912960.047()129360.256()

129AC CA CD CE EC

BD Pl i Pl M i Pl

i l i Pl i Pl M i Pl

i l i Pl

M i Pl

i Pl

M i Pl M i i Pl

M Pl

l i

=+?-?=-=+?-?=-=?==?==-=-?=-左拉右拉（下拉）右拉左拉

8-4d 、列出位移法典型方程，并求出方程的系数和自由项。E =常数

8m

4m

4m

(b)

(a)

解：（1）C 处两链杆与杆段轴线不平行，视为固定端。结构只有一个转角位移法基本未知量。基本结构如图(b)。

（2）建立典型方程：

11110P k z R ?+=

（3）画基本结构的P M 、1M 的弯矩图：如图(c) 、(d) 所示。 （4）利用结点的力矩平的平衡求系数：

:

119.2;

k i =

1P R P

=-

6、清华5-3b 试用位移法典型方程计算图示结构，并作内力图。

4i .42P

解：（1）结构有两个位移法基本未知量。基本结构如图(b)。

（2）建立典型方程：

111122*********

0P P

k z k z R k z k z R ?+?+=???+?+=?

(3)画基本结构在下述情况的弯矩图：

荷载单独作用下的P M 图、只让刚臂1单独转过正的单位转角的1M 图以及只让连杆2发生正的单位线位移的2M 图，如图(c) 、(d) 、 (e)。

(4)利用结点的力矩平衡，和横梁力的平衡求系数：

}

1267.5;0P P R R =-?=kN m ；

1122122189.5;;03

i

k i k k k ==

==

(5)将系数，自由项代入典型方程得z 1、z 2。

12135

;019Z Z i

=

= (6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：2211z M z M M M P ?+?+=

135

67.5 1.556.84()()19135

0428.42()()19135

0214.21

()()19135

0428.42

()()19135

0214.21

()

()

19CA CB BC CD DC

M i kN m i

M i kN m i M i kN m i M i kN m i M i kN m i

=-+?=-?=+?=?=+?=?=+?=?=+?=?下拉右拉左拉左拉右拉 7、清华5-4 a 试用位移法典型方程计算对称性刚架，并做弯矩图。

(a)

(b)

11

(d)180kN m

1P

1

(c)180kN m

180kN m

解：（1）由于对称性可取半结构来分析，BD 部分剪力、弯矩静定（发生单位位移时，不会产生弯矩）。半个结构只有一个位移法基本未知量。基本结构如图(b)。

（2）建立典型方程： 11110P k z R ?+=

！

（3）画基本结构的P M 、1M 的弯矩图：如图(c) 、(d) 所示。 （4）利用结点的力矩平的平衡求系数：

118;

k i =

1150kN m P R =-?

（5)将系数，自由项代入典型方程得z 1。1754z i

=

（6)利用叠加法求各杆端的最后弯矩,如图（f ）：11P M M M z =+?

75

75

2307.5()()430105()()4475

75

475()()

237.5()()

44AB BA BC

CB

M i kN m M i kN m i i M i kN m M i kN m i

i

=+?-=?=+?+=?=+?=?=+?=?下拉上拉左拉右拉 8-5a 、试用位移法典型方程计算对称性刚架，并做弯矩图。(本题请你动动手算算)

P kN ·m)

习题8-5

(d)

4m

(e)M 1图

1P

4m

4m

4m

(f)kN ·m)

(g)(c)

kN ·m)

z 1=-80/11i

8-10(d)、作有剪力分配法作白皮书《教材》 8-10(d)

）

M 图

kN ·m)

(d )

(e )M

图kN ·m)

(f )M

图kN ·m)

a 题8-10d ）(

b )

(c )

=

+

解：（1）基本结构不是受结点荷载作用，将其分解为(b)、(c)两种情况。

其中3

310858301545kN 88

P R =-??-??=--=-，分别作出两种情况的弯矩图，再叠加。 （2）由于(b)图加上集中力后，立柱顶端不发生侧移，故直接查表获得其弯矩图，弯矩图如(f)所示。

（3） 图(c)受结点荷载作用，可采用有剪力分配法。先求各柱的剪力，再求柱底的弯矩。由于各柱的高度、和线刚度、支座完全相同，各柱的剪力分配系数13

μ=

。 1

4515kN 3

BA DC FE V V V ===?=

弯矩图如(e)所示。

(4) 叠加(f)和 (e)所图示弯矩图，可得原结构的弯矩图如（d ）所示。

10、补充作业：利用对称性取半结构，采用典型位移法方程，作图示刚架的弯矩图。

4i

M 2图

(c )

z z 10kN/m

q=10kN/m

2R R

/

解：（1）原结构有4个结点，有2个线位移。由于奇数跨结构对称，载荷正对称，故可以取（b ）

所示半结构作为基本结构；简化为只有2个结点转角未知量。令3

EI

i =

。 111122*********

0P P

k z k z R k z k z R ?+?+=??

?+?+=?

（2）画基本结构在下述情况的弯矩图：

荷载单独作用下的P M 图、只让刚臂1单独转过正的单位转角的1M 图以及只让刚臂2发生正的单位转角的2M 图，如图(c) 、(d) 、 (e)。

（3）利用结点的力矩平衡，和横梁力的平衡求系数：

1112221243724341130

P P k i i i k i k i i i i R R =+===++==-=

（4)将系数，自由项代入典型方程得z 1、z 2。

11112211221122220330

60

7373P P k z k z R z z k z k z R i i

?+?+=?→==-

?

?+?+=?

（5）利用叠加法求各杆端的最后弯矩。利用对称性可画原结构的弯矩图如图（f ）所示。

:

2211z M z M M M P ?+?+=

60

002() 1.64()()7360

004() 3.29()()

7333060

024() 5.75()()

737333060

042()16.4()()

7373330

30316.4()()

73003(AB BA BC CB CD BE M i kN m i M i kN m i M i i kN m i i

M i i kN m i i M i kN m i M i =++?-

=-?=++?-=-?=+?+?-=?=+?+?-=?=-+?=-?=++?-左拉右拉右拉左拉上拉60

) 2.46()()

73EB kN m M i =-?=-上拉

8-10c 、采用转角位移法计算图示结构，并作其弯矩图。立柱的EI 为常量。

kN ·m)

解：（1）确定结构的基本未知量。有一个线位移z 1，如图所示（b ）。 （2）列杆端的转角位移方程：

13308

AB CD EF BA DC FE i i M M M z z M M M l -===?=-?===

1123364

BA DC FE i i

V z z V V l =

?=?== （3）根据横梁的力的平衡，列位移方程，求未知量z 1：

113640

03003030643BA DC FE i X V V V z z i

=→---=→-?

?=→=

∑ （4）将所求位移代回转角位移方程求各杆端力，并作结构的弯矩图，如图(c)所示。

3640

80kN m 083AB CD EF BA DC FE i M M M M M M i

===-

?=?===

364010kN 643BA DC FE i V V V i

=

?===

12、采用转角位移法，画出最后弯矩图。

M BD

（a ） （b ） （c ）

解：（1）基本未知量：取结点B 的转角z 1，立柱侧移z 2为未知量。

（2）因为i AB =i DE =i BC =i , i BD =2i ，杆的线刚度

故：杆端弯矩、剪力：

12112643640

BC BD BA DB DE

i

M i z z l

M i z i M i z z l M M =?+?=?=?-?== 122122226126123BA BC

DE

i i V z z l l i i V z z l l i V z l

=-

?+?=-?-?=?

（3）列位移法方程：

00

0()0

B B

C B

D BA BA D

E BC m M M M V V V P X ?=++=??→?

?--++==???∑∑剪力投影正负规定向右为正

1211212212

222112

222

66(4)3(4)06123612()()0

0100

27027i i i z z i z i z z l l i i i i i z z z z z P l l l l l z i z i Pl z P z l i ?

?+?+?+?-?=??→?

?--?+?-?+-?-?+=??=?=????

→???+==-????

（4）将所求位移代回转角位移方程求各杆端力，并作结构的弯矩图，如图(c)所示。