中考数学一元二次方程根的判别式及根与系数的关系知识讲解
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
上述命题的逆命题也正确
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的 两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换 的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数 式的值，
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值
例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积 大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值．
(x 1－x 2) 2＝3 x 1·x 2－5 ……③ ∵(x 1－x 2) 2＝(x 1＋x 2) 2-4 x 1·x 2
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，b那么x1+x2=-ac，x1x2=a4. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系22.根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝．b4ac3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b2－4ac≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
【例题罗列】根的判别式类型1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x2－2x－1＝0；（2）y2＝2y－4；（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．（系数中有字母的情况）解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根．(3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．(4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36，∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数，∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．升级:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况．这是一类需要自己找出隐含条件的题解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10．又y 2＋my －2m ＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20当m ＜－10时，m 2＋8m －20>0，即Δ2>0．∴方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两个不相等的实数根．类型2：1.已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0．k 取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?解：Δ＝(2k )2－4（k －1）（k ＋3）＝－8k ＋12．(1)当－8k ＋12＞0，且k －1≠0，即k ＜且k ≠1时，方程有两个不相等23的实数根；(2)当－8k ＋12＝0，且k －1≠0，即k ＝时，方程有两个相等的实数根；23(3)当－8k ＋12＜0，且k －1≠0，即k ＞时，方程没有实数根．23说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．2．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相等的实数根，则此三角形为（ ）A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式解：原方程可化为（a+c ）x 2＋2bx ＋a-c ＝0，Δ＝(2b)2－4（a +c ）（a -c ）＝0得到a 2=b 2+c 2，因此此三角形为直角三角形。
复习2：一元二次方程根的判别式
4、若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有两个不相等实数根，
则m的取值范围是
()
A.m＜1
B. m＜1且m≠0
C.m≤1
D. m≤1且m≠0
5、若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则 k= .
6.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0, 其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。
则x1+x2=
；x1x2= ；
2、方程2x2-kx-6=0的一个根是2，则k=
；
另一个根为（ ）
3、以2，-3为根的一元二次方程是
；
4、已知a、b是方程x2+x-1=0的两实根，则
a2+2a+b=
拓展已知a、b满足6a=a2+4，6b=b2+4，
求 ab ba
思维训练. 1、在一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)中
3、一元二次方程的根与系数的关系：注意:此关系是在( )条件下存 在的。若 ax2+bx+c=0 的两根为 X1、x2，则x1+x2= ；x1x2= ；
4、以x1、x2为根（二次项系数为1）的一元二次方程是——————
➢ 课时训练（一）
Hale Waihona Puke 1、下列一元一次方程中，有实数根的是（ ）
A
.x2-x+1=0
➢ 要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根.
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系知识讲解
方法一：设方程另外一个根为 x1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得
x1
2
k 5
，
2
x1
6 5
，从而解得：
x1
3 5
，k＝-7．
方法二：将 x＝2 代入方程，得 5×22+2k-6＝0，从而 k＝-7．
设另外一根为 x1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得
x1
2
7 5
，从而
x1
3 5
，
故方程的另一根为 3 ，k 的值为-7． 5
∴ a≤ 且 a≠1，
∴整数 a 的最大值为 0．故选：B． 4.【答案】D；
【解析】求得 Δ=b2-4ac=-8＜0，此无实数根，故选 D.
5.【答案】B；
【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k=0 有实数解， ∴b2﹣4ac=42﹣4×1×k≥0， 解得：k≤4，故选 B．
6.【答案】A；
① x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 ；
② 1 1 x1 x2 ； x1 x2 x1 x2
③ x1 x22 x12 x2 x1 x2 (x1 x2 ) ；
④ x2 x1 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 ；
x1 x2
x1x2
x1x2
⑤ (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2 ；
9．若方程
的两根是 x1、x20．设一元二次方程 x2 3x 2 0 的两根分别为 x1 、 x2 ，以 x12 、 x22 为根的一元二次方程是________．
11．已知一元二次方程 x2-6x+5-k=0•的根的判别式△=4，则这个方程的根为_____
一元二次方程判别式和根与系数的关系
一元二次方程（2）★★知识点精讲1. 一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为△= . （1）△＞0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根，即=2,1x .（2）△ = 0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根，即==21x x .（3）△＜0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.（4）△ ≥ 0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.2． 一元二次方程根与系数的关系（1）如果关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .（2）如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两个根是1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .3. 不解方程，求二次方程的根x 1,x 2的对称式的值，特别注意以下公式：①222121212()2x x x x x x +=+- ； ②12121211x x x x x x ++= ； ③22121212()()4x x x x x x -=+- ； ④2121212||()4x x x x x x -=+-.★★典例讲解及思维拓展 ●例1．不解方程，判定方程根的情况（1）x 2-7x-18=0 ； （2）9x 2+6x+1=0；（3）2x 2=9x-8 ； （4）16x 2+8x=-3 .★刘老点津★ 1.使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式.2.按照“一求二判”的思路来完成。
“一求”是指第一步求方程中“△”的值，“二判”是指第二步判断△的符号从而确定方程根的情况。
●例2．求证：不论k 取什么实数，方程x 2-(k+6)x+4(k- 3)=0一定有两个不相等的实数根.练习和拓展及思维能力提升1 1、（1）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．2x -2x-1=0 B. 2x -2x+3=0 C. 2x =23x-3 D. 2x -4x+4=0（2）关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ） A ．0B ．8C ．42±D ．0或8（3）关于x 的一元二次方程2x -mx+(m-2)=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D.无法确定 （4）如果关于x 的一元二次方程2k 2x -(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A.k>-14 B.k>-14且k ≠0 C.k<-14 D.k ≥-14且k ≠0 2、 m 为何值时，方程0m x 10x 32=+- ①有两个相等的实数根；②无实数根；③有两个不相等的实数根.●例3．已知x x 21,是方程01322=-+x x的两个根，不解方程，求下列代数式的值.xx 2122)1(+ ； xx2111)2(+ ；)3)(321)(3(--x x ；))(4(212x x - ；x x x x 212122)5(⋅+⋅ ； xxx x 2112)6(+ .★刘老点津★ 1.运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x 1+x 2和x 1x 2表示的代数式．2.求关于一元二次方程的根的代数式的值的方法：遇平方，先配方；遇括号，先展开；遇分式，先通分；遇公因式，先提出；遇两根差，先平方，再开方。
九年级上第03讲 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系讲义+练习
第3讲一元二次方程根的判别式及根与系数的关系概述适用学科初中数学适用年级初三适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点1、一元二次方程的根的判别式2、根与系数的关系教学目标1、使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式．2、使学生掌握不解方程，运用判别式判断一元二次方程根的情况．3、通过对含有字母系数方程的根的讨论，培养学生运用一元二次方程根的判别式的论证能力和逻辑思维能力．培养学生思考问题的灵活性和严密性．来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想．4、使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会其运用．教学重点1、一元二次方程根的判别式的内容及应用．2、韦达定理的推导和灵活运用．3、已知方程求关于根的代数式的值 .教学难点1、用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式．2、一元二次方程根的判别式的推导．3、利用根的判别式进行有关证明【知识导图】用公式法求出下列方程的解：(1)3x 2＋x －10＝0；(2)x 2－8x ＋16＝0；(3)2x 2－6x ＋5＝0． 引入新课通过上述一组题，让学生回答出：一元二次方程的根的情况有三种，即有两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根．接下来向学生提出问题：是什么条件决定着一元二次方程的根的情况？这条件与方程的根之间又有什么关系呢？能否不解方程就可以明确方程的根的情况？这正是我们本课要探讨的课题．先讨论上述三个小题中b 2－4ac 的情况与其根的联系．再做如下推导：对任意一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)，可将其变形为一元二次方程根的判别与及根于系数的关系根的判别有实数根无实数根韦达定理两根和两根积教学过程考点1 一元二次方程根的判别式 二、知识讲解一、导入(x+)2=∵a ≠0，∴4a 2＞0．由此可知b 2－4ac 的值直接影响着方程的根的情况． (1)当b 2－4ac ＞0时，方程右边是一个正数．12x x ==因此b 2-4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根 (2)当b 2－4ac ＝0时，方程右边是122bx x a==-,所以，一元二次方程有两个相等的实数根 (3) 当b 2-4ac<0时，方程右边是一个负数,而方程左边的(x+)2不可能是一个负数,因此方程没有实根.通过以上讨论，总结出：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况可由b 2－4ac 来判定．故称b 2－4ac 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式，通常用“△”来表示． ● 综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根； 当△＜0时，没有实数根．反过来也成立．● 提问1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式应如何表述？ 2．上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？ ● 新知讲解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为：考点2 根于系数之间的关系12x x ==12b x x a +=- 12cx x a=由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”) 如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么12b x x a +=-12cx x a= 我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的根与系数的关系． 如果把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)变形为20b cx x a a++=，我们就可以将之写成20x px q ++=的形式，其中,b cp q a a== ● 得出结论：如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q ． 由 x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q 可知p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2， ∴方程x 2＋px ＋q ＝0， 即 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．这就是说，以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． ● 一元二次方程的根与系数的关系如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a .这个关系通常称为韦达定理．(1)在实数范围内运用根与系数的关系时，必须注意两个条件： ①方程必须是一元二次方程，即二次项系数a≠0；②方程有实数根，即Δ≥0.因此，解题时要注意分析题中隐含条件Δ≥0和a≠0.(2)如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1，x 2，这时韦达定理应是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q.如果实数x 1，x 2满足x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a，那么x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根．考点3 利用根与系数的关系确定一元二次方程(1)利用这一性质比较容易检验一元二次方程的解是否正确．(2)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0. 已知两根求一元二次方程，其一般步骤是： ①先根据两根分别求出两根之和与两根之积；②把两根之和、两根之积代入一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0，求出所要求的方程．已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两根为x 1，x 2，则求含有x 1，x 2的代数式的值时，其方法是把含x 1，x 2的代数式通过转化，变为用x 1＋x 2，x 1x 2的代数式进行表示，然后再整体代入求出代数式的值．解决此类问题时经常要运用到以下代数式及变形： ①＋＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2；②1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2； ③(x 1＋a)(x 2＋a)＝x 1x 2＋a(x 1＋x 2)＋a 2； ④|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.类型一 一元二次方程根的判别式一元二次方程的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．无实数根 【答案】D若关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x+k 2﹣1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k≥1 B ．k ＞1 C ．k ＜1 D ．k≤121x 22x 2x2x 20三 、例题精析例题2例题1考点4 一元二次方程根与系数的关系的应用【答案】D已知：关于x 的一元二次方程x 2+2x +k =0有两个不相等的实数根。
4一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系(名师总结)
一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系【知识点1】一元二次方程的根的判别式概念：一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0 (a ≠0)的根的判别式为b 2－4ac ，通常用符号“△”来表示。
即△=b 2－4ac 一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0 (a ≠0)的根的情况是：①当△＞0时，有两个不相等的实数根。
②当△=0时，有两个相等的实数根。
③当△＜0时，没有实数根 ✪注：当△≧0时，方程有实数根。
【例1】已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程(a + b )x 2+ 2cx + (a + b )＝0的根的情况是（ ） A ． 没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【例2】如果关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）A.＞B ＞且C.＜D.且【例3】已知关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，则的取值范围是【例4】.已知关于x 的二次方程012)21(2=---x k x k 有实数根，则k 的取值范围是 。
【例5】已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22a b +的最小值是【例6】关于x 的一元二次方程04)(2=-+++ca bx xb a 有两个相等的实数根,那么以a 、b 、c 为三边的三角形是 A 、以a 为斜边的直角三角形 B 、以c 为斜边的直角三角形 C 、以b 为底边的等腰三角形D 、以c 为底边的等腰三角形 【知识点2】一元二次方程根于系数的关系概念：若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和，那么=+21x x ，=∙21x x 。
这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。
【例1】在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，有一根为0，则=c ；有一根为1，则=++c b a ；有一根为1-，则=+-c b a ；若两根互为倒数,则=c ；若两根互为相反数，则=b 。
一元二次方程的判别式及跟与系数的关系
一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系要点一、一元二次方程的判别式1．定义：在一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0中，只有当系数a 、b 、c 满足条件△≥b ac 2=−40时才有实数根．这里b ac 2−4叫做一元二次方程根的判别式，记作△．2．判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的根的情况由△b ac 2=−4确定． 设一元二次方程为()ax bx c a 2++=0≠0，其根的判别式为：△b ac 2=−4，则①△>0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个不相等的实数根,x 12．②△=0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个相等的实数根b x x a12==−2． ③△<0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0没有实数根． 特殊的：（1）若a ，b ，c 为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；（2）若△为完全平方式，同时b −±2a 的整数倍，则方程的根为整数根．【例1】（1）不解方程，直接判断下列方程的解的情况： ①x x 27−−1=0 ②()x x 29=43−1 ③x x 2+7+15=0④()mx m x 2−+1+=02（m 为常数）（2）已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()()a b x cx a b 2++2++=0的根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解析】（1）①△>0，有两个不等实根；②△=0，有两个相等实根； ③△<0，无实根；④△m 2=+1>0，方程有两个不等实根． （2）由题()()()()△c a b a b c c a b 22=2−4+=4++−−∵a b c ++>0，c a b −−<0，故方程没有实根．选A ．【点评】这道题（1）主要考察判别式与根的关系，属于特别基础的题，锻炼孩子们的思维，（2）结合三角形三边关系来考察一元二次方程的判别式和根的个数的关系．【例2】（1）若关于x 的一元二次方程()k x x 21−1+−=04有实根，则k 的取值范围为______． 【解析】（1）≥k 0且≠k 1；【变式2-1】若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ） A. 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,3【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，解得：k≤，且k≠0. 则k 的非负整数值为1．【变式2-2】已知关于x 的一元二次方程有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】且m≠1 【解析】因为方程有实数根，所以，解得， 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即， ∴ m 的取值范围是且m≠1． 【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即，m≠1．【例3】已知：关于x 的方程有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】.【变式3-1】关于x的一元二次方程()k x 21−2−−1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围______．≤k −1<2且k 1≠2， 由题意，得()()k k k k 4+1+41−2>0⎧⎪+1≥0⎨⎪1−2≠0⎩，解得≤k −1<2且k 1≠2；2(1)10m x x −++=54m ≤2(1)10m x x −++=214(1)450m m =−−=−+≥△54m ≤(1)0m −≠54m ≤(1)0m −≠2(1)04kkx k x +++=102k k ≠＞－且【变式3-2】已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 【思路点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b 2﹣4ac ＞0．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．（2）设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a 的值和方程的另一根． 【答案与解析】解：（1）∵b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0，解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：，解得：，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【变式3-2】关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】k ＜2且k≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0， 解得：k ＜2且k≠1． 故答案为：k ＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.【例4】当a 、b 为何值时，方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根？（3）要使关于x 的一元二次方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根，则必有△≥0，即()()≥a a ab b 22241+−43+4+4+20，得()()a b a 22+2+−1≤0．又因为()()a b a 22+2+−1≥0，所以()()a b a 22+2+−1=0，得a =1，b 1=−2．【变式4-1】已知关于x 的一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根，求代数式a a a21−2+1+的值．【解析】由题，一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根， 所以a a 2−3+1=0．所以有a a a 2−2+1=，a a 2+1=3．代入a a a21−2+1+，得a a a a a a a a a 2211+13−2+1+=+===3．【点评】这道题主要是考察判别式与代数式的结合，难度不大．【变式4-2】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根. 【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.【例5】在等腰△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知a =3，b 和c 是关于x 的方程x mx m 21++2−=02的两个实数根，求△ABC 的周长．【解析】当b c =时，方程有两个相等的实数根，则=△m m 21⎛⎫−42−=0 ⎪2⎝⎭，∴m 1=−4，m 2=2．若m =−4，原方程化为x x 2−4+4=0， 则x x 12==2，即b c ==2， ∴△ABC 的周长为2+2+3=7． 若m =2，原方程化为x x 2+2+1=0， 则x x 12==−1，不合题意．当a b =或a c =时，x =3是方程的一个根， 则m m 19+3+2−=02，则m 22=−5，原方程化为x x 22221−+=055，解得x 1=3，x 27=5， ∴ABC △的周长为7373+3+=55．综上所述，ABC △的周长为7或375． 【点评】这道题主要考察学生们的分类讨论能力，应对多种情况是要理清思路．要点二、一元二次方程的根与系数关系(韦达定理)1．韦达定理：如果()ax bx c a 2++=0≠0的两根是x 1，x 2，则b x x a 12+=−，cx x a12=．（使用前提：△≥0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x 1，x 2是方程x px q 2++=0的两个根，则x x p 12+=−，x x q 12=． 2．韦达定理的逆定理：如果有两个数x 1，x 2满足b x x a 12+=−，cx x a12=，那么x 1，x 2必定是()ax bx c a 2++=0≠0的两个根．特别地，以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是()x x x x x x 21212−++=0． 3．韦达定理与根的符号关系：在△≥b ac 2=−40的条件下，我们有如下结论： （1）当ca<0时，方程的两根必一正一负． ①若≥b a −0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若ba−<0，则此方程的正根小于负根的绝对值．（2）当ca>0时，方程的两根同正或同负． ①若b a −>0，则此方程的两根均为正根；②若ba−<0，则此方程的两根均为负根．注意：（1）若ac <0，则方程()ax bx c a 2++=0≠0必有实数根．（2）若ac >0，方程()ax bx c a 2++=0≠0不一定有实数根．【例6】（1）已知一元二次方程ax ax c 2+2+=0的一根x 1=2，则方程的另一根______x 2=．（2）已知x 1，x 2是方程x x 2−3+1=0的两个实数根，则：①x x 2212+；②()()x x 12−2⋅−2；③x x x x 221122+⋅+；④x x x x 2112+；⑤x x 12−；⑥x x 2212−；⑦x x 1211−．【解析】（1）−4；（2）()x x x x x x 2222121212+=+−2⋅=3−2⨯1=7， ()()()x x x x x x 121212−2⋅−2=⋅−2++4=1−2⨯3+4=−1， ()x x x x x x x x 22211221212+⋅+=+−⋅=9−1=8，x x x x x x x x 2221211212+7+===7⋅1，()()x x x x x x 222121212−=+−4⋅=3−4⨯1=5，∴x x 12−=，∴()()(x x x x x x 22121212−=+−=3⨯=x x x x x x 21121211−−==．【点评】第三小题，主要是考察韦达定理的灵活运用，包含了各种变形情况．【例7】（1）已知关于x 的方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，且x x x x 121211+=+，求k 值．（2）已知x 1，x 2是方程ax ax a 24−4++4=0的两实根，是否能适当选取a 的值，使得()()x x x x 1221−2−2的值等于54．【解析】（1）∵方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，∴()()△≥k k k 22=2−3−4−3=21−120得：≤k 74． 由韦达定理得，()x x k x x k 12212+=−2−3⎧⎪⎨⋅=−3⎪⎩． ∵x x x x 121211+=+，∴x xx x x x 121212++=，x x 12+=0或x x 12=1，当x x 12+=0时，k 3−2=0，k 3=2，∵k 37=<24，所以k 3=2符合题意． 当x x 12=1时，k 2−3=1，k =±2，∵k 7≤4，∴k =2舍去．∴k 的值为32或−2． （2）显然a ≠0由()△a a a 2=16−16+4≥0得a <0， 由韦达定理知x x 12+=1，a x x a12+4=4， 所以()()()()()a x x x x x x x x x x x x a 2221221121212129+4−2−2=5−2+=9−2+=−24a a+36=4 若有()(),x x x x 12215−2−2=4则a a +365=44，∴a =9，这与0a <矛盾， 故不存在a ，使()()x x x x 12215−2⋅−2=4． 【点评】这道题主要锻炼孩子们的过程，以及有两个实根，解出来别忘了限制条件，这种类型的题比较常见，一定不要忽视∆的限定条件以及用韦达定理可得到的限定条件．【例8】（1）若m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，则m m n 2+2+−1的值为________．（2）已知a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，则a ab a b 2−+3+的值为__________．（3）已知m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，则()()m m n n 22+2015+6+2017+8= ________．【解析】（1）∵m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，∴m n +=−1，m m 2+−1=0，则原式()()m m m n 2=+−1++=−1=−1，（2）∵a 是方程x x 2+2−5=0的实数根，∴a a 2+2−5=0，∴a a 2=5−2，∴a ab a b a ab a b a b ab 2−+3+=5−2−+3+=+−+5， ∵a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，∴a b +=−2，ab =−5，∴a ab a b 2−+3+=−2+5+5=8． 故答案为8．（3）∵m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，∴m n +=−2016，mn =7；∴m m 2+2016+7=0，n n 2+2016+7=0，()()()()m m n n m m m n n n 2222+2015+6+2017+8=+2016+7−−1+2016+7++1()()()()m n mn m n =−+1+1=−+++1=−7−2016+1=2008故答案是：2008．【点评】这道题主要考查韦达定理根系关系的应用，进一步强化孩子对于韦达定理应用的理解．【例9】（1）已知一元二次方程()ax a x a 2+3−2+−1=0的两根都是负数，则k 的取值范围是_________．（2）已知二次方程342x x k 2−+−=0的两根都是非负数，则k 的取值范围是__________．【解析】（1）此方程两实根为,x x 12，由已知得a x x x x 1212≠0⎧⎪∆0⎪⎨+<0⎪⎪>0⎩≥，∴()()a a a a a a a a2≠0⎧⎪3−24−10⎪⎪2−3⎨<0⎪⎪−1⎪>0⎩-≥g ,即a 91<8≤．（2）此方程两实根为,x x 12，由已知得≥x x x x 1212∆≥0⎧⎪+≥0⎨⎪0⎩，得：∴2()43()k k ⎧⎪−4−⨯−2≥0⎪4⎪>0⎨3⎪−2⎪≥0⎪3⎩即k 102≤≤3． 【点评】这道题主要考查韦达定理和判别式结合不等式组的形式去判定根的具体情况，这类题是比较常见一类题，要将这种不等的思想传授给孩子．【课后作业】1．已知关于x 的一元二次方程()()k x k x 22−1+2+1+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为_____________． A ．k 1≥4 B ．k 1>4且≠k 1 C ．k 1<4且≠k 1 D ．k 1≥4且≠k 1【解析】B ．2．已知关于x 的一元二次方程x m 2−=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围__________．3．关于x 的方程()()m x m x 22−4+2+1+1=0有实根，则m 的取值范围__________．【解析】2．由题意可知，原方程的判别式(m m m 21∆=+4=1+3>0⇒>−3．又≥≤m m 1−0⇒1， 故≤m 1−<13．3．题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分0m 2−4=和m 2−4≠0，两种情形讨论：当m 2−4=0即m =±2时，()m 2+1≠0，方程为一元一次方程，总有实根； 当m 2−4≠0即m ≠±2时，方程有根的条件是： [()]()≥m m m 22=2+1−4−4=8+20∆0，解得m 5≥−2．∴当m 5≥−2且m ≠±2时，方程有实根．综上所述：当m 5≥−2时，方程有实根．4．已知关于x 的方程()x k x k 2−+1+2−2=0． （1）求证：无论k 为何值，方程总有实根；（2）若等腰ABC △，底边a =3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．【解析】（1）()()()≥△k k k 22=+1−42−2=−30，∴无论k 为何值，方程总有实根．（2）当a =3为底，b ，c 为腰时，b c =，∴方程有两个相等的实根，∴∆=0，即()k 2−3=0，k =3，此时方程为x x 2−4+4=0，解x x 12==2，∴ABC △的周长为3+2+2=7，当a =3为腰，则方程有一根为3，将x =3代入方程，得k =4，方程为x x 2−5+6=0，解得x 1=2，x 2=3，∴ABC △的周长为2+3+3=8，综上所述，ABC △的周长为7或8．5．关于x 的方程x kx 22+=10的一个根是−2，则方程的另一根是_______；k =________．6．已知a ，b ，c 为正数，若二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根，那么方程a x b x c 2222++=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正实数根 B ．有两个异号的实数根 C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根7．设α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根，则ααβ2+4+=________．【解析】5．设另一根为x ，由根与系数的关系可建立关于x 和k 的方程组，解之即得．x 5=2，k =−1． 6．a x b x c 2222++=0的()()D b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2， ∵二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根， ∴≥b ac 2−40， ∴b ac 2−2>0，∴()()△b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2>0∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正． 故有两个负根．故选C ．7．∵α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根， ∴αβ+=−3，αα2+3−7=0， ∴αα2+3=7，∴ααβαααβ22+4+=+3++=7−3=4，故答案为：4．11 8．已知关于x 的方程()x m x m 22+2+2+−5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【解析】有实数根，则∆≥0，且x x x x 221212+−=16，联立解得m 的值．依题意有：()2()3()()x x m x x m x x x x m m 12212121222+=−2+2⎧⎪=−5⎪⎨+−=16⎪⎪∆=4+2−4−5≥0⎩，解得：m =−1或m =−15且m 9≥−4， ∴ m =−1．韦达定理说明了一元n 次方程中根和系数之间的关系。
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解得：k＜2 且 k≠1．
故答案为：k＜2 且 k≠1．
【总结升华】不能忽略二次项系数不为 0 这一条件.
举一反三：
【变式】m 为任意实数，试说明关于 x 的方程 x2-（m-1）x-3（m+3）= 0 恒有两个不相等的实数根. 【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m2+10m+37=(m+5)2+12＞0，
设一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两根为 x1 、 x2 ，则
①当△≥0 且 x1x2 0 时，两根同号．
当△≥0 且 x1x2 0 ， x1 x2 0 时，两根同为正数；
当△≥0 且 x1x2 0 ， x1 x2 0 时，两根同为负数．
②当△＞0 且 x1x2 0 时，两根异号．
【典型例题】 类型一、一元二次方程根的判别式的应用
1．不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1) 2x2+3x-4=0
(2)ax2+bx=0(a≠0)
【答案与解析】
(1) 2x2+3x-4=0
a=2, b=3, c=-4,
∵Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0
∴方程有两个不相等的实数根.
数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于 x1、x2 的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些 重要变形；如：
⑥ (x1 k)(x2 k) x1x2 k (x1 x2 ) k 2 ；
⑦ | x1 x2 | (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2 ；
⑧ 1 1 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 ；
x12 x22
x12 x22
(x1x2 )2
⑨ x1 x2 (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2 ；
（3）当△<0 时，一元二次方程没有实数根.
要点诠释：
利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定 a,b.c
的值；③计算 b2 4ac 的值；④根据 b2 4ac 的符号判定方程根的情况.
2. 一元二次方程根的判别式的逆用
在方程 ax2 bx c 0a 0中，
当△＞0 且 x1x2 0 ， x1 x2 0 时，两根异号且正根的绝对值较大；
当△＞0 且 x1x2 0 ， x1 x2 0 时，两根异号且负根的绝对值较大．
要点诠释： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的 ．一些考试中，往 往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根 a b ，则必有一根 a b （ a ， b 为有理数）．
【变式】不解方程，判别方程根的情况： x2 ax a2 1 0 .
【答案】无实根.
2．（2015•本溪）关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的
取值范围是
．
【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于 0，二次项系数不等于 0.
【答案】k＜2 且 k≠1； 【解析】解：∵ 关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0 有两个不相等的实数根， ∴ k﹣1≠0 且△ =（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，
知识点二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个实数根是 x1，x2 ，
那么 x1
x2
b a
，
x1x2
c a
.
注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系
(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，
将常数项视为零，
∵Δ=b2-4·a·0=b2,
∵无论 b 取任何关数，b2 均为非负数，
∴Δ≥0， 故方程有两个实数根.
【总结升华】根据 b2 4ac 的符号判定方程根的情况.
举一反三：
关联的位置名称（播放点名称）：判别含字母系数的方程根的情况---例 2（1）】
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础）
【学习目标】 1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范
围； 2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.
【要点梳理】 知识点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 中， b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的
根的判别式，通常用“ ”来表示，即 b2 4ac
（1）当△>0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；
（2）当△=0 时，一元二次方程有 2 个相等的实数根；
（1）方程有两个不相等的实数根 b2 4ac ﹥0；
（2）方程有两个相等的实数根 b2 4ac =0；
（3）方程没有实数根 b2 4ac ﹤0.
要点诠释： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为 0 这一条件；
（2）若一元二次方程有两个实数根则 b2 4ac ≥0.
① x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 ；
② 1 1 x1 x2 ； x1 x2 x1 x2
③ x1 x22 x12 x2 x1 x2 (x1 x2 ) ；
④ x2 x1 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 ；
1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2 ；
⑩ | x1 | | x2 | (| x1 | | x2 |)2 x12 x22 +2 | x1 x2 | (x1 x2 )2 2x1x2 2 | x1 x2 | ．
(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；
以两个数
为根的一元二次方程是
.
(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.